ความเป็นอิสระเป็นแนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีความน่าจะเป็นเช่นเดียวกับในสถิติและทฤษฎีของกระบวนการสุ่ม เหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระเป็นอิสระทางสถิติหรือเป็นอิสระทางสุ่ม^{[ 1 ]}หากพูดกันอย่างไม่เป็นทางการ การเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่มีผลต่อความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง หรือเทียบเท่ากับไม่มีผลต่ออัตราต่อรอง ในทำนองเดียวกัน ตัวแปรสุ่มสองตัวเป็นอิสระหากการเกิดขึ้นของตัวแปรหนึ่งไม่มีผลต่อการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรอื่น ในทางกลับกันความขึ้นอยู่ กัน คือเมื่อการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งมีผลต่อความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง

เมื่อพิจารณากลุ่มเหตุการณ์มากกว่าสองเหตุการณ์ จำเป็นต้องแยกแยะความหมายของความเป็นอิสระสองแบบ เหตุการณ์จะเรียกว่าเป็นอิสระต่อกันเป็นคู่ๆหากเหตุการณ์สองเหตุการณ์ใดๆ ในกลุ่มนั้นเป็นอิสระต่อกัน ในขณะที่ความเป็นอิสระร่วมกัน (หรือความเป็นอิสระโดยรวม ) ของเหตุการณ์ หมายความว่า เหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์เป็นอิสระจากเหตุการณ์อื่นๆ ในกลุ่มนั้นไม่ว่าจะเป็นเหตุการณ์ใดก็ตาม แนวคิดที่คล้ายกันนี้มีอยู่สำหรับกลุ่มตัวแปรสุ่ม ความเป็นอิสระร่วมกันบ่งบอกถึงความเป็นอิสระต่อกันเป็นคู่ๆ แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน ในเอกสารทางวิชาการมาตรฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติ และกระบวนการสุ่มความเป็นอิสระโดยไม่มีคำอธิบายเพิ่มเติมมักหมายถึงความเป็นอิสระร่วมกัน

เหตุการณ์สองเหตุการณ์และเป็นอิสระต่อกัน (มักเขียนเป็นหรือโดยที่สัญลักษณ์หลังมักใช้สำหรับความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไข ) ก็ต่อเมื่อความน่าจะเป็นร่วม ของทั้งสองเหตุการณ์ เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของทั้งสองเหตุการณ์: ^{[ 2 ] : หน้า 29 [ 3 ] : หน้า 10} ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\perp B}$${\displaystyle A\perp \!\!\!\perp B}$

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)}$

สมการที่ 1

${\displaystyle A\cap B\neq \emptyset }$บ่งชี้ว่าเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์มีองค์ประกอบร่วมกันในปริภูมิของตัวอย่างดังนั้นจึงไม่เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดขึ้นพร้อมกัน (ไม่เกิดขึ้นพร้อมกันก็ต่อเมื่อ (iff) ) เหตุผลที่นิยามความเป็นอิสระแบบนี้จะชัดเจนขึ้นเมื่อเขียนใหม่โดยใช้ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเป็นความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เกิดขึ้นโดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์นั้นได้เกิดขึ้นแล้วหรือสันนิษฐานว่าได้เกิดขึ้นแล้ว: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\iff \mathrm {P} (A\mid B)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (B)}}=\mathrm {P} (A)}$

และในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\iff \mathrm {P} (B\mid A)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (A)}}=\mathrm {P} (B)}$

ดังนั้น การเกิดขึ้นของ จึงไม่ส่งผลต่อความน่าจะเป็นของและในทางกลับกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือและเป็นอิสระต่อกัน แม้ว่านิพจน์ที่ได้มาอาจดูเข้าใจง่ายกว่า แต่ก็ไม่ใช่คำจำกัดความที่เหมาะสม เนื่องจากความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขอาจไม่สามารถกำหนดได้หากหรือเป็น 0 ยิ่งไปกว่านั้น คำจำกัดความที่เหมาะสมจะทำให้เห็นได้อย่างชัดเจนโดยสมมาตรว่า เมื่อเป็นอิสระจาก แล้วก็เป็นอิสระจาก เช่นกัน ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathrm {P} (A)}$${\displaystyle \คณิตศาสตร์ {P} (B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

กล่าวโดยพิจารณาจากอัตราต่อรอง เหตุการณ์สองเหตุการณ์จะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่ออัตราส่วนของอัตราต่อรองของ⁠ ⁠${\displaystyle A}$และ⁠ ⁠${\displaystyle B}$เท่ากับหนึ่ง (1) ในทำนองเดียวกันกับความน่าจะเป็น นี่เทียบเท่ากับอัตราต่อรองแบบมีเงื่อนไขที่เท่ากับอัตราต่อรองแบบไม่มีเงื่อนไข:

${\displaystyle O(A\mid B)=O(A){\text{ และ }}O(B\mid A)=O(B),}$

หรือโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น เมื่อกำหนดให้เหตุการณ์อีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น จะเท่ากับโอกาสที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้น เมื่อกำหนดให้เหตุการณ์อีกเหตุการณ์หนึ่งไม่เกิดขึ้น:

${\displaystyle O(A\mid B)=O(A\mid \neg B){\text{ และ }}O(B\mid A)=O(B\mid \neg A).}$

อัตราส่วนความน่าจะเป็นสามารถนิยามได้ดังนี้

${\displaystyle O(A\mid B):O(A\mid \neg B),}$

หรือสมมาตรกันสำหรับอัตราต่อรองของ⁠ ⁠${\displaystyle B}$เมื่อกำหนด⁠ ⁠${\displaystyle A}$และดังนั้นจะเป็น 1 ก็ต่อเมื่อเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน

เซตของเหตุการณ์ที่มีจำนวนจำกัดจะเป็นอิสระต่อกันเป็นคู่ๆหากเหตุการณ์ทุกคู่เป็นอิสระต่อกัน^{[ 4 ]} —นั่นคือ ถ้าและเฉพาะเมื่อสำหรับ ดัชนี คู่ที่แตกต่างกันทั้งหมด${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle m,k}$

${\displaystyle \mathrm {P} (A_{m}\cap A_{k})=\mathrm {P} (A_{m})\mathrm {P} (A_{k})}$

สมการที่ 2

เซตจำกัดของเหตุการณ์จะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์เป็นอิสระจากจุดตัดของเหตุการณ์อื่น ๆ^{[ 4 ] [ 3 ] : หน้า 11} —นั่นคือ ถ้าและเฉพาะเมื่อสำหรับทุก ๆและสำหรับทุก ๆ k ดัชนี ${\displaystyle k\leq n}$${\displaystyle 1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq n}$

${\displaystyle \mathrm {P} \left(\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right)=\prod _{j=1}^{k}\mathrm {P} (A_{i_{j}})}$

สมการที่ 3

นี่เรียกว่ากฎการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระ ไม่ใช่เงื่อนไขเดียวที่เกี่ยวข้องกับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดี่ยวทั้งหมดเท่านั้น แต่ต้องเป็นจริงสำหรับกลุ่มย่อยของเหตุการณ์ทั้งหมดด้วย

สำหรับเหตุการณ์มากกว่าสองเหตุการณ์ ชุดเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน (ตามคำนิยาม) จะเป็นอิสระต่อกันเป็นคู่ๆ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป [ ^{2 ] :หน้า 30}

กล่าวโดยอ้างอิงจากความน่าจะเป็นแบบลอการิทึมเหตุการณ์สองเหตุการณ์จะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อความน่าจะเป็นแบบลอการิทึมของเหตุการณ์ร่วมเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นแบบลอการิทึมของเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์:

${\displaystyle \log \mathrm {P} (A\cap B)=\log \mathrm {P} (A)+\log \mathrm {P} (B)}$

ในทฤษฎีสารสนเทศค่าลบของลอการิทึมความน่าจะเป็นถูกตีความว่าเป็นปริมาณสารสนเทศดังนั้น เหตุการณ์สองเหตุการณ์จะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อปริมาณสารสนเทศของเหตุการณ์รวมเท่ากับผลรวมของปริมาณสารสนเทศของเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์

${\displaystyle \mathrm {I} (A\cap B)=\mathrm {I} (A)+\mathrm {I} (B)}$

ดูเนื้อหาข้อมูล § การบวกของเหตุการณ์อิสระสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

ตัวแปรสุ่มสองตัวและเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ (iff) องค์ประกอบของระบบπที่สร้างขึ้นโดยตัวแปรสุ่มทั้งสองเป็นอิสระต่อกัน กล่าวคือ สำหรับทุกและเหตุการณ์และเป็นเหตุการณ์อิสระต่อกัน (ตามที่กำหนดไว้ข้างต้นในสมการที่ 1 ) นั่นคือและที่มีฟังก์ชันการกระจายสะสมและเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อตัวแปรสุ่มรวมมีฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วม^{[ 3 ] : หน้า 15} ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{X\leq x\}}$${\displaystyle \{Y\leq y\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F_{X}(x)}$${\displaystyle F_{Y}(y)}$${\displaystyle (X,Y)}$

${\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)\quad {\text{สำหรับทุก }}x,y}$

สมการที่ 4

โดยทั่วไปและในทำนองเดียวกัน ถ้าและ เป็นค่าจริง ถ้าตัวแปรสุ่มสองตัวมีค่าอยู่ในโดยมีการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมและค่าขอบและเราจะได้ความเท่าเทียมกันของการวัด ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle P_{X,Y}}$${\displaystyle P_{X}}$${\displaystyle P_{Y}}$

${\displaystyle P_{X,Y}(d(x,y))=P_{X}(dx)P_{Y}(dy),}$

เช่น สำหรับชุด Borel ทุกชุด ที่เรามี ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle P_{X,Y}(A)=\int _{A}P_{X,Y}(d(x,y))=\int _{A}P_{X}(dx)P_{Y}(dy)}$

โดยที่. ถ้าและเป็นค่าแบบไม่ต่อเนื่อง สมการนี้จะลดรูปเหลือ ${\displaystyle P_{X,Y}(A)=P\left((X,Y)\in A\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle P_{X,Y}(x_{i},y_{j})=P_{X}(x_{i})P_{Y}(y_{j}){\text{ สำหรับทุก }}i=1,..,|{\mathcal {X}}|,\,j=1,..,|{\mathcal {Y}}|,}$

ในขณะที่ถ้าและเป็นค่าจริงและมีความหนาแน่นความน่าจะเป็นและและความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วมมันจะกลายเป็น ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p_{X}(x)}$${\displaystyle p_{Y}(y)}$${\displaystyle p_{X,Y}(x,y)}$

${\displaystyle p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y)\quad {\text{for almost all }}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}.}$

โดยที่ "เกือบทั้งหมด" หมายถึงทั้งหมด ยกเว้นเซตที่มีขนาดเป็นศูนย์

เซตของตัวแปรสุ่ม ที่มีจำนวนจำกัด จะมีความเป็นอิสระต่อกันเป็นคู่ๆก็ต่อเมื่อตัวแปรสุ่มทุกคู่มีความเป็นอิสระต่อกัน ถึงแม้ว่าเซตของตัวแปรสุ่มจะมีความเป็นอิสระต่อกันเป็นคู่ๆ แต่ก็ไม่ได้หมายความว่าจะมีความเป็นอิสระต่อกันโดยสิ้นเชิงเสมอไปดังที่จะกล่าวต่อไป ${\displaystyle n}$${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$

เซตจำกัดของตัวแปรสุ่มจะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อสำหรับลำดับตัวเลขใดๆเหตุการณ์ต่างๆเป็นอิสระต่อกัน (ตามที่กำหนดไว้ข้างต้นในสมการที่ 3 ) ซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไขต่อไปนี้ เกี่ยวกับฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วมเซตจำกัดของตัวแปรสุ่มจะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ^{[ 3 ] : หน้า 16} ${\displaystyle n}$${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$${\displaystyle \{X_{1}\leq x_{1}\},\ldots ,\{X_{n}\leq x_{n}\}}$${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$

${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot \ldots \cdot F_{X_{n}}(x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}}$

สมการที่ 5

ไม่จำเป็นต้องกำหนดให้การแจกแจงความน่าจะเป็นสามารถแยกตัวประกอบได้สำหรับ เซตย่อยที่มี สมาชิก ทั้งหมดที่เป็นไปได้ เช่นเดียวกับในกรณีของเหตุการณ์ ไม่จำเป็นเพราะเช่น บ่งชี้ว่า ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{X_{1},X_{2},X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot F_{X_{2}}(x_{2})\cdot F_{X_{3}}(x_{3})}$${\displaystyle F_{X_{1},X_{3}}(x_{1},x_{3})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot F_{X_{3}}(x_{3})}$

เช่นเดียวกับกรณีของตัวแปรสุ่มสองตัว การกำหนดความเป็นอิสระโดยทั่วไปสามารถทำได้ในเชิงทฤษฎีการวัด ชุดของตัวแปรสุ่มที่มีค่าอยู่ในปริภูมิที่วัดได้ซึ่งมีการแจกแจงร่วมและค่าขอบจะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$${\displaystyle {\mathcal {X}}_{1},\times \ldots \times {\mathcal {X}}_{n}}$${\displaystyle P_{X_{1},\ldots X_{n}}}$${\displaystyle P_{X_{1}}\ldots P_{X_{n}}}$

${\displaystyle P_{X_{1},\ldots X_{n}}(d(x_{1},\ldots x_{n}))=P_{X_{1}}(dx_{1})\cdots P_{X_{n}}(dx_{n})}$

ซึ่งหมายความว่าสำหรับชุดข้อมูล Borel ทุกชุด เราจะมี ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {X}}_{1}\times \cdots \times {\mathcal {X}}_{n}}$

${\displaystyle P_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(A)=\int _{A}P_{X_{1},\ldots X_{n}}(d(x_{1},\ldots x_{n}))=\int _{A}P_{X_{1}}(dx_{1})\cdots P_{X_{n}}(dx_{n}),}$

นิยามนี้เทียบเท่ากับนิยามข้างต้นทุกประการเมื่อค่าของตัวแปรสุ่มเป็นจำนวนจริงข้อดีคือสามารถใช้ได้กับตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน หรือตัวแปรสุ่มที่รับค่าใน ปริภูมิที่วัดได้ อื่นๆ (ซึ่งรวมถึงปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีพีชคณิต σ ที่เหมาะสม)

เวกเตอร์สุ่มสองตัวและเรียกว่าเป็นอิสระต่อกันหาก^{[ 5 ] : หน้า 187} ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }}$

${\displaystyle F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )=F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )\cdot F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )\quad {\text{for all }}\mathbf {x} ,\mathbf {y} }$

สมการที่ 6

โดยที่และแทนฟังก์ชันการกระจายสะสมของและและแทนฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วมของทั้งสอง การเป็นอิสระต่อกันของและมักจะแสดงด้วยเขียนเป็นรายส่วนแล้วและเรียกว่าเป็นอิสระต่อกันถ้า ${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}$${\displaystyle F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n})=F_{X_{1},\ldots ,X_{m}}(x_{1},\ldots ,x_{m})\cdot F_{Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(y_{1},\ldots ,y_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}.}$

นิยามของความเป็นอิสระอาจขยายจากเวกเตอร์สุ่มไปสู่กระบวนการสุ่มดังนั้น จึงจำเป็นสำหรับกระบวนการสุ่มอิสระที่ตัวแปรสุ่มที่ได้จากการสุ่มตัวอย่างกระบวนการ ณเวลา ใด ๆ จะต้องเป็นตัวแปรสุ่มอิสระสำหรับทุก ๆ[ ^{6 ] :หน้า 163} ${\displaystyle n}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$${\displaystyle n}$

ตามหลักการแล้ว กระบวนการสุ่มจะเรียกว่าเป็นอิสระก็ต่อเมื่อสำหรับทุกและสำหรับทุก${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle F_{X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=F_{X_{t_{1}}}(x_{1})\cdot \ldots \cdot F_{X_{t_{n}}}(x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}}$

สมการที่ 7

โดยที่.ความเป็นอิสระของกระบวนการสุ่มเป็นคุณสมบัติภายในกระบวนการสุ่มนั้นเอง ไม่ใช่คุณสมบัติระหว่างกระบวนการสุ่มสองกระบวนการ ${\displaystyle F_{X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathrm {P} (X(t_{1})\leq x_{1},\ldots ,X(t_{n})\leq x_{n})}$

ความเป็นอิสระของกระบวนการสุ่มสองกระบวนการคือคุณสมบัติระหว่างกระบวนการสุ่มสองกระบวนการและซึ่งกำหนดไว้ในปริภูมิความน่าจะเป็นเดียวกัน ในทางรูปธรรม กระบวนการสุ่มสองกระบวนการและกล่าวได้ว่าเป็นอิสระต่อกัน ถ้าสำหรับทุกและสำหรับทุกเวกเตอร์สุ่มและเป็นอิสระต่อกัน^{[ 7 ] : หน้า 515} กล่าวคือ ถ้า ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle (X(t_{1}),\ldots ,X(t_{n}))}$${\displaystyle (Y(t_{1}),\ldots ,Y(t_{n}))}$

${\displaystyle F_{X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}},Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})=F_{X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot F_{Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}}(y_{1},\ldots ,y_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}}$

สมการที่ 8

นิยามข้างต้น ( สมการที่ 1และสมการที่ 2 ) ทั้งสองนิยามได้รับการขยายความโดยนิยามความเป็นอิสระสำหรับσ-algebra ดังต่อไปนี้ ให้เป็นปริภูมิความน่าจะเป็นและให้และ เป็น σ-algebra ย่อยสองตัวของและกล่าวได้ว่า เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ และ เมื่อใดก็ตามที่ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathrm {P} )}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B).}$

ในทำนองเดียวกัน ตระกูลจำกัดของ σ-algebra โดยที่เป็นเซตดัชนีจะเรียกว่าเป็นอิสระก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle (\tau _{i})_{i\in I}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle \forall \left(A_{i}\right)_{i\in I}\in \prod \nolimits _{i\in I}\tau _{i}\ :\ \mathrm {P} \left(\bigcap \nolimits _{i\in I}A_{i}\right)=\prod \nolimits _{i\in I}\mathrm {P} \left(A_{i}\right)}$

และตระกูลอนันต์ของ σ-algebra จะเรียกว่าเป็นอิสระ หากตระกูลย่อยจำกัดทั้งหมดของตระกูลนั้นเป็นอิสระเช่นกัน

คำจำกัดความใหม่นี้มีความเกี่ยวข้องโดยตรงกับคำจำกัดความก่อนหน้านี้:

• เหตุการณ์สองเหตุการณ์จะเป็นอิสระต่อกัน (ในความหมายเดิม) ก็ต่อเมื่อพีชคณิต σ ที่เหตุการณ์ทั้งสองสร้างขึ้นนั้นเป็นอิสระต่อกัน (ในความหมายใหม่) พีชคณิต σ ที่สร้างขึ้นจากเหตุการณ์หนึ่งๆ นั้นตามนิยามแล้วคือ${\displaystyle E\in \Sigma }$

${\displaystyle \sigma (\{E\})=\{\emptyset ,E,\Omega \setminus E,\Omega \}.}$

• ตัวแปรสุ่มสองตัวและที่กำหนดบนจะเป็นอิสระต่อกัน (ในความหมายเดิม) ก็ต่อเมื่อพีชคณิต σ ที่ตัวแปรสุ่มทั้งสองสร้างขึ้นนั้นเป็นอิสระต่อกัน (ในความหมายใหม่) พีชคณิต σ ที่สร้างขึ้นโดยตัวแปรสุ่มที่รับค่าในปริภูมิที่วัดได้ บางส่วน ประกอบด้วยเซตย่อยทั้งหมดของที่มีรูปแบบโดยที่เป็นเซตย่อยที่วัดได้ใดๆของ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle X^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$

โดยใช้นิยามนี้ เราสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่า ถ้าและเป็นตัวแปรสุ่ม และเป็นค่าคงที่ แล้วและจะเป็นอิสระต่อกัน เนื่องจากพีชคณิต σ ที่สร้างขึ้นโดยตัวแปรสุ่มคงที่คือพีชคณิต σ ที่ไม่สำคัญเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ไม่สามารถส่งผลต่อความเป็นอิสระได้ ดังนั้นความเป็นอิสระจึงยังคงอยู่แม้ว่า จะเป็น ค่าคงที่แบบ Pr- เกือบแน่นอนเท่านั้น${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \{\varnothing ,\Omega \}}$${\displaystyle Y}$

โปรดทราบว่าเหตุการณ์หนึ่งจะเป็นอิสระจากตัวมันเองก็ต่อเมื่อ...

${\displaystyle \mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (A\cap A)=\mathrm {P} (A)\cdot \mathrm {P} (A)\iff \mathrm {P} (A)=0{\text{ or }}\mathrm {P} (A)=1.}$

ดังนั้นเหตุการณ์หนึ่งจะเป็นอิสระจากตัวมันเองก็ต่อเมื่อมัน เกิดขึ้น เกือบแน่นอนหรือส่วนเติมเต็ม ของมัน เกิดขึ้นเกือบแน่นอน ข้อเท็จจริงนี้มีประโยชน์เมื่อพิสูจน์กฎศูนย์-หนึ่ง^{[ 8 ]}

ในทำนองเดียวกัน ตัวแปรสุ่มจะเป็นอิสระจากตัวเองก็ต่อเมื่อมันมีค่าคงที่เกือบแน่นอนเท่านั้น

ถ้าและเป็นตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระทางสถิติแล้ว: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

- ค่าที่คาดหวังของผลิตภัณฑ์คือผลคูณของค่าที่คาดหวัง^{[ 9 ] : หน้า 10} :

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}Y^{m}]=\operatorname {E} [X^{n}]\operatorname {E} [Y^{m}]}$

- ค่าความแปรปรวน ร่วมเป็นศูนย์: ${\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]=0}$

- ค่าความแปรปรวนของผลรวม คือ ผลรวมของค่าความแปรปรวนต่างๆ:

${\displaystyle \operatorname {V} [X+Y]=\operatorname {V} [X]+\operatorname {V} [Y]+2\operatorname {Cov} [X,Y]=\operatorname {V} [X]+\operatorname {V} [Y]}$

- ความสัมพันธ์เป็นศูนย์:

${\displaystyle \rho _{X,Y}={\dfrac {\operatorname {Cov} [X,Y]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}=0}$

แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง: คุณสมบัติแต่ละข้อนี้ไม่ได้หมายความถึงความเป็นอิสระเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากตัวแปรสุ่มสองตัวมีค่าความแปรปรวนร่วมเป็น 0 ตัวแปรทั้งสองก็อาจยังไม่เป็นอิสระต่อกันก็ได้

ในทำนองเดียวกันสำหรับกระบวนการสุ่มสองกระบวนการและ: ถ้าพวกมันเป็นอิสระต่อกัน พวกมันก็จะไม่มีความสัมพันธ์กัน [ ^{10 ] :หน้า 151} ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$

ตัวแปรสุ่มสองตัวและเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเวกเตอร์สุ่มเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไป นี้${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,Y)}$

${\displaystyle \varphi _{(X,Y)}(t,s)=\varphi _{X}(t)\cdot \varphi _{Y}(s).}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของผลรวมของพวกมันคือผลคูณของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะส่วนขอบของพวกมัน:

${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\cdot \varphi _{Y}(t),}$

แม้ว่าข้อสรุปในทางกลับกันจะไม่เป็นความจริงก็ตาม ตัวแปรสุ่มที่ตรงตามเงื่อนไขหลังนี้เรียกว่าตัวแปรสุ่มย่อยอิสระ

เหตุการณ์ที่ได้เลข 6 ในการทอยลูกเต๋าครั้งแรกและเหตุการณ์ที่ได้เลข 6 ในครั้งที่สองเป็นเหตุการณ์อิสระต่อกันในทางตรงกันข้าม เหตุการณ์ที่ได้เลข 6 ในการทอยลูกเต๋าครั้งแรกและเหตุการณ์ที่ผลรวมของเลขที่ได้จากการทอยครั้งแรกและครั้งที่สองเท่ากับ 8 เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เป็นอิสระต่อกัน

หากสุ่มหยิบไพ่สองใบจากสำรับโดย ใส่คืน การได้ไพ่สีแดงในครั้งแรกและการได้ไพ่สีแดงในครั้งที่สองเป็นเหตุการณ์ อิสระต่อกันในทางตรงกันข้าม หากสุ่มหยิบไพ่สองใบจากสำรับโดยไม่ ใส่คืน การได้ไพ่สีแดงในครั้งแรกและการได้ไพ่สีแดงในครั้งที่สอง ไม่ใช่ เหตุการณ์ อิสระต่อกัน เพราะสำรับไพ่ที่เอาไพ่สีแดงออกไปแล้วจะมีจำนวนไพ่สีแดงเหลือน้อยลงตามสัดส่วน

พิจารณาปริภูมิความน่าจะเป็นสองปริภูมิที่แสดงไว้ ในทั้งสองกรณีและเหตุการณ์ในปริภูมิแรกเป็นอิสระต่อกันเป็นคู่ๆ เนื่องจาก, , และ; แต่เหตุการณ์ทั้งสามไม่เป็นอิสระต่อกัน เหตุการณ์ในปริภูมิที่สองเป็นอิสระต่อกันเป็นคู่ๆ และเป็นอิสระต่อกัน เพื่อแสดงให้เห็นถึงความแตกต่าง ลองพิจารณาเงื่อนไขบนเหตุการณ์สองเหตุการณ์ ในกรณีที่เป็นอิสระต่อกันเป็นคู่ๆ แม้ว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะเป็นอิสระจากอีกสองเหตุการณ์โดยแต่ละเหตุการณ์ แต่ก็ไม่เป็นอิสระจากจุดตัดของอีกสองเหตุการณ์นั้น: ${\displaystyle \mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (B)=1/2}$${\displaystyle \mathrm {P} (C)=1/4}$${\displaystyle \mathrm {P} (A|B)=\mathrm {P} (A|C)=1/2=\mathrm {P} (A)}$${\displaystyle \mathrm {P} (B|A)=\mathrm {P} (B|C)=1/2=\mathrm {P} (B)}$${\displaystyle \mathrm {P} (C|A)=\mathrm {P} (C|B)=1/4=\mathrm {P} (C)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (A|BC)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {1}{40}}}}={\tfrac {4}{5}}\neq \mathrm {P} (A)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (B|AC)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {1}{40}}}}={\tfrac {4}{5}}\neq \mathrm {P} (B)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (C|AB)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {6}{40}}}}={\tfrac {2}{5}}\neq \mathrm {P} (C)}$

อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ทั้งสองสิ่งเป็นอิสระต่อกัน

${\displaystyle \mathrm {P} (A|BC)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}}}={\tfrac {1}{2}}=\mathrm {P} (A)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (B|AC)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}}}={\tfrac {1}{2}}=\mathrm {P} (B)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (C|AB)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {3}{16}}}}={\tfrac {1}{4}}=\mathrm {P} (C)}$

สามารถสร้างตัวอย่างที่มีสามเหตุการณ์ได้ โดยที่

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B\cap C)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\mathrm {P} (C),}$

และถึงกระนั้น เหตุการณ์สองเหตุการณ์จากสามเหตุการณ์ก็ไม่เป็นอิสระต่อกัน (และด้วยเหตุนี้ ชุดของเหตุการณ์จึงไม่เป็นอิสระต่อกัน) ^{[ 11 ]}ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าความเป็นอิสระต่อกันนั้นเกี่ยวข้องกับข้อกำหนดเกี่ยวกับผลคูณของความน่าจะเป็นของการรวมกันของเหตุการณ์ทั้งหมด ไม่ใช่เพียงแค่เหตุการณ์เดียวดังเช่นในตัวอย่างนี้

เหตุการณ์และเป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไข เมื่อกำหนดเหตุการณ์หนึ่งไว้ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B\mid C)=\mathrm {P} (A\mid C)\cdot \mathrm {P} (B\mid C)}$.

โดยสัญชาตญาณแล้ว ตัวแปรสุ่มสองตัวคือและจะเป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขหากเมื่อทราบค่าของ แล้ว ค่าของจะไม่ให้ข้อมูลเพิ่มเติมใดๆ เกี่ยวกับตัวอย่างเช่น การวัดค่าและ สองครั้ง ของปริมาณพื้นฐานเดียวกันนั้นไม่เป็นอิสระต่อกัน แต่จะเป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขเมื่อ กำหนด(เว้นแต่ว่าข้อผิดพลาดในการวัดทั้งสองครั้งจะมีความเชื่อมโยงกัน) ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

นิยามอย่างเป็นทางการของความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขนั้นอิงอยู่กับแนวคิดของการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขถ้า, , และเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเราจะกำหนดให้และเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \mathrm {P} (X\leq x,Y\leq y\;|\;Z=z)=\mathrm {P} (X\leq x\;|\;Z=z)\cdot \mathrm {P} (Y\leq y\;|\;Z=z)}$

สำหรับทุกค่าและที่ในทางกลับกัน ถ้าตัวแปรสุ่มเป็นแบบต่อเนื่องและมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะ เป็นร่วม แล้วและจะเป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนดให้ถ้า ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathrm {P} (Z=z)>0}$${\displaystyle f_{XYZ}(x,y,z)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle f_{XY|Z}(x,y|z)=f_{X|Z}(x|z)\cdot f_{Y|Z}(y|z)}$

สำหรับจำนวนจริงทั้งหมดและที่ ซึ่ง${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f_{Z}(z)>0}$

ถ้าตัวแปรและเป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนดแล้ว ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \mathrm {P} (X=x|Y=y,Z=z)=\mathrm {P} (X=x|Z=z)}$

สำหรับทุกค่าและด้วยนั่นคือ การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขสำหรับเมื่อกำหนดและจะเหมือนกับการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนดเพียงอย่างเดียว สมการที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขในกรณีต่อเนื่องด้วย ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathrm {P} (Z=z)>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

ความเป็นอิสระสามารถมองได้ว่าเป็นความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขชนิดพิเศษ เนื่องจากความน่าจะเป็นสามารถมองได้ว่าเป็นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขชนิดหนึ่ง เมื่อไม่มีเหตุการณ์ใดเกิดขึ้น

ก่อนปี 1933 ความเป็นอิสระในทฤษฎีความน่าจะเป็นถูกกำหนดในเชิงคำพูด ตัวอย่างเช่นเดอ มัวร์ให้คำจำกัดความดังนี้: “เหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน เมื่อไม่มีความเชื่อมโยงกัน และการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่ส่งเสริมหรือขัดขวางการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง” ^{[ 12 ]}หากมีเหตุการณ์อิสระ n เหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหตุการณ์ทั้งหมดเกิดขึ้นจะคำนวณได้จากผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้ง n เหตุการณ์ เห็นได้ชัดว่ามีความเชื่อว่าสูตรนี้เป็นผลมาจากคำจำกัดความข้างต้น (บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทการคูณ) แน่นอนว่าการพิสูจน์ข้อกล่าวอ้างของเขาไม่สามารถทำได้หากปราศจากสมมติฐานโดยปริยายที่เป็นทางการเพิ่มเติม

นิยามของความเป็นอิสระที่ระบุไว้ในบทความนี้ กลายเป็นนิยามมาตรฐาน (ซึ่งปัจจุบันใช้ในหนังสือทุกเล่ม) หลังจากที่ปรากฏในปี 1933 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการวางสัจพจน์ของความน่าจะเป็นของ Kolmogorov ^{[ 13 ]} Kolmogorovระบุว่าเป็นผลงานของSN Bernsteinและอ้างอิงถึงสิ่งพิมพ์ที่ตีพิมพ์เป็นภาษารัสเซียในปี 1927 ^{[ 14 ]}

น่าเสียดายที่ทั้ง Bernstein และ Kolmogorov ไม่ทราบถึงผลงานของGeorg Bohlmann Bohlmann ได้ให้คำจำกัดความเดียวกันสำหรับเหตุการณ์สองเหตุการณ์ในปี พ.ศ. 2444 ^{[ 15 ]}และสำหรับเหตุการณ์ n เหตุการณ์ในปี พ.ศ. 2451 ^{[ 16 ]}ในบทความหลังนี้ เขาได้ศึกษาแนวคิดของเขาอย่างละเอียด ตัวอย่างเช่น เขาได้ยกตัวอย่างแรกที่แสดงให้เห็นว่าความเป็นอิสระแบบคู่ไม่ได้หมายความถึงความเป็นอิสระซึ่งกันและกัน แม้กระทั่งทุกวันนี้ Bohlmann ก็แทบจะไม่ถูกอ้างถึงเลย ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลงานของเขาสามารถพบได้ในOn the contributions of Georg Bohlmann to probability theoryจากde:Ulrich Krengel ^{[ 17 ]}

• โคปูล่า (สถิติ)
• ตัวแปรสุ่มอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน
• การพึ่งพาค่าเฉลี่ย
• การกระจายแบบปกติและไม่มีความสัมพันธ์กันไม่ได้หมายความว่าเป็นอิสระต่อกัน

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับความเป็นอิสระ (ทฤษฎีความน่าจะเป็น)ในวิกิมีเดียคอมมอนส์