ในทางคณิตศาสตร์การประมาณค่าแบบแลนซอส (Lanczos approximation)เป็นวิธีการคำนวณฟังก์ชันแกมมาเชิงตัวเลข ซึ่งเผยแพร่โดยคอร์เนลิอุส แลนซอส ในปี 1964 วิธีนี้เป็นทางเลือกที่ใช้งานได้จริงแทน การประมาณค่าแบบสเตอร์ลิง (Stirling's approximation)ซึ่งเป็นที่นิยมมากกว่าสำหรับการคำนวณฟังก์ชันแกมมาด้วยความแม่นยำคงที่

การประมาณค่าแบบ Lanczos ประกอบด้วยสูตรดังนี้

${\displaystyle \Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi }}{\left(z+g+{\tfrac {1}{2}}\right)}^{z+{\frac {1}{2}}}e^{-\left(z+g+{\frac {1}{2}}\right)}A_{g}(z)}$

สำหรับฟังก์ชันแกมมา โดยมี

${\displaystyle A_{g}(z)={\tfrac {1}{2}}p_{0}(g)+p_{1}(g){\frac {z}{z+1}}+p_{2}(g){\frac {z(z-1)}{(z+1)(z+2)}}+\cdots .}$

ในที่นี้gเป็นค่าคง ที่จริง ที่สามารถเลือกได้ตามอำเภอใจภายใต้ข้อจำกัดที่ว่าRe( z + g + ⁠1/2) > 0 . ^{[ 1 ]}สัมประสิทธิ์ pซึ่งขึ้นอยู่กับ gนั้นคำนวณได้ยากกว่าเล็กน้อย (ดูด้านล่าง) แม้ว่าสูตรที่ระบุไว้ที่นี่จะใช้ได้เฉพาะกับอาร์กิวเมนต์ในระนาบครึ่ง เชิงซ้อนด้านขวาเท่านั้น แต่สามารถขยายไปยัง ระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดได้โดยใช้สูตรการสะท้อน

${\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}.}$

อนุกรมAเป็นอนุกรมลู่เข้าและสามารถตัดทอนเพื่อให้ได้ค่าประมาณที่มีความแม่นยำตามต้องการ โดยการเลือกค่า g ที่เหมาะสม (โดยทั่วไปจะเป็นจำนวนเต็มขนาดเล็ก) จะใช้เพียง 5-10 พจน์ของอนุกรมเท่านั้นในการคำนวณฟังก์ชันแกมมาด้วย ความแม่นยำ แบบจุดลอยตัวเดี่ยวหรือคู่ทั่วไป หากเลือกค่าg คงที่ สัมประสิทธิ์ สามารถคำนวณล่วงหน้าได้ และด้วยการแยกส่วนเศษส่วนผลรวมจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

${\displaystyle A_{g}(z)=c_{0}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {c_{k}}{z+k}}}$

ดังนั้น การคำนวณฟังก์ชันแกมมาจึงกลายเป็นเรื่องของการประเมินฟังก์ชันพื้นฐาน เพียงไม่กี่ฟังก์ชัน และคูณด้วยค่าคงที่ที่จัดเก็บไว้ การประมาณค่าแบบ Lanczos ได้รับความนิยมจากหนังสือ Numerical Recipesซึ่งระบุว่าการคำนวณฟังก์ชันแกมมานั้น "ไม่ได้ยากไปกว่าฟังก์ชันพื้นฐานอื่นๆ ที่เราคุ้นเคยกันดี เช่นsin xหรือe ^x " วิธีนี้ยังถูกนำไปใช้ในGNU Scientific Library , Boost , CPythonและmuslด้วย

ค่าสัมประสิทธิ์กำหนดโดย

${\displaystyle p_{k}(g)={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}\sum _{l=0}^{k}C_{2k+1,\,2l+1}\left(l-{\tfrac {1}{2}}\right)!{\left(l+g+{\tfrac {1}{2}}\right)}^{-\left(l+{\frac {1}{2}}\right)}e^{l+g+{\frac {1}{2}}}}$

โดยที่C _{n , m}แทน องค์ประกอบที่ ( n , m )ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์สำหรับพหุนามเชบิเชฟซึ่งสามารถคำนวณได้แบบเวียนซ้ำจากเอกลักษณ์เหล่านี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1,\,1}&=1\\[5px]C_{2,\,2}&=1\\[5px]C_{n+1,\,1}&=-\,C_{n-1,\,1}&{\text{ สำหรับ }}n&=2,3,4\,\dots \\[5px]C_{n+1,\,n+1}&=2\,C_{n,\,n}&{\text{ สำหรับ }}n&=2,3,4\,\dots \\[5px]C_{n+1,\,m+1}&=2\,C_{n,\,m}-C_{n-1,\,m+1}&{\text{ สำหรับ }}n&>m=1,2,3\,\dots \end{aligned}}}$

Godfrey (2001) อธิบายวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์และค่าของอนุกรมที่ถูกตัดทอน^Aเป็นผลคูณเมทริก ซ์ [ ^{2 ]}

Lanczos ได้สูตรนี้มาจากปริพันธ์ของLeonhard Euler

${\displaystyle \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}\,e^{-t}\,dt,}$

ดำเนินการตามลำดับการจัดการพื้นฐานเพื่อให้ได้มาซึ่ง

${\displaystyle \Gamma (z+1)=\left(z+g+1\right)^{z+1}e^{-(z+g+1)}\int _{0}^{e}{\bigl (}v(1-\log v){\bigr )}^{z}v^{g}\,dv,}$

และการหาอนุกรมสำหรับอินทิกรัล

การใช้งานต่อไปนี้ในภาษาโปรแกรม Pythonใช้ได้กับอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนและโดยทั่วไปจะให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องในทศนิยม 13 ตำแหน่ง โปรดทราบว่าการละเว้นสัมประสิทธิ์ที่เล็กที่สุด (เช่น เพื่อให้ได้ความเร็ว) จะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องอย่างสิ้นเชิง จะต้องคำนวณสัมประสิทธิ์ใหม่ทั้งหมดตั้งแต่เริ่มต้นสำหรับการกระจายที่มีจำนวนพจน์น้อยกว่า

จากcmath นำเข้าsin , sqrt , pi , exp""" สัมประสิทธิ์ที่ใช้ในโค้ดนี้ใช้สำหรับกรณีที่ g = 7 และ n = 9 ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างอื่นๆg = 5 n = 5 p = [  1.0000018972739440364,  76.180082222642137322,  -86.505092037054859197,  24.012898581922685900,  -1.2296028490285820771 ]ก. = 5 n = 7 p = [  1.0000000001900148240,  76.180091729471463483,  -86.505320329416767652,  24.014098240830910490,  -1.2317395724501553875,  0.0012086509738661785061,  -5.3952393849531283785e-6 ]g = 8 n = 12 p = [  0.999999999999999298,  1975.3739023578852322,  -4397.3823927922428918,  3462.6328459862717019,  -1156.9851431631167820,  154.53815050252775060,  -6.2536716123689161798,  0.034642762454736807441,  -7.4776171974442977377e-7,  6.3041253821852264261e-8,  -2.7405717035683877489e-8,  4.0486948817567609101e-9 ] """g = 7 n = 9 p = [ 0.99999999999980993 , 676.5203681218851 , - 1259.1392167224028 , 771.32342877765313 , - 176.61502916214059 , 12.507343278686905 , - 0.13857109526572012 , 9.9843695780195716e-6 , 1.5056327351493116e-7 ]EPSILON = 1e-07 def drop_imag ( z ): if abs ( z . imag ) <= EPSILON : z = z . real return zdef gamma ( z ): z = complex ( z ) if z . real < 0.5 : y = pi / ( sin ( pi * z ) * gamma ( 1 - z )) # สูตรการสะท้อนelse : z -= 1 x = p [ 0 ] for i in range ( 1 , len ( p )): x += p [ i ] / ( z + i ) t = z + g + 0.5 y = sqrt ( 2 * pi ) * t ** ( z + 0.5 ) * exp ( - t ) * x return drop_imag ( y ) """ การใช้การสะท้อนข้างต้น (ดังนั้นโครงสร้าง if-else) เป็นสิ่งจำเป็น แม้ว่ามันอาจดูแปลก ๆ ก็ตาม เนื่องจากมันช่วยให้สามารถขยายการประมาณค่าไปยังค่าของ z ที่Re(z) < 0.5 ซึ่งวิธีการของ Lanczos ไม่ถูกต้อง"""พิมพ์( แกมมา( 1 )) พิมพ์( แกมมา( 5 )) พิมพ์( แกมมา( 0.5 ))

• การประมาณค่าของสเตอร์ลิง
• การประมาณค่าของสปูจ