ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง พหุนามเบลล์ซึ่งตั้งชื่อตามเอริค เทมเพิล เบลล์ถูกนำมาใช้ในการศึกษาการแบ่งเซต พหุนามเหล่านี้มีความเกี่ยวข้องกับ จำนวน สเตอร์ลิงและจำนวนเบลล์นอกจากนี้ยังปรากฏในงานประยุกต์หลายอย่าง เช่น ในสูตรของฟาอา ดิ บรูโนและสูตรที่ชัดเจนสำหรับการผกผันของลากรางจ์

พหุนามเบลล์แบบเลขชี้กำลัง บางส่วนหรือไม่สมบูรณ์คืออาร์เรย์สามเหลี่ยมของพหุนามที่กำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})&=\sum {n! \begin{aligned}}} \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}\\&=n!\sum \prod _{i=1}^{n-k+1}{\frac {x_{i}^{j_{i}}}{(i!)^{j_{i}}j_{i}!}},\end{aligned}}}$

โดยผลรวมจะคำนวณจากลำดับทั้งหมดj ₁ , j ₂ , j ₃ , ..., j _{n − k +1}ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

ผลรวม

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\sum _{k=0}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\\&=n!\sum _{1j_{1}+2j_{2}+\ldots =n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{j_{i}}}{(i!)^{j_{i}}j_{i}!}}\end{aligned}}}$

เรียกว่า พหุนามเบลล์ เลขชี้กำลัง สมบูรณ์ลำดับ^ที่n

ในทำนองเดียวกัน พหุนามเบลล์ ธรรมดาบางส่วนถูกกำหนดโดย

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}$

โดยผลรวมจะครอบคลุมลำดับทั้งหมดj ₁ , j ₂ , j ₃ , ..., j _{n − k +1}ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ โดยที่

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

เนื่องจากเงื่อนไขแรกเกี่ยวกับดัชนี เราจึงสามารถเขียนสูตรใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\binom {k}{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n-k+1}}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}$

โดยที่เราได้ใช้สัมประสิทธิ์พหุนาม

พหุนามเบลล์ธรรมดาสามารถแสดงได้ในรูปของพหุนามเบลล์เลขชี้กำลัง:

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})={\frac {k!}{n!}}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots ,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).}$

โดยทั่วไป พหุนามเบลล์ หมายถึง พหุนามเบลล์แบบเลขชี้กำลัง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นโดยชัดเจน

พหุนามเบลล์แบบเลขชี้กำลังเข้ารหัสข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับวิธีการแบ่งเซตออกเป็นส่วนๆ ตัวอย่างเช่น หากเราพิจารณาเซต {A, B, C} เซตนี้สามารถแบ่งออกเป็นสองเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าและไม่ทับซ้อนกัน ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าส่วนหรือบล็อก ใน 3 วิธีที่แตกต่างกัน:

{{A}, {B, C}}

{{B}, {A, C}}

{{C}, {B, A}}

ดังนั้น เราจึงสามารถเข้ารหัสข้อมูลเกี่ยวกับพาร์ติชันเหล่านี้ได้ดังนี้

${\displaystyle B_{3,2}(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}.}$

ในที่นี้ ตัวเลขห้อยของB _3,2บอกเราว่าเรากำลังพิจารณาการแบ่งเซตที่มี 3 องค์ประกอบออกเป็น 2 บล็อก ตัวเลขห้อยของx _i แต่ละตัว บ่งชี้ถึงการมีอยู่ของบล็อกที่มีiองค์ประกอบ (หรือบล็อกขนาดi ) ในการแบ่งที่กำหนด ดังนั้นในที่นี้x ₂บ่งชี้ถึงการมีอยู่ของบล็อกที่มีสององค์ประกอบ ในทำนองเดียวกันx ₁บ่งชี้ถึงการมีอยู่ของบล็อกที่มีองค์ประกอบเดียว เลขชี้กำลังของx _i ^jบ่งชี้ว่ามีjบล็อกขนาดi ดังกล่าว ในการแบ่งเดียว ในที่นี้ ข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งx ₁และx ₂มีเลขชี้กำลังเป็น 1 บ่งชี้ว่ามีเพียงหนึ่งบล็อกดังกล่าวในการแบ่งที่กำหนด สัมประสิทธิ์ของเอกนามบ่งชี้ว่ามีการแบ่งดังกล่าวอยู่กี่แบบ ในที่นี้ มีการแบ่งเซตที่มี 3 องค์ประกอบออกเป็น 2 บล็อก จำนวน 3 แบบ โดยในแต่ละการแบ่ง องค์ประกอบจะถูกแบ่งออกเป็นสองบล็อกขนาด 1 และ 2

เนื่องจากเซตใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นบล็อกเดียวได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น การตีความข้างต้นจึงหมายความว่าB _{n ,1} = x _nในทำนองเดียวกัน เนื่องจากมีเพียงวิธีเดียวเท่านั้นที่เซตที่มี สมาชิก nตัวจะถูกแบ่งออกเป็นnบล็อกเดี่ยวๆดังนั้น B _{n , n} = x ₁ ⁿ

เพื่อเป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้น ลองพิจารณาดู

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}.}$

นี่แสดงให้เห็นว่า ถ้าเซตที่มี 6 สมาชิกถูกแบ่งออกเป็น 2 บล็อก เราจะได้พาร์ติชัน 6 พาร์ติชันที่มีขนาดบล็อก 1 และ 5, พาร์ติชัน 15 พาร์ติชันที่มีขนาดบล็อก 4 และ 2 และพาร์ติชัน 10 พาร์ติชันที่มี 2 บล็อกขนาด 3

ผลรวมของดัชนีในเอกนามเท่ากับจำนวนองค์ประกอบทั้งหมด ดังนั้น จำนวนเอกนามที่ปรากฏในพหุนามเบลล์แบบบางส่วนจึงเท่ากับจำนวนวิธีที่จำนวนเต็มn สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก k ตัว ซึ่งก็เหมือนกับการแบ่งจำนวนเต็ม n ออกเป็นkส่วนตัวอย่างเช่นในตัวอย่างข้างต้น จำนวนเต็ม 3 สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนได้คือ 2+1 เท่านั้น ดังนั้นจึงมีเอกนามเพียงหนึ่งเดียวในB _3,2อย่างไรก็ตาม จำนวนเต็ม 6 สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนได้คือ 5+1, 4+2 และ 3+3 ดังนั้นจึงมีเอกนามสามตัวในB _6,2ที่จริงแล้ว ดัชนีของตัวแปรในเอกนามจะเหมือนกับดัชนีที่กำหนดโดยการแบ่งจำนวนเต็ม ซึ่งบ่งบอกถึงขนาดของบล็อกต่างๆ ดังนั้น จำนวนเอกนามทั้งหมดที่ปรากฏในพหุนามเบลล์สมบูรณ์B _nจึงเท่ากับจำนวนการแบ่งส่วนจำนวนเต็มทั้งหมด  ของ n

นอกจากนี้ ดีกรีของเอกนามแต่ละตัว ซึ่งเป็นผลรวมของเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวในเอกนามนั้น จะเท่ากับจำนวนบล็อกที่เซตถูกแบ่งออก นั่นคือj ₁ + j ₂ + ... = kดังนั้น เมื่อกำหนดพหุนามเบลล์สมบูรณ์B _nเราสามารถแยกพหุนามเบลล์บางส่วนB _n,k ได้โดยการรวบรวมเอกนามทั้งหมดที่ มี ดีกรีk

สุดท้ายนี้ หากเราไม่คำนึงถึงขนาดของบล็อกและกำหนดให้x _i = x ทั้งหมด ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพหุนามเบลล์แบบบางส่วนB _{n , k}จะให้จำนวนวิธีทั้งหมดที่เซตที่มี สมาชิก nตัวสามารถแบ่งออกเป็นkบล็อก ซึ่งก็คือจำนวนสเตอร์ลิงชนิดที่สองนั่นเอง นอกจากนี้ ผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามเบลล์แบบสมบูรณ์B _nจะให้จำนวนวิธีทั้งหมดที่เซตที่มี สมาชิก nตัวสามารถแบ่งออกเป็นเซตย่อยที่ไม่ทับซ้อนกัน ซึ่งก็คือจำนวนเบลล์นั่นเอง

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าจำนวนเต็มnถูกแบ่งออกเป็นผลรวมที่ "1" ปรากฏj _{ครั้ง} , "2" ปรากฏj _{ครั้ง}และอื่นๆ ต่อไป จำนวนการแบ่งส่วนของเซตขนาดnที่ยุบตัวลงเหลือการแบ่งส่วนของจำนวนเต็มn นั้น เมื่อสมาชิกของเซตไม่สามารถแยกแยะได้อีกต่อไป จะเป็นสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันในพหุนามนั้น

ตัวอย่างเช่น เรามี

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}$

เนื่องจากวิธีการแบ่งเซตที่มี 6 องค์ประกอบออกเป็น 2 บล็อกมีดังนี้

6 วิธีในการแบ่งเซตที่มี 6 จำนวน ออกเป็น 5 + 1

15 วิธีในการแบ่งเซตที่มี 6 จำนวน ออกเป็น 4 + 2 และ

10 วิธีในการแบ่งเซตที่มี 6 จำนวน ออกเป็น 3 + 3

ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}$

เนื่องจากวิธีการแบ่งเซตที่มี 6 องค์ประกอบออกเป็น 3 บล็อกมีดังนี้

15 วิธีในการแบ่งเซตที่มี 6 จำนวน ออกเป็น 4 + 1 + 1

60 วิธีในการแบ่งเซตที่มี 6 จำนวน ออกเป็น 3 + 2 + 1 และ

15 วิธีในการแบ่งเซตที่มี 6 จำนวน ออกเป็น 2 + 2 + 2

ด้านล่างนี้คืออาร์เรย์รูปสามเหลี่ยมของพหุนามเบลล์ที่ไม่สมบูรณ์: ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

เค n	0	1	2	3	4	5	6
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{1}}$
2	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{2}}$
3	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{3}}$	${\displaystyle 3x_{1}x_{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}}$
4	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{4}}$	${\displaystyle 3x_{2}^{2}+4x_{1}x_{3}}$	${\displaystyle 6x_{1}^{2}x_{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{4}}$
5	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{5}}$	${\displaystyle 10x_{2}x_{3}+5x_{1}x_{4}}$	${\displaystyle 15x_{1}x_{2}^{2}+10x_{1}^{2}x_{3}}$	${\displaystyle 10x_{1}^{3}x_{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{5}}$
6	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{6}}$	${\displaystyle 10x_{3}^{2}+15x_{2}x_{4}+6x_{1}x_{5}}$	${\displaystyle 15x_{2}^{3}+60x_{1}x_{2}x_{3}+15x_{1}^{2}x_{4}}$	${\displaystyle 45x_{1}^{2}x_{2}^{2}+20x_{1}^{3}x_{3}}$	${\displaystyle 15x_{1}^{4}x_{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{6}}$

พหุนามเบลล์ส่วนเลขชี้กำลังมีฟังก์ชันก่อกำเนิด แบบสองตัวแปรดังต่อไปนี้ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (t,u)&=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}}u^{k}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}u^{k}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ โดยสิ่งที่เทียบเท่ากัน โดยการกระจายอนุกรมยก กำลัง k :

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}},\qquad k=0,1,2,\ldots }$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับพหุนามเบลล์เลขชี้กำลังนั้นกำหนดโดย ${\displaystyle \Phi (t,1)}$

${\displaystyle \Phi (t,1)=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับ พหุนามเบลล์บางส่วน ธรรมดาคือ

${\displaystyle {\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k!}}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อนำค่าสัมประสิทธิ์ของมา เราจะได้ว่า: ${\displaystyle u^{k}}$

${\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}.}$

ดูเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแปลงฟังก์ชันก่อกำเนิด สำหรับ การขยายฟังก์ชันก่อกำเนิดพหุนามเบลล์ของการประกอบฟังก์ชันก่อกำเนิด ลำดับ และกำลังลอการิทึมและเลขชี้กำลังของฟังก์ชันก่อกำเนิดลำดับ สูตรเหล่านี้แต่ละสูตรมีการอ้างอิงในส่วนที่เกี่ยวข้องของ Comtet ^{[ 1 ]}

พหุนามเบลล์แบบสมบูรณ์เป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้:

${\displaystyle B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})x_{i+1}}$

โดยมีค่าเริ่มต้น ${\displaystyle B_{0}=1}$

นอกจากนี้ ยังสามารถคำนวณพหุนามเบลล์บางส่วนได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด:

${\displaystyle B_{n+1,k+1}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n}{i}}x_{i+1}B_{n-i,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k-i+1})}$

ที่ไหน

${\displaystyle B_{0,0}=1;}$

${\displaystyle B_{n,0}=0{\text{ for }}n\geq 1;}$

${\displaystyle B_{0,k}=0{\text{ for }}k\geq 1.}$

นอกจากนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle B_{n,k_{1}+k_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k_{1}-k_{2}+1})={\frac {k_{1}!\,k_{2}!}{(k_{1}+k_{2})!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}B_{i,k_{1}}(x_{1},\ldots ,x_{i-k_{1}+1})B_{n-i,k_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k_{2}+1}).}$

เมื่อไร, ${\displaystyle 1\leq a<n}$

${\displaystyle B_{n,n-a}(x_{1},\ldots ,x_{a+1})=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a!}}{\binom {n}{j}}x_{1}^{n-j}B_{a,j-a}{\Bigl (}{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.}$

พหุนามเบลล์ที่สมบูรณ์ยังสอดคล้องกับสูตรอนุพันธ์เวียนเกิดต่อไปนี้ด้วย: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n-1}}\left[\sum _{i=2}^{n}\right.&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}}{\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{i-j}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{aligned}}}$

อนุพันธ์ย่อยของพหุนามเบลล์ที่สมบูรณ์จะได้รับจาก^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\binom {n}{i}}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i}).}$

ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ย่อยของพหุนามเบลล์ย่อยจะได้รับโดย

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n,k}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})={\binom {n}{i}}B_{n-i,k-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k+2}).}$

ถ้าตัวแปรในพหุนามเบลล์เป็นฟังก์ชันหนึ่งมิติสามารถใช้ กฎลูกโซ่ เพื่อหาค่าได้

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(B_{n,k}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-k+1}(x))\right)=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n}{i}}a_{i}'(x)B_{n-i,k-1}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-i-k+2}(x)).}$

ค่าของพหุนามเบลล์B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...) บนลำดับของแฟกทอเรียลเท่ากับจำนวนสเตอร์ลิงแบบไม่มีเครื่องหมายชนิดแรก :

${\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)|=\left[{n \atop k}\right].}$

ผลรวมของค่าเหล่านี้จะให้ค่าของพหุนามเบลล์แบบสมบูรณ์บนลำดับของแฟกทอเรียล:

${\displaystyle B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=\sum _{k=1}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!.}$

ค่าของพหุนามเบลล์B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...) บนลำดับของเลขหนึ่งเท่ากับจำนวนสเตอร์ลิงชนิดที่สอง :

${\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.}$

ผลรวมของค่าเหล่านี้จะให้ค่าของพหุนามเบลล์แบบสมบูรณ์บนลำดับของเลขหนึ่ง:

${\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\},}$

ซึ่งเป็นเลขเบลล์ลำดับ ที่n

${\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\ldots ,(n-k+1)!)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=L(n,k)}$

ซึ่งให้ค่าเลขลาห์

พหุนาม Touchard สามารถแสดงได้ในรูปของค่าพหุนาม Bell สมบูรณ์บนตัวแปรx ทั้งหมด : ${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\cdot x^{k}}$

${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}$

ถ้าเรากำหนด

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}),}$

ดังนั้นเราจึงมีความสัมพันธ์แบบผกผัน

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

โดยทั่วไป^{[ 5 ] [ 6 ]}เมื่อกำหนดฟังก์ชันบางอย่างที่ยอมรับอินเวอร์ส${\displaystyle f}$${\displaystyle g=f^{-1}}$

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(a)\,B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})\quad \Leftrightarrow \quad x_{n}=\sum _{k=0}^{n}g^{(k)}{\big (}f(a){\big )}\,B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

พหุนามเบลล์แบบสมบูรณ์สามารถแสดงได้ในรูปของดีเทอร์มิแนนต์ :

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}}$

และ

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&{\frac {x_{4}}{3!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n}}{(n-1)!}}\\\\-1&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-1}}{(n-2)!}}\\\\0&-2&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-2}}{(n-3)!}}\\\\0&0&-3&{\frac {x_{1}}{0!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-3}}{(n-4)!}}\\\\0&0&0&-4&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-4}}{(n-5)!}}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-(n-1)&{\frac {x_{1}}{0!}}\end{bmatrix}}.}$

สำหรับลำดับx _n , y _n , n = 1, 2, ... ให้กำหนดคอนโวลูชันโดย:

${\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}$

ขอบเขตของการหาผลรวมคือ 1 และn −  1 ไม่ใช่ 0 และn

ให้เป็นพจน์ที่nของลำดับ ${\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }\,}$

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {x{\mathbin {\diamondsuit }}\cdots {\mathbin {\diamondsuit }}x} _{k{\text{ factors}}}.\,}$

จากนั้น^{[ 2 ]}

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}$

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณดูเรามี ${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.}$

• ${\displaystyle B_{n,k}(1,2,3,\ldots ,n-k+1)={\binom {n}{k}}k^{n-k}}$ซึ่งให้จำนวนเอกลักษณ์ (idempotent number )
• ${\displaystyle B_{n,k}(\alpha \beta x_{1},\alpha \beta ^{2}x_{2},\ldots ,\alpha \beta ^{n-k+1}x_{n-k+1})=\alpha ^{k}\beta ^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})}$.
• พหุนามเบลล์แบบสมบูรณ์เป็นไปตามความสัมพันธ์แบบทวินาม:

  ${\displaystyle B_{n}(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})B_{i}(y_{1},\ldots ,y_{i}),}$

  ${\displaystyle B_{n,k}{\Bigl (}{\frac {x_{q+1}}{\binom {q+1}{q}}},{\frac {x_{q+2}}{\binom {q+2}{q}}},\ldots {\Bigr )}={\frac {n!(q!)^{k}}{(n+qk)!}}B_{n+qk,k}(\ldots ,0,0,x_{q+1},x_{q+2},\ldots ).}$

สิ่งนี้แก้ไขการละเว้นปัจจัยในหนังสือของ Comtet ^{[ 7 ]}${\displaystyle (q!)^{k}}$

• กรณีพิเศษของพหุนามเบลล์บางส่วน:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,1}(x_{1},\ldots ,x_{n})={}&x_{n}\\B_{n,2}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})={}&{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x_{k}x_{n-k}\\B_{n,n}(x_{1})={}&x_{1}^{n}\\B_{n,n-1}(x_{1},x_{2})={}&{\binom {n}{2}}x_{1}^{n-2}x_{2}\\B_{n,n-2}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&{\binom {n}{3}}x_{1}^{n-3}x_{3}+3{\binom {n}{4}}x_{1}^{n-4}x_{2}^{2}\\B_{n,n-3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&{\binom {n}{4}}x_{1}^{n-4}x_{4}+10{\binom {n}{5}}x_{1}^{n-5}x_{2}x_{3}+15{\binom {n}{6}}x_{1}^{n-6}x_{2}^{3}\\B_{n,n-4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&{\binom {n}{5}}x_{1}^{n-5}x_{5}+5{\binom {n}{6}}x_{1}^{n-6}(3x_{2}x_{4}+2x_{3}^{2})+105{\binom {n}{7}}x_{1}^{n-7}x_{2}^{2}x_{3}\\&+105{\binom {n}{8}}x_{1}^{n-8}x_{2}^{4}.\end{aligned}}}$

พหุนามเบลล์ที่สมบูรณ์ชุดแรกๆ มีดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}={}&1,\\[8pt]B_{1}(x_{1})={}&x_{1},\\[8pt]B_{2}(x_{1},x_{2})={}&x_{1}^{2}+x_{2},\\[8pt]B_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3},\\[8pt]B_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&x_{1}^{4}+6x_{1}^{2}x_{2}+4x_{1}x_{3}+3x_{2}^{2}+x_{4},\\[8pt]B_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&x_{1}^{5}+10x_{2}x_{1}^{3}+15x_{2}^{2}x_{1}+10x_{3}x_{1}^{2}+10x_{3}x_{2}+5x_{4}x_{1}+x_{5}\\[8pt]B_{6}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})={}&x_{1}^{6}+15x_{2}x_{1}^{4}+20x_{3}x_{1}^{3}+45x_{2}^{2}x_{1}^{2}+15x_{2}^{3}+60x_{3}x_{2}x_{1}\\&{}+15x_{4}x_{1}^{2}+10x_{3}^{2}+15x_{4}x_{2}+6x_{5}x_{1}+x_{6},\\[8pt]B_{7}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})={}&x_{1}^{7}+21x_{1}^{5}x_{2}+35x_{1}^{4}x_{3}+105x_{1}^{3}x_{2}^{2}+35x_{1}^{3}x_{4}\\&{}+210x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+105x_{1}x_{2}^{3}+21x_{1}^{2}x_{5}+105x_{1}x_{2}x_{4}\\&{}+70x_{1}x_{3}^{2}+105x_{2}^{2}x_{3}+7x_{1}x_{6}+21x_{2}x_{5}+35x_{3}x_{4}+x_{7}.\end{aligned}}}$

สูตรของ Faà di Brunoสามารถเขียนในรูปของพหุนามเบลล์ได้ดังนี้:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

ในทำนองเดียวกัน สูตรของ Faà di Bruno ในรูปแบบอนุกรมกำลังสามารถเขียนได้โดยใช้พหุนามเบลล์ดังต่อไปนี้ สมมติว่า

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad {\text{and}}\qquad g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}.}$

แล้ว

${\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sum _{k=0}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พหุนามเบลล์แบบสมบูรณ์จะปรากฏในเลขชี้กำลังของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม :

${\displaystyle \exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }{a_{i} \over i!}x^{i}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},}$

ซึ่งแสดงถึงฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังของพหุนามเบลล์ที่สมบูรณ์บนลำดับอาร์กิวเมนต์ที่กำหนดไว้ด้วย ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$

ให้ฟังก์ชันสองฟังก์ชันfและgแสดงอยู่ในรูปอนุกรมกำลัง อย่างเป็นทางการ ดังนี้

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},}$

โดยที่gเป็นตัวผกผันเชิงองค์ประกอบของfที่กำหนดโดยg ( f ( w )) = wหรือf ( g ( z )) = zถ้าf ₀ = 0 และf ₁ ≠ 0 แล้วรูปแบบที่ชัดเจนของสัมประสิทธิ์ของตัวผกผันสามารถกำหนดได้ในรูปของพหุนามเบลล์ดังนี้^{[ 8 ]}

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\bar {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\qquad n\geq 2,}$

โดยที่และเป็นแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้นและ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},}$${\displaystyle n^{\bar {k}}=n(n+1)\cdots (n+k-1)}$${\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}}.}$

พิจารณาอินทิกรัลในรูปแบบ

${\displaystyle I(\lambda )=\int _{a}^{b}e^{-\lambda f(x)}g(x)\,\mathrm {d} x,}$

โดยที่ ( a , b ) เป็นช่วงจริง (จำกัดหรืออนันต์) λ เป็นพารามิเตอร์บวกขนาดใหญ่ และฟังก์ชันfและgเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ให้fมีค่าต่ำสุดเพียงค่าเดียวใน [ a , b ] ซึ่งเกิดขึ้นที่x  =  aสมมติ ว่าเมื่อx  →  a ⁺

${\displaystyle f(x)\sim f(a)+\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-a)^{k+\alpha },}$

${\displaystyle g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(x-a)^{k+\beta -1},}$

โดยที่α > 0, Re( β ) > 0 และการขยายของfสามารถหาอนุพันธ์ได้ทีละพจน์ จากนั้น ทฤษฎีบทลาปลาส-เออร์เดลยีกล่าวว่าการขยายเชิงอะซิมโทติกของปริพันธ์I ( λ ) กำหนดโดย

${\displaystyle I(\lambda )\sim e^{-\lambda f(a)}\sum _{n=0}^{\infty }\Gamma {\Big (}{\frac {n+\beta }{\alpha }}{\Big )}{\frac {c_{n}}{\lambda ^{(n+\beta )/\alpha }}}\qquad {\text{as}}\quad \lambda \rightarrow \infty ,}$

โดยที่สัมประสิทธิ์c _nสามารถแสดงได้ในรูปของa _nและb _nโดยใช้ พหุนามเบลล์ ธรรมดา บางส่วน ตามที่กำหนดโดยสูตรของแคมป์เบลล์-โฟรแมน-วอลเลส-วอยดีโล:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{\alpha a_{0}^{(n+\beta )/\alpha }}}\sum _{k=0}^{n}b_{n-k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {-{\frac {n+\beta }{\alpha }}}{j}}{\frac {1}{a_{0}^{j}}}{\hat {B}}_{k,j}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k-j+1}).}$

พหุนามสมมาตรพื้นฐาน และพหุนามสมมาตรผลรวมกำลังสามารถเชื่อมโยงกันได้โดยใช้พหุนามเบลล์ดังนี้: ${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&={\frac {1}{n!}}\;B_{n}(p_{1},-1!p_{2},2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!p_{n})\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\;B_{n}(-p_{1},-1!p_{2},-2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,-(n-1)!p_{n}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!\;B_{n,k}(e_{1},2!e_{2},3!e_{3},\ldots ,(n-k+1)!e_{n-k+1})\\&=(-1)^{n}\;n\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\;{\hat {B}}_{n,k}(-e_{1},\dots ,-e_{n-k+1}).\end{aligned}}}$