ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง (Combinatorial Mathematical ) จำนวนเบลล์ (Bell numbers)นับจำนวนการแบ่งเซต ที่เป็นไปได้ จำนวนเหล่านี้ได้รับการศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่ศตวรรษที่ 19 และมีรากฐานมาจากญี่ปุ่นในยุคกลาง ตัวอย่างหนึ่งของกฎการตั้งชื่อตามบุคคลของสติกล์เลอร์ (Stigler's law of eponymy) คือ จำนวน เหล่านี้ได้รับการตั้งชื่อตามเอริค เทมเปิล เบลล์ (Eric Temple Bell ) ผู้เขียนเกี่ยวกับจำนวนเหล่านี้ในทศวรรษ 1930

เลขเบลล์ (Bell numbers) ใช้สัญลักษณ์โดยที่เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เริ่มจากเลขเบลล์แรกๆ ได้แก่ ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B_{0}=B_{1}=1}$

${\displaystyle 1,1,2,5,15,52,203,877,4140,\dots }$(ลำดับA000110ในOEIS )

จำนวนเบลล์นับจำนวนวิธีที่แตกต่างกันในการแบ่งเซตที่มีองค์ประกอบจำนวนหนึ่ง หรือเทียบเท่ากับความสัมพันธ์สมมูลบนเซตนั้นนอกจากนี้ยังนับรูปแบบสัมผัส ที่แตกต่างกัน สำหรับบทกวีที่มีบรรทัดจำนวนหนึ่ง^{[ 1 ]}${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$

นอกจากจะปรากฏในโจทย์การนับแล้ว ตัวเลขเหล่านี้ยังมีการตีความที่แตกต่างออกไป นั่นคือ เป็นโมเมนต์ของการแจกแจงความน่าจะเป็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือโมเมนต์ลำดับที่ ของการแจกแจงปัวซงที่มีค่าเฉลี่ย 1 ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$

โดยทั่วไปแล้วจำนวนพาร์ติชันของเซตขนาดn คือจำนวนพาร์ติชันที่แบ่งเซตออกเป็นกลุ่มของเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าและไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆ ซึ่งผลรวมของเซตย่อยเหล่านั้นคือ n = n ตัวอย่างเช่นเนื่องจากเซต n ที่มี 3 สมาชิกสามารถแบ่งได้ 5 วิธีที่แตกต่างกัน: ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle B_{3}=5}$${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle \{\{a\},\{b\},\{c\}\},}$

${\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\},}$

${\displaystyle \{\{b\},\{a,c\}\},}$

${\displaystyle \{\{c\},\{a,b\}\},}$

${\displaystyle \{\{a,b,c\}\}.}$

ตามที่สัญลักษณ์เซตข้างต้นแนะนำไว้ ลำดับของเซตย่อยภายในตระกูลจะไม่ถูกนำมาพิจารณาการแบ่งส่วนที่เรียงลำดับจะถูกนับโดยลำดับตัวเลขที่แตกต่างกัน ซึ่งก็คือจำนวนเบลล์ที่เรียงลำดับ มีค่าเป็น1 เพราะมีการแบ่งส่วนของเซตว่าง เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น การแบ่งส่วนนี้เองก็คือเซตว่าง สามารถตีความได้ว่าเป็นตระกูลของเซตย่อยของเซตว่าง ซึ่งประกอบด้วยเซตย่อยศูนย์เซต เป็นความจริงโดยปริยายว่าเซตย่อยทั้งหมดในตระกูลนี้เป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างของเซตว่าง และเป็นเซตย่อยที่ไม่ซ้ำกันเป็นคู่ๆ ของเซตว่าง เพราะไม่มีเซตย่อยใดที่มีคุณสมบัติที่ไม่น่าจะเป็นไปได้เหล่านี้ ${\displaystyle B_{0}}$

การแบ่งส่วนของเซตจะสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับความสัมพันธ์สมมูล ความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นความสัมพันธ์ทวิภาคที่สะท้อนสมมาตรและถ่ายทอด ความสัมพันธ์สมมูลที่สอดคล้องกับการแบ่งส่วนจะกำหนดว่าองค์ประกอบสองตัว นั้นสมมูลกันเมื่อพวกมันอยู่ในเซตย่อยของการแบ่งส่วนเดียวกัน ในทางกลับกัน ความสัมพันธ์สมมูลทุกความสัมพันธ์จะสอดคล้องกับการแบ่งส่วนเป็นชั้นสมมูล^{[ 2 ]}ดังนั้น จำนวนเบลล์จึงนับความสัมพันธ์สมมูลด้วย

ถ้าจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มี ตัวประกอบกำลังสอง หมายความว่าจำนวนนั้นเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน จำนวนหนึ่ง จะให้จำนวนการแบ่งส่วนการคูณ ที่แตกต่างกัน ของเหล่านี้คือการแยกตัวประกอบของเป็นจำนวนที่มากกว่าหนึ่ง โดยถือว่าการแยกตัวประกอบสองแบบเหมือนกันหากมีตัวประกอบเดียวกันในลำดับที่ต่างกัน^{[ 3 ]}ตัวอย่างเช่น 30 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสามจำนวนคือ 2, 3 และ 5 และมีการแยกตัวประกอบ = 5 แบบ: ${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B_{3}}$

${\displaystyle 30=2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5}$

ตัวเลขของเบลล์ยังนับแผนผังสัมผัสของบทกวีหรือบทที่ มี nบรรทัดด้วยแผนผังสัมผัสอธิบายว่าบรรทัดใดสัมผัสกัน และอาจตีความได้ว่าเป็นการแบ่งชุดของบรรทัดออกเป็นกลุ่มย่อยที่สัมผัสกัน แผนผังสัมผัสมักจะเขียนเป็นลำดับของตัวอักษรโรมัน หนึ่งตัวต่อบรรทัด โดยบรรทัดที่สัมผัสกันจะได้รับตัวอักษรเดียวกัน และบรรทัดแรกในแต่ละชุดที่สัมผัสกันจะถูกกำกับตามลำดับตัวอักษร ดังนั้น แผนผังสัมผัสสี่บรรทัดที่เป็นไปได้ 15 แบบ ได้แก่ AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC, ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC และ ABCD ^{[ 1 ]}

จำนวนเบลล์ปรากฏขึ้นใน ปัญหา การสับ ไพ่ ที่กล่าวถึงในภาคผนวกของGardner ปี 1978หากไพ่สำรับหนึ่งที่มีnใบถูกสับโดยการนำไพ่ใบบนสุดออกซ้ำๆ แล้วใส่กลับเข้าไปในตำแหน่งใดก็ได้ในสำรับ (รวมถึงตำแหน่งเดิมที่ด้านบนสุดของสำรับ) โดยทำซ้ำการกระทำนี้n ครั้งพอดี จะมีวิธีการสับไพ่ที่แตกต่างกัน n ^ⁿ วิธี ในจำนวนนี้ จำนวนวิธีที่ทำให้สำรับไพ่กลับมาอยู่ในลำดับเดิมคือB ^_n ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่สำรับไพ่จะอยู่ในลำดับเดิมหลังจากสับด้วยวิธีนี้คือB _ⁿ / n^ⁿซึ่งมากกว่าความน่าจะเป็น 1/ n ! ที่จะอธิบายถึงการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอของสำรับไพ่มาก

ปัญหาอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับการสับไพ่ ได้แก่ การนับการเรียง สับเปลี่ยนชนิดพิเศษต่างๆซึ่งได้รับการตอบโดยตัวเลขเบลล์เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ตัวเลขเบลล์ลำดับที่ nเท่ากับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนบน รายการ nรายการ ซึ่งไม่มีค่าสามค่าใดๆ ที่เรียงลำดับแล้วมีสองค่าสุดท้ายในสามค่านั้นติดกัน ในสัญกรณ์สำหรับรูปแบบการเรียงสับเปลี่ยน ทั่วไป ที่ค่าที่ต้องติดกันจะเขียนไว้ติดกัน และค่าที่สามารถปรากฏไม่ติดกันจะคั่นด้วยเครื่องหมายขีด การเรียงสับเปลี่ยนเหล่านี้สามารถอธิบายได้ว่าเป็นการเรียงสับเปลี่ยนที่หลีกเลี่ยงรูปแบบ 1-23 การเรียงสับเปลี่ยนที่หลีกเลี่ยงรูปแบบทั่วไป 12-3, 32-1, 3-21, 1-32, 3-12, 21-3 และ 23-1 ก็ได้รับการนับโดยตัวเลขเบลล์เช่นกัน^{[ 4 ]}การเรียงสับเปลี่ยนที่ทุกรูปแบบ 321 (โดยไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับค่าที่ติดกัน) สามารถขยายไปเป็นรูปแบบ 3241 ได้ ก็ได้รับการนับโดยตัวเลขเบลล์เช่นกัน^{[ 5 ]}อย่างไรก็ตาม จำนวนเบลล์เติบโตเร็วเกินไปที่จะนับการเรียงสับเปลี่ยนที่หลีกเลี่ยงรูปแบบที่ไม่ได้รับการสรุปทั่วไปในลักษณะนี้: ตามสมมติฐานของสแตนลีย์-วิลฟ์ (ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้ว) จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนดังกล่าวเป็นแบบเลขชี้กำลังเดี่ยว และจำนวนเบลล์มีอัตราการเติบโตแบบอสิมโทติกที่สูงกว่านั้น

สามารถคำนวณตัวเลขเบลล์ได้อย่างง่ายดายโดยการสร้างสิ่งที่เรียกว่าสามเหลี่ยมเบล ล์ หรือเรียกอีกอย่างว่าอาร์เรย์ของไอท์เคนหรือสามเหลี่ยมเพียร์ซตามชื่อของอเล็กซานเดอร์ ไอท์เคนและชาร์ลส์ แซนเดอร์ส เพียร์ซ^{[ 6 ]}

1. เริ่มจากหมายเลขหนึ่ง วางหมายเลขนี้ไว้ในแถวเดียว ( )${\displaystyle x_{0,1}=1}$
2. เริ่มต้นแถวใหม่โดยใช้ตัวเลขซ้ายสุดเป็นองค์ประกอบขวาสุดจากแถวก่อนหน้า ( โดยที่rคือองค์ประกอบสุดท้ายของแถวที่ ( i − 1))${\displaystyle x_{i,1}\leftarrow x_{i-1,r}}$
3. หาจำนวนที่ไม่อยู่ในคอลัมน์ซ้ายโดยการนำผลรวมของจำนวนทางซ้ายและจำนวนที่อยู่เหนือจำนวนทางซ้าย นั่นคือ จำนวนที่อยู่เฉียงขึ้นและซ้ายของจำนวนที่เรากำลังคำนวณ${\displaystyle (x_{i,j}\leftarrow x_{i,j-1}+x_{i-1,j-1})}$
4. ทำซ้ำขั้นตอนที่สามจนกว่าจะมีแถวใหม่ที่มีตัวเลขมากกว่าแถวก่อนหน้าหนึ่งตัว (ทำขั้นตอนที่ 3 ไปเรื่อยๆ จนกว่าจะได้แถวใหม่)${\displaystyle j=r+1}$
5. ตัวเลขทางด้านซ้ายมือของแถวใดแถวหนึ่งคือหมายเลขเบลล์สำหรับแถวนั้น ( )${\displaystyle B_{i}\leftarrow x_{i,1}}$

ต่อไปนี้คือห้าแถวแรกของรูปสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นตามกฎเหล่านี้:

${\displaystyle {\begin{array}{l}1\\1&2\\2&3&5\\5&7&10&15\\15&20&27&37&52\end{array}}}$

ตัวเลขเบลล์ปรากฏอยู่ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของรูปสามเหลี่ยม

ตัวเลขเบลล์เป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิดที่เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์ทวินาม : ^{[ 7 ]}

${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}.}$

สามารถอธิบายได้โดยสังเกตว่า จากการแบ่งกลุ่มแบบสุ่มของ รายการ n  + 1 รายการ การลบกลุ่มที่มีรายการแรกออกไป จะเหลือการแบ่งกลุ่มย่อยที่มีรายการkรายการ สำหรับจำนวนk ใดๆ ที่อาจมีค่าตั้งแต่ 0 ถึงnมีตัวเลือกสำหรับ รายการ kรายการที่เหลืออยู่หลังจากลบกลุ่มหนึ่งออกไป และ_มี ตัวเลือก Bkวิธีในการแบ่งกลุ่มรายการเหล่านั้น ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

สูตรการหาผลรวมที่แตกต่างกันจะแสดงจำนวนเบลล์แต่ละจำนวนเป็นผลรวมของจำนวนสเตอร์ลิงชนิดที่สอง

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}.}$

จำนวนสเตอร์ลิงคือจำนวนวิธีในการแบ่งเซตที่มีขนาดnออกเป็น เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า k เซตพอดี ดังนั้น ในสมการที่เชื่อมโยงจำนวนเบลล์กับจำนวนสเตอร์ลิง การแบ่งแต่ละครั้งที่นับทางด้านซ้ายของสมการจะถูกนับในเทอมใดเทอมหนึ่งของผลรวมทางด้านขวาพอดี ซึ่งเป็นเทอมที่kคือจำนวนเซตในการแบ่ง^{[ 8 ]}${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$

ดังนั้น การใช้สูตรหลังนี้จะทำให้สามารถคำนวณเลขเบลล์ได้โดยไม่ต้องใช้การเรียกซ้ำ ดังนี้

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}i^{n},}$

โดยใช้สูตรที่ชัดเจนสูตรหนึ่งสำหรับจำนวนสเตอร์ลิงประเภทที่สอง^{[ 9 ]}

Spivey ในปี 2008ได้เสนอสูตรที่รวมผลรวมทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน:

${\displaystyle B_{n+m}=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}\left\{{m \atop j}\right\}{n \choose k}j^{n-k}B_{k}.}$

เมื่อใช้สูตรผกผันของปาสคาลกับความสัมพันธ์เวียนเกิด เราจะได้

$${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}B_{k+1},}$$

ซึ่งสามารถสรุปได้ในลักษณะนี้: ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{k+j}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}(-1)^{k-i}B_{n+i+1}.}$$

สูตรผลรวมจำกัดอื่นๆ ที่ใช้ตัวเลขสเตอร์ลิงประเภทแรกได้แก่^{[ 10 ]}

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}b^{n-j}B_{j}=\sum _{i=0}^{k}\left[{k \atop i}\right](-1)^{k-i}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}(b-ak)^{n-j}B_{j+i},}$$

ซึ่งสามารถลดรูปให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้ ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}b^{n-j}B_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}(b-a)^{n-j}B_{j+1}}$$

และด้วย เพื่อ ${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b=k}$

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}k^{n-j}=\sum _{i=0}^{k}\left[{k \atop i}\right]B_{n+i}(-1)^{k-i}}$$ ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นสูตรผกผันของเลขสเตอร์ลิงที่นำไปใช้กับสูตรของสไปวีย์

ฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังของจำนวนเบลล์คือ

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}$

ในสูตรนี้ ผลรวมตรงกลางคือรูปแบบทั่วไปที่ใช้ในการกำหนดฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังสำหรับลำดับตัวเลขใดๆ และสูตรทางด้านขวาคือผลลัพธ์ของการหาผลรวมในกรณีเฉพาะของเลขเบลล์

วิธีหนึ่งที่จะได้ผลลัพธ์นี้คือการใช้ คณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์ แบบผสมผสาน (analytic combinatorics ) ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ โดยที่เซตของวัตถุทางคณิตศาสตร์จะถูกอธิบายด้วยสูตรที่อธิบายการสร้างเซตเหล่านั้นจากวัตถุที่ง่ายกว่า จากนั้นจึงนำสูตรเหล่านั้นมาใช้เพื่อหาคุณสมบัติเชิงผสมผสานของวัตถุ ในภาษาของคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์แบบผสมผสาน การแบ่งเซตอาจอธิบายได้ว่าเป็นเซตของโถ ที่ไม่ว่างเปล่า ซึ่งมีการกระจายองค์ประกอบที่ติดป้ายกำกับตั้งแต่ 1 ถึงnและชั้นเชิงผสมผสานของการแบ่งเซตทั้งหมด (สำหรับทุกn ) อาจแสดงได้ด้วยสัญลักษณ์

${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} (\mathrm {S\scriptstyle ET} _{\geq 1}({\mathcal {Z}})).}$

ในที่นี้เป็นคลาสเชิงคอมบินาทอริกที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวที่มีขนาดหนึ่ง ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่สามารถวางลงในโถได้ ตัวดำเนินการภายในอธิบายเซตหรือโถที่มีองค์ประกอบที่มีป้ายกำกับหนึ่งตัวขึ้นไป และตัวดำเนินการภายนอก อธิบายการแบ่งส่วนโดยรวมเป็นเซตของโถเหล่านี้ จากนั้นฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังสามารถอ่านได้จากสัญกรณ์นี้โดยการแปลงตัวดำเนินการเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังและข้อจำกัดที่ไม่ว่างเปล่า ≥1 เป็นการลบด้วยหนึ่ง^{[ 11 ]}${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} _{\geq 1}}$${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} }$${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} }$

วิธีการทางเลือกในการหาฟังก์ชันก่อกำเนิดเดียวกันนี้ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับจำนวนเบลล์ในรูปของสัมประสิทธิ์ทวินามเพื่อแสดงว่าฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ ฟังก์ชันนั้นสามารถหาได้โดยการแก้สมการนี้^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}${\displaystyle B'(x)=e^{x}B(x)}$

ตัวเลขเบลล์เป็นไปตามสูตรของ Dobiński ^{[ 15 ] [ 12 ] [ 14 ]}

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}.}$

สูตรนี้สามารถหาได้จากการขยายฟังก์ชันสร้างเลขชี้กำลังโดยใช้ชุดอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง จากนั้นรวบรวมพจน์ที่มีเลขชี้กำลังเดียวกัน^{[ 11 ]} ซึ่งทำให้สามารถตีความB _n ได้ว่าเป็น โมเมนต์ลำดับที่nของการแจกแจงปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 1

จำนวนเบลล์ลำดับ ที่nคือผลรวมของสัมประสิทธิ์ในพหุนามเบลล์สมบูรณ์ลำดับที่nซึ่งแสดงโมเมนต์ลำดับที่nของการแจกแจงความน่าจะเป็น ใดๆ ในรูปฟังก์ชันของค่าสะสมn ตัว แรก

จำนวนเบลล์เป็นไปตามความสอดคล้องของทัชาร์ด : ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะ ใดๆ แล้ว^{[ 16 ]}

${\displaystyle B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}}$

หรือโดยทั่วไป^{[ 17 ]}

${\displaystyle B_{p^{m}+n}\equiv mB_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}.}$

เนื่องจากความสอดคล้องของ Touchard จำนวน Bell จึงเป็นคาบแบบมอดูล pสำหรับทุกจำนวนเฉพาะpตัวอย่างเช่น สำหรับp = 2 จำนวน Bell จะซ้ำรูปแบบคี่-คี่-คู่ โดยมีคาบสาม คาบของการซ้ำนี้ สำหรับจำนวนเฉพาะ p  ใดๆจะต้องเป็นตัวหารของ

${\displaystyle {\frac {p^{p}-1}{p-1}}}$

และสำหรับจำนวนเฉพาะทั้งหมดและหรือก็คือจำนวนนี้พอดี (ลำดับA001039ในOEIS ) ^{[ 18 ] [ 19 ]}${\displaystyle p\leq 101}$${\displaystyle p=113,163,167}$${\displaystyle 173}$

คาบของเลขเบลล์เมื่อหารด้วยโมดูลัสnคือ

1, 3, 13, 12, 781, 39, 137257, 24, 39, 2343, 28531167061, 156, ... (ลำดับA054767ในOEIS )

การนำสูตรอินทิกรัลของโคชีไปใช้กับฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลัง จะได้การแสดงผลในรูปอินทิกรัลเชิงซ้อน

${\displaystyle B_{n}={\frac {n!}{2\pi ie}}\int _{\gamma }{\frac {e^{e^{z}}}{z^{n+1}}}\,dz.}$

จากนั้นจึงสามารถอนุมานการแสดงเชิงอะซิมโทติกบางส่วนได้โดยการประยุกต์ใช้มาตรฐานของวิธีการลดความชันสูงสุด^{[ 20 ]}

ตัวเลขเบลล์ก่อให้เกิดลำดับนูนเชิงลอการิทึมการหารด้วยแฟกทอเรียลB _n / n ! จะให้ลำดับเว้าเชิงลอการิทึม^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

มีสูตร เชิงอะซิมโทติกหลายสูตรสำหรับจำนวนเบลล์ที่เป็นที่รู้จัก ใน งานวิจัยของ Berend & Tassa ปี 2010ได้มีการกำหนดขอบเขตดังต่อไปนี้:

${\displaystyle B_{n}<\left({\frac {0.792n}{\ln(n+1)}}\right)^{n}}$สำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด;${\displaystyle n}$

นอกจากนี้ หากเป็นเช่นนั้นสำหรับทั้งหมด ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle n>n_{0}(\varepsilon )}$

${\displaystyle B_{n}<\left({\frac {e^{-0.6+\varepsilon }n}{\ln(n+1)}}\right)^{n}}$

โดยที่ และ ตัวเลขเบลล์ยังสามารถประมาณได้โดยใช้ฟังก์ชัน Lambert Wซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีอัตราการเติบโตเท่ากับลอการิทึม ดังที่^{[ 24 ]}${\displaystyle ~n_{0}(\varepsilon )=\max \left\{e^{4},d^{-1}(\varepsilon )\right\}~}$${\displaystyle ~d(x):=\ln \ln(x+1)-\ln \ln x+{\frac {1+e^{-1}}{\ln x}}\,.}$

${\displaystyle B_{n}\sim {\frac {1}{\sqrt {n}}}\left({\frac {n}{W(n)}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}\exp \left({\frac {n}{W(n)}}-n-1\right).}$

บริษัท Moser & Wymanก่อตั้งส่วนขยายนี้ขึ้น ในปี 1955

${\displaystyle B_{n+h}={\frac {(n+h)!}{W(n)^{n+h}}}\times {\frac {\exp(e^{W(n)}-1)}{(2\pi B)^{1/2}}}\times \left(1+{\frac {P_{0}+hP_{1}+h^{2}P_{2}}{e^{W(n)}}}+{\frac {Q_{0}+hQ_{1}+h^{2}Q_{2}+h^{3}Q_{3}+h^{4}Q_{4}}{e^{2W(n)}}}+O(e^{-3W(n)})\right)}$

สม่ำเสมอสำหรับas โดยที่และแต่ละและเป็นนิพจน์ที่ทราบใน^{[ 25 ]}${\displaystyle h=O(\ln(n))}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle B}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle W(n)}$

การแสดงออกเชิงเส้นกำกับ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\ln B_{n}}{n}}&=\ln n-\ln \ln n-1+{\frac {\ln \ln n}{\ln n}}+{\frac {1}{\ln n}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln \ln n}{\ln n}}\right)^{2}+O\left({\frac {\ln \ln n}{(\ln n)^{2}}}\right)\\&{}\qquad {\text{as }}n\to \infty \end{aligned}}}$

ก่อตั้งขึ้นโดยde Bruijn 1981

ในปี 1978 การ์ดเนอร์ได้ตั้งคำถามว่า จำนวนเบลล์จำนวนอนันต์นั้นเป็นจำนวนเฉพาะ ด้วยหรือไม่ จำนวน เหล่านี้เรียกว่าจำนวนเฉพาะเบลล์จำนวนเฉพาะเบลล์กลุ่มแรกๆ ได้แก่:

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837 (ลำดับA051131ในOEIS )

ซึ่งสอดคล้องกับดัชนี 2, 3, 7, 13, 42 และ 55 (ลำดับA051130ในOEIS ) จำนวนเฉพาะเบลล์ ถัดไป คือB ₂₈₄₁ซึ่งมีค่าประมาณ 9.30740105 × 10 ^{6538 [ 26 ]}

จำนวนเบลล์ตั้งชื่อตามเอริค เทมเปิล เบลล์ผู้เขียนเกี่ยวกับจำนวนเหล่านี้ในปี พ.ศ. 2481 โดยต่อยอดจากบทความในปี พ.ศ. 2477 ที่เขาศึกษาพหุนามเบลล์ [ ^{28 ] [ 29 ] เบ}ลล์ไม่ได้อ้างว่าเขาเป็นผู้ค้นพบจำนวนเหล่านี้ ในบทความปี พ.ศ. 2471 เขาเขียนว่าจำนวนเบลล์ "ได้รับการศึกษาบ่อยครั้ง" และ "ได้รับการค้นพบใหม่หลายครั้ง" เบลล์อ้างอิงถึงสิ่งพิมพ์ก่อนหน้านี้หลายฉบับเกี่ยวกับจำนวนเหล่านี้ เริ่มต้นด้วยDobiński ในปี พ.ศ. 2420ซึ่งให้สูตรของ Dobińskiสำหรับจำนวนเบลล์ เบลล์เรียกจำนวนเหล่านี้ว่า "จำนวนเลขชี้กำลัง" ชื่อ "จำนวนเบลล์" และสัญลักษณ์B _nสำหรับจำนวนเหล่านี้ได้รับมาจากBecker & Riordan ในปี พ.ศ. 2491 ^{[ 30 ]}

การนับพาร์ทิชันชุดอย่างละเอียดครั้งแรกดูเหมือนจะเกิดขึ้นในญี่ปุ่นยุคกลาง ซึ่ง (ได้รับแรงบันดาลใจจากความนิยมของหนังสือตำนานเก็นจิ ) ทำให้เกิดเกมเล่นในห้องนั่งเล่นที่เรียกว่าเก็นจิโกะซึ่งแขกจะได้รับธูปห้าซองให้ดมและถูกขอให้เดาว่าซองใดเหมือนกันและซองใดแตกต่างกัน คำตอบที่เป็นไปได้ 52 แบบ นับโดยหมายเลขเบลล์B ₅ถูกบันทึกไว้ในแผนภาพที่แตกต่างกัน 52 แบบ ซึ่งพิมพ์อยู่เหนือหัวข้อบทในบางฉบับของตำนานเก็นจิ^{[ 27 ] [ 31 ]}

ในสมุดบันทึกเล่มที่สองของSrinivasa Ramanujan เขาได้ศึกษาทั้งพหุนามเบลล์และจำนวนเบลล์ ^{[ 32 ]} เอกสารอ้างอิงยุคแรกสำหรับสามเหลี่ยมเบลล์ซึ่งมีจำนวนเบลล์อยู่ทั้งสองด้าน ได้แก่Peirce 1880และAitken 1933

• พหุนามทัชชาร์ด
• หมายเลขคาตาลัน
• เลขสเตอร์ลิง
• จำนวนสเตอร์ลิงชนิดแรก

• โรเบิร์ต ดิคเคา. "แผนภาพของเลขเบลล์" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 12 มกราคม 2010 . เรียกดูเมื่อ16 พฤษภาคม 2005 .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เลขเบลล์" . แมธเวิลด์ .
• กอตต์ฟรีด เฮล์มส์. "คุณสมบัติเพิ่มเติมและการสรุปทั่วไปของเลขเบลล์" (PDF )