ภาพประกอบแสดงจำนวน Lah ที่ไม่มีเครื่องหมายสำหรับn และk ระหว่าง 1 ถึง 4 ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนลาห์ (แบบมีเครื่องหมายและไม่มีเครื่องหมาย) คือสัมประสิทธิ์ ที่แสดงแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้น ในรูปของแฟกทอเรียลที่ลดลง และในทางกลับกัน จำนวนลาห์ถูกค้นพบโดยอีโว ลาห์ ในปี 1954 [ 1 ] [ 2 ] สัมประสิทธิ์ทวินาม แอล ( n , เค ) {\displaystyle L(n,k)}
แอล ( n , เค ) = ( n − 1 เค − 1 ) n ! เค ! {\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}
สำหรับและหมายเลข Lah ที่ลงนามแล้วมีความสัมพันธ์กับหมายเลขเหล่านั้นโดยn ≥ เค ≥ 1 {\displaystyle n\geq k\geq 1} แอล ′ ( n , เค ) {\displaystyle L'(n,k)} แอล ′ ( n , เค ) = ( − 1 ) n แอล ( n , เค ) {\displaystyle L'(n,k)=(-1)^{n}L(n,k)}
จำนวน Lah ที่มีเครื่องหมายนั้นมีความสำคัญทางประวัติศาสตร์เท่านั้น เนื่องจากเป็นวิธีการกำหนดในบทความสำคัญของ Lah แต่รูปแบบเครื่องหมายของมัน ( , แทนที่จะเป็นอย่างที่ใช้สำหรับจำนวน Stirling ที่มีเครื่องหมาย) ทำให้แทบไม่มีประโยชน์ในสูตรทางคณิตศาสตร์ใดๆ เลย( − 1 ) n {\displaystyle (-1)^{n}} ( − 1 ) n − เค {\displaystyle (-1)^{nk}}
จำนวน Lah ที่ไม่มีเครื่องหมายมีความหมายที่น่าสนใจในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง : พวกมันนับจำนวนวิธีที่เซต ขององค์ประกอบสามารถแบ่งออก เป็นเซตย่อย ที่มีลำดับเชิงเส้นที่ไม่ว่างเปล่า[ 3 ] Stirling [ 4 ] n {\textstyle n} เค {\textstyle k}
สำหรับจำนวน Lah เท่ากับแฟกทอเรียล ในการตีความข้างต้น การแบ่งเพียงแบบเดียวของเป็นเซต 1 เซต สามารถเรียงลำดับเซตได้ 6 วิธี: เท่ากับ 6 เพราะมีการแบ่งหกแบบของเป็นสองส่วนที่เรียงลำดับ: เท่ากับ 1 เสมอ เพราะวิธีเดียวในการแบ่งเป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า จะได้เซตย่อยที่มีขนาด 1 ซึ่งสามารถเรียงสับเปลี่ยนได้เพียงวิธีเดียว ในเอกสารทางวิชาการล่าสุด[ 5 ] [ 6 ] สัญกรณ์แบบ Karamata – Knuth ได้เข้ามาแทนที่ จำนวน Lah ในปัจจุบันมักเขียนเป็นn ≥ 1 {\textstyle n\geq 1} แอล ( n , 1 ) {\textstyle L(n,1)} n ! {\textstyle n!} { 1 , 2 , 3 } {\textstyle \{1,2,3\}} { ( 1 , 2 , 3 ) } , { ( 1 , 3 , 2 ) } , { ( 2 , 1 , 3 ) } , { ( 2 , 3 , 1 ) } , { ( 3 , 1 , 2 ) } , { ( 3 , 2 , 1 ) } {\displaystyle \{(1,2,3)\},\{(1,3,2)\},\{(2,1,3)\},\{(2,3,1)\},\{(3,1,2)\},\{(3,2,1)\}} แอล ( 3 , 2 ) {\textstyle L(3,2)} { 1 , 2 , 3 } {\textstyle \{1,2,3\}} { 1 , ( 2 , 3 ) } , { 1 , ( 3 , 2 ) } , { 2 , ( 1 , 3 ) } , { 2 , ( 3 , 1 ) } , { 3 , ( 1 , 2 ) } , { 3 , ( 2 , 1 ) } {\displaystyle \{1,(2,3)\},\{1,(3,2)\},\{2,(1,3)\},\{2,(3,1)\},\{3,(1,2)\},\{3,(2,1)\}} แอล ( n , n ) {\textstyle L(n,n)} { 1 , 2 , … , n } {\textstyle \{1,2,\ldots ,n\}} n {\displaystyle n} แอล ( n , เค ) = ⌊ n เค ⌋ {\displaystyle L(n,k)=\left\lfloor {n \atop k}\right\rfloor }
ตารางค่าต่างๆ ด้านล่างนี้คือตารางแสดงค่าของตัวเลขลาห์:
เค
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 0 1 2 0 2 1 3 0 6 6 1 4 0 24 36 12 1 5 0 120 240 120 20 1 6 0 720 1800 1200 300 30 1 7 0 5040 15120 12600 4200 630 42 1 8 0 40320 141120 141120 58800 11760 1176 56 1 9 0 362880 1451520 1693440 846720 211680 28224 2016 72 1 10 0 3628800 16329600 21772800 12700800 3810240 635040 60480 3240 90 1
ผลรวมของแถวคือ( ลำดับ A000262 ใน OEIS ) 1 , 1 , 3 , 13 , 73 , 501 , 4051 , 37633 , … {\textstyle 1,1,3,13,73,501,4051,37633,\dots }
แฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้นและลดลง ให้แทนแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้น และให้แทนแฟกทอเรียลที่ลดลง ตัวเลข ลาห์คือสัมประสิทธิ์ที่แสดงพหุนามแต่ละตระกูลในรูปของอีกตระกูลหนึ่ง กล่าวคือและตัวอย่างเช่นและx ( n ) {\textstyle x^{(n)}} x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) {\textstyle x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ( x ) n {\textstyle (x)_{n}} x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) {\textstyle x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} x ( n ) = ∑ k = 0 n L ( n , k ) ( x ) k {\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}} ( x ) n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k L ( n , k ) x ( k ) . {\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}.} x ( x + 1 ) ( x + 2 ) = 6 x + 6 x ( x − 1 ) + 1 x ( x − 1 ) ( x − 2 ) {\displaystyle x(x+1)(x+2)={\color {red}6}x+{\color {red}6}x(x-1)+{\color {red}1}x(x-1)(x-2)} x ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 6 x − 6 x ( x + 1 ) + 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) , {\displaystyle x(x-1)(x-2)={\color {red}6}x-{\color {red}6}x(x+1)+{\color {red}1}x(x+1)(x+2),}
โดยที่สัมประสิทธิ์ 6, 6 และ 1 คือจำนวน Lah , , และ ตามลำดับL ( 3 , 1 ) {\displaystyle L(3,1)} L ( 3 , 2 ) {\displaystyle L(3,2)} L ( 3 , 3 ) {\displaystyle L(3,3)}
อัตลักษณ์และความสัมพันธ์ ตัวเลขลาห์สามารถตอบสนองอัตลักษณ์และความสัมพันธ์ที่หลากหลาย
ในสัญกรณ์คารามาตะ - ค นุธสำหรับจำนวนสเตอร์ลิง โดยที่คือจำนวนสเตอร์ลิงชนิดแรกที่ไม่มีเครื่องหมาย และคือจำนวนสเตอร์ลิงชนิดที่สองที่ ไม่มี เครื่องหมายL ( n , k ) = ∑ j = k n [ n j ] { j k } {\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=k}^{n}\left[{n \atop j}\right]\left\{{j \atop k}\right\}} [ n j ] {\textstyle \left[{n \atop j}\right]} { j k } {\textstyle \left\{{j \atop k}\right\}}
L ( n , k ) = ( n − 1 k − 1 ) n ! k ! = ( n k ) ( n − 1 ) ! ( k − 1 ) ! = ( n k ) ( n − 1 k − 1 ) ( n − k ) ! {\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}={n \choose k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}={n \choose k}{n-1 \choose k-1}(n-k)!} L ( n , k ) = n ! ( n − 1 ) ! k ! ( k − 1 ) ! ⋅ 1 ( n − k ) ! = ( n ! k ! ) 2 k n ( n − k ) ! {\displaystyle L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!}}\cdot {\frac {1}{(n-k)!}}=\left({\frac {n!}{k!}}\right)^{2}{\frac {k}{n(n-k)!}}} k ( k + 1 ) L ( n , k + 1 ) = ( n − k ) L ( n , k ) {\displaystyle k(k+1)L(n,k+1)=(n-k)L(n,k)} k > 0 {\displaystyle k>0}
ความสัมพันธ์เวียนเกิด จำนวน Lah สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดโดยที่, เดลต้า Kronecker , และสำหรับทุกๆL ( n + 1 , k ) = ( n + k ) L ( n , k ) + L ( n , k − 1 ) = k ( k + 1 ) L ( n , k + 1 ) + 2 k L ( n , k ) + L ( n , k − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}L(n+1,k)&=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)\\&=k(k+1)L(n,k+1)+2kL(n,k)+L(n,k-1)\end{aligned}}} L ( n , 0 ) = δ n {\displaystyle L(n,0)=\delta _{n}} L ( n , k ) = 0 {\displaystyle L(n,k)=0} k > n {\displaystyle k>n}
ฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลัง ∑ n ≥ k L ( n , k ) x n n ! = 1 k ! ( x 1 − x ) k {\displaystyle \sum _{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)^{k}}
x )อนุพันธ์ลำดับ ที่n ของฟังก์ชันสามารถแสดงได้ด้วยตัวเลข Lah ดังต่อไปนี้[ 7 ] e 1 x {\displaystyle e^{\frac {1}{x}}} d n d x n e 1 x = ( − 1 ) n ∑ k = 1 n L ( n , k ) x n + k ⋅ e 1 x . {\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}x^{n}}}e^{\frac {1}{x}}=(-1)^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {L(n,k)}{x^{n+k}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}.}
d d x e 1 x = − 1 x 2 ⋅ e 1 x {\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}e^{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}}
d 2 d x 2 e 1 x = d d x ( − 1 x 2 e 1 x ) = − − 2 x 3 ⋅ e 1 x − 1 x 2 ⋅ − 1 x 2 ⋅ e 1 x = ( 2 x 3 + 1 x 4 ) ⋅ e 1 x {\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x^{2}}}e^{\frac {1}{x}}={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left(-{\frac {1}{x^{2}}}e^{\frac {1}{x}}\right)=-{\frac {-2}{x^{3}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}\cdot {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}=\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}}
d 3 d x 3 e 1 x = d d x ( ( 2 x 3 + 1 x 4 ) ⋅ e 1 x ) = ( − 6 x 4 + − 4 x 5 ) ⋅ e 1 x + ( 2 x 3 + 1 x 4 ) ⋅ − 1 x 2 ⋅ e 1 x = − ( 6 x 4 + 6 x 5 + 1 x 6 ) ⋅ e 1 x {\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{3}}{{\textrm {d}}x^{3}}}e^{\frac {1}{x}}={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left(\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}\right)=\left({\frac {-6}{x^{4}}}+{\frac {-4}{x^{5}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}+\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}=-\left({\frac {6}{x^{4}}}+{\frac {6}{x^{5}}}+{\frac {1}{x^{6}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}}
ลิงก์ไปยังพหุนามลากูร์ พหุนาม Laguerre ทั่วไปเชื่อมโยงกับจำนวน Lah เมื่อตั้งค่า สูตรนี้เป็นพหุนาม Laguerre เริ่มต้น ในอนุสัญญาแคลคูลัส Umbral [ 8 ] L n ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)} α = − 1 {\displaystyle \alpha =-1} n ! L n ( − 1 ) ( x ) = ∑ k = 0 n L ( n , k ) ( − x ) k {\displaystyle n!L_{n}^{(-1)}(x)=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-x)^{k}}
การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ตัวเลข Lah ถูกนำมาใช้ในสเตกาโนกราฟี เพื่อซ่อนข้อมูลในภาพ เมื่อเปรียบเทียบกับทางเลือกอื่นๆ เช่นDCT , DFT และDWT ตัวเลข Lah มีความซับซ้อนในการคำนวณน้อยกว่า— — ของสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม[ 9 ] [ 10 ] กระจายสี [ 11 ] [ 12 ] ทัศนศาสตร์ Lah-Laguerre วิธีการดังกล่าวช่วยเร่งความเร็วในการแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพได้อย่างมากO ( n log n ) {\displaystyle O(n\log n)}
![{\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=k}^{n}\left[{n \atop j}\right]\left\{{j \atop k}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d59f53de532d895866b5ef0424c63e46e957cbd)
![{\textstyle \left[{n \atop j}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177354d52550d6bd54bef4a364e17ca22d3410d4)
