ในทฤษฎีเมทริกซ์และคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงเมทริกซ์ปาสคาลคือเมทริกซ์ (อาจเป็นเมทริกซ์อนันต์ ) ที่มีสัมประสิทธิ์ทวินามเป็นองค์ประกอบ ดังนั้นจึงเป็นการเข้ารหัสสามเหลี่ยมปาสคาลในรูปแบบเมทริกซ์ มีสามวิธีที่เป็นธรรมชาติในการทำเช่นนี้ ได้แก่เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนหรือเมทริกซ์สมมาตรตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ 5 × 5 มีดังนี้:

$${\displaystyle L_{5}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\,\,\,}$$$${\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\,\,\,}$$$${\displaystyle S_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}=L_{5}\times U_{5}}$$ ยังมีวิธีอื่นๆ ที่สามารถแปลงสามเหลี่ยมของปาสคาลให้อยู่ในรูปแบบเมทริกซ์ได้ แต่การขยายวิธีเหล่านั้นไปสู่ค่าอนันต์นั้นทำได้ยาก

องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์ปาสคาลนั้นกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ทวินาม :

$${\displaystyle L_{ij}={i \choose j}={\frac {i!}{j!(ij)!}},j\leq i}$$$${\displaystyle U_{ij}={j \choose i}={\frac {j!}{i!(ji)!}},i\leq j}$$$${\displaystyle S_{ij}={i+j \choose i}={i+j \choose j}={\frac {(i+j)!}{i!j!}}}$$

โดยที่ดัชนีi , jเริ่มต้นที่ 0 และ ! หมายถึงแฟกทอเรียล เมทริกซ์เหล่า นี้ พร้อมกับรูปแบบที่เกี่ยวข้องเกิดขึ้นตามธรรมชาติในการศึกษาพหุนาม Hermite และ Laguerre ^{[ 1 ]}

เมทริกซ์มีความสัมพันธ์ที่น่าพอใจS _n = L _n U _n ^{[ 2 ]}จากนี้จะเห็นได้ง่ายว่าเมทริกซ์ทั้งสามมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นเพียงผลคูณขององค์ประกอบแนวทแยงมุม ซึ่งมีค่าเป็น 1 สำหรับทั้งL _nและU _nกล่าวอีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์ S _n , L _nและU _nเป็น เมทริกซ์ยู นิโมดูลาร์โดย ที่L _nและU _nมีค่าร่องรอย เท่ากับ n

ร่องรอยของS _nกำหนดโดย

${\displaystyle {\text{tr}}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}}$

โดยพจน์แรกๆ กำหนดโดยลำดับ 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... (ลำดับA006134ในOEIS )

เมทริกซ์ S _nมีลักษณะคล้ายกับเมทริกซ์ผกผัน และด้วยเหตุนี้ค่าลักษณะเฉพาะของS _nจึงมาเป็นคู่ผกผัน กล่าวคือ λ เป็นค่าลักษณะเฉพาะก็ต่อเมื่อ 1/λ เป็นค่าลักษณะเฉพาะ^{[ 2 ]}ดังนั้น สำหรับค่า n ที่เป็นเลขคี่ เมทริกซ์ S _nจะมีค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ 1 ถ้า n = p ^kสำหรับจำนวนเฉพาะคี่ p เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ 1 จะเกี่ยวข้องโดยตรงกับการนับจุดบนเส้นโค้งวงรีเหนือฟิลด์จำกัดและฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ ^{[ 3 ]}

เมทริกซ์ปาสคาลสามารถสร้างได้จริงโดยการใช้เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลของ เมทริกซ์ ย่อยแนวทแยงหรือเมทริกซ์เหนือแนวทแยง พิเศษ ^{[ 4 ]}ตัวอย่างด้านล่างสร้างเมทริกซ์ปาสคาลขนาด 7 × 7 แต่วิธีนี้ใช้ได้กับ เมทริกซ์ปาสคาลขนาด n × n ที่ต้องการ จุดในเมทริกซ์ต่อไปนี้แทนองค์ประกอบศูนย์

${\displaystyle {\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}1}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\\therefore &S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}i}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}$

เราไม่สามารถสมมติได้ง่ายๆ ว่า exp( A ) exp( B ) = exp( A  +  B ) สำหรับเมทริกซ์n × n AและB เพราะ ความเท่าเทียมกันนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อAB = BA เท่านั้น (กล่าวคือ เมื่อเมทริกซ์AและB สลับที่ได้ ) ในการสร้างเมทริกซ์สมมาตรแบบปาสคาลดังที่กล่าวมาข้างต้น เมทริกซ์ย่อยและเมทริกซ์เหนือแนวทแยงมุมไม่สลับที่ได้ ดังนั้นการลดรูปอย่างง่ายๆ ที่อาจดูน่าสนใจโดยการบวกเมทริกซ์จึงไม่สามารถทำได้

คุณสมบัติที่มีประโยชน์อย่างหนึ่งของเมทริกซ์ย่อยและเมทริกซ์เหนือแนวทแยงที่ใช้ในการสร้างคือ ทั้งสองเป็น เมทริกซ์นิลโพเทนต์ กล่าวคือ เมื่อยกกำลัง ด้วย จำนวนเต็มที่ มากพอ เมทริกซ์ เหล่านี้จะลดรูปเป็นเมทริกซ์ศูนย์ (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในเมทริกซ์เลื่อน ) เนื่องจากเมทริกซ์เลื่อนทั่วไปขนาด n × nที่เราใช้จะกลายเป็นศูนย์เมื่อยกกำลังn ดังนั้นเมื่อคำนวณเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล เราจึงจำเป็นต้องพิจารณาเพียง n + 1 พจน์ แรก ของอนุกรมอนันต์เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำ

สามารถสร้างรูปแบบที่น่าสนใจได้โดยการดัดแปลงเมทริกซ์ลอการิทึม PL ₇ อย่างชัดเจน แล้วจึงนำเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลมาใช้

ตัวอย่างแรกด้านล่างใช้ค่ากำลังสองของเมทริกซ์ลอการิทึมและสร้างเมทริกซ์ "ลาแกร์" ขนาด 7 × 7 (หรือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของพหุนามลาแกร์)

${\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAG_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&4&.&.&.&.&.\\.&.&9&.&.&.&.\\.&.&.&16&.&.&.\\.&.&.&.&25&.&.\\.&.&.&.&.&36&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\2&4&1&.&.&.&.\\6&18&9&1&.&.&.\\24&96&72&16&1&.&.\\120&600&600&200&25&1&.\\720&4320&5400&2400&450&36&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}$

เมทริกซ์ลากูร์นั้นถูกนำไปใช้ร่วมกับการปรับขนาดแบบอื่นและ/หรือรูปแบบการสลับเครื่องหมาย (ยังไม่พบเอกสารเกี่ยวกับการขยายไปสู่กำลังที่สูงกว่านี้)

ตัวอย่างที่สองด้านล่างใช้ผลคูณv ( v  + 1) ของค่าในเมทริกซ์ลอการิทึมและสร้างเมทริกซ์ "Lah" ขนาด 7 × 7 (หรือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของจำนวน Lah )

${\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAH_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\2&.&.&.&.&.&.\\.&6&.&.&.&.&.\\.&.&12&.&.&.&.\\.&.&.&20&.&.&.\\.&.&.&.&30&.&.\\.&.&.&.&.&42&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.\\2&1&.&.&.&.&.&.\\6&6&1&.&.&.&.&.\\24&36&12&1&.&.&.&.\\120&240&120&20&1&.&.&.\\720&1800&1200&300&30&1&.&.\\5040&15120&12600&4200&630&42&1&.\\40320&141120&141120&58800&11760&1176&56&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}$

การใช้v ( v  − 1) แทนจะทำให้เกิดการเลื่อนในแนวทแยงไปทางด้านล่างขวา

ตัวอย่างที่สามด้านล่างนี้ใช้กำลังสองของ เมทริกซ์ PL ₇ ดั้งเดิม หารด้วย 2 กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทวินามอันดับแรก (binomial( k , 2)) ในแนวทแยงมุมย่อยที่สอง และสร้างเมทริกซ์ ซึ่งเกิดขึ้นในบริบทของอนุพันธ์และปริพันธ์ของฟังก์ชันข้อผิดพลาด แบบเกาส์เซียน :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}&GS_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&3&.&.&.&.&.\\.&.&6&.&.&.&.\\.&.&.&10&.&.&.\\.&.&.&.&15&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\.&1&.&.&.&.&.\\1&.&1&.&.&.&.\\.&3&.&1&.&.&.\\3&.&6&.&1&.&.\\.&15&.&10&.&1&.\\15&.&45&.&15&.&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}$

ถ้าเมทริกซ์นี้ถูกผกผัน (โดยใช้ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมเมทริกซ์เชิงลบ) เมทริกซ์นี้จะมีเครื่องหมายสลับกัน และให้ค่าสัมประสิทธิ์ของอนุพันธ์ (และโดยนัยคือปริพันธ์) ของฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนของเกาส์ (ยังไม่พบเอกสารเกี่ยวกับการขยายไปสู่กำลังที่มากกว่านี้)

อีกรูปแบบหนึ่งสามารถได้มาจากการขยายเมทริกซ์เดิมไปสู่ค่าลบ :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}&\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&5&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\10&-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-10&6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\5&-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.&.\\-1&1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&2&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&3&3&1&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&4&6&4&1&.\\.&.&.&.&.&.&1&5&10&10&5&1\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}$

• สามเหลี่ยมปาสคาล
• การแยกส่วนประกอบ LU
• อาร์เรย์ริออร์แดน

• จี. เฮล์มส์เมทริกซ์ปาสคาลในโครงการรวบรวมข้อเท็จจริงเกี่ยวกับเมทริกซ์เชิงทฤษฎีจำนวน
• เมทริกซ์เกาส์ของจี. เฮล์มส์
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. ฟังก์ชันเกาส์เซียน
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. ฟังก์ชันเอิร์ฟ
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "พหุนามเฮอร์ไมต์" พหุนามเฮอร์ไมต์
• ลำดับ OEIS A066325 (สัมประสิทธิ์ของพหุนาม Hermite เอกภาพ He _n ( x )) (เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์เกาส์)