ในทางคณิตศาสตร์เมทริกซ์เลื่อน (shift matrix)คือเมทริกซ์ไบนารีที่มีเลข 1 เฉพาะบนแนวทแยงมุมบนหรือแนวทแยงมุมล่างเท่านั้น และมีเลข 0 อยู่ที่ตำแหน่งอื่น เมทริกซ์เลื่อนUที่มีเลข 1 บนแนวทแยงมุมบนเรียก ว่า เมทริกซ์เลื่อนบน (upper shift matrix ) ส่วน เมทริกซ์ แนวทแยงมุมล่างLเรียกว่าเมทริกซ์เลื่อนล่าง (lower shift matrix ) ส่วนประกอบที่ ( i , j ) ของUและLคือ

${\displaystyle U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},}$

สัญลักษณ์ เดลต้าโครเนกเกอร์อยู่ที่ไหน${\displaystyle \delta _{ij}}$

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์การเลื่อนขนาด 5 × 5 คือ

${\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

เห็นได้ชัดว่าเมทริกซ์สลับตำแหน่งของเมทริกซ์เลื่อนล่างจะเป็นเมทริกซ์เลื่อนบน และในทางกลับกัน

ในฐานะการแปลงเชิงเส้น เมทริกซ์เลื่อนล่างจะเลื่อนส่วนประกอบของเวกเตอร์คอลัมน์ลงหนึ่งตำแหน่ง โดยมีค่าศูนย์ปรากฏในตำแหน่งแรก เมทริกซ์เลื่อนบนจะเลื่อนส่วนประกอบของเวกเตอร์คอลัมน์ขึ้นหนึ่งตำแหน่ง โดยมีค่าศูนย์ปรากฏในตำแหน่งสุดท้าย^{[ 1 ]}

การคูณเมทริกซ์Aด้วยเมทริกซ์เลื่อนล่างก่อน จะทำให้องค์ประกอบของAเลื่อนลงมาหนึ่งตำแหน่ง โดยมีค่าศูนย์ปรากฏในแถวบนสุด การคูณด้วยเมทริกซ์เลื่อนล่างทีหลัง จะทำให้องค์ประกอบเลื่อนไปทางซ้าย การดำเนินการที่คล้ายกันนี้กับเมทริกซ์เลื่อนบน จะทำให้องค์ประกอบเลื่อนไปในทิศทางตรงกันข้าม

เห็นได้ชัดว่าเมทริกซ์เลื่อนที่มีมิติจำกัดทั้งหมดเป็นเมทริกซ์นิลโพเทนต์ กล่าวคือเมทริกซ์เลื่อนn × n Sจะกลายเป็นเมทริกซ์ศูนย์เมื่อยกกำลังด้วยมิติn ของ มัน

เมทริกซ์การเลื่อนทำหน้าที่บนปริภูมิ การเลื่อน เมทริกซ์การเลื่อนมิติอนันต์มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการศึกษาระบบเออร์โกดิกตัวอย่างที่สำคัญของการเลื่อนมิติอนันต์ ได้แก่การเลื่อนแบบเบอร์นูลลีซึ่งทำหน้าที่เป็นการเลื่อนบนปริภูมิแคนเตอร์และแผนที่เกาส์ซึ่งทำหน้าที่เป็นการเลื่อนบนปริภูมิเศษส่วนต่อเนื่อง (นั่นคือ บนปริภูมิแบร์ )

ให้LและUเป็น เมทริกซ์เลื่อนล่างและเลื่อนบนขนาด n × nตามลำดับ คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้ได้กับทั้งUและLดังนั้นเราจะแสดงเฉพาะคุณสมบัติของU เท่านั้น :

• det ( U ) = 0
• tr ( U ) = 0
• อันดับ ( U ) = n − 1
• พหุนามลักษณะเฉพาะของUคือ

  ${\displaystyle p_{U}(\แลมบ์ดา )=(-1)^{n}\แลมบ์ดา ^{n}.}$

• U ⁿ = 0. ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติก่อนหน้านี้ตามทฤษฎีบทของเคย์ลีย์-แฮมิลตัน
• ค่าคงที่ของUคือ 0

คุณสมบัติต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึง ความสัมพันธ์ระหว่าง UและL :

ถ้าNเป็นเมทริกซ์นิลโพเทนต์ใดๆ แล้วNจะคล้ายกับเมทริกซ์บล็อกแนวทแยงมุมในรูปแบบ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{pmatrix}}}$

โดยที่แต่ละบล็อกS ₁ ,  S ₂ , ...,  S _rเป็นเมทริกซ์การเลื่อน (อาจมีขนาดต่างกัน) ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}};\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.}$

แล้ว,

${\displaystyle SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}};\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.}$

เห็นได้ชัดว่ามีลำดับการเรียงสับเปลี่ยน ที่เป็นไปได้มากมาย ตัวอย่างเช่นเท่ากับเมทริกซ์Aที่เลื่อนขึ้นและไปทางซ้ายตามแนวทแยงมุมหลัก ${\displaystyle S^{\mathsf {T}}AS}$

${\displaystyle S^{\mathsf {T}}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

• เมทริกซ์นาฬิกาและการเลื่อน
• เมทริกซ์นิลโพเทนต์
• การเลื่อนย่อยของประเภทจำกัด
• ผู้ดำเนินการกะด้านเดียว

• เมทริกซ์การเลื่อน - รายการในคู่มืออ้างอิงเมทริกซ์