กราฟของฟังก์ชันและพื้นที่ระหว่างกราฟกับแกน x (กล่าวคือ เส้นจำนวนจริงทั้งหมด) ซึ่งเท่ากับ.เอฟ ( x ) = อี − x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} x {\displaystyle x} π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} อินทิกรัลเกาส์เซียน หรือที่รู้จักกันในชื่ออินทิกรัลออยเลอร์-ปัวซง คืออินทิกรัล ของฟังก์ชันเกาส์เซียน ตลอดทั้งเส้นจำนวนจริง อินทิกรัลนี้ ตั้งชื่อตามคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เอฟ ( x ) = อี − x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} ∫ − ∞ ∞ อี − x 2 ง x = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}
Abraham de Moivre ค้นพบอินทิกรัลประเภทนี้เป็นครั้งแรกในปี 1733 ในขณะที่ Gauss ตีพิมพ์อินทิกรัลที่แม่นยำในปี 1809 [ 1 ] Laplace อินทิกรัลนี้มีการใช้งานที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น ด้วยการเปลี่ยนตัวแปรเพียงเล็กน้อย ก็สามารถใช้คำนวณค่าคงที่ของการทำให้เป็นมาตรฐาน ของการแจกแจงปกติได้ อิน ทิกรัลเดียวกันนี้ที่มีขอบเขตจำกัดมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับทั้งฟังก์ชันข้อผิดพลาด และฟังก์ชันการแจกแจงสะสม ของการแจกแจงปกติ ในฟิสิกส์ อินทิกรัลประเภทนี้ปรากฏบ่อยครั้ง ตัวอย่างเช่น ในกลศาสตร์ควอนตัม เพื่อหาความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของสถานะพื้นฐานของตัวสั่นฮาร์มอนิก อินทิกรัลนี้ยังใช้ในการกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทาง เพื่อหาตัวแพร่กระจายของตัวสั่นฮาร์มอนิก และในกลศาสตร์สถิติ เพื่อหาฟังก์ชันพาร์ติชัน ของ มัน
แม้ว่าจะไม่มีฟังก์ชันพื้นฐาน สำหรับฟังก์ชันข้อผิดพลาด ดังที่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยอั ลกอริทึม Risch [ 2 ] การวิเคราะห์ โดยใช้วิธีการแคลคูลัสหลายตัวแปร นั่นคือ ไม่มีปริพันธ์ไม่จำกัด ปริพันธ์จำกัด ได้ ปริพันธ์จำกัดของ ฟังก์ชันเกาส์ เซียนใดๆ คือ ∫ อี − x 2 ง x , {\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,} ∫ − ∞ ∞ อี − x 2 ง x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} ∫ − ∞ ∞ อี − เอ ( x + ข ) 2 ง x = π เอ . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.}
การคำนวณ
โดยใช้พิกัดเชิงขั้ว วิธีมาตรฐานในการคำนวณอินทิกรัลเกาส์เซียน ซึ่งแนวคิดนี้ย้อนกลับไปถึงปัวซง[ 3 ]
( ∫ − ∞ ∞ อี − x 2 ง x ) 2 = ∫ − ∞ ∞ อี − x 2 ง x ∫ − ∞ ∞ อี − y 2 ง y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ อี − ( x 2 + y 2 ) ง x ง y . {\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dx\,dy.}
พิจารณาฟังก์ชันบนระนาบและคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันนี้ด้วยสองวิธี: อี − ( x 2 + y 2 ) = อี − ร 2 {\displaystyle e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}=e^{-r^{2}}} อาร์ 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
ในอีกด้านหนึ่ง โดยการอินทิเกรตสองชั้น ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน อินทิกรัลของมันจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส:( ∫ อี − x 2 ง x ) 2 ; {\displaystyle \left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};} ในทางกลับกัน โดยการอินทิเกรตเปลือก (ซึ่งเป็นกรณีของการอินทิเกรตสองชั้นในพิกัดเชิงขั้ว ) ค่าอินทิกรัลจะคำนวณได้ดังนี้π {\displaystyle \pi } เมื่อเปรียบเทียบการคำนวณทั้งสองนี้ จะได้ค่าอินทิกรัล แต่ควรระมัดระวังเกี่ยวกับอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม ที่เกี่ยวข้องด้วย
∬ อาร์ 2 อี − ( x 2 + y 2 ) ง x ง y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ อี − ร 2 ร ง ร ง θ = 2 π ∫ 0 ∞ ร อี − ร 2 ง ร = 2 π ∫ − ∞ 0 1 2 อี ส ง ส ส = − ร 2 = π ∫ − ∞ 0 อี ส ง ส = π [ อี ส ] − ∞ 0 = π ( อี 0 − อี − ∞ ) = π ( 1 − 0 ) = π , {\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dx\,dy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\[6pt]&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\[6pt]&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\[6pt]&=\pi \,\left[e^{s}\right]_{-\infty }^{0}\\[6pt]&=\pi \,\left(e^{0}-e^{-\infty }\right)\\[6pt]&=\pi \,\left(1-0\right)\\[6pt]&=\pi ,\end{aligned}}} r คือดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียน ซึ่งปรากฏขึ้นเนื่องจากการแปลงเป็นพิกัดเชิงขั้ว ( r dr dθ = − r 2 ds = −2 r dr
เมื่อรวมผลผลิตเหล่านี้เข้าด้วยกัน แล้วจะได้ผลลัพธ์ ดังนี้ ( ∫ − ∞ ∞ อี − x 2 ง x ) 2 = π , {\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\pi ,} ∫ − ∞ ∞ อี − x 2 ง x = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}
หลักฐานที่สมบูรณ์ เพื่อพิสูจน์ความถูกต้องของการใช้ปริพันธ์สองชั้นที่ไม่เหมาะสมและการเทียบเท่าของนิพจน์ทั้งสอง เราจึงเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันประมาณค่า: ฉัน ( เอ ) = ∫ − เอ เอ อี − x 2 ง x . {\displaystyle I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx.}
ถ้าปริพันธ์ลู่ เข้าอย่างสมบูรณ์ เราจะได้ว่าค่าหลักของโคชี ( หรือลิมิต) จะตรงกับ เพื่อให้เห็นว่าเป็นเช่นนั้น ให้พิจารณาว่า ∫ − ∞ ∞ อี − x 2 ง x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} ลิม เอ → ∞ ฉัน ( เอ ) {\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)} ∫ − ∞ ∞ อี − x 2 ง x . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}
∫ − ∞ ∞ | อี − x 2 | ง x < ∫ − ∞ − 1 − x อี − x 2 ง x + ∫ − 1 1 อี − x 2 ง x + ∫ 1 ∞ x อี − x 2 ง x < ∞ . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|e^{-x^{2}}\right|dx<\int _{-\infty }^{-1}-xe^{-x^{2}}\,dx+\int _{-1}^{1}e^{-x^{2}}\,dx+\int _{1}^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx<\infty .}
ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณได้ โดยการหาลิมิตเท่านั้น ∫ − ∞ ∞ อี − x 2 ง x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} ลิม เอ → ∞ ฉัน ( เอ ) . {\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a).}
การนำค่ากำลังสองของผลผลิต มาคำนวณฉัน ( เอ ) {\displaystyle I(a)}
ฉัน ( เอ ) 2 = ( ∫ − เอ เอ อี − x 2 ง x ) ( ∫ − เอ เอ อี − y 2 ง y ) = ∫ − เอ เอ ( ∫ − เอ เอ อี − y 2 ง y ) อี − x 2 ง x = ∫ − เอ เอ ∫ − เอ เอ อี − ( x 2 + y 2 ) ง y ง x . {\displaystyle {\begin{aligned}I(a)^{2}&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\,e^{-x^{2}}\,dx\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\,dx.\end{aligned}}}
โดยใช้ทฤษฎีบทของฟูบินี อินทิกรัลสองชั้นข้างต้นสามารถมองได้ว่าเป็นอินทิกรัลพื้นที่ ที่คำนวณจาก รูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดยอด{(− a , a ), ( a , a ) , ( a , − a ) , (− a , − a )} บนระนาบxy ∬ [ − a , a ] × [ − a , a ] e − ( x 2 + y 2 ) d ( x , y ) , {\displaystyle \iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,d(x,y),}
เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่ามากกว่า 0 สำหรับจำนวนจริงทุกจำนวน ดังนั้น อินทิกรัลที่คำนวณบนวงกลมแนบ ในของสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะต้องมีค่าน้อยกว่า 0 และในทำนองเดียวกัน อินทิกรัลที่คำนวณบน วงกลมล้อมรอบ ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะต้องมีค่ามากกว่า0 สามารถคำนวณอินทิกรัลบนวงกลมทั้งสองได้ง่ายๆ โดยการเปลี่ยนจากพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นพิกัดเชิงขั้ว : I ( a ) 2 {\displaystyle I(a)^{2}} I ( a ) 2 {\displaystyle I(a)^{2}}
x = r cos θ , y = r sin θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta ,&y&=r\sin \theta \end{aligned}}} J ( r , θ ) = [ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ] = [ cos θ − r sin θ sin θ − r cos θ ] {\displaystyle \mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &{\hphantom {-}}r\cos \theta \end{bmatrix}}} d ( x , y ) = | J ( r , θ ) | d ( r , θ ) = r d ( r , θ ) . {\displaystyle d(x,y)=\left|J(r,\theta )\right|d(r,\theta )=r\,d(r,\theta ).} ∫ 0 2 π ∫ 0 a r e − r 2 d r d θ < I 2 ( a ) < ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 r e − r 2 d r d θ . {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta .}
(ดูวิธีการแปลงพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นพิกัดเชิงขั้ว เพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม)
การบูรณาการ π ( 1 − e − a 2 ) < I 2 ( a ) < π ( 1 − e − 2 a 2 ) . {\displaystyle \pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)<I^{2}(a)<\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right).}
จากทฤษฎีบทการบีบอัด จะได้ปริพันธ์เกาส์เซียน ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}
โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน เทคนิคที่แตกต่างออกไป ซึ่งย้อนกลับไปถึง Laplace (1812) [ 3 ] y = x s d y = x d s . {\displaystyle {\begin{aligned}y&=xs\\dy&=x\,ds.\end{aligned}}}
เนื่องจากลิมิตของs เมื่อy → ±∞x การใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าe − x 2 ฟังก์ชันคู่ จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น และด้วยเหตุนี้ อินทิกรัลเหนือจำนวนจริงทั้งหมดจึงเป็นเพียงสองเท่าของอินทิกรัลจากศูนย์ถึงอนันต์ นั่นคือ
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}
ดังนั้น ตลอดช่วงของการอินทิเกรตx ≥ 0y และs มีขอบเขตเดียวกัน จะได้ว่า: จากนั้น ใช้ทฤษฎีบทของฟูบินี เพื่อสลับลำดับของการอินทิเกรต : I 2 = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d y d x = 4 ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d y ) d x = 4 ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + s 2 ) x d s ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dy\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,ds\right)\,dx\\[6pt]\end{aligned}}} I 2 = 4 ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + s 2 ) x d x ) d s = 4 ∫ 0 ∞ [ e − x 2 ( 1 + s 2 ) − 2 ( 1 + s 2 ) ] x = 0 x = ∞ d s = 4 ( 1 2 ∫ 0 ∞ d s 1 + s 2 ) = 2 arctan ( s ) | 0 ∞ = π . {\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,dx\right)\,ds\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}}{-2\left(1+s^{2}\right)}}\right]_{x=0}^{x=\infty }\,ds\\[6pt]&=4\left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right)\\[6pt]&=2\arctan(s){\Big |}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\pi .\end{aligned}}}
ดังนั้น จึงเป็นไปตามที่คาดไว้ I = π {\displaystyle I={\sqrt {\pi }}}
ในการประมาณค่าแบบลาปลาส เราจะพิจารณาเฉพาะพจน์ลำดับที่สองในการกระจายเทย์เลอร์ เท่านั้น ดังนั้นเราจึงพิจารณา e − x 2 ≈ 1 − x 2 ≈ ( 1 + x 2 ) − 1 {\displaystyle e^{-x^{2}}\approx 1-x^{2}\approx (1+x^{2})^{-1}}
อันที่จริง เนื่องจากสำหรับทุกค่าเรามีขอบเขตที่แน่นอนดังนี้: จากนั้นเราสามารถใช้ขอบเขตที่ขีดจำกัดการประมาณค่าแบบลาปลาสได้:( 1 + t ) e − t ≤ 1 {\displaystyle (1+t)e^{-t}\leq 1} t {\displaystyle t} 1 − x 2 ≤ e − x 2 ≤ ( 1 + x 2 ) − 1 {\displaystyle 1-x^{2}\leq e^{-x^{2}}\leq (1+x^{2})^{-1}} ∫ [ − 1 , 1 ] ( 1 − x 2 ) n d x ≤ ∫ [ − 1 , 1 ] e − n x 2 d x ≤ ∫ [ − 1 , 1 ] ( 1 + x 2 ) − n d x {\displaystyle \int _{[-1,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-1,1]}e^{-nx^{2}}dx\leq \int _{[-1,1]}(1+x^{2})^{-n}dx}
นั่นคือ 2 n ∫ [ 0 , 1 ] ( 1 − x 2 ) n d x ≤ ∫ [ − n , n ] e − x 2 d x ≤ 2 n ∫ [ 0 , 1 ] ( 1 + x 2 ) − n d x {\displaystyle 2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-{\sqrt {n}},{\sqrt {n}}]}e^{-x^{2}}dx\leq 2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1+x^{2})^{-n}dx}
โดยการแทนที่ด้วยตรีโกณมิติ เราสามารถคำนวณขอบเขตทั้งสองนั้นได้อย่างแม่นยำ: และ2 n ( 2 n ) ! ! / ( 2 n + 1 ) ! ! {\displaystyle 2{\sqrt {n}}(2n)!!/(2n+1)!!} 2 n ( π / 2 ) ( 2 n − 3 ) ! ! / ( 2 n − 2 ) ! ! {\displaystyle 2{\sqrt {n}}(\pi /2)(2n-3)!!/(2n-2)!!}
โดยการหาค่ารากที่สองของสูตรของวอลลิส เราจะได้ค่าขอบเขตล่างที่ต้องการ ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาค่าขอบเขตบนที่ต้องการได้ ในทางกลับกัน หากเราคำนวณปริพันธ์ด้วยวิธีอื่นใดข้างต้นก่อน เราก็จะได้ข้อพิสูจน์ของสูตรของวอลลิส π 2 = ∏ n = 1 ( 2 n ) 2 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}} π = 2 lim n → ∞ n ( 2 n ) ! ! ( 2 n + 1 ) ! ! {\displaystyle {\sqrt {\pi }}=2\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}{\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}}
พิสูจน์โดยใช้ปริพันธ์เชิงซ้อน มีการค้นพบการพิสูจน์หลายอย่างโดยใช้สูตรอินทิกรัลของ Cauchy แม้ว่าในตอนแรกจะคิดว่าอินทิกรัลไม่เหมาะสมกับแคลคูลัสตกค้าง ก็ตาม[ 3 ] [ 4 ]
ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันแกมมา ฟังก์ชันที่อยู่ภายในอินทิกรั ล เป็นฟังก์ชันคู่
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx}
ดังนั้น หลังจากเปลี่ยนตัวแปรแล้ว สมการนี้จึงกลายเป็นอินทิกรัลของออยเลอร์ x = t {\textstyle x={\sqrt {t}}}
2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ 1 2 e − t t − 1 2 d t = Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\ e^{-t}\ t^{-{\frac {1}{2}}}dt=\Gamma {\left({\frac {1}{2}}\right)}={\sqrt {\pi }}}
โดยที่คือฟังก์ชันแกมมา โดยทั่วไปแล้ว สามารถหาได้โดยการแทนค่าลงในตัวอินทิกรัลของฟังก์ชันแกมมาเพื่อให้ได้ Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt} ∫ 0 ∞ x n e − a x b d x = Γ ( ( n + 1 ) / b ) b a ( n + 1 ) / b , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {\Gamma {\left((n+1)/b\right)}}{ba^{(n+1)/b}}},} t = a x b {\displaystyle t=ax^{b}} Γ ( z ) = a z b ∫ 0 ∞ x b z − 1 e − a x b d x {\textstyle \Gamma (z)=a^{z}b\int _{0}^{\infty }x^{bz-1}e^{-ax^{b}}dx}
การสรุปโดยทั่วไป
อินทิกรัลของฟังก์ชันเกาส์เซียน อินทิกรัลของฟังก์ชันเกาส์ เซียนใดๆ คือ ∫ − ∞ ∞ e − a ( x + b ) 2 d x = π a . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.}
รูปแบบอื่นคือ ∫ − ∞ ∞ e − ( a x 2 − b x + c ) d x = π a e b 2 4 a − c . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}-bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}-c}.}
แบบฟอร์มนี้มีประโยชน์สำหรับการคำนวณค่าคาดหวังของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงแบบปกติ เช่นการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ เป็นต้น
∫ − ∞ ∞ e 1 2 i t 2 d t = e i π / 4 2 π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {1}{2}}it^{2}}dt=e^{i\pi /4}{\sqrt {2\pi }}} ∫ R N e 1 2 i x T A x d x = det ( A ) − 1 2 ( e i π / 4 2 π ) N {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{{\frac {1}{2}}i\mathbf {x} ^{T}A\mathbf {x} }dx=\det(A)^{-{\frac {1}{2}}}{\left(e^{i\pi /4}{\sqrt {2\pi }}\right)}^{N}} A {\displaystyle A}
n สมมติว่าA เป็นเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน (ดังนั้นจึงสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้) ขนาด n × n เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม แล้ว
∫ R n exp ( − 1 2 x T A x ) d n x = ∫ R n exp ( − 1 2 ∑ i , j = 1 n A i j x i x j ) d n x = ( 2 π ) n det A = 1 det ( A / 2 π ) = det ( 2 π A − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} \right)}\,d^{n}\mathbf {x} &=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}\mathbf {x} \\[1ex]&={\sqrt {\frac {{\left(2\pi \right)}^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det \left(A/2\pi \right)}}}\\[1ex]&={\sqrt {\det \left(2\pi A^{-1}\right)}}\end{aligned}}}
โดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะได้เป็นข้อสรุปทั่วไปดังนี้∫ R n exp ( − 1 2 x T A x + b T x + c ) d n x = det ( 2 π A − 1 ) exp ( 1 2 b T A − 1 b + c ) {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +c\right)}\,d^{n}\mathbf {x} ={\sqrt {\det \left(2\pi A^{-1}\right)}}\exp \left({\tfrac {1}{2}}\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}A^{-1}\mathbf {b} +c\right)}
ข้อเท็จจริงนี้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในการศึกษาการแจกแจงปกติแบบหลาย ตัวแปร
นอกจากนี้ σ คือ การเรียงสับเปลี่ยน ของ{1, …, 2 N } และปัจจัยพิเศษทางด้านขวามือคือผลรวมของการจับคู่เชิงคอมบินาทอริกทั้งหมดของ{1, …, 2 N } ของA −1 จำนวน N ชุด∫ x k 1 ⋯ x k 2 N exp ( − 1 2 ∑ i , j = 1 n A i j x i x j ) d n x = ( 2 π ) n det A 1 2 N N ! ∑ σ ∈ S 2 N ( A − 1 ) k σ ( 1 ) k σ ( 2 ) ⋯ ( A − 1 ) k σ ( 2 N − 1 ) k σ ( 2 N ) {\displaystyle \int x_{k_{1}}\cdots x_{k_{2N}}\,\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\,{\frac {1}{2^{N}N!}}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}}
หรืออีกทางหนึ่ง[ 5 ]
∫ f ( x ) exp ( − 1 2 ∑ i , j = 1 n A i j x i x j ) d n x = ( 2 π ) n det A exp ( 1 2 ∑ i , j = 1 n ( A − 1 ) i j ∂ ∂ x i ∂ ∂ x j ) f ( x ) | x = 0 {\displaystyle \int f(\mathbf {x} )\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}\mathbf {x} ={\sqrt {\frac {{\left(2\pi \right)}^{n}}{\det A}}}\,\left.\exp \left({\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}{\partial \over \partial x_{i}}{\partial \over \partial x_{j}}\right)f(\mathbf {x} )\right|_{\mathbf {x} =0}}
สำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์ f บาง ฟังก์ชัน โดยที่ฟังก์ชันนั้นต้องเป็นไปตามขอบเขตการเติบโตที่เหมาะสมและเกณฑ์ทางเทคนิคอื่นๆ (ใช้ได้กับบางฟังก์ชันและใช้ไม่ได้กับบางฟังก์ชัน พหุนามใช้ได้) เลขชี้กำลังเหนือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์นั้นเข้าใจได้ว่าเป็นอนุกรม กำลัง
แม้ว่าอินทิกรัลเชิงฟังก์ชัน จะไม่มีนิยามที่เข้มงวด (หรือแม้แต่นิยามเชิงคำนวณที่ไม่เข้มงวดในกรณีส่วนใหญ่) แต่เราสามารถกำหนด อินทิกรัลเชิงฟังก์ชันแบบเกาส์เซียนได้โดยเปรียบเทียบกับกรณีมิติจำกัด อย่างไรก็ตาม ยังคงมีปัญหาอยู่ว่าค่า เป็นอนันต์ และโดยทั่วไปแล้วดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชัน ก็จะเป็นอนันต์เช่นกัน ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้หากเราพิจารณาเฉพาะอัตราส่วนเท่านั้น: ( 2 π ) ∞ {\displaystyle (2\pi )^{\infty }}
∫ f ( x 1 ) ⋯ f ( x 2 N ) exp [ − ∬ 1 2 A ( x 2 N + 1 , x 2 N + 2 ) f ( x 2 N + 1 ) f ( x 2 N + 2 ) d d x 2 N + 1 d d x 2 N + 2 ] D f ∫ exp [ − ∬ 1 2 A ( x 2 N + 1 , x 2 N + 2 ) f ( x 2 N + 1 ) f ( x 2 N + 2 ) d d x 2 N + 1 d d x 2 N + 2 ] D f = 1 2 N N ! ∑ σ ∈ S 2 N A − 1 ( x σ ( 1 ) , x σ ( 2 ) ) ⋯ A − 1 ( x σ ( 2 N − 1 ) , x σ ( 2 N ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\displaystyle \int f(x_{1})\cdots f(x_{2N})\exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,d^{d}x_{2N+1}\,d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}{\displaystyle \int \exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,d^{d}x_{2N+1}\,d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}}\\[6pt]={}&{\frac {1}{2^{N}N!}}\sum _{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).\end{aligned}}}
ในสัญกรณ์ของเดอวิตต์ สมการจะมีลักษณะเหมือนกับกรณีที่มีมิติจำกัด
n ที่มีพจน์เชิงเส้น ถ้าA เป็นเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอนอีกครั้ง (โดยสมมติว่าเวกเตอร์ทั้งหมดเป็นเวกเตอร์คอลัมน์) ∫ exp ( − 1 2 ∑ i , j = 1 n A i j x i x j + ∑ i = 1 n b i x i ) d n x = ∫ exp ( − 1 2 x T A x + b T x ) d n x = ( 2 π ) n det A exp ( 1 2 b T A − 1 b ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}\right)d^{n}\mathbf {x} &=\int \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \right)d^{n}\mathbf {x} \\&={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left({\tfrac {1}{2}}\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}A^{-1}\mathbf {b} \right).\end{aligned}}}
∫ 0 ∞ x 2 n e − x 2 / a 2 d x = π a 2 n + 1 ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{x^{2}}/{a^{2}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}} ∫ 0 ∞ x 2 n + 1 e − x 2 / a 2 d x = n ! 2 a 2 n + 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{x^{2}}/{a^{2}}}\,dx={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}} ∫ 0 ∞ x 2 n e − b x 2 d x = ( 2 n − 1 ) ! ! b n 2 n + 1 π b {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-bx^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{b^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{b}}}} ∫ 0 ∞ x 2 n + 1 e − b x 2 d x = n ! 2 b n + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-bx^{2}}\,dx={\frac {n!}{2b^{n+1}}}} ∫ 0 ∞ x n e − b x 2 d x = Γ ( n + 1 2 ) 2 b n + 1 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-bx^{2}}\,dx={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2b^{\frac {n+1}{2}}}}} n {\displaystyle n}
วิธีง่ายๆ ในการหาค่าเหล่านี้คือการหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรั ล
∫ − ∞ ∞ x 2 n e − α x 2 d x = ( − 1 ) n ∫ − ∞ ∞ ∂ n ∂ α n e − α x 2 d x = ( − 1 ) n ∂ n ∂ α n ∫ − ∞ ∞ e − α x 2 d x = π ( − 1 ) n ∂ n ∂ α n α − 1 2 = π α ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 α ) n {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[1ex]&=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[1ex]&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}\\[1ex]&={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}}
เราสามารถใช้การอินทิเกรตโดยส่วนและหาความสัมพันธ์เวียนเกิด เพื่อแก้ปัญหานี้ ได้เช่นกัน
พหุนามอันดับสูง การใช้การเปลี่ยนฐานเชิงเส้นแสดงให้เห็นว่าปริพันธ์ของเลขชี้กำลังของพหุนามเอกพันธุ์ใน ตัวแปร n ตัวอาจขึ้นอยู่กับ ตัวแปรคงที่ SL( n ) ของพหุนามเท่านั้น ตัวแปรคงที่ดังกล่าวตัวหนึ่งคือดิสคริมิ แน นต์ ซึ่งศูนย์ของดิสคริมิแนนต์จะบ่งบอกถึงจุดเอกฐานของปริพันธ์ อย่างไรก็ตาม ปริพันธ์อาจขึ้นอยู่กับตัวแปรคงที่อื่นๆ ด้วย[ 6 ]
เลขชี้กำลังของพหุนามคู่ตัวอื่นๆ สามารถหาคำตอบได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลขโดยใช้ชุดอนุกรม ซึ่งอาจตีความได้ว่าเป็นการคำนวณเชิงรูปแบบ เมื่อไม่มีการลู่เข้า ตัวอย่างเช่น คำตอบของปริพันธ์ของเลขชี้กำลังของพหุนามกำลังสี่คือ
∫ − ∞ ∞ e a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + f d x = 1 2 e f ∑ n , m , p = 0 n + p = 0 mod 2 ∞ b n n ! c m m ! d p p ! Γ ( 3 n + 2 m + p + 1 4 ) ( − a ) 3 n + 2 m + p + 1 4 . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f}\,dx={\frac {1}{2}}e^{f}\sum _{\begin{smallmatrix}n,m,p=0\\n+p=0{\bmod {2}}\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {b^{n}}{n!}}{\frac {c^{m}}{m!}}{\frac {d^{p}}{p!}}{\frac {\Gamma {\left({\frac {3n+2m+p+1}{4}}\right)}}{{\left(-a\right)}^{\frac {3n+2m+p+1}{4}}}}.}
เงื่อนไข n + p = 0(−1) n + p ให้กับแต่ละพจน์ ในขณะที่ปริพันธ์จาก 0 ถึง +∞ จะเพิ่มปัจจัย 1/2 ให้กับแต่ละพจน์ ปริพันธ์เหล่านี้มักปรากฏในวิชาต่างๆ เช่นทฤษฎีสนามควอนตั ม
ดูเพิ่มเติม 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dx\,dy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\[6pt]&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\[6pt]&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\[6pt]&=\pi \,\left[e^{s}\right]_{-\infty }^{0}\\[6pt]&=\pi \,\left(e^{0}-e^{-\infty }\right)\\[6pt]&=\pi \,\left(1-0\right)\\[6pt]&=\pi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7ee7fe39e38192c65bcc75728304264aa581e1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(a)^{2}&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\,e^{-x^{2}}\,dx\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d510505167c225b6333ffdc0c96d23bd08638fde)
![{\displaystyle \iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,d(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31fe5ccb6533322f51c663bc350715046f7c41f2)
![{\displaystyle \mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &{\hphantom {-}}r\cos \theta \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b300f48124bf17ae3621964cc2132c0e0271f0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dy\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,ds\right)\,dx\\[6pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3713b96f98c4183d4a63ab83a24b683e14da59)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,dx\right)\,ds\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}}{-2\left(1+s^{2}\right)}}\right]_{x=0}^{x=\infty }\,ds\\[6pt]&=4\left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right)\\[6pt]&=2\arctan(s){\Big |}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc48a8d89ff700bac4097b437ad96e9c8f6a2e22)
![{\displaystyle \int _{[-1,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-1,1]}e^{-nx^{2}}dx\leq \int _{[-1,1]}(1+x^{2})^{-n}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94cd70c83852e01c91612ceac8ee2a9c253f6c1)
![{\displaystyle 2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-{\sqrt {n}},{\sqrt {n}}]}e^{-x^{2}}dx\leq 2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1+x^{2})^{-n}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d95821a01bcfcebdb4b4e76f7bad4f389e76f7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} \right)}\,d^{n}\mathbf {x} &=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}\mathbf {x} \\[1ex]&={\sqrt {\frac {{\left(2\pi \right)}^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det \left(A/2\pi \right)}}}\\[1ex]&={\sqrt {\det \left(2\pi A^{-1}\right)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a8185189d83bd8dfb0de58f0332f324cad48d9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\displaystyle \int f(x_{1})\cdots f(x_{2N})\exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,d^{d}x_{2N+1}\,d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}{\displaystyle \int \exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,d^{d}x_{2N+1}\,d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}}\\[6pt]={}&{\frac {1}{2^{N}N!}}\sum _{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a327e4b6503e102da28aea9cf7eb2ab867676362)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[1ex]&=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[1ex]&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}\\[1ex]&={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd307e4121263a07ab949130019a839c46ed1e9b)
