ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ ดีกรีเหนือริง สลับที่ คือเซตของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ nโดยมีการดำเนินการของกลุ่มคือการคูณเมทริกซ์ ธรรมดา และการผกผันเมทริกซ์นี่คือกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่กำหนดโดยเคอร์เนลของดีเทอร์มิแนนต์ n${\displaystyle \operatorname {SL} (n,R)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,R)\to R^{\times }.}$

กลุ่มการคูณของ(กล่าวคือไม่รวมกรณีที่เป็นฟิลด์) อยู่ที่ไหน${\displaystyle R^{\times }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle R}$

องค์ประกอบเหล่านี้ "มีความพิเศษ" ตรงที่พวกมันเป็นกลุ่มย่อยเชิงพีชคณิตของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป – พวกมันสอดคล้องกับสมการพหุนาม (เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์เป็นพหุนามในสมาชิก)

เมื่อฟิลด์จำกัดมีอันดับ n บางครั้งจะใช้ สัญลักษณ์นี้${\displaystyle R}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,q)}$

กลุ่มเชิงเส้นพิเศษนี้สามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นกลุ่มของ การแปลงเชิงเส้น ที่รักษาปริมาตรและทิศทางของซึ่งสอดคล้องกับการตีความตัวกำหนดว่าเป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรและทิศทาง ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

เมื่อหรือเป็นกลุ่มย่อยลีของที่มีมิติพีชคณิตลีของประกอบด้วยเมทริกซ์ทั้งหมดเหนือที่มีร่องรอยเป็นศูนย์ วงเล็บลีถูกกำหนดโดยตัว สลับ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle n^{2}-1}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle F}$

เมทริกซ์ผกผันใดๆ สามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงตามการแยกส่วนเชิงขั้วโดยเป็นผลคูณของเมทริกซ์เอกลักษณ์และ เมทริกซ์ เฮอร์มิเชียนที่มีค่าไอเกนเป็นบวก ดี เท อร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์อยู่บนวงกลมหน่วยในขณะที่ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเป็นจำนวนจริงและเป็นบวก เนื่องจากในกรณีของเมทริกซ์จากกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ ผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสองนี้ต้องเป็น 1 ดังนั้นแต่ละตัวจึงต้องเป็น 1 ด้วยเหตุนี้ เมทริกซ์เชิงเส้นพิเศษจึงสามารถเขียนได้เป็นผลคูณของเมทริกซ์เอกลักษณ์พิเศษ (หรือเมทริกซ์เชิงตั้งฉากพิเศษในกรณีจำนวนจริง) และ เมทริกซ์เฮอร์มิเชียน บวกแน่นอน (หรือเมทริกซ์สมมาตรในกรณีจำนวนจริง) ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1

ดังนั้น โทโพโลยีของกลุ่มจึงเป็นผลคูณของโทโพโลยีของและโทโพโลยีของกลุ่มเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับหนึ่งและมีค่าไอเกนบวก เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับหนึ่งและมีค่าไอเกนบวกสามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงในรูปเอกซ์โพเนนเชียลของ เมทริกซ์เฮอร์ มิ เชียน ที่ไม่มีร่องรอยดังนั้นโทโพโลยีของเมทริกซ์นี้จึงเป็นโทโพโลยีของปริภูมิยุคลิดมิติ^{[ 1 ]}เนื่องจากเป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย^{[ 2 ]}ดังนั้น จึงเป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายเช่นกัน สำหรับทุก ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {SU} (n)}$${\displaystyle (n^{2}-1)}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {SU} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\geq 2}$

โทโพโลยีของเป็นผลคูณของโทโพโลยีของSO ( n ) และโทโพโลยีของกลุ่มเมทริกซ์สมมาตรที่มีค่าไอเกนบวกและดีเทอร์มิแนนต์หนึ่งหน่วย เนื่องจากเมทริกซ์หลังสามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงในรูปเอกซ์โพเนนเชียลของเมทริกซ์สมมาตรที่ไม่มีร่องรอย ดังนั้นโทโพโลยีหลังนี้จึงเป็นโทโพโลยีของ ปริภูมิยุคลิดมิติ ( n + 2)( n − 1)/2ดังนั้น กลุ่มจึงมีกลุ่มพื้นฐานเดียวกันกับ; นั่นคือสำหรับและสำหรับ^{[ 3 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งหมายความว่าต่างจากไม่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายสำหรับ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n>1}$

กลุ่มย่อยสองกลุ่มที่เกี่ยวข้องกัน ซึ่งในบางกรณีตรงกับและในบางกรณีก็ถูกรวมเข้าด้วยกันโดยไม่ได้ตั้งใจคือกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของและกลุ่มที่สร้างขึ้นโดย ทรานส์ เวคชันกลุ่มทั้งสองนี้เป็นกลุ่มย่อยของ(ทรานส์เวคชันมีดีเทอร์มิแนนต์ 1 และ det เป็นแผนที่ไปยังกลุ่มอาเบเลียน ดังนั้น) แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่ตรงกับ ${\displaystyle \operatorname {SL} }$${\displaystyle \operatorname {SL} }$${\displaystyle \operatorname {GL} }$${\displaystyle \operatorname {SL} }$${\displaystyle [\operatorname {GL} ,\operatorname {GL} ]<\operatorname {SL} }$

กลุ่มที่สร้างขึ้นโดยทรานส์เวคชั่นจะถูกแทนด้วย(สำหรับเมทริกซ์พื้นฐาน ) หรือโดยความสัมพันธ์ของสไตน์เบิร์กข้อ ที่สอง สำหรับทรานส์เวคชั่นเป็นตัวสลับดังนั้น สำหรับ${\displaystyle \operatorname {E} (n,A)}$${\displaystyle \operatorname {TV} (n,A)}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle \operatorname {E} (n,A)<[\operatorname {GL} (n,A),\operatorname {GL} (n,A)]}$

สำหรับ กรณีนี้ ทรานส์เวคชั่นไม่จำเป็นต้องเป็นคอมมิวเทเตอร์ (ของเมทริกซ์) ดังเช่นที่เห็นได้ในกรณีที่คือฟิลด์ที่มีสององค์ประกอบ ในกรณีนั้น ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

${\displaystyle A_{3}\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbb {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbb {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbb {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbb {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbb {F} _{2})\cong S_{3},}$

โดยที่และ แทนกลุ่ม สลับและกลุ่มสมมาตรบนตัวอักษร 3 ตัว ตามลำดับ${\displaystyle A_{3}}$${\displaystyle S_{3}}$

อย่างไรก็ตาม ถ้าเป็นฟิลด์ที่มีสมาชิกมากกว่า 2 ตัวE(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )]และถ้า เป็นฟิลด์ที่มี สมาชิก มากกว่า 3 ตัวE(2, A ) = [SL(2, A ), SL(2, A )]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ในบางสถานการณ์ สิ่งเหล่านี้จะตรงกัน: กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเหนือฟิลด์หรือโดเมนแบบยุคลิดถูกสร้างขึ้นโดยทรานส์เวคชั่น และ กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ เสถียรเหนือโดเมนเดเดคินด์ถูกสร้างขึ้นโดยทรานส์เวคชั่น สำหรับวงแหวนทั่วไปมากขึ้น ความแตกต่างเสถียรจะวัดโดยกลุ่มไวท์เฮดพิเศษ โดยที่และคือกลุ่มเสถียรของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษและเมทริกซ์พื้นฐาน ${\displaystyle SK_{1}(A)=\operatorname {SL} (A)/\operatorname {E} (A)}$${\displaystyle \operatorname {SL} (A)}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {E} (A)}$

หากทำงานกับริงที่สร้างขึ้นโดยทรานส์เวคชั่น (เช่นฟิลด์หรือโดเมนแบบยุคลิด ) เราสามารถนำเสนอโดยใช้ทรานส์เวคชั่นที่มีความสัมพันธ์บางอย่างได้ ทรานส์เวคชั่นเป็นไปตามความสัมพันธ์ของสไตน์เบิร์กแต่ความสัมพันธ์เหล่านี้ไม่เพียงพอ กลุ่มที่ได้คือกลุ่มสไตน์เบิร์กซึ่งไม่ใช่กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ แต่เป็นส่วนขยายกลางสากลของกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของ ${\displaystyle \operatorname {SL} }$${\displaystyle \operatorname {SL} }$${\displaystyle \operatorname {GL} }$

ชุดความสัมพันธ์ที่เพียงพอสำหรับนั้นกำหนดโดยความสัมพันธ์ของสไตน์เบิร์กสองข้อ บวกกับความสัมพันธ์ข้อที่สาม ( Conder, Robertson & Williams 1992 , หน้า 19) ให้เป็นเมทริกซ์พื้นฐานที่มีบนแนวทแยงมุมและ ในตำแหน่ง และที่อื่น ๆ (และ) แล้ว ${\displaystyle {\text{SL}}(n,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle T_{ij}:=e_{ij}(1)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle ij}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

เป็นชุดความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์สำหรับ ${\displaystyle {\text{SL}}(n,\mathbb {Z} ),n\geq 3}$

ในลักษณะเฉพาะอื่นที่ไม่ใช่ 2 เซตของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์±1จะก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยอีกกลุ่มหนึ่งของ GL โดยมี SL เป็นกลุ่มย่อยดัชนี 2 (จำเป็นต้องเป็นกลุ่มย่อยปกติ) ในลักษณะเฉพาะ 2 เซตนี้จะเหมือนกับ SL ซึ่งก่อให้เกิด ลำดับ กลุ่ม ที่แน่นอนสั้นๆ :

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (n,F)\to \operatorname {SL} ^{\pm }(n,F)\to \{\pm 1\}\to 1.}$

ลำดับนี้จะแยกออกโดยการเลือกเมทริกซ์ใดๆ ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ−1ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์แนวทแยงถ้าเป็นจำนวนคี่ เมทริกซ์เอกลักษณ์เชิงลบจะอยู่ในSL ^± ( n , F )แต่ไม่อยู่ในSL( n , F )ดังนั้นกลุ่มจะแยกออกเป็นผลคูณโดยตรงภายในอย่างไรก็ตาม ถ้าเป็นจำนวนคู่จะอยู่ในSL( n , F ) อยู่แล้ว SL ^±จะ ไม่แยกออก และโดยทั่วไปจะเป็น ส่วนขยายของกลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มธรรมดา ${\displaystyle (-1,1,\dots ,1).}$${\displaystyle n=2k+1}$${\displaystyle -I}$${\displaystyle \operatorname {SL} ^{\pm }(2k+1,F)\cong \operatorname {SL} (2k+1,F)\times \{\pm I\}}$${\displaystyle n=2k}$${\displaystyle -I}$

บนจำนวนจริงSL ^± ( n , R )มีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน สองส่วน ซึ่งสอดคล้องกับSL( n , R )และส่วนประกอบอีกส่วนหนึ่ง ซึ่งมีสมมาตรกับการระบุตัวตนโดยขึ้นอยู่กับการเลือกจุด (เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์−1 ) ในมิติคี่ ส่วนประกอบเหล่านี้จะถูกระบุตัวตนโดยธรรมชาติด้วยแต่ในมิติคู่จะไม่มีการระบุตัวตนโดยธรรมชาติใดๆ ${\displaystyle -I}$

กลุ่มนี้แยกออกตามดีเทอร์มิแนนต์ (เราใช้เป็นโมโนมอร์ฟิซึมจากไปดูผลคูณกึ่งตรง ) และด้วยเหตุนี้จึงสามารถเขียนเป็นผลคูณกึ่งตรงของโดย ได้ดังนี้: ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle F^{\times }=\operatorname {GL} (1,F)\to \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle F^{\times }}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$${\displaystyle F^{\times }}$

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)=\operatorname {SL} (n,F)\rtimes F^{\times }}$.

• SL(2, R )
• SL(2, C )
• กลุ่มโมดูลาร์ (PSL(2, Z ))
• กลุ่มเชิงเส้นเชิงฉาย
• แผนที่คอนฟอร์มอล
• ภาพแทนของกลุ่ม Lie แบบคลาสสิก