ในทางคณิตศาสตร์ลิมิตโดยตรงของกลุ่มคือลิมิตโดยตรงของระบบกลุ่มโดยตรงสิ่งเหล่านี้เป็นหัวข้อหลักในการศึกษาในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีโฮโมโทปีเสถียรและพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีบางครั้งเรียกสิ่ง เหล่านี้ว่า กลุ่มจำกัดหรือ กลุ่ม เสถียรแม้ว่าคำหลังนี้โดยปกติแล้วจะมีความหมายแตกต่างออกไปในทฤษฎีแบบจำลองก็ตาม

ตัวอย่างบางส่วนของกลุ่มเสถียรนั้นศึกษาได้ง่ายกว่ากลุ่ม "ไม่เสถียร" ซึ่งเป็นกลุ่มที่เกิดขึ้นในลิมิต นี่เป็นเรื่องที่น่าประหลาดใจในเบื้องต้นเนื่องจากโดยทั่วไปแล้วกลุ่มเหล่านี้มีมิติอนันต์ สร้างขึ้นจากลิมิตของกลุ่มที่มีการแสดงผลแบบมิติจำกัด

แนวคิดเรื่องลิมิตโดยตรงนั้นครอบคลุมความคิดที่คลุมเครือแต่เข้าใจง่ายหลายอย่างเกี่ยวกับ "ลิมิตของกลุ่ม" กล่าวคือกลุ่มสมมาตร จำกัด ควรจำกัดตัวเองเป็นกลุ่มสมมาตรอนันต์ และกลุ่มย่อยของกลุ่มควรจำกัดตัวเองเป็นกลุ่มสมมาตรอนันต์ในบางแง่ ภายใต้การสร้างลิมิตโดยตรง ตระกูลกลุ่ม (กลุ่มสมมาตรกลุ่มไดเฮดรัลกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปฯลฯ) โดยทั่วไปจะจำกัดตัวเองเป็นกลุ่มย่อยจำกัดหรือกลุ่มย่อยเสถียรของกลุ่มอนันต์ ที่สอดคล้องกัน กล่าวคือ กลุ่มต่างๆจะไม่จำกัดตัวเองเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนของเซตที่นับได้แต่จะจำกัดตัวเองเป็นกลุ่มย่อยของการเรียงสับเปลี่ยนซึ่งเรียงสับเปลี่ยนวัตถุเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น เรามักจะเห็นว่าการกู้คืนกลุ่มเป็นลิมิตโดยตรงของกลุ่มย่อยสามารถทำได้ง่ายๆ (และบางครั้งก็ทำได้เพียง) ด้วยกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ลิมิตโดยตรงมีคำจำกัดความที่ทั่วไปกว่าในทฤษฎีหมวดหมู่ซึ่งลดรูปเป็นคำจำกัดความด้านล่างในหมวดหมู่ของกลุ่มและโดยทั่วไปแล้วในหมวด หมู่ที่เป็นรูปธรรม ใดๆ ก็ได้${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S_{\omega }}$

ให้เป็นเซตที่มีความสัมพันธ์ทวิภาค แบบถ่ายทอดและสะท้อนกลับ ( พรีออร์เดอร์ ) เราเรียกว่าเซตทิศทางถ้าสำหรับทุกและในจะมีบาง ที่ทำให้และให้เป็นกลุ่มของกลุ่มที่มีดัชนีเป็น โดยมีโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มสำหรับทุกในที่ทำให้ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle I}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle I}$${\displaystyle k\in I}$${\displaystyle i\preceq k}$${\displaystyle j\preceq k}$${\displaystyle \{G_{i}\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f_{i,j}:G_{i}\to G_{j}}$${\displaystyle i\preceq j}$${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle f_{i,i}=\operatorname {id} _{G_{i}}}$สำหรับทุกคนใน${\displaystyle i}$${\displaystyle I}$
2. ${\displaystyle f_{j,k}\circ f_{i,j}=f_{i,k}}$สำหรับทุกคนใน.${\displaystyle i\preceq j\preceq k}$${\displaystyle I}$

คู่ดังกล่าวเรียกว่าระบบโดยตรงและเราสร้างเซตขึ้นมาลิมิตโดยตรงของระบบโดยตรงจะถูกแทนด้วยและถูกกำหนดบนชั้นสมมูลของการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของกับสำหรับและถ้าโดยที่คือขอบเขตบนของและนั่นคือ ${\displaystyle \langle G_{i},f_{i,j}\rangle }$${\displaystyle \langle G_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \varinjlim G_{i}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle x_{i}\sim x_{j}}$${\displaystyle x_{i}\in G_{i}}$${\displaystyle x_{j}\in G_{j}}$${\displaystyle f_{i,k}(x_{i})=f_{j,k}(x_{j})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle \varinjlim G_{i}{\text{ มีเซตพื้นฐาน }}\bigsqcup _{i\in I}G_{i}{\bigg /}\sim .}$

สำหรับ, , และขอบเขตบนของและเรากำหนดการดำเนินการทวิภาคบนโดยการตั้งค่า โดยที่การคูณจะดำเนินการในการดำเนินการนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดีโดยเงื่อนไขความเข้ากันได้บนและคุณสมบัติการสลับที่ได้มาจากคุณสมบัติการสลับที่ในเนื่องจากแต่ละแผนที่เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม เอกลักษณ์ทั้งหมดจึงอยู่ในชั้นสมมูลเดียวกันและ ชั้นนี้ก่อให้เกิดเอกลักษณ์ของสุดท้าย ตัวผกผันของสำหรับคือ${\displaystyle x_{i}\in G_{i}}$${\displaystyle x_{j}\in G_{j}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \varinjlim G_{i}}$${\displaystyle [x_{i}]\cdot [x_{j}]=[f_{i,k}(x_{i})f_{j,k}(x_{j})]}$${\displaystyle f_{i,k}(x_{i})f_{j,k}(x_{j})}$${\displaystyle G_{k}}$${\displaystyle f_{i,j}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle f_{i,j}}$${\displaystyle \varinjlim G_{i}}$${\displaystyle [x_{i}]}$${\displaystyle x_{i}\in G_{i}}$${\displaystyle [x_{i}^{-1}]}$

เช่นเดียวกับโครงสร้างเชิงหมวดหมู่หลายอย่าง ลิมิตโดยตรงมีความเป็นเอกลักษณ์ในความหมายที่เข้มงวด กล่าวคือ สำหรับลิมิตโดยตรงสองตัวของระบบโดยตรง จะมีไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cong B}$

• เซตภายใต้ลำดับปกติของมันก่อให้เกิดเซตแบบมีทิศทางซึ่งใช้ในการทำดัชนีให้กับตระกูลของกลุ่มสมมาตรจำกัดด้วยการฝังตัวแบบปกติกลุ่มและแผนที่เหล่านี้ก่อให้เกิดระบบโดยตรงที่มีลิมิตโดยตรง (สมมาตรกับ) กลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรบนสิ่งของจำนวนนับได้ ซึ่งประกอบด้วยการเรียงสับเปลี่ยนที่เรียงสับเปลี่ยนเฉพาะวัตถุจำนวนจำกัดเท่านั้น หาก พิจารณาจำนวนเต็ม ภายใต้ลำดับการหารลงตัวบางส่วนแบบอื่น และ เก็บเฉพาะการฝังตัวที่เหมาะสมไว้เท่านั้น ก็จะได้ลิมิตโดยตรงแบบเดียวกัน${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle f_{i,j}:S_{i}\to S_{j}}$${\displaystyle S_{\omega }}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle f_{i,j}:S_{i}\to S_{j}}$
• สำหรับจำนวนเฉพาะ เราสร้างระบบโดยตรงของกลุ่มตัวประกอบด้วยการคูณโดยโฮโมมอร์ฟิซึม การกำหนดค่าจะสร้างระบบโดยตรงที่มีลิมิตโดยตรงที่เรียกว่ากลุ่ม Prüferซึ่งมีอยู่สำหรับจำนวนเฉพาะแต่ละตัวและประกอบด้วยรากทั้งหมดของเอกภาพของกำลังทั้งหมดของ สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าสำหรับเซตดัชนีที่มีลำดับสมบูรณ์ จำเป็นต้องระบุเฉพาะแผนที่เท่านั้น${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle f_{i,i+1}:\mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{i+1}\mathbb {Z} }$$${\displaystyle f_{i,i+j}=f_{i+j-1,i+j}\circ \dots f_{i+1,i+2}\circ f_{i,i+1}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{\text{th}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f_{i,i+1}}$
• แต่ละตระกูลของกลุ่มคลาสสิกก่อให้เกิดระบบโดยตรง ผ่านการรวมเมทริกซ์ในมุมบนซ้าย เช่น เมทริก ซ์ ที่มีค่า a อยู่ในตำแหน่งแนวทแยงที่เหลือ และมีค่าเป็นศูนย์ในทุกตำแหน่งอื่น กลุ่มเสถียรจะถูกแทนด้วยหรือ ฟังก์ชันคาบของ บอตต์คำนวณโฮโมโทปีของกลุ่มเอกภาพ เสถียร และกลุ่มตั้งฉาก เสถียร กลุ่มไวท์เฮดของวงแหวน ( กลุ่ม K แรก ) สามารถกำหนดได้ในรูปของกลุ่มโฮโมโทปีเสถียรของทรงกลมคือกลุ่มเสถียรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแขวนลอย${\displaystyle \operatorname {GL} (n,A)\to \operatorname {GL} (n+1,A)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {GL} (A)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ,A)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (A)}$

• ถ้าเป็นระบบโดยตรงที่มีเซตดัชนีซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบสูงสุดแล้วจะ (สมมูลกับ) ในทำนองเดียวกัน ถ้ามีอยู่บางค่าที่ทำให้สำหรับทุกแล้วจะ(สมมูลกับ)${\displaystyle \langle G_{i},f_{i,j}\rangle }$${\displaystyle I}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varinjlim G_{i}}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle j,k\geq i}$${\displaystyle G_{j}=G_{k}}$${\displaystyle \varinjlim G_{n}}$${\displaystyle G_{i}}$
• กลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดของกลุ่มที่กำหนดสามารถเรียงลำดับได้บางส่วนโดยการรวม กลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดจำนวนชุดจำกัดนั้นบรรจุอยู่ในกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดดังนั้นชุดดัชนีจึงมีทิศทาง ด้วยมอร์ฟิซึมการรวมขีดจำกัดโดยตรงจึงเป็นเพียง (สมมูลกับ) ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับริง โมดูล พีชคณิต ฯลฯ โปรดทราบว่าข้อกำหนดของการสร้างอย่างจำกัดอาจอ่อนลงได้ ตราบใดที่ชุดดัชนียังคงมีทิศทาง บ่อยครั้งที่สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อกลุ่มทั้งหมดถูกรวมอยู่ในชุดของกลุ่มย่อยเท่านั้น${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{\langle X_{1}\rangle ,\langle X_{2}\rangle ,\dots \langle X_{n}\rangle \}}$${\displaystyle \langle \ถ้วย X_{i}\rangle }$${\displaystyle f_{i,j}:H_{i}\to H_{j}}$${\displaystyle G}$
• สมมติว่าเป็นระบบโดยตรงที่มีเซตดัชนีและ a เป็นลำดับย่อยบนโดยที่เป็นเซตทิศทาง และขอบเขตบนภายใต้เป็นขอบเขตบนภายใต้แล้วระบบทิศทางและจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน${\displaystyle \langle G_{i},f_{i,j}\rangle }$${\displaystyle (I,\preceq )}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle I}$${\displaystyle (I,\leq )}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle \langle G_{i},f_{i,j}\rangle _{(I,\preceq )}}$${\displaystyle \langle G_{i},f_{i,j}\rangle _{(I,\leq )}}$

• ลิมิตผกผัน  – การสร้างในทฤษฎีหมวดหมู่