โดยทั่วไปแล้ว เส้นขอบจะถูกกำหนดในแง่ของเส้นโค้งเรียบที่มีทิศทาง^{[ 5 ]}ซึ่งให้คำจำกัดความที่แม่นยำของ "ส่วน" ของเส้นโค้งเรียบ ซึ่งเส้นขอบถูกสร้างขึ้นจากส่วนนั้น

เส้นโค้งเรียบคือเส้นโค้ง${\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }$โดยมีอนุพันธ์ต่อเนื่องที่ไม่เป็นศูนย์ โดยที่แต่ละจุดจะถูกสำรวจเพียงครั้งเดียว ( zเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง) ยกเว้นเส้นโค้งที่จุดปลายตรงกัน (${\displaystyle z(a)=z(b)}$ในกรณีที่จุดปลายตรงกัน เส้นโค้งนั้นเรียกว่าเส้นโค้งปิด และฟังก์ชันจะต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่ทุกจุดอื่น ๆ และอนุพันธ์จะต้องต่อเนื่องที่จุดที่ระบุ (${\displaystyle z'(a)=z'(b)}$เส้นโค้งเรียบที่ไม่ปิดมักเรียกว่าส่วนโค้งเรียบ^{[ 5 ]}

การกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้งทำให้สามารถเรียงลำดับจุดบนเส้นโค้งได้อย่างเป็นธรรมชาติ:${\displaystyle z(x)}$มาก่อน${\displaystyle z(y)}$ถ้า${\displaystyle x<y}$สิ่งนี้จึงนำไปสู่แนวคิดของเส้นโค้งเรียบแบบมีทิศทางการพิจารณาเส้นโค้งโดยไม่ขึ้นอยู่กับการกำหนดพารามิเตอร์เฉพาะนั้นมีประโยชน์มากที่สุด ซึ่งสามารถทำได้โดยการพิจารณาชั้นสมมูลของเส้นโค้งเรียบที่มีทิศทางเดียวกัน จาก นั้น เส้นโค้งเรียบแบบมี ทิศทาง สามารถนิยามได้ว่าเป็นเซตของจุดที่เรียงลำดับในระนาบเชิงซ้อนซึ่งเป็นภาพของเส้นโค้งเรียบบางเส้นในลำดับธรรมชาติ (ตามการกำหนดพารามิเตอร์) โปรดทราบว่าไม่ใช่ทุกการเรียงลำดับของจุดจะเป็นลำดับธรรมชาติของเส้นโค้งเรียบ ในความเป็นจริง เส้นโค้งเรียบที่กำหนดให้มีเพียงสองลำดับดังกล่าวเท่านั้น นอกจากนี้ เส้นโค้งปิดเส้นเดียวสามารถมีจุดใดก็ได้เป็นจุดปลาย ในขณะที่ส่วนโค้งเรียบมีเพียงสองตัวเลือกสำหรับจุดปลาย

เส้นโค้งคอนทัวร์เป็นกลุ่มของเส้นโค้งที่เราใช้ในการกำหนดนิยามของการอินทิเกรตคอนทัวร์ เส้น โค้งคอนทัวร์เป็นเส้นโค้งที่มีทิศทาง ซึ่งประกอบด้วยลำดับจำกัดของเส้นโค้งเรียบที่มีทิศทาง โดยที่จุดปลายของเส้นโค้งเหล่านี้ตรงกันเพื่อให้ได้ทิศทางเดียว ซึ่งจำเป็นต้องมีลำดับของเส้นโค้งเหล่านี้${\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}}$เป็นเช่นนั้นที่จุดปลายของ${\displaystyle \gamma _{i}}$ตรงกับจุดเริ่มต้นของ${\displaystyle \gamma _{i+1}}$สำหรับทุกคน${\displaystyle i}$โดยที่${\displaystyle 1\leq i<n}$ซึ่งรวมถึงเส้นโค้งเรียบที่มีทิศทางทั้งหมด นอกจากนี้ จุดเดียวในระนาบเชิงซ้อนก็ถือเป็นเส้นโค้งเช่นกัน สัญลักษณ์${\displaystyle +}$มักใช้เพื่อแสดงถึงการนำเส้นโค้งมาต่อกันเพื่อสร้างเส้นโค้งใหม่ ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนเส้นโค้งได้${\displaystyle \Gamma }$ซึ่งประกอบด้วย${\displaystyle n}$เส้นโค้งเช่น $${\displaystyle \Gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}+\cdots +\gamma _{n}.}$$

ในการกำหนดนิยามของอินทิกรัลตามเส้นโค้งในลักษณะนี้ เราต้องพิจารณาอินทิกรัลของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนเหนือตัวแปรจริงก่อน ให้${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริง${\displaystyle t}$ส่วนที่เป็นจริงและส่วนที่เป็นจินตนาการของ${\displaystyle f}$มักถูกระบุว่าเป็น${\displaystyle u(t)}$และ${\displaystyle v(t)}$ตามลำดับ ดังนั้น $${\displaystyle f(t)=u(t)+iv(t).}$$ จากนั้นจึงทำการอินทิกรัลของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน${\displaystyle f}$ตลอดช่วงเวลา${\displaystyle [a,b]}$ได้รับจาก $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)\,dt&=\int _{a}^{b}{\big (}u(t)+iv(t){\big )}\,dt\\&=\int _{a}^{b}u(t)\,dt+i\int _{a}^{b}v(t)\,dt.\end{aligned}}}$$

ต่อไปนี้ เพื่อกำหนดนิยามของอินทิกรัลตามเส้นโค้ง ให้กำหนดดังนี้${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเส้นโค้งเรียบที่มีทิศทาง${\displaystyle \gamma }$. อนุญาต${\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }$จะเป็นการกำหนดพารามิเตอร์ใดๆ ของ${\displaystyle \gamma }$ซึ่งสอดคล้องกับลำดับ (ทิศทาง) ของมัน จากนั้นจึงทำการอินทิเกรตตามแนว${\displaystyle \gamma }$ถูกกำหนดไว้ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz\,}$$ และกำหนดโดย^{[ 5 ]}$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz:=\int _{a}^{b}f{\big (}z(t){\big )}z'(t)\,dt.}$$

คำจำกัดความนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดี นั่นคือ ผลลัพธ์ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกพารามิเตอร์^{[ 5 ]}ในกรณีที่อินทิกรัลจริงทางด้านขวาไม่มีอยู่ อินทิกรัลตาม${\displaystyle \gamma }$กล่าวกันว่าไม่มีอยู่จริง

การขยายความหมายของปริพันธ์รีมันน์ไปสู่ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนนั้น ทำได้โดยใช้หลักการเดียวกันกับการนิยามปริพันธ์รีมันน์สำหรับฟังก์ชันของจำนวนจริง การแบ่งส่วนของเส้นโค้งเรียบที่มีทิศทาง${\displaystyle \gamma }$ถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดที่มีจำนวนจำกัดและเรียงลำดับบน${\displaystyle \gamma }$อินทิกรัลเหนือเส้นโค้งคือลิมิตของผลรวมจำกัดของค่าฟังก์ชันที่จุดต่างๆ บนส่วนแบ่ง โดยที่ระยะห่างสูงสุดระหว่างจุดสองจุดที่อยู่ติดกันบนส่วนแบ่ง (ในระนาบเชิงซ้อนสองมิติ) หรือที่เรียกว่าตาข่าย มีค่าเข้าใกล้ศูนย์

ผลลัพธ์พื้นฐานในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงซ้อนคือ อินทิกรัลตามเส้นโค้งของ⁠ 1 / z ⁠มีค่าเท่ากับ2π iโดยที่เส้นทางของเส้นโค้งถือเป็นวงกลมหน่วยที่เคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา (หรือเส้นโค้งจอร์แดน ใดๆ ที่มีทิศทาง บวกกับจุด0 ) ในกรณีของวงกลมหน่วย มีวิธีการโดยตรงในการคำนวณอินทิกรัล $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz.}$$

ในการประเมินอินทิกรัลนี้ ให้ใช้วงกลมหน่วย| z | = 1เป็นเส้นโค้งที่กำหนดพารามิเตอร์โดยz ( t ) = e ^itโดยที่t ∈ [0, 2π]แล้ว⁠ dz / dt ⁠ = ie ^itและ $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }1\,dt=i\,t{\Big |}_{0}^{2\pi }=\left(2\pi -0\right)i=2\pi i,}$$ ซึ่งเป็นค่าของอินทิกรัล ผลลัพธ์นี้ใช้ได้เฉพาะกรณีที่zยกกำลัง−1 เท่านั้น หากกำลังไม่เท่ากับ−1ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์เสมอ

พิจารณาอินทิกรัล $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx,}$$

ในการประเมินค่าอินทิกรัลนี้ เราจะพิจารณาฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}}$$

ซึ่งมีจุดเอกฐานที่iและ−iเราเลือกเส้นโค้งที่จะล้อมรอบปริพันธ์ค่าจริง ในที่นี้ครึ่งวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขอบเขตบนเส้นจำนวนจริง (เช่น จาก−aถึงa )จะสะดวกกว่า เรียกเส้นโค้งนี้ว่า C

มีสองวิธีในการดำเนินการ คือ การใช้สูตรอินทิกรัลของโคชีหรือโดยวิธีเศษเหลือ:

อินทิกรัล $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}$$

(ซึ่งเกิดขึ้นในทฤษฎีความน่าจะเป็นในรูปของผลคูณเชิงสเกลาร์ของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงโคชี ) ต้านทานเทคนิคของแคลคูลัส เบื้องต้น เราจะประเมินค่าโดยการแสดงเป็นลิมิตของปริพันธ์ตามเส้นโค้งCที่ไปตาม เส้น จำนวนจริงจาก−aถึงaแล้วทวนเข็มนาฬิกาไปตามครึ่งวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 0 จากa ถึง −a ให้ a มากกว่า 1 เพื่อให้หน่วยจินตนาการiอยู่ภายในเส้นโค้ง ปริพันธ์ ตามเส้นโค้งคือ $${\displaystyle \int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}$$

เนื่องจากe ^itzเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ (ไม่มีจุดเอกฐานณ จุดใด ๆ ในระนาบเชิงซ้อน) ฟังก์ชันนี้จึงมีจุดเอกฐานเฉพาะที่ตัวส่วนz ² + 1เป็นศูนย์เท่านั้น เนื่องจากz ² + 1 = ( z + i )( z − i )ดังนั้นจุดเอกฐานนี้จะเกิดขึ้นเฉพาะที่z = iหรือz = − iเท่านั้น มีเพียงจุดเดียวเท่านั้นที่อยู่ในบริเวณที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งนี้เศษเหลือของf ( z )ที่z = iคือ $${\displaystyle \lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{(z-i)(z+i)}}=\lim _{z\to i}{\frac {e^{itz}}{z+i}}={\frac {e^{-t}}{2i}}.}$$

ตามทฤษฎีบทเศษเหลือแล้ว เราจึงได้ว่า $${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}$$

เส้นโค้งCอาจถูกแบ่งออกเป็นส่วน "ตรง" และส่วนโค้ง เพื่อให้ $${\displaystyle \int _{\text{straight}}+\int _{\text{arc}}=\pi e^{-t},}$$ และด้วยเหตุนี้ $${\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\text{arc}}.}$$

ตามทฤษฎีบทของจอร์แดนถ้าt > 0แล้ว$${\displaystyle \int _{\text{arc}}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\rightarrow 0{\mbox{ as }}a\rightarrow \infty .}$$

ดังนั้นถ้าt > 0แล้ว$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-t}.}$$

การให้เหตุผลในทำนองเดียวกันโดยใช้ส่วนโค้งที่วนรอบ−iแทนที่จะเป็นi แสดงให้เห็นว่าถ้าt < 0แล้ว$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{t},}$$ และสุดท้ายนี้เราก็มีสิ่งนี้: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-|t|}.}$$

(ถ้าt = 0การอินทิกรัลจะแปลงเป็นวิธีการคำนวณแคลคูลัสค่าจริงได้ทันที และค่าของมันคือπ )

สามารถทำการแทนที่บางอย่างกับอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกได้ เพื่อแปลงอินทิกรัลให้เป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปรเชิงซ้อน จากนั้นจึงใช้วิธีการข้างต้นในการประเมินค่าอินทิกรัล

ยกตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาดู $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }{\frac {1}{1+3(\cos t)^{2}}}\,dt.}$$

เราต้องการแทนที่z = e ^itตอนนี้ ลองนึกดูสิ $${\displaystyle \cos t={\frac {1}{2}}\left(e^{it}+e^{-it}\right)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}$$ และ $${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=iz,\ dt={\frac {dz}{iz}}.}$$

โดยกำหนดให้Cเป็นวงกลมหน่วย เราจึงแทนค่าลงไปได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}{\frac {1}{1+3\left({\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)\right)^{2}}}\,{\frac {dz}{iz}}&=\oint _{C}{\frac {1}{1+{\frac {3}{4}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}{\frac {1}{iz}}\,dz\\&=\oint _{C}{\frac {-i}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}\,dz\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z^{2}+2+{\frac {1}{z^{2}}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}\left(z^{3}+2z+{\frac {1}{z}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{{\frac {3}{4}}z^{3}+{\frac {5}{2}}z+{\frac {3}{4z}}}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {4}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {dz}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3z^{4}+10z^{2}+3}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz\\&=-{\frac {4i}{3}}\oint _{C}{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz.\end{aligned}}}$$

จุดเอกลักษณ์ที่ต้องพิจารณามีดังนี้${\displaystyle {\tfrac {\pm i}{\sqrt {3}}}.}$ให้C เป็นวงกลมเล็กๆ รอบ${\displaystyle {\tfrac {i}{\sqrt {3}}},}$และC เป็นวงกลมเล็กๆ รอบ ๆ${\displaystyle {\tfrac {-i}{\sqrt {3}}}.}$จากนั้นเราจึงได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {4i}{3}}\left[\oint _{C_{1}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz\right]\\={}&-{\frac {4i}{3}}\left[2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z={\frac {i}{\sqrt {3}}}}+2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z=-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{i{\sqrt {3}}}}\right)\left({\frac {2}{{\sqrt {3}}i}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{i\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{-i\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {3}{16}}+{\frac {3}{16}}\right]\\={}&\pi .\end{aligned}}}$$

วิธีการข้างต้นสามารถนำไปใช้กับอินทิกรัลทุกประเภทได้ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {P{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}{Q{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}}\,dt}$$ โดยที่PและQเป็นพหุนาม กล่าวคือ กำลังทำการอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะในรูปตรีโกณมิติ โปรดสังเกตว่าขอบเขตของการอินทิเกรตอาจเป็นπและ−π ก็ได้ ดัง เช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ หรืออาจเป็นจุดปลายคู่ใดก็ได้ที่ห่างกัน2π

เคล็ดลับคือการใช้การแทนที่z = e ^itโดยที่dz = ie ^it dtและดังนั้น $${\displaystyle {\frac {1}{iz}}\,dz=dt.}$$

การแทนที่นี้จะแมปช่วง[ 0, 2π ]ไปยังวงกลมหน่วย นอกจากนี้ $${\displaystyle \sin(kt)={\frac {e^{ikt}-e^{-ikt}}{2i}}={\frac {z^{k}-z^{-k}}{2i}}}$$ และ $${\displaystyle \cos(kt)={\frac {e^{ikt}+e^{-ikt}}{2}}={\frac {z^{k}+z^{-k}}{2}}}$$ ดังนั้นฟังก์ชันตรรกยะf ( z )ในzจึงได้มาจากการแทนที่ และปริพันธ์จึงกลายเป็น $${\displaystyle \oint _{|z|=1}f(z){\frac {1}{iz}}\,dz}$$ ซึ่งคำนวณโดยการรวมเศษเหลือของf ( z ) ⁠ 1 / iz ⁠ภายในวงกลมหน่วย

ภาพด้านขวามือแสดงให้เห็นถึงสิ่งนี้ $${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt,}$$ ซึ่งเราจะคำนวณต่อไปนี้ ขั้นตอนแรกคือการตระหนักว่า $${\displaystyle I={\frac {1}{4}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt.}$$

การแทนที่ให้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle {\frac {1}{4}}\oint _{|z|=1}{\frac {4iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz.}$$

ขั้วของฟังก์ชันนี้อยู่ที่1 ± √2 และ −1 ± √2 ในจำนวนนี้ 1 + √2 และ−1 − √2 อยู่นอกวงกลมหน่วย( แสดงด้วยสีแดงไม่ได้วาดตามสเกลจริง) ในขณะที่1 − √2และ−1 + √2 อยู่ภายในวงกลมหน่วย (แสดงด้วยสีน้ำเงิน) ค่าตกค้างที่สอดคล้อง กัน ทั้ง สองเท่ากับ− ⁠i√2 / 16⁠ดังนั้นค่าของอินทิ กรัลคือ$${\displaystyle I=2\pi i\;2\left(-{\frac {\sqrt {2}}{16}}i\right)=\pi {\frac {\sqrt {2}}{4}}.}$$

พิจารณาอินทิกรัลจริง $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}$$

เราสามารถเริ่มต้นด้วยการกำหนดสูตรอินทิกรัลเชิงซ้อนได้ $${\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=I.}$$

เราสามารถใช้สูตรปริพันธ์ของโคชีหรือทฤษฎีบทเศษเหลืออีกครั้งเพื่อหาเศษเหลือที่เกี่ยวข้องได้ อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือz ^1/2 = e ^{(Log z )/2}ดังนั้นz ^1/2 จึง มีจุดตัดสาขาซึ่งส่งผลต่อการเลือกเส้นโค้งC ของเรา โดยปกติแล้ว จุดตัดสาขาของ ลอการิทึมจะถูกกำหนดให้เป็นแกนจริงลบ แต่เนื่องจากจะทำให้การคำนวณปริพันธ์ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย เราจึงกำหนดให้เป็นแกนจริงบวกแทน

จากนั้น เราใช้ เส้นโค้งรูปทรงคล้าย รูกุญแจ ซึ่งประกอบด้วยวงกลมเล็กๆ รอบจุดกำเนิด รัศมีεสมมติ ขยายออกเป็นส่วนของเส้นตรงขนานและใกล้กับแกนจริงบวก แต่ไม่สัมผัส ไปจนถึงวงกลมเกือบสมบูรณ์ กลับไปยังส่วนของเส้นตรงขนาน ใกล้กับ และอยู่ต่ำกว่าแกนจริงบวกในทิศทางลบ กลับไปยังวงกลมเล็กๆ ตรงกลาง

โปรดสังเกตว่าz = −2และz = −4อยู่ภายในวงกลมขนาดใหญ่ ค่าเหล่านี้เป็นขั้วที่เหลืออีกสองค่า ซึ่งสามารถหาได้โดยการแยกตัวประกอบของตัวส่วนของฟังก์ชันที่อยู่ภายในอินทิกรัล จุดแยกสาขาที่z = 0ถูกหลีกเลี่ยงโดยการอ้อมไปรอบจุดกำเนิด

ให้γเป็นวงกลมเล็กที่มีรัศมีεและΓเป็นวงกลมใหญ่กว่าที่มีรัศมีRแล้ว $${\displaystyle \int _{C}=\int _{\varepsilon }^{R}+\int _{\Gamma }+\int _{R}^{\varepsilon }+\int _{\gamma }.}$$

สามารถแสดงได้ว่าปริพันธ์เหนือΓและγต่างก็มีแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์เมื่อε → 0และR → ∞โดยใช้การประมาณค่าข้างต้น ซึ่งเหลือสองพจน์ ตอนนี้เนื่องจากz ^1/2 = e ^{(Log z )/2}บนเส้นโค้งนอกรอยตัดสาขา เราจึงได้อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น 2 πตามแนวγ (โดยเอกลักษณ์ของออยเลอร์ e i ^πแทนเวกเตอร์หน่วยซึ่งดังนั้นจึงมีπเป็นค่าลอการิทึมπ นี้ คือสิ่ง ที่หมายถึงอาร์กิวเมนต์ของzสัมประสิทธิ์ของ1/2 บังคับให้เราใช้ 2 π )ดังนั้น $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\operatorname {Log} z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}(\log |z|+i\arg {z})}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{{\frac {1}{2}}(2\pi i)}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{\pi i}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {-{\sqrt {z}}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{\varepsilon }^{R}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น: $${\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}$$

โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหรือสูตรปริพันธ์ของโคชี (โดยใช้วิธีเศษส่วนย่อยก่อนเพื่อหาผลรวมของปริพันธ์ตามเส้นโค้งอย่างง่ายสองตัว) จะได้ $${\displaystyle \pi i\left({\frac {i}{\sqrt {2}}}-i\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx=\pi \left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right).\quad \square }$$

ส่วนนี้กล่าวถึงอินทิกรัลประเภทหนึ่งซึ่ง $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx}$$ เป็นตัวอย่างหนึ่ง

ในการคำนวณอินทิกรัลนี้ จะใช้ฟังก์ชัน $${\displaystyle f(z)=\left({\frac {\log z}{1+z^{2}}}\right)^{2}}$$ และสาขาของลอการิทึมที่สอดคล้องกับ−π < arg z ≤ π

เราจะคำนวณอินทิกรัลของf ( z )ตามเส้นโค้งของรูกุญแจที่แสดงทางด้านขวา ปรากฏว่าอินทิกรัลนี้เป็นพหุคูณของอินทิกรัลเริ่มต้นที่เราต้องการคำนวณ และโดยทฤษฎีบทเศษเหลือของโคชี เราจะได้ว่า $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz=&\ 2\pi i{\big (}\operatorname {Res} _{z=i}f(z)+\operatorname {Res} _{z=-i}f(z){\big )}\\=&\ 2\pi i\left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}\right)\\=&\ -i\pi ^{2}.\end{aligned}}}$$

ให้Rเป็นรัศมีของวงกลมขนาดใหญ่ และrเป็นรัศมีของวงกลมขนาดเล็ก เราจะใช้สัญลักษณ์M แทนเส้นบน และ Nแทนเส้นล่างเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ เราจะหาลิมิตเมื่อR → ∞และr → 0ส่วนประกอบจากวงกลมทั้งสองจะหายไป ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาขอบเขตบนต่อไปนี้ได้จากทฤษฎีบทML : $${\displaystyle \left|\int _{R}f(z)\,dz\right|\leq 2\pi R{\frac {(\log R)^{2}+\pi ^{2}}{\left(R^{2}-1\right)^{2}}}\to 0.}$$

เพื่อคำนวณส่วนประกอบของMและNเรากำหนดz = − x + iεบนMและz = − x − iεบนNโดยที่0 < x < ∞ : $${\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\[6pt]&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz&&\int _{R},\int _{r}{\mbox{ vanish}}\\[6pt]&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x-i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx&&\varepsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log x+i\pi )^{2}-(\log x-i\pi )^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\end{aligned}}}$$ ซึ่งให้ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{4}}.}$$

เรามุ่งหวังที่จะประเมินผล $${\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{\frac {3}{4}}(3-x)^{\frac {1}{4}}}{5-x}}\,dx.}$$

เรื่องนี้ต้องอาศัยการศึกษาอย่างละเอียดถี่ถ้วน $${\displaystyle f(z)=z^{\frac {3}{4}}(3-z)^{\frac {1}{4}}.}$$

เราจะสร้างf ( z )โดยให้มีการตัดสาขาบน[ 0, 3 ]ซึ่งแสดงด้วยสีแดงในแผนภาพ ในการทำเช่นนี้ เราเลือกสองสาขาของลอการิทึม โดยกำหนดค่า $${\displaystyle z^{\frac {3}{4}}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log z\right)\quad {\mbox{where }}-\pi \leq \arg z<\pi }$$ และ $${\displaystyle (3-z)^{\frac {1}{4}}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{where }}0\leq \arg(3-z)<2\pi .}$$

ดังนั้นรอยตัดของz³⁄⁴ คือ ( ^−∞ , 0 ]และรอยตัดของ(3 − z ) ^{¹/⁴ คือ(} −∞ , 3 ]จะเห็นได้ง่ายว่ารอยตัดของผลคูณของทั้งสอง นั่นคือf ( z )คือ[0, 3]เพราะf ( z )มีความต่อเนื่องบนช่วง(−∞, 0)ทั้งนี้เพราะเมื่อz = −r < 0และเราเข้าใกล้รอยตัดจากด้านบนf ( z )จะมีค่าเท่ากับ $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {5}{4}}\pi i}.}$$

เมื่อเราเข้าใกล้จากด้านล่างf ( z )จะมีค่า $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}.}$$

แต่ $${\displaystyle e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}=e^{{\frac {5}{4}}\pi i},}$$

เพื่อให้เกิดความต่อเนื่องตลอดแนวตัด ดังแสดงในแผนภาพ โดยวงกลมสีดำสองวงที่มีทิศทางจะถูกกำกับด้วยค่าที่สอดคล้องกันของอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่ใช้ในz 3 ^{⁄ 4 และ} ( 3 − z ) ^1/4

เราจะใช้เส้นโค้งที่แสดงเป็นสีเขียวในแผนภาพ ในการทำเช่นนี้ เราต้องคำนวณค่าของf ( z )ตามส่วนของเส้นตรงที่อยู่เหนือและใต้รอยตัด

ให้z = r (ในลิมิต กล่าวคือ เมื่อวงกลมสีเขียวทั้งสองวงหดตัวลงจนมีรัศมีเป็นศูนย์) โดยที่0 ≤ r ≤ 3ตามส่วนบน เราพบว่าf ( z )มีค่าดังนี้ $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=ir^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}$$ และตามส่วนล่าง $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}.}$$

ดังนั้น อินทิกรัลของ⁠ f ( z ) / 5 − z ⁠ตามส่วนบนจะมี ค่าเท่ากับ − iIในลิมิต และตามส่วนล่างจะมีค่าเท่ากับI

ถ้าเราสามารถแสดงได้ว่าปริพันธ์ตามวงกลมสีเขียวทั้งสองวงมีค่าเป็นศูนย์ในลิมิตแล้ว เราก็จะได้ค่าของI ด้วยเช่นกัน โดยทฤษฎีบทเศษเหลือของโคชีให้รัศมีของวงกลมสีเขียวเป็นρโดยที่ρ < 0.001และρ → 0แล้วใช้ความไม่เท่าเทียมกันMLสำหรับวงกลมCLทางด้านซ้าย เราพบว่า $${\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {L} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}3.001^{\frac {1}{4}}}{4.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0.}$$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับวงกลมC ทางด้านขวา เราจะได้ว่า $${\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {R} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {3.001^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{1.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0.}$$

เมื่อใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือของโคชีเราจะได้ว่า $${\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right).}$$ โดยเครื่องหมายลบเกิดจากทิศทางตามเข็มนาฬิการอบเศษเหลือ เมื่อใช้ส่วนของลอการิทึมจากก่อนหน้านี้ จะเห็นได้ชัดว่า $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}\log(-2)}.}$$

ในแผนภาพแสดงขั้วด้วยสีน้ำเงิน ค่าจะลดรูปเหลือดังนี้ $${\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}(\log 2+\pi i)}=-e^{{\frac {1}{4}}\pi i}5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}.}$$

เราใช้สูตรต่อไปนี้สำหรับเศษเหลือที่อนันต์: $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }h(z)=\operatorname {Res} _{z=0}\left(-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}$$

เมื่อแทนค่า เราจะพบว่า $${\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)}$$ และ $${\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}(1-3z)^{\frac {1}{4}},}$$ โดยที่เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า−1 = e ^{π i}สำหรับสาขาที่สองของลอการิทึม ต่อไปเราใช้การกระจายทวินาม ซึ่งจะได้ $${\displaystyle {\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(1-{1/4 \choose 1}3z+{1/4 \choose 2}3^{2}z^{2}-{1/4 \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right).}$$

สรุปได้ว่า $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}{\frac {17}{4}}.}$$

สุดท้ายแล้ว จึงสรุปได้ว่า ค่าของIคือ $${\displaystyle I=2\pi i{\frac {e^{{\frac {1}{4}}\pi i}}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)}$$ ซึ่งให้ผลลัพธ์ $${\displaystyle I={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right).}$$

ให้สนามเวกเตอร์เป็น${\displaystyle \mathbf {F} =\sin(2x)\mathbf {e} _{x}+\sin(2y)\mathbf {e} _{y}+\sin(2z)\mathbf {e} _{z}}$และต้องอยู่ภายใต้ข้อจำกัดดังต่อไปนี้ $${\displaystyle {0\leq x\leq 1}\quad {0\leq y\leq 3}\quad {-1\leq z\leq 4}}$$

อินทิกรัลเส้นโค้งคู่ที่สอดคล้องกันจะถูกตั้งค่าดังนี้:

${\displaystyle }$${\displaystyle {\scriptstyle S}}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}$

ขณะนี้เรากำลังประเมินผล${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ในขณะเดียวกัน ให้ตั้งค่าอินทิกรัลสามชั้นที่สอดคล้องกัน: $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \sin(2x)}{\partial x}}+{\frac {\partial \sin(2y)}{\partial y}}+{\frac {\partial \sin(2z)}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}2\left(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z)\right)dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}\int _{-1}^{4}2(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z))\,dx\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}(10\cos(2y)+\sin(8)+\sin(2)+10\cos(z))\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}(30\cos(2z)+3\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6))\,dz\\[6pt]&=18\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6)\end{aligned}}}$$