ในทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีศักย์เคอร์เนลปัวซง (Poisson kernel)คือเคอร์เนลเชิงปริพันธ์ ที่ใช้ในการแก้สมการ ลาปลาสสองมิติโดยมีเงื่อนไขขอบแบบดิริชเลต์ (Dirichlet boundary conditions)บนวงกลมหน่วย เคอร์เนลนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันกรีน (Green's function ) สำหรับสมการลาปลาส ชื่อของเคอร์เนลนี้ตั้งตามชื่อของซีเมอง ปัวซง (Siméon Poisson )

เคอร์เนลปัวซงมักถูกนำไปประยุกต์ใช้ในทฤษฎีการควบคุมและปัญหาแบบสองมิติในทางไฟฟ้าสถิตในทางปฏิบัติ นิยามของเคอร์เนลปัวซงมักถูกขยายไปสู่ปัญหาแบบ n มิติ

ในระนาบเชิงซ้อนเคอร์เนลปัวซองสำหรับดิสก์หน่วย^{[ 1 ]}กำหนดโดย $${\displaystyle P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.}$$

สามารถพิจารณาได้สองวิธี คือ มองว่าเป็นฟังก์ชันของrและθ หรือ มอง ว่าเป็นกลุ่มฟังก์ชันของθที่กำหนดดัชนีโดยr

ถ้า เป็น วงกลมหน่วยเปิดในC , Tเป็นขอบเขตของวงกลม และfเป็นฟังก์ชันบนTที่อยู่ในL ¹ ( T ) แล้วฟังก์ชันuที่กำหนดโดย จะ เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกในDและมีลิมิตเชิงรัศมีที่สอดคล้องกับf เกือบทุกที่บนขอบเขตTของวงกลม ${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$$${\displaystyle u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f(e^{it})\,\mathrm {d} t,\quad 0\leq r<1}$$

การที่ค่าขอบเขตของuคือfสามารถอธิบายได้โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อr → 1ฟังก์ชันP _r ( θ )จะสร้างหน่วยโดยประมาณในพีชคณิตการสังเคราะห์L ¹ ( T ) ในฐานะตัวดำเนินการเชิงเส้น ฟังก์ชันเหล่านี้มีแนวโน้มไปสู่ฟังก์ชันเดลต้าของ Diracแบบจุดต่อจุดบนL ^p ( T ) โดยหลักการสูงสุดuเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกเพียงฟังก์ชันเดียวบน D

การคอนโวลูชันกับหน่วยประมาณนี้ให้ตัวอย่างของเคอร์เนลการหาผลรวมสำหรับอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันในL ¹ ( T ) ( Katznelson 1976 ) ให้f ∈ L ¹ ( T ) มีอนุกรมฟูริเยร์ { f _k } หลังจากการแปลงฟูริเยร์การคอนโวลูชันกับP _r ( θ ) จะกลายเป็นการคูณด้วยลำดับ { r ^|k| } ∈ ℓ ¹ ( Z ) การแปลงฟูริเยร์ผกผันของผลคูณที่ได้ { r ^|k| f _k } จะให้ ค่าเฉลี่ยของ Abel A _r fของf : $${\displaystyle A_{r}f(e^{2\pi ix})=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f_{k}r^{|k|}e^{2\pi ikx}.}$$

เมื่อจัดเรียงอนุกรมลู่ เข้าอย่างสมบูรณ์นี้ใหม่จะเห็นว่าfเป็นค่าขอบเขตของg + hโดยที่g (หรือh ) เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก (หรือแอนติโฮโลมอร์ฟิก ) บนD

เมื่อเราขอให้ส่วนขยายฮาร์มอนิกเป็นโฮโลมอร์ฟิกด้วยแล้ว คำตอบจะเป็นองค์ประกอบของปริภูมิฮาร์ดีซึ่งเป็นจริงเมื่อสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ลบของfทั้งหมดเป็นศูนย์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เคอร์เนลปัวซงมักถูกใช้เพื่อแสดงให้เห็นถึงความเท่าเทียมกันของปริภูมิฮาร์ดีบนดิสก์หน่วยและวงกลมหน่วย

ปริภูมิของฟังก์ชันที่เป็นลิมิตบนTของฟังก์ชันในH ^p ( z ) อาจเรียกว่าH ^p ( T ) ซึ่งเป็นปริภูมิย่อยปิดของL ^p ( T ) (อย่างน้อยสำหรับp  ≥ 1) เนื่องจากL ^p ( T ) เป็นปริภูมิบานาค (สำหรับ 1 ≤  p  ≤ ∞) ดังนั้นH ^p ( T ) ก็เป็นปริภูมิบานาคเช่นกัน

วงกลมหน่วยสามารถแปลงแบบคอนฟอร์มอ ลไปยังระนาบ ครึ่งบนได้โดยใช้การแปลงโมเบียส บางอย่าง เนื่องจากแผนที่คอนฟอร์มอลของฟังก์ชันฮาร์มอนิกก็เป็นฮาร์มอนิกเช่นกัน ดังนั้นเคอร์เนลปัวซงจึงถ่ายทอดไปยังระนาบครึ่งบนได้ ในกรณีนี้ สมการปริพันธ์ปัวซงจะมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle u(x+iy)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(xt)f(t)\,dt,\qquad y>0.}$$

แก่นแท้ของมันคือ $${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.}$$

เมื่อกำหนดฟังก์ชัน f แล้ว u ก็ คือปริภูมิ L p ^ของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนเส้นจำนวนจริงuสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นส่วนขยายฮาร์มอนิกของfไปยังระนาบครึ่งบน ในทำนองเดียวกับสถานการณ์สำหรับดิสก์ เมื่อuเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในระนาบครึ่งบนแล้วuจะเป็นองค์ประกอบของปริภูมิฮาร์ดีและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle H^{p},}$$${\displaystyle \|u\|_{H^{p}}=\|f\|_{L^{p}}}$$

ดังนั้น พื้นที่ฮาร์ดีH ^pบนระนาบครึ่งบนจึงเป็นพื้นที่บานาคและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การจำกัดพื้นที่ดังกล่าวบนแกนจริงเป็นพื้นที่ย่อยปิดของสถานการณ์นี้เป็นเพียงความคล้ายคลึงกับกรณีของวงกลมหน่วยเท่านั้นมาตรวัดเลเบสสำหรับวงกลมหน่วยมีค่าจำกัด ในขณะที่มาตรวัดสำหรับเส้นตรงจริงไม่มีค่าจำกัด ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ).}$

สำหรับ ทรงกลมรัศมีเคอร์เนลปัวซงจะมีรูปแบบ โดยที่(พื้นผิวของ) และคือพื้นที่ผิวของทรงกลมหน่วย ( n  − 1)${\displaystyle r,B_{r}\subset \mathbb {R} ^{n},}$$${\displaystyle P(x,\zeta )={\frac {r^{2}-|x|^{2}}{r\omega _{n-1}|x-\zeta |^{n}}}}$$${\displaystyle x\in B_{r},\zeta \in S}$${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle \omega _{n-1}}$

ถ้าu ( x ) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่กำหนดบนSแล้วปริพันธ์ปัวซงที่สอดคล้องกันคือฟังก์ชันP [ u ]( x ) ที่กำหนดโดย $${\displaystyle P[u](x)=\int _{S}u(\zeta )P(x,\zeta )\,d\sigma (\zeta ).}$$

สามารถแสดงได้ว่าP [ u ]( x ) เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกบนทรงกลมและP [ u ]( x ) ขยายไปเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนทรงกลมปิดรัศมีrและฟังก์ชันขอบเขตตรงกับฟังก์ชัน  ดั้งเดิม u${\displaystyle B_{r}}$

นอกจากนี้ยังสามารถหาการแสดงออกของเคอร์เนลปัวซงของครึ่งพื้นที่บนได้ อีกด้วย กำหนดให้พิกัดคาร์ทีเซียนมาตรฐานของ คือ ครึ่งพื้นที่บนคือเซตที่กำหนดโดย เคอร์เนลปัวซงสำหรับH ^{n +1}กำหนดโดย โดย ที่ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$$${\displaystyle (t,x)=(t,x_{1},\dots ,x_{n}).}$$$${\displaystyle H^{n+1}=\left\{(t;x)\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid t>0\right\}.}$$$${\displaystyle P(t,x)=c_{n}{\frac {t}{\left(t^{2}+\left\|x\right\|^{2}\right)^{(n+1)/2}}}}$$$${\displaystyle c_{n}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{\pi ^{(n+1)/2}}}.}$$

เคอร์เนลปัวซงสำหรับครึ่งพื้นที่บนปรากฏขึ้นตามธรรมชาติในรูปของการแปลงฟูริเยร์ของการแปลงอาเบล โดยที่tทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์เสริม กล่าวคือ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นที่ชัดเจนจากคุณสมบัติของการแปลงฟูริเยร์ว่า อย่างน้อยในทางรูปแบบ การสังเคราะห์ เป็นคำตอบของสมการลาปลาสในครึ่งระนาบบน นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่าเมื่อt → 0 , P [ u ]( t , x ) → u ( x )ในความหมายที่เหมาะสม $${\displaystyle P(t,x)={\mathcal {F}}(K(t,\cdot ))(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi t|\xi |}e^{-2\pi i\xi \cdot x}\,d\xi .}$$$${\displaystyle P[u](t,x)=[P(t,\cdot )*u](x)}$$

• สูตรอินทิกรัลของ Schwarz