ในทางคณิตศาสตร์เคอร์เนลผลรวมคือตระกูลหรือลำดับของฟังก์ชันอินทิกรัลแบบคาบที่สอดคล้องกับชุดคุณสมบัติบางประการที่ระบุไว้ด้านล่าง เคอร์เนลบางชนิด เช่นเคอร์เนลของ Fejérมีประโยชน์อย่างยิ่งในการวิเคราะห์ฟูริเยร์เคอร์เนลผลรวมมีความเกี่ยวข้องกับการประมาณเอกลักษณ์คำจำกัดความของการประมาณเอกลักษณ์นั้นแตกต่างกันไป^{[ 1 ]}แต่บางครั้งคำจำกัดความของการประมาณเอกลักษณ์ก็ถือว่าเหมือนกับเคอร์เนลผลรวม

ให้. เคอร์เนลการหาผลรวมคือลำดับในที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle (k_{n})}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$

1. ${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}$
2. ${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M}$(มีขอบเขตสม่ำเสมอ)
3. ${\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0}$เนื่องจากสำหรับทุกๆ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \delta >0}$

โปรดทราบว่า หากสำหรับทุกค่านั่นคือ เป็นเคอร์เนลการหาผลรวมที่เป็นบวก เงื่อนไขข้อที่สองก็จะตามมาโดยอัตโนมัติจากเงื่อนไขข้อแรก ${\displaystyle k_{n}\geq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (k_{n})}$

ตามธรรมเนียมทั่วไป สมการแรกจะกลายเป็นและขีดจำกัดบนของการอินทิเกรตในสมการที่สามควรขยายไปที่เพื่อให้เงื่อนไขที่ 3 ข้างต้นเป็น ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|k_{n}(t)|\,dt\to 0}$เนื่องจากสำหรับทุกๆ ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \delta >0}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่ามวลจะกระจุกตัวอยู่รอบจุดกำเนิดเมื่อค่าเพิ่มขึ้น ${\displaystyle n}$

นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณาแทน; จากนั้น (1) และ (2) จะถูกรวมเข้าด้วยกันเหนือและ (3) เหนือ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle |t|>\delta }$

• เมล็ดเฟเฌร์
• เคอร์เนลปัวซง (ดัชนีต่อเนื่อง)
• เคอร์เนลของ แลนเดา
• เคอร์เนล ของDirichletไม่ใช่เคอร์เนลที่สามารถหาผลรวมได้ เนื่องจากไม่ตรงตามข้อกำหนดข้อที่สอง

ให้เป็นเคอร์เนลการหาผลรวม และแทนการดำเนินการ คอนโวลูชัน${\displaystyle (k_{n})}$${\displaystyle *}$

• ถ้า(ฟังก์ชันต่อเนื่องบน) แล้วในนั่นคืออย่างสม่ำเสมอ เมื่อในกรณีของเคอร์เนลของเฟเยอร์ สิ่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของเฟเยอร์${\displaystyle (k_{n}),f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle k_{n}*f\to f}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle n\to \infty }$
• ถ้าเช่นนั้นในเนื่องจาก${\displaystyle (k_{n}),f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle k_{n}*f\to f}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle n\to \infty }$
• ถ้าเป็นฟังก์ชันสมมาตรที่ลดลงตามแนวรัศมี และแล้วจุดต่อจุดจะ เป็น ae เมื่อซึ่งใช้ฟังก์ชันสูงสุดของ Hardy–Littlewoodถ้าไม่ใช่ฟังก์ชันสมมาตรที่ลดลงตามแนวรัศมี แต่การทำให้สมมาตรลดลงเป็นไปตามเงื่อนไข แล้วการลู่เข้าของ ae ก็ยังคงเป็นจริง โดยใช้เหตุผลที่คล้ายกัน${\displaystyle (k_{n})}$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle k_{n}*f\to f}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle (k_{n})}$${\displaystyle {\widetilde {k}__{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)}$${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k}}_{n}\|_{1}<\infty }$