ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงฟังก์ชันบางครั้งเราสามารถขยายแนวคิดของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสที่มีอันดับจำกัด (ซึ่งแสดงถึงการแปลงเชิงเส้น จาก ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดไปยังตัวมันเอง) ไปสู่กรณีมิติอนันต์ของตัวดำเนินการเชิงเส้นSที่แมปปริภูมิฟังก์ชัน V ไปยังตัวมันเองได้ ปริมาณที่สอดคล้องกัน det( S ) เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชันของS

มีสูตรหลายสูตรสำหรับดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชัน สูตรทั้งหมดล้วนมีพื้นฐานมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จำกัดเท่ากับผลคูณของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นั้น นิยามทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดกว่านั้นได้มาจากการใช้ฟังก์ชันซีตาของตัวดำเนินการ

${\displaystyle \zeta _{S}(a)=\operatorname {tr} \,S^{-a}\,,}$

โดยที่ tr หมายถึงร่องรอยเชิงฟังก์ชัน : จากนั้นดีเทอร์มิแนนต์จะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \det S=e^{-\zeta _{S}'(0)}\,,}$

โดยที่ฟังก์ชันซีตา ณ จุดs = 0 ถูกกำหนดโดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์อีกหนึ่งการวางนัยทั่วไปที่เป็นไปได้ ซึ่งมักใช้โดยนักฟิสิกส์เมื่อใช้ รูปแบบ อินทิกรัลเส้นทางของไฟน์แมนในทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) คือการใช้การอินทิเกรตเชิงฟังก์ชัน :

${\displaystyle \det S\propto \left(\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi ,S\phi \rangle }\right)^{-2}\,.}$

ปริพันธ์เส้นทางนี้มีความหมายที่ชัดเจนเฉพาะเมื่อมีค่าคงที่คูณที่ไม่ลู่เข้าเท่านั้น เพื่อให้ได้ความหมายที่เข้มงวด จึงต้องหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชันอื่น ซึ่งจะทำให้ค่าคงที่ที่เป็นปัญหาถูกตัดทิ้งไปโดยปริยาย

ในปัจจุบัน นิยามของดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชันมีสองแบบที่แตกต่างกัน แบบหนึ่งมาจากทฤษฎีสนามควอนตัม และอีกแบบหนึ่งมาจากทฤษฎีสเปกตรัมแต่ละแบบเกี่ยวข้องกับการทำให้เป็นระเบียบ (regularization ) ในรูปแบบต่างๆ โดยในนิยามที่นิยมใช้ในฟิสิกส์ ดีเทอร์มิแนนต์สองตัวสามารถเปรียบเทียบกันได้เท่านั้น ในขณะที่ในคณิตศาสตร์ใช้ฟังก์ชันซีตา (zeta function) Osgood, Phillips & Sarnak (1988) ได้แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ที่ได้จากการเปรียบเทียบดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชันสองตัวในรูปแบบทฤษฎีสนามควอนตัมนั้น สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่ได้จากดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชันซี ตา

สำหรับตัวดำเนินการสมมาตรเชิงบวกS บน ปริภูมิยุคลิด มิติจำกัดVสูตร

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}=\int _{V}e^{-\pi \langle x,Sx\rangle }\,dx}$

ถือครอง

ปัญหาคือการหาวิธีทำความเข้าใจดีเทอร์มิแนนต์ของตัวดำเนินการSบนปริภูมิฟังก์ชันมิติอนันต์ แนวทางหนึ่งที่นิยมใช้ในทฤษฎีสนามควอนตัม ซึ่งปริภูมิฟังก์ชันประกอบด้วยเส้นทางต่อเนื่องบนช่วงปิด คือการพยายามคำนวณอินทิกรัลอย่างเป็นทางการ

${\displaystyle \int _{V}e^{-\pi \langle \phi ,S\phi \rangle }\,{\mathcal {D}}\phi }$

โดยที่Vคือปริภูมิฟังก์ชัน และ ผลคูณภายใน L² และมาตรวัดไวเนอร์ข้อสมมติพื้นฐานเกี่ยวกับS ^คือ S ควรเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง และมีสเปกตรัมแบบไม่ ต่อเนื่อง λ₁ _, λ₂ _, λ₃ _, ... พร้อมด้วยเซตของฟังก์ชันเฉพาะf₁ _, f₂ _, f₃ _, ... ที่สอดคล้องกัน ซึ่งสมบูรณ์ในL² (เช่นเดียวกับกรณีของตัวดำเนินการอนุพันธ์อันดับสองบนช่วงกระชับ Ω) โดยคร่าวๆ หมายความว่าฟังก์ชัน φ ทั้งหมดสามารถเขียนได้ในรูป^ผลรวมเชิงเส้นของ ฟังก์ชันfᵢ _:${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi }$

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}c_{i}|f_{i}\rangle \quad {\text{with }}c_{i}=\langle f_{i}|\phi \rangle .}$

ดังนั้น ผลคูณภายในในเลขชี้กำลังสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \langle \phi |S|\phi \rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\langle f_{i}|S|f_{j}\rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\delta _{ij}\lambda _{i}=\sum _{i}|c_{i}|^{2}\lambda _{i}.}$

ในพื้นฐานของฟังก์ชันf _iการอินทิเกรตเชิงฟังก์ชันจะลดลงเหลือการอินทิเกรตเหนือฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด ในทางทฤษฎี สมมติว่าสัญชาตญาณของเราจากกรณีมิติจำกัดยังคงใช้ได้ในกรณีมิติอนันต์ ค่าที่ได้ควรจะเท่ากับ

${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi =\prod _{i}{\frac {dc_{i}}{2\pi }}.}$

ดังนั้น อินทิกรัลเชิงฟังก์ชันจึงเป็นผลคูณของอินทิกรัลแบบเกาส์เซียน :

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dc_{i}}{2\pi }}e^{-\lambda _{i}c_{i}^{2}}.}$

จากนั้นจึงสามารถคำนวณค่าอินทิกรัลได้ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi \lambda _{i}}}}}={\frac {N}{\sqrt {\prod _{i}\lambda _{i}}}}}$

โดยที่Nเป็นค่าคงที่อนันต์ที่ต้องได้รับการจัดการด้วยกระบวนการปรับเสถียรบางอย่าง ผลคูณของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์สำหรับปริภูมิที่มีมิติจำกัด และเรากำหนดอย่างเป็นทางการว่ากรณีนี้เป็นจริงในกรณีมิติอนันต์ของเราด้วย ซึ่งส่งผลให้ได้สูตรดังนี้

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }\propto {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}.}$

หากปริมาณทั้งหมดลู่เข้าในความหมายที่เหมาะสม ดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชันสามารถอธิบายได้ว่าเป็นลิมิตแบบคลาสสิก (วัตสันและวิทเทเกอร์) มิฉะนั้น จำเป็นต้องทำการปรับค่า บางอย่าง ซึ่งวิธีที่ได้รับความนิยมมากที่สุดสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชันคือ การปรับค่า ด้วยฟังก์ชันซีตา^{[ 1 ]} ตัวอย่างเช่น วิธีนี้ช่วยให้สามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของตัวดำเนินการลาปลาสและดิแรกบนแมนิโฟลด์รีมันน์ได้โดยใช้ฟังก์ชันซีตาของมินักชีซุนดารัม-เพลเยล มิฉะนั้น ยังสามารถพิจารณาผลหารของดีเทอร์มิแนนต์สองตัว ทำให้ค่าคงที่ที่ลู่เข้าตัดกันได้

ให้Sเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ วงรี ที่มีสัมประสิทธิ์เรียบและมีค่าเป็นบวกบนฟังก์ชันที่มีขอบเขต จำกัด นั่นคือ มีค่าคงที่c > 0 อยู่ค่าหนึ่งซึ่งทำให้

${\displaystyle \langle \phi ,S\phi \rangle \geq c\langle \phi ,\phi \rangle }$

สำหรับฟังก์ชัน เรียบที่มีการรองรับแบบกะทัดรัดทั้งหมด แล้วS จะ ^มีการขยายแบบสมมาตรไปยังตัวดำเนินการบนL²ที่มีขอบล่างcค่าลักษณะเฉพาะของSสามารถเรียงลำดับได้ดังนี้ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\qquad \lambda _{n}\to \infty .}$

จากนั้นฟังก์ชันซีตาของSจะถูกกำหนดโดยอนุกรม: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \zeta _{S}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}.}$

เป็นที่ทราบกันว่า ζ _Sมีการขยายแบบเมโรเมอร์ฟิกไปยังระนาบทั้งหมด^{[ 3 ]} ยิ่งไปกว่านั้น แม้ว่าจะสามารถกำหนดฟังก์ชันซีตาในสถานการณ์ทั่วไปได้ แต่ฟังก์ชันซีตาของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์วงรี (หรือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียม) ก็ยังคงปกติที่${\displaystyle s=0}$

ในทางทฤษฎี การหาอนุพันธ์ของอนุกรมนี้ทีละพจน์จะได้

${\displaystyle \zeta _{S}'(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\ln \lambda _{n}}{\lambda _{n}^{s}}},}$

ดังนั้น หากตัวกำหนดเชิงฟังก์ชันได้รับการกำหนดไว้อย่างดีแล้ว ก็ควรจะกำหนดโดย

${\displaystyle \det S=\exp \left(-\zeta _{S}'(0)\right).}$

เนื่องจากการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชันซีตาเป็นแบบปกติที่ศูนย์ ดังนั้นจึงสามารถนำสิ่งนี้มาใช้เป็นนิยามของดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างเคร่งครัด

ดีเท อร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชันแบบ Zeta-regularized ชนิดนี้จะปรากฏขึ้นเมื่อประเมินผลรวมในรูปแบบการอินทิเกร ตเหนือ aจะได้ซึ่งสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นลอการิทึมของดีเทอร์มิแนนต์สำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์ มอ นิก ค่าสุดท้ายนี้เท่ากับ โดยที่คือ ฟังก์ชันซีตา ของ Hurwitz${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)}}}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\ln(n+a)}$${\displaystyle -\partial _{s}\zeta _{H}(0,a)}$${\displaystyle \zeta _{H}(s,a)}$

เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของตัวดำเนินการต่อไปนี้ ซึ่งอธิบายการเคลื่อนที่ของ อนุภาค กลศาสตร์ควอนตัมในบ่อศักย์อนันต์ :

${\displaystyle \det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\qquad (x\in [0,L]),}$

โดยที่Aคือความลึกของศักยภาพ และLคือความยาวของบ่อ เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์นี้โดยการทำให้ตัวดำเนินการเป็นแนวทแยงและคูณค่าไอเกนเข้าด้วยกัน เพื่อไม่ให้ต้องกังวลกับค่าคงที่ไดเวอร์เจนซ์ที่ไม่น่าสนใจ เราจะคำนวณผลหารระหว่างดีเทอร์มิแนนต์ของตัวดำเนินการที่มีความลึกAและตัวดำเนินการที่มีความลึกA = 0 ค่าไอเกนของศักยภาพนี้เท่ากับ

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A\qquad (n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}).}$

หมายความว่า

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }{\frac {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A}{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

ตอนนี้เราสามารถใช้การแสดงผลคูณอนันต์ของออยเลอร์สำหรับฟังก์ชันไซน์ ได้แล้ว :

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$

จากนั้น จึงสามารถอนุมาน สูตรที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชันไซน์ไฮเปอร์โบลิก ได้:

${\displaystyle \sinh z=-i\sin iz=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

เมื่อนำหลักการนี้มาใช้ เราพบว่า

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}$

สำหรับศักยภาพหนึ่งมิติ จะมีทางลัดที่ให้ตัวกำหนดฟังก์ชัน^{[ 4 ]}โดยพิจารณาจากนิพจน์ต่อไปนี้:

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}}$

โดยที่mเป็น ค่าคง ที่เชิงซ้อนนิพจน์นี้เป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกของmซึ่งมีค่าเป็นศูนย์เมื่อmเท่ากับค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการที่มีศักยภาพV ₁ ( x ) และมีค่าเป็นขั้วเมื่อmเป็นค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการที่มีศักยภาพV ₂ ( x ) ต่อไปเราจะพิจารณาฟังก์ชันψ^ม _{. 1}และψ^ม _.2กับ

${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{i}(x)-m\right)\psi _{i}^{m}(x)=0}$

โดยปฏิบัติตามเงื่อนไขขอบเขต

${\displaystyle \psi _{i}^{m}(0)=0,\quad \qquad {\frac {d\psi _{i}^{m}}{dx}}(0)=1.}$

ถ้าเราสร้างฟังก์ชันขึ้นมา

${\displaystyle \Delta (m)={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}},}$

ซึ่งเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกของm เช่นกัน เราจะเห็นว่ามันมีขั้วและศูนย์เหมือนกับผลหารของดีเทอร์มิแนนต์ที่เรากำลังพยายามคำนวณทุกประการ: ถ้าmเป็นค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการหมายเลขหนึ่งแล้วψ^ม _{. 1}( x )จะเป็นฟังก์ชันเฉพาะของมัน หมายความว่าψ^ม _{. 1}( L ) = 0 ; และในทำนองเดียวกันสำหรับตัวส่วน ตามทฤษฎีบทของ Liouvilleฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกสองฟังก์ชันที่มีศูนย์และขั้วเดียวกันจะต้องเป็นสัดส่วนซึ่งกันและกัน ในกรณีของเรา ค่าคงที่สัดส่วนกลับกลายเป็นหนึ่ง และเราได้

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}}}$

สำหรับค่า mทุกค่าสำหรับm = 0 เราจะได้

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)\right)}}={\frac {\psi _{1}^{0}(L)}{\psi _{2}^{0}(L)}}.}$

ปัญหาในส่วนก่อนหน้านี้สามารถแก้ไขได้ง่ายขึ้นด้วยรูปแบบนี้ ฟังก์ชันψ⁰ _i( x ) เชื่อฟัง

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\psi _{1}^{0}=0,\qquad \psi _{1}^{0}(0)=0\quad ,\qquad {\frac {d\psi _{1}^{0}}{dx}}(0)=1,\\&-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}^{0}=0,\qquad \psi _{2}^{0}(0)=0,\qquad {\frac {d\psi _{2}^{0}}{dx}}(0)=1,\end{aligned}}}$

ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{1}^{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {A}}}\sinh x{\sqrt {A}},\\&\psi _{2}^{0}(x)=x.\end{aligned}}}$

นี่คือการแสดงออกขั้นสุดท้าย

${\displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}$

• พื้นที่ไวเนอร์นามธรรม
• เบเรซินิอัน
• ตัวกำหนดเฟรดโฮล์ม
• วิธีฟูจิคาวะ
• ผี Faddeev–Popov