การอินทิเกรตเชิงฟังก์ชันคือชุดผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่ขอบเขตของการอินทิเกรตไม่ใช่บริเวณในอวกาศธรรมดาอีกต่อไป แต่เป็นพื้นที่ของฟังก์ชัน การอินทิเก รตเชิงฟังก์ชันปรากฏในความน่าจะเป็นในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและในสูตรการอินทิเกรตเส้นทางในกลศาสตร์ควอนตัมของอนุภาคและสนาม แม้ว่าคำนี้จะบ่งบอกถึงการขยายของการอินทิเกรตแบบธรรมดา แต่การขาดการวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนในอวกาศมิติอนันต์หมายความว่าการอินทิเกรตเชิงฟังก์ชันจะต้องถูกกำหนดโดยวิธีการที่ละเอียดอ่อนกว่าหรือตีความในเชิงรูปแบบ

ในการอินทิกรัลทั่วไป (ในความหมายของการอินทิเกรตแบบเลเบส ) จะมีฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรต (ตัวถูกอินทิเกรต) และบริเวณในปริภูมิที่ต้องการอินทิเกรตฟังก์ชันนั้น (โดเมนของการอินทิเกรต) อินทิกรัลแสดงถึงลิมิตของผลรวมที่ได้จากการแบ่งบริเวณออกเป็นส่วนเล็กๆ ประเมินค่าฟังก์ชันในแต่ละส่วน แล้วนำผลลัพธ์มารวมกัน สำหรับแต่ละบริเวณเล็กๆ ค่าของตัวถูกอินทิเกรตจะไม่เปลี่ยนแปลงมากนัก ดังนั้นจึงสามารถแทนที่ด้วยค่าเดียวได้ ในการอินทิกรัลเชิงฟังก์ชัน โดเมนของการอินทิเกรตคือปริภูมิของฟังก์ชัน สำหรับแต่ละฟังก์ชัน ตัวถูกอินทิเกรตจะให้ค่ามาหนึ่งค่าเพื่อนำมาบวกกัน การทำให้กระบวนการนี้มีความแม่นยำมากขึ้นนั้นก่อให้เกิดความท้าทายซึ่งยังคงเป็นหัวข้อของการวิจัยในปัจจุบัน

การอินทิเกรตเชิงฟังก์ชันได้รับการพัฒนาโดยPercy John Daniellในบทความปี 1919 ^{[ 1 ]}และNorbert Wienerในชุดการศึกษาที่สิ้นสุดลงในบทความของเขาในปี 1921 เกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์พวกเขาพัฒนาวิธีการที่เข้มงวด (ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อการวัดของ Wiener ) สำหรับการกำหนดความน่าจะเป็นให้กับเส้นทางสุ่มของอนุภาค Richard Feynmanได้พัฒนาอินทิกรัลเชิงฟังก์ชันอีกแบบหนึ่ง คืออินทิกรัลเส้นทาง ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการคำนวณคุณสมบัติควอนตัมของระบบ ในอินทิกรัลเส้นทางของ Feynman แนวคิดแบบคลาสสิกของวิถีโคจรที่ไม่ซ้ำกันสำหรับอนุภาคจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมอนันต์ของเส้นทางแบบคลาสสิก โดยแต่ละเส้นทางมีน้ำหนักที่แตกต่างกันตามคุณสมบัติแบบคลาสสิก

การอินทิเกรตเชิงฟังก์ชันเป็นหัวใจสำคัญของเทคนิคการหาปริมาณในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี คุณสมบัติทางพีชคณิตของการอินทิเกรตเชิงฟังก์ชันถูกนำมาใช้ในการพัฒนาอนุกรมที่ใช้ในการคำนวณคุณสมบัติในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์และแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค

ในขณะที่ การอินทิเกรตแบบ Riemannมาตรฐานจะรวมฟังก์ชันf ( x ) ในช่วงค่าx ที่ต่อเนื่องกัน การอินทิเกรตเชิงฟังก์ชันจะรวมฟังก์ชันG [ f ] ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็น "ฟังก์ชันของฟังก์ชัน" ในช่วง (หรือปริภูมิ) ของฟังก์ชันf ที่ต่อเนื่องกัน อินทิกรัลเชิงฟังก์ชันส่วนใหญ่ไม่สามารถประเมินได้อย่างแม่นยำ แต่ต้องประเมินโดยใช้วิธีการรบกวน นิยามอย่างเป็นทางการของอินทิกรัลเชิงฟังก์ชันคือ อย่างไรก็ตาม ในกรณีส่วนใหญ่ ฟังก์ชันf ( x ) สามารถเขียนได้ในรูปของอนุกรมอนันต์ของฟังก์ชันเชิงตั้งฉากเช่นและจากนั้นนิยามจะกลายเป็น ซึ่งเข้าใจได้ง่ายกว่าเล็กน้อย อินทิกรัลนี้แสดงให้เห็นว่าเป็นอินทิกรัลเชิงฟังก์ชันที่มีตัวพิมพ์ใหญ่บางครั้งอาร์กิวเมนต์จะเขียนในวงเล็บเหลี่ยมเพื่อระบุการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันของฟังก์ชันในการวัดการอินทิเกรตเชิงฟังก์ชัน^{[ 2 ]}$${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G[f]\prod _{x}df(x)\;.}$$${\displaystyle f(x)=f_{n}H_{n}(x)}$$${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G(f_{1};f_{2};\ldots )\prod _{n}df_{n}\;,}$$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}[f]}$

โดยทั่วไปแล้ว อินทิกรัลเชิงฟังก์ชันส่วนใหญ่มีค่าเป็นอนันต์ แต่ลิมิตของผลหารของอินทิกรัลเชิงฟังก์ชันสองตัวที่เกี่ยวข้องกันมักมีค่าจำกัด อินทิกรัลเชิงฟังก์ชันที่สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำมักเริ่มต้นด้วยอินทิกรัลเกาส์เซียน ดังต่อไปนี้ :

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)\cdot K^{-1}(x;y)\cdot J(y)\,dx\,dy\right\rbrace \,,}$

โดยที่. ด้วยการหาอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันของสิ่งนี้เทียบกับJ ( x ) แล้วกำหนดให้เป็น 0 สิ่งนี้จะกลายเป็นเลขชี้กำลังคูณด้วยเอกนามในfเพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: ${\displaystyle K(x;y)=K(y;x)}$

${\displaystyle G[f,J]=-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\,\quad ,\quad W[J]=\int \exp \lbrace G[f,J]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;.}$

ด้วยสัญลักษณ์นี้ สมการแรกสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle {\dfrac {W[J]}{W[0]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)K^{-1}(x;y)J(y)\,dx\,dy\right\rbrace .}$

ทีนี้ เมื่อนำอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันมาใช้กับนิยามของและจากนั้นประเมินค่าในจะได้ว่า: ${\displaystyle W[J]}$${\displaystyle J=0}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta }{\delta J(a)}}W[J]{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(a)\delta J(b)}}{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)f(b)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots }$

ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่คาดการณ์ไว้ ยิ่งไปกว่านั้น การใช้สมการแรกยังนำไปสู่ผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์อีกด้วย:

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}}{\delta J(a)\delta J(b)}}\left({\dfrac {W[J]}{W[0]}}\right){\Bigg |}_{J=0}=K^{-1}(a;b)\;;}$

เมื่อนำผลลัพธ์เหล่านี้มารวมกันและย้อนกลับไปใช้สัญลักษณ์เดิม เราจะได้:

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int f(a)f(b)\exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=K^{-1}(a;b)\,.}$

อินทิกรัลที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งคือฟังก์ชันเดลต้า เชิงฟังก์ชัน :

${\displaystyle \int \exp \left\lbrace \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},}$

ซึ่งมีประโยชน์ในการระบุข้อจำกัด อินทิกรัลเชิงฟังก์ชันยังสามารถทำได้กับฟังก์ชันที่มีค่าเป็นกราสส์มันน์โดยที่ซึ่งมีประโยชน์ในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์สำหรับการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับเฟอร์มิออน ${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)}$

อินทิกรัลเชิงฟังก์ชันที่ปริภูมิของการอินทิเกรตประกอบด้วยเส้นทาง ( ν = 1) สามารถนิยามได้หลายวิธี คำนิยามเหล่านี้แบ่งออกเป็นสองประเภทหลัก: การสร้างที่ได้มาจากทฤษฎีของ Wienerให้ผลลัพธ์เป็นอินทิกรัลที่อิงตามการวัดในขณะที่การสร้างตามอินทิกรัลเส้นทางของ Feynman นั้นไม่ให้ผลลัพธ์เช่นนั้น แม้แต่ภายในสองการแบ่งประเภทกว้างๆ นี้ อินทิกรัลก็ไม่เหมือนกัน กล่าวคือ มีการนิยามที่แตกต่างกันสำหรับฟังก์ชันประเภทต่างๆ

ในอินทิกรัลของไวเนอร์ความน่าจะเป็นจะถูกกำหนดให้กับกลุ่มของ เส้นทาง การเคลื่อนที่แบบบราวน์กลุ่มนี้ประกอบด้วยเส้นทางwที่ทราบว่าผ่านบริเวณเล็กๆ ในอวกาศ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง การผ่านบริเวณต่างๆ ในอวกาศนั้นถือว่าเป็นอิสระต่อกัน และระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนเส้นทางการเคลื่อนที่แบบบราวน์นั้นถือว่ามีการกระจายแบบเกาส์เซียนโดยมีค่าความแปรปรวนที่ขึ้นอยู่กับเวลาt และค่าคงที่การ แพร่ กระจายD

${\displaystyle \Pr {\big (}w(s+t),t\mid w(s),s{\big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {\|w(s+t)-w(s)\|^{2}}{2Dt}}\right).}$

ความน่าจะเป็นสำหรับกลุ่มของเส้นทางสามารถหาได้โดยการคูณความน่าจะเป็นของการเริ่มต้นในภูมิภาคหนึ่งแล้วไปอยู่ในภูมิภาคถัดไป มาตรวัดของ Wiener สามารถพัฒนาได้โดยพิจารณาขีดจำกัดของภูมิภาคเล็กๆ จำนวนมาก

• แคลคูลัสของอิโตะและสแตรโทโนวิช

• สูตรของทรอตเตอร์ หรือสูตรผลิตภัณฑ์ของไล
• แนวคิดเรื่องการหมุนเวียนของวิคโดย Kac
• โดยใช้ x⋅dot⋅squared หรือ i S[x] + x⋅squared
• นาฬิกา Cartier DeWitt–Morette อาศัยตัวผสานรวมมากกว่าการวัดค่า

• กลศาสตร์ควอนตัมเศษส่วน
• สมการชโรดิงเกอร์เศษส่วน
• กระบวนการเลวี
• กลศาสตร์สถิติเศษส่วน

• อินทิกรัลเส้นทางของเฟย์นแมน
• ฟังก์ชันแบ่งส่วน (ทฤษฎีสนามควอนตัม)
• การประมาณจุดอานม้า

• Jean Zinn-Justin (2009), Scholarpedia 4 (2):8674 .
• Kleinert, Hagen , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , ฉบับที่ 4, World Scientific (สิงคโปร์, 2004); ปกอ่อนISBN 981-238-107-4(มีให้ดาวน์โหลดออนไลน์ในรูปแบบไฟล์ PDF )
• Laskin, Nick (2000). "กลศาสตร์ควอนตัมเศษส่วน". Physical Review E. 62 ( 3): 3135– 3145. arXiv : 0811.1769 . Bibcode : 2000PhRvE..62.3135L . doi : 10.1103/PhysRevE.62.3135 . PMID  11088808. S2CID  15480739 .
• Laskin, Nick (2002). "สมการชโรดิงเกอร์เศษส่วน". Physical Review E . 66 (5) 056108. arXiv : quant-ph/0206098 . Bibcode : 2002PhRvE..66e6108L . doi : 10.1103/PhysRevE.66.056108 . PMID  12513557 . S2CID  7520956 .
• Minlos, RA (2001) [1994], "อินทิกรัลเหนือวิถี" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• OG Smolyanov, ET Shavgulidze. อินทิกรัลต่อเนื่อง . มอสโก, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก, 1990. (เป็นภาษารัสเซีย). http://lib.mexmat.ru/books/5132
• วิคเตอร์ โปปอฟ , อินทิกรัลเชิงฟังก์ชันในทฤษฎีสนามควอนตัมและฟิสิกส์เชิงสถิติ, สปริงเกอร์ 1983
• Sergio Albeverio , Sonia Mazzucchi, แนวทางที่เป็นเอกภาพสำหรับการอินทิเกรตมิติอนันต์, Reviews in Mathematical Physics, 28, 1650005 (2016)
• Klauder, John . " บรรยายเรื่องการบูรณาการเชิงหน้าที่ " มหาวิทยาลัยฟลอริดา. เก็บถาวรเมื่อวันที่ 8 กรกฎาคม 2024.