ในทางคณิตศาสตร์วัตถุที่คล้ายคลึงกันในตัวเอง คือวัตถุ ที่คล้ายคลึงกันกับส่วนหนึ่งของตัวเองอย่างแม่นยำหรือโดยประมาณ (กล่าวคือ ส่วนทั้งหมดมีรูปร่างเหมือนกับส่วนใดส่วนหนึ่งหรือมากกว่านั้น) วัตถุหลายอย่างในโลกแห่งความเป็นจริง เช่น ชายฝั่งทะเลมีความคล้ายคลึงกันในตัวเองทางสถิติ กล่าวคือ ส่วนต่างๆ ของชายฝั่งแสดงคุณสมบัติทางสถิติเดียวกันในหลายระดับ^{[ 2 ]}ความคล้ายคลึงกันในตัวเองเป็นคุณสมบัติทั่วไปของแฟรกทัลความไม่แปรผันตามขนาดเป็นรูปแบบที่แน่นอนของความคล้ายคลึงกันในตัวเอง โดยที่การขยายใดๆ ก็ตาม จะมีชิ้นส่วนที่เล็กกว่าของวัตถุที่คล้ายคลึงกันกับส่วนทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ด้านหนึ่งของเกล็ดหิมะ Kochมีทั้งความสมมาตรและความไม่แปรผันตามขนาด สามารถขยายได้ 3 เท่าอย่างต่อเนื่องโดยไม่เปลี่ยนรูปร่าง

Peitgen และคณะอธิบายแนวคิดนี้ไว้ดังนี้:

ถ้าส่วนต่าง ๆ ของรูปเป็นแบบจำลองขนาดเล็กของรูปทั้งหมด รูปนั้นจะเรียกว่ามีความคล้ายคลึงในตัวเอง ... รูปจะมีความคล้ายคลึงในตัวเองอย่างเคร่งครัดก็ต่อเมื่อรูปนั้นสามารถแยกออกเป็นส่วน ๆ ที่เป็นแบบจำลองที่เหมือนกันทุกประการของรูปทั้งหมด ส่วนใด ๆ ก็ตามจะมีแบบจำลองที่เหมือนกันทุกประการของรูปทั้งหมด^{[ 3 ]}

เนื่องจากในทางคณิตศาสตร์ แฟร็กทัลอาจแสดงความคล้ายคลึงในตัวเองภายใต้การขยายภาพใดๆ ก็ตาม จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสิ่งนี้ขึ้นมาใหม่ในทางกายภาพ Peitgen และคณะจึงเสนอแนะให้ศึกษาความคล้ายคลึงในตัวเองโดยใช้การประมาณค่า:

เพื่อให้คุณสมบัติความคล้ายคลึงในตัวเองมีความหมายในเชิงปฏิบัติ เราจำเป็นต้องจำกัดให้จัดการกับการประมาณค่าจำกัดของรูปทรงลิมิต ซึ่งทำได้โดยใช้วิธีที่เราจะเรียกว่าความคล้ายคลึงในตัวเองแบบกล่อง โดยทำการวัดบนขั้นจำกัดของรูปทรงโดยใช้ตารางที่มีขนาดต่างๆ กัน^{[ 4 ]}

คำศัพท์นี้ได้รับการแนะนำโดยBenoit Mandelbrotในปี พ.ศ. 2507 ^{[ 5 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์ในตัวเองเป็นคุณลักษณะของแฟรกทัลที่มีชิ้นส่วนที่ถูกปรับขนาดด้วยปริมาณที่แตกต่างกันใน ทิศทาง xและyซึ่งหมายความว่าในการชื่นชมความคล้ายคลึงในตัวเองของวัตถุแฟรกทัลเหล่านี้ จะต้องปรับขนาดใหม่โดยใช้การแปลงเชิงเส้นแอฟฟินแบบแอนไอโซโทรปิ ก^{[ 6 ]}

พื้นที่โทโพโลยีขนาดกะทัดรัดXมีความคล้ายคลึงในตัวเองหากมีเซตจำกัดSที่ระบุเซตของโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ที่ไม่ใช่ แบบทั่วถึงซึ่ง^{[ 7 ]}${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$

${\displaystyle X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X)}$

ถ้าเราเรียกX ว่ามีความคล้ายคลึงกันในตัวเอง ถ้ามันเป็น เซตย่อยที่ไม่ว่าง เพียงเซต เดียวของYที่สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับเราเรียก^{[ 8 ]}${\displaystyle X\subset Y}$${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})}$

โครงสร้างที่คล้ายคลึงกันในตัวเองโฮมีโอเมอร์ฟิซึมสามารถทำซ้ำได้ส่งผลให้เกิดระบบฟังก์ชันที่ทำซ้ำการประกอบฟังก์ชันสร้างโครงสร้างพีชคณิตของโมโนอิดเมื่อเซตSมีเพียงสององค์ประกอบ โมโนอิดนั้นเรียกว่า ไดอะดิกโมโนอิดไดอะดิกโมโนอิดสามารถมองเห็นได้เป็นต้นไม้ไบนารี อนันต์ โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเซตSมีpองค์ประกอบ โมโนอิดนั้นอาจแสดงเป็นต้นไม้ p-adic ได้

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของไดอะดิกโมโนอิดคือกลุ่มมอดูลาร์ออโตมอร์ฟิซึมเหล่านี้สามารถมองเห็นได้ในรูปของการหมุนไฮเปอร์โบลิกของต้นไม้ไบนารี

แนวคิดที่ครอบคลุมมากกว่าความคล้ายคลึงในตัวเองคือความสัมพันธ์ในตัวเอง

ความไม่ต่อเนื่องของ แคนเตอร์มีความคล้ายคลึงกันในตัวเอง เนื่องจากเซตย่อยปิดใดๆ ของมันเป็นภาพต่อเนื่องของความไม่ต่อเนื่อง^{[ 9 ]}

เซตแมนเดลบร็อตยังมีความคล้ายคลึงในตัวเองรอบจุดมิซิอูเรวิชอีก ด้วย

ความคล้ายคลึงในตัวเองมีผลกระทบสำคัญต่อการออกแบบเครือข่ายคอมพิวเตอร์ เนื่องจากปริมาณการรับส่งข้อมูลเครือข่ายทั่วไปมีคุณสมบัติคล้ายคลึงในตัวเอง ตัวอย่างเช่น ในวิศวกรรมโทรคมนาคมรูปแบบการรับส่งข้อมูลแบบสวิตช์แพ็กเก็ต ดูเหมือนจะมีความคล้ายคลึงในตัวเองทางสถิติ ^{[ 10 ]} คุณสมบัตินี้หมายความว่าแบบจำลองง่ายๆ ที่ใช้การแจกแจงแบบปัวซงนั้นไม่ถูกต้อง และเครือข่ายที่ออกแบบโดยไม่คำนึงถึงความคล้ายคลึงในตัวเองมีแนวโน้มที่จะทำงานในลักษณะที่ไม่คาดคิด

ในทำนองเดียวกัน การเคลื่อนไหว ของตลาดหุ้นถูกอธิบายว่าแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ในตัวเองกล่าวคือ ปรากฏว่ามีความคล้ายคลึงกันเมื่อแปลงผ่านการแปลงเชิงเส้น ที่เหมาะสม สำหรับระดับรายละเอียดที่แสดง^{[ 11 ]}แอนดรูว์ โล อธิบายความสัมพันธ์ในตัวเองของผลตอบแทนลอการิทึมของตลาดหุ้น ในเศรษฐศาสตร์^{[ 12 ]}

กฎการแบ่งย่อยแบบจำกัดเป็นเทคนิคที่มีประสิทธิภาพสำหรับการสร้างเซตที่มีลักษณะคล้ายตนเอง ซึ่งรวมถึงเซตแคนเตอร์และสามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี

เส้นโค้งเติมเต็มพื้นที่บางเส้นเช่นเส้นโค้ง Peanoและเส้นโค้ง Mooreยังมีคุณสมบัติของความคล้ายคลึงในตัวเองอีกด้วย^{[ 13 ]}

แบบจำลองระบบที่ใช้งานได้ของStafford Beerเป็นแบบจำลององค์กรที่มีลำดับชั้นแบบคล้ายคลึงกันในตัวเอง โดยที่ระบบที่ใช้งานได้ที่กำหนดให้เป็นองค์ประกอบหนึ่งของระบบที่หนึ่งของระบบที่ใช้งานได้ในระดับที่สูงขึ้นไปหนึ่งระดับ และสำหรับระบบที่ใช้งานได้นั้น องค์ประกอบของระบบที่หนึ่งของมันคือระบบที่ใช้งานได้ในระดับที่ต่ำลงมาหนึ่งระดับ

ความคล้ายคลึงในตัวเองสามารถพบได้ในธรรมชาติเช่นกัน พืชบางชนิด เช่นบรอกโคลีโรมาเนสโกแสดงให้เห็นถึงความคล้ายคลึงในตัวเองอย่างชัดเจน

• แคนอนที่เคร่งครัดจะแสดงให้เห็นถึงความคล้ายคลึงกันในตัวเองในรูปแบบและปริมาณที่หลากหลาย เช่นเดียวกับส่วนต่างๆ ของฟิวก์
• เสียง เชพาร์ด (Shepard tone)มีลักษณะคล้ายคลึงกันในตัวเองทั้งในโดเมนความถี่หรือโดเมนความยาวคลื่น
• เพอร์ นอร์การ์ดนักประพันธ์เพลงชาวเดนมาร์กใช้ลำดับจำนวนเต็มที่ มีลักษณะคล้ายตนเอง ที่เรียกว่าอนุกรมอนันต์ในผลงานเพลงของเขาเป็นจำนวนมาก
• ในสาขาการวิจัยการค้นหาข้อมูลดนตรีความคล้ายคลึงในตัวเองโดยทั่วไปหมายถึงข้อเท็จจริงที่ว่าดนตรีมักประกอบด้วยส่วนต่างๆ ที่ซ้ำกันตามเวลา^{[ 14 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง ดนตรีมีความคล้ายคลึงในตัวเองภายใต้การแปลตามเวลา มากกว่า (หรือนอกเหนือจาก) ภายใต้การปรับขนาด^{[ 15 ]}

• "ลายบั้งแผ่นทองแดง" — ภาพยนตร์ซูมแบบแฟร็กทัลที่คล้ายคลึงกันในตัวเอง
• "ความคล้ายคลึงในตัวเอง" — บทความใหม่เกี่ยวกับความคล้ายคลึงในตัวเอง อัลกอริทึมวอลซ์

• Mandelbrot, Benoit B. (1985). "ความสัมพันธ์ในตัวเองและมิติแฟรกทัล" (PDF) . Physica Scripta . 32 (4): 257– 260. Bibcode : 1985PhyS...32..257M . doi : 10.1088/0031-8949/32/4/001 . S2CID  250815596 .
• Sapozhnikov, Victor; Foufoula-Georgiou, Efi (พฤษภาคม 1996). "ความสัมพันธ์ในตัวเองในแม่น้ำที่แตกแขนง" (PDF) . การวิจัยทรัพยากรน้ำ . 32 (5): 1429– 1439. Bibcode : 1996WRR....32.1429S . doi : 10.1029/96wr00490 . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 30 กรกฎาคม 2018 . สืบค้นเมื่อ30 กรกฎาคม 2018 .
• Benoît B. Mandelbrot (2002). Gaussian Self-Affinity and Fractals: Globality, the Earth, 1/F Noise, and R/S . Springer. ISBN 978-0387989938.