ในวิชาฟิสิกส์คณิตศาสตร์และสถิติความไม่แปรผันตามมาตราส่วนคือคุณสมบัติของวัตถุหรือกฎที่ไม่เปลี่ยนแปลงหากมาตราส่วนของความยาว พลังงาน หรือตัวแปรอื่นๆ ถูกคูณด้วยตัวประกอบร่วม ซึ่งแสดงถึงความเป็น สากล

ศัพท์ทางเทคนิคสำหรับกระบวนการเปลี่ยนแปลง นี้ คือการขยาย (dilatation หรือdilation ) การขยายเหล่านี้สามารถเป็นส่วนหนึ่งของสมมาตรแบบคอนฟอร์มอล ที่ใหญ่กว่า ได้

• ในทางคณิตศาสตร์ ความไม่แปรเปลี่ยนตามมาตราส่วนมักหมายถึงความไม่แปรเปลี่ยนของฟังก์ชันหรือเส้นโค้ง แต่ละเส้น แนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือความคล้ายคลึงในตัวเองซึ่งฟังก์ชันหรือเส้นโค้งจะไม่แปรเปลี่ยนภายใต้เซตย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของการขยาย นอกจากนี้การแจกแจงความน่าจะเป็นของกระบวนการสุ่ม ก็อาจ แสดงความไม่แปรเปลี่ยนตามมาตราส่วนหรือความคล้ายคลึงในตัวเองแบบนี้ได้เช่นกัน
• ในทฤษฎีสนามแบบคลาสสิกความไม่แปรเปลี่ยนตามมาตราส่วนมักใช้กับความไม่แปรเปลี่ยนของทฤษฎีทั้งหมดภายใต้การขยายตัว ทฤษฎีดังกล่าวโดยทั่วไปอธิบายกระบวนการทางฟิสิกส์แบบคลาสสิกที่ไม่มีมาตราส่วนความยาวเฉพาะ
• ในทฤษฎีสนามควอนตัมความไม่แปรเปลี่ยนตามขนาด (scale invariance) สามารถตีความได้ในแง่ของฟิสิกส์อนุภาคในทฤษฎีที่ไม่แปรเปลี่ยนตามขนาด ความแรงของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคจะไม่ขึ้นอยู่กับพลังงานของอนุภาคที่เกี่ยวข้อง
• ในกลศาสตร์เชิงสถิติความไม่แปรผันตามขนาดเป็นคุณลักษณะหนึ่งของการเปลี่ยนสถานะข้อสังเกตที่สำคัญคือ ใกล้จุดเปลี่ยนสถานะหรือจุดวิกฤตจะเกิดความผันผวนขึ้นในทุกระดับความยาว ดังนั้นจึงควรค้นหาทฤษฎีที่ไม่แปรผันตามขนาดอย่างชัดเจนเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ดังกล่าว ทฤษฎีเหล่านั้นคือทฤษฎีสนามเชิงสถิติ ที่ไม่แปรผันตามขนาด และมีรูปแบบคล้ายคลึงกับทฤษฎีสนามควอนตัมที่ไม่แปรผันตามขนาดอย่างมาก
• ความเป็นสากลคือการสังเกตว่าระบบจุลภาคที่แตกต่างกันอย่างมากสามารถแสดงพฤติกรรมเดียวกันได้ในการเปลี่ยนสถานะ ดังนั้น การเปลี่ยนสถานะในระบบต่างๆ มากมายจึงอาจอธิบายได้ด้วยทฤษฎีพื้นฐานที่ไม่ขึ้นกับขนาดเดียวกัน
• โดยทั่วไปปริมาณไร้มิติจะไม่ขึ้นอยู่กับขนาด แนวคิดที่คล้ายคลึงกันในทางสถิติคือโมเมนต์มาตรฐานซึ่งเป็นสถิติที่ไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวแปร ในขณะที่โมเมนต์ที่ไม่เป็นมาตรฐานนั้นไม่ขึ้นอยู่กับขนาด

ในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถพิจารณาคุณสมบัติการปรับขนาดของฟังก์ชันหรือเส้นโค้งf ( x )ภายใต้การปรับขนาดของตัวแปรxได้ กล่าวคือ เราสนใจรูปร่างของf ( λx )สำหรับตัวประกอบการปรับขนาดλ บางตัว ซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นการปรับขนาดความยาวหรือขนาด ข้อกำหนดที่ว่า f ( x )จะต้องไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การปรับขนาดทั้งหมดมักจะถือว่าเป็น

${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda ^{\Delta }f(x)}$

สำหรับค่าเลขชี้กำลัง Δ บางค่า และสำหรับค่าการขยายλ ทั้งหมด นี่เทียบเท่ากับ การที่ f   เป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ที่มีดีกรี Δ

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน ได้แก่ เอกนาม ซึ่งΔ = nอย่างชัดเจน ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

${\displaystyle f(\lambda x)=(\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}f(x)~.}$

ตัวอย่างหนึ่งของเส้นโค้งที่ไม่ขึ้นกับขนาดคือเกลียวลอการิทึมซึ่งเป็นเส้นโค้งชนิดหนึ่งที่มักพบเห็นได้ในธรรมชาติ ในพิกัดเชิงขั้ว( r , θ )เกลียวนี้สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a)~.}$

เมื่อพิจารณาการหมุนของเส้นโค้งแล้ว เส้นโค้งจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การปรับขนาดλ ทั้งหมด กล่าวคือθ ( λr )จะเหมือนกับเวอร์ชันที่หมุนแล้ว ${\displaystyle \theta (r)+{\frac {1}{b}}\ln \lambda }$

แนวคิดเรื่องความไม่แปรเปลี่ยนตามขนาดของเอกนามนั้น สามารถขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นได้ โดยเป็นแนวคิดของพหุนามเอกพันธุ์และโดยทั่วไปแล้วเป็นแนวคิดของฟังก์ชันเอก พันธุ์ ฟังก์ชันเอกพันธุ์เป็นสิ่งที่พบได้ตามธรรมชาติใน ปริภูมิเชิงฉายและพหุนามเอกพันธุ์นั้นถูกศึกษาใน ฐานะวา ไรตี้เชิง ฉาย ในเรขาคณิตเชิงฉาย เรขาคณิตเชิงฉายเป็นสาขาคณิตศาสตร์ที่อุดมสมบูรณ์เป็นพิเศษ ในรูปแบบที่เป็นนามธรรมที่สุด เช่น เรขาคณิตของสกีมมันมีความเชื่อมโยงกับหัวข้อต่างๆ ในทฤษฎีสตริง

บางครั้งมีการกล่าวกันว่าแฟรกทัลนั้นไม่เปลี่ยนแปลงตามขนาด แต่ที่ถูกต้องกว่านั้นคือควรกล่าวว่ามันมีความคล้ายคลึงในตัวเองแฟรกทัลจะเท่ากับตัวมันเองโดยทั่วไปเฉพาะสำหรับค่าλ ที่กำหนดไว้เท่านั้น และถึงกระนั้นก็อาจต้องมีการเลื่อนและการหมุนเพื่อทำให้แฟรกทัลนั้นเท่ากับตัวมันเอง

ดังนั้น ตัวอย่างเช่นเส้นโค้ง Kochจะปรับขนาดตาม∆ = 1แต่การปรับขนาดนี้ใช้ได้เฉพาะกับค่าλ = 1/3 ⁿสำหรับจำนวนเต็มnเท่านั้น นอกจากนี้ เส้นโค้ง Koch จะปรับขนาดไม่เฉพาะที่จุดกำเนิดเท่านั้น แต่ในแง่หนึ่ง "ทุกที่" ด้วย กล่าวคือ สามารถพบสำเนาขนาดเล็กของเส้นโค้งนี้ได้ตลอดแนวเส้นโค้ง

แฟร็กทัลบางประเภทอาจมีปัจจัยการปรับขนาดหลายอย่างพร้อมกัน การปรับขนาดดังกล่าวได้รับการศึกษาด้วยการวิเคราะห์มัลติแฟร็กทัล

รังสีภายนอกและภายในแบบเป็นคาบเป็นเส้นโค้งที่ไม่เปลี่ยนแปลง

ถ้าP ( f )คือ กำลัง เฉลี่ย (ที่คาดหวัง)ที่ความถี่fแล้ว สัญญาณรบกวนจะแปรผันตาม

${\displaystyle P(f)=\lambda ^{\Delta }P(\lambda f)}$

โดยที่ Δ = 0 สำหรับสัญญาณรบกวนสีขาว , Δ = −1 สำหรับสัญญาณรบกวนสีชมพูและ Δ = −2 สำหรับสัญญาณรบกวนแบบบราวน์ (และโดยทั่วไปคือการเคลื่อนที่แบบบราวน์ )

กล่าวโดยละเอียด การปรับขนาดในระบบสุ่มนั้นเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นของการเลือกการกำหนดค่าเฉพาะอย่างใดอย่างหนึ่งจากชุดของการกำหนดค่าแบบสุ่มที่เป็นไปได้ทั้งหมด ความน่าจะเป็นนี้กำหนดโดยการแจกแจงความน่าจะเป็น

ตัวอย่างของการแจกแจงที่ไม่ขึ้นกับขนาด ได้แก่การแจกแจงพาเรโตและการแจกแจงซิปเฟียน

การแจกแจง Tweedieเป็นกรณีพิเศษของแบบจำลองการกระจายแบบเอกซ์ โพเนนเชีย ล ซึ่งเป็นแบบจำลองทางสถิติประเภทหนึ่งที่ใช้อธิบายการแจกแจงข้อผิดพลาดสำหรับแบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปและมีลักษณะเฉพาะโดยการปิดภายใต้การสังเคราะห์แบบบวกและแบบทำซ้ำ รวมถึงภายใต้การแปลงมาตราส่วน ^{[ 1 ]} ซึ่งรวมถึงการแจกแจงทั่วไปจำนวนหนึ่ง ได้แก่ การแจกแจงปกติการแจกแจงปัวซงและการแจกแจงแกมมารวมถึงการแจกแจงที่ผิดปกติมากขึ้น เช่น การแจกแจงปัวซง-แกมมาแบบผสมการแจกแจงเสถียร บวก และการแจกแจงเสถียรสุดขั้ว เนื่องมาจาก ความตามมาตราส่วนโดยธรรมชาติ ตัวแปรสุ่ม Tweedie Yแสดงให้เห็น ถึง ความแปรปรวน var( Y ) ต่อค่าเฉลี่ย E( Y ) กฎกำลัง:

${\displaystyle {\text{var}}\,(Y)=a[{\text{E}}\,(Y)]^{p}}$,

โดยที่aและpเป็นค่าคงที่บวก กฎกำลังความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ยนี้เป็นที่รู้จักในวรรณกรรมฟิสิกส์ในชื่อ^การปรับขนาดความผันผวน [ ^{2 ]}และในวรรณกรรมนิเวศวิทยาในชื่อกฎของเทย์เลอร์^{[ 3 ]}

ลำดับสุ่มที่ควบคุมโดยการแจกแจง Tweedie และประเมินโดยวิธีการขยายบินแสดง ความสัมพันธ์ แบบสองเงื่อนไขระหว่างความแปรปรวนต่อกฎกำลังของค่าเฉลี่ยและความสัมพันธ์อัตโนมัติ ของกฎกำลัง ทฤษฎีบท Wiener –Khinchinยังบ่งชี้เพิ่มเติมว่าสำหรับลำดับใด ๆ ที่แสดงกฎกำลังของความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ยภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้จะแสดงสัญญาณรบกวน1 /f ด้วย ^{[ 4 ​​]}

ทฤษฎีบทการบรรจบกันของทวีดีให้คำอธิบายเชิงสมมติฐานสำหรับการแสดงออกอย่างกว้างขวางของการปรับขนาดความผันผวนและสัญญาณรบกวน1/f ^{[ 5 ]} โดยพื้นฐานแล้ว ทฤษฎีบทนี้กำหนดให้แบบจำลองการกระจายแบบเอกซ์โพเนนเชียลใดๆ ที่แสดงกฎกำลังความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ยในเชิง อะซิมโทติกจะต้องแสดงฟังก์ชันความแปรปรวนที่อยู่ในขอบเขตการดึงดูด ของแบบจำลองทวีดี ฟังก์ชันการกระจายเกือบทั้งหมดที่มี ฟังก์ชันสร้างคัมมูแลนต์ จำกัด มีคุณสมบัติเป็นแบบจำลองการกระจายแบบเอกซ์โพเนนเชียล และแบบจำลองการกระจายแบบเอกซ์โพเนนเชียลส่วนใหญ่แสดงฟังก์ชันความแปรปรวนในรูปแบบนี้ ดังนั้น การกระจายความน่าจะเป็นจำนวนมากจึงมีฟังก์ชันความแปรปรวนที่แสดงพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติก นี้ และการกระจายทวีดีจึงกลายเป็นจุดโฟกัสของการบรรจบกันสำหรับประเภทข้อมูลที่หลากหลาย^{[ 4 ​​]}

เช่นเดียวกับที่ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางต้องการตัวแปรสุ่มบางประเภทที่มี การกระจายแบบ เกาส์เซียนเป็นจุดโฟกัสของการบรรจบ กัน และแสดงสัญญาณรบกวนสีขาวทฤษฎีบทการบรรจบกันของทวีดี้ต้องการตัวแปรสุ่มที่ไม่ใช่เกาส์เซียนบางประเภทเพื่อแสดง สัญญาณรบกวน 1/fและการปรับขนาดความผันผวน^{[ 4 ]}

ในจักรวาลวิทยาเชิงฟิสิกส์ สเปกตรัมกำลังของการกระจายตัวเชิงพื้นที่ของพื้นหลังไมโครเวฟของจักรวาลนั้นใกล้เคียงกับฟังก์ชันที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน แม้ว่าในทางคณิตศาสตร์จะหมายความว่าสเปกตรัมเป็นกฎกำลัง แต่ในจักรวาลวิทยา คำว่า "ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน" บ่งชี้ว่าแอมพลิจูดP ( k )ของความผันผวนดั้งเดิมเป็นฟังก์ชันของเลขคลื่นk นั้นมีค่าคงที่โดยประมาณ กล่าว คือ สเปกตรัมแบนราบ รูปแบบนี้สอดคล้องกับข้อเสนอของการขยายตัวของจักรวาล

ทฤษฎีสนามแบบคลาสสิกโดยทั่วไปอธิบายได้ด้วยสนาม หรือเซตของสนาม φที่ขึ้นอยู่กับพิกัดxจากนั้นจึงกำหนดรูปแบบสนามที่ถูกต้องโดยการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับφและสมการเหล่านี้เรียกว่า สม การ สนาม

เพื่อให้ทฤษฎีมีความไม่แปรผันตามมาตราส่วน สมการสนามของทฤษฎีนั้นจะต้องไม่แปรผันภายใต้การปรับมาตราส่วนของพิกัด ควบคู่ไปกับการปรับมาตราส่วนของสนามที่กำหนดไว้

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x~,}$

${\displaystyle \varphi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\varphi ~.}$

พารามิเตอร์ Δ เรียกว่ามิติการปรับขนาดของสนาม และค่าของมันขึ้นอยู่กับทฤษฎีที่กำลังพิจารณา โดยทั่วไปแล้ว ความไม่แปรเปลี่ยนตามขนาดจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อไม่มีมาตราส่วนความยาวคงที่ปรากฏในทฤษฎี ในทางกลับกัน การมีอยู่ของมาตราส่วนความยาวคงที่บ่งชี้ว่าทฤษฎีนั้นไม่แปรเปลี่ยนตามขนาด

ผลที่ตามมาจากการไม่เปลี่ยนแปลงตามมาตราส่วนคือ เมื่อเรามีคำตอบของสมการสนามที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามมาตราส่วนแล้ว เราสามารถหาคำตอบอื่นๆ ได้โดยอัตโนมัติโดยการปรับขนาดทั้งพิกัดและสนามให้เหมาะสม ในทางเทคนิคแล้ว เมื่อเรามีคำตอบ φ ( x ) เราจะมีคำตอบอื่นๆ ในรูปแบบ φ ( x ) เสมอ

${\displaystyle \lambda ^{\Delta }\varphi (\lambda x).}$

เพื่อให้การกำหนดค่าสนามเฉพาะ φ ( x ) มีความไม่ขึ้นกับมาตราส่วน เราต้องกำหนดให้

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda ^{-\Delta }\varphi (\lambda x)}$

โดยที่ Δ คือมิติการปรับขนาดของฟิลด์ อีกครั้งหนึ่ง

เราสังเกตว่าเงื่อนไขนี้ค่อนข้างเข้มงวด โดยทั่วไปแล้ว แม้แต่คำตอบของสมการสนามที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน ก็จะไม่เป็นไปตามหลักการไม่ขึ้นกับมาตราส่วน และในกรณีเช่นนั้น จะกล่าวได้ว่าสมมาตรถูกทำลายโดยธรรมชาติ

ตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีสนามคลาสสิกที่ไม่ขึ้นกับขนาดคือแม่เหล็กไฟฟ้าที่ไม่มีประจุหรือกระแสไฟฟ้า สนามต่างๆ ได้แก่ สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กE ( x , t ) และB ( x , t ) ในขณะที่สมการสนามของพวกมันคือสมการของแม็กซ์เวลล์

เมื่อไม่มีประจุหรือกระแสไฟฟ้าสมการสนามเหล่านี้จะอยู่ในรูปของสมการคลื่น

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\บางส่วน t^{2}}}\\[6pt]\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\บางส่วน ^{2}\mathbf {B} }{\บางส่วน t^{2}}}\end{aligned}}}$

โดยที่cคือความเร็วแสง

สมการสนามเหล่านี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลง

${\displaystyle {\begin{aligned}x\rightarrow \lambda x,\\[6pt]t\rightarrow \lambda t.\end{aligned}}}$

นอกจากนี้ เมื่อกำหนดคำตอบของสมการของแม็กซ์เวลล์E ( x , t ) และB ( x , t ) แล้ว จะเป็นจริงว่า E ( λ x , λt ) และB ( λ x , λt ) ก็เป็นคำตอบเช่นกัน

อีกตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีสนามคลาสสิกที่ไม่ขึ้นกับขนาดคือสนามสเกลาร์ ไร้มวล (โปรดทราบว่าชื่อสเกลาร์ไม่เกี่ยวข้องกับความไม่ขึ้นกับขนาด) สนามสเกลาร์φ ( x , t )เป็นฟังก์ชันของชุดตัวแปรเชิงพื้นที่x และตัวแปรเวลาt

พิจารณาทฤษฎีเชิงเส้นก่อน เช่นเดียวกับสมการสนามแม่เหล็กไฟฟ้าข้างต้น สมการการเคลื่อนที่สำหรับทฤษฎีนี้ก็เป็นสมการคลื่นเช่นกัน

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi =0,}$

และไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลง

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t.}$

ชื่อ "ไร้มวล" หมายถึงการไม่มีพจน์ในสมการสนาม พจน์ดังกล่าว มักเรียกว่าพจน์ "มวล" และจะทำลายความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงข้างต้น ในทฤษฎีสนามสัมพัทธภาพมาตราส่วนมวลm นั้นเทียบเท่าทางกายภาพกับมาตราส่วนความยาวคงที่ผ่านทาง ${\displaystyle \propto m^{2}\varphi }$

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{mc}},}$

ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่ทฤษฎีสนามสเกลาร์ขนาดใหญ่จะไม่คงสภาพตามมาตราส่วน

สมการสนามในตัวอย่างข้างต้นทั้งหมดเป็นเชิงเส้นในสนาม ซึ่งหมายความว่ามิติการปรับขนาด Δ ไม่มีความสำคัญมากนัก อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วจำเป็นต้องให้การกระทำ ของสนามสเกลาร์ ไม่มีมิติ และนี่จะกำหนดมิติการปรับขนาดของφโดยเฉพาะอย่างยิ่ง

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}},}$

โดยที่Dคือจำนวนรวมของมิติเชิงพื้นที่และมิติเชิงเวลา

เมื่อพิจารณามิติการปรับขนาดนี้สำหรับφแล้ว จะมีการปรับเปลี่ยนแบบไม่เชิงเส้นบางอย่างของทฤษฎีสนามสเกลาร์ไร้มวลซึ่งไม่ขึ้นกับมาตราส่วนเช่นกัน ตัวอย่างหนึ่งคือทฤษฎีφ ⁴ ไร้มวล สำหรับD  = 4 สมการสนามคือ

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi +g\varphi ^{3}=0.}$

(โปรดทราบว่าชื่อφ⁴มาจากรูปแบบของลาก^รางเจียนซึ่งประกอบด้วยกำลังสี่ของφ )

เมื่อD  = 4 (เช่น สามมิติเชิงพื้นที่และหนึ่งมิติเชิงเวลา) มิติการปรับขนาดของสนามสเกลาร์คือ Δ = 1 สมการสนามจึงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงนี้

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t,}$

${\displaystyle \varphi (x)\rightarrow \lambda ^{-1}\varphi (x).}$

ประเด็นสำคัญคือพารามิเตอร์gต้องไม่มีมิติ มิฉะนั้นจะนำมาตราส่วนความยาวคงที่เข้ามาในทฤษฎี: สำหรับ ทฤษฎี φ ⁴ กรณีนี้จะเป็นจริงเฉพาะในD  = 4 เท่านั้น โปรดสังเกตว่าภายใต้การแปลงเหล่านี้ อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันφจะไม่เปลี่ยนแปลง

การพึ่งพาสเกลของทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) ถูกกำหนดลักษณะโดยวิธีที่พารามิเตอร์การเชื่อมต่อ ของทฤษฎีนั้น ขึ้นอยู่กับระดับพลังงานของกระบวนการทางกายภาพที่กำหนด การพึ่งพาพลังงานนี้อธิบายได้ด้วยกลุ่มการปรับมาตรฐาน (renormalization group ) และถูกเข้ารหัสไว้ในฟังก์ชันเบตาของทฤษฎี

เพื่อให้ QFT เป็นแบบสเกลอินวาเรียนต์ พารามิเตอร์การเชื่อมต่อจะต้องเป็นอิสระจากสเกลพลังงาน และสิ่งนี้แสดงให้เห็นได้จากการที่ฟังก์ชันเบตาของทฤษฎีเป็นศูนย์ ทฤษฎีดังกล่าวยังเป็นที่รู้จักในชื่อจุดคงที่ของการไหลของกลุ่มการปรับมาตรฐานที่สอดคล้องกัน^{[ 6 ]}

ตัวอย่างง่ายๆ ของทฤษฎีสนามควอนตัมที่ไม่ขึ้นกับขนาด (scale-invariant QFT) คือสนามแม่เหล็กไฟฟ้าแบบควอนตัมที่ไม่มีอนุภาคประจุ ทฤษฎีนี้ไม่มีพารามิเตอร์การเชื่อมต่อ (เนื่องจากโฟตอนไม่มีมวลและไม่เกิดปฏิสัมพันธ์) ดังนั้นจึงไม่ขึ้นกับขนาด เช่นเดียวกับทฤษฎีคลาสสิก

อย่างไรก็ตาม ในธรรมชาติ สนามแม่เหล็กไฟฟ้าจะเชื่อมโยงกับอนุภาคที่มีประจุ เช่นอิเล็กตรอน ทฤษฎีสนามควอนตั ม (QFT) ที่อธิบายปฏิสัมพันธ์ระหว่างโฟตอนและอนุภาคที่มีประจุคือควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (QED) และทฤษฎีนี้ไม่คงที่ภายใต้มาตราส่วน เราสามารถเห็นได้จากฟังก์ชันเบตาของ QEDซึ่งบอกเราว่าประจุไฟฟ้า (ซึ่งเป็นพารามิเตอร์การเชื่อมโยงในทฤษฎี) เพิ่มขึ้นตามพลังงานที่เพิ่มขึ้น ดังนั้น ในขณะที่สนามแม่เหล็กไฟฟ้า แบบควอนตัมที่ไม่มีอนุภาคที่มีประจุคงที่ภายใต้มาตราส่วน แต่ QED ไม่คงที่ภายใต้มาตราส่วน

ทฤษฎีสนามสเกลาร์ควอนตัมแบบอิสระและไร้มวลนั้นไม่มีพารามิเตอร์การเชื่อมต่อ ดังนั้นเช่นเดียวกับเวอร์ชันคลาสสิก มันจึงไม่ขึ้นกับมาตราส่วน ในภาษาของกลุ่มการปรับมาตรฐาน ทฤษฎีนี้เรียกว่าจุดตรึงแบบเกาส์เซียน

อย่างไรก็ตาม แม้ว่า ทฤษฎี φ ⁴ แบบคลาสสิกที่ไม่มีมวล จะไม่เปลี่ยนแปลงตามมาตราส่วนในD  = 4 แต่เวอร์ชันควอนตัมกลับไม่ เปลี่ยนแปลง ตาม มาตราส่วน เราสามารถเห็นได้จากฟังก์ชันเบตาสำหรับพารามิเตอร์การเชื่อมต่อg

แม้ว่าφ ⁴ ที่ไม่มีมวลและถูกควอนตัม จะไม่คงที่ภายใต้มาตราส่วน แต่ก็ยังมีทฤษฎีสนามสเกลาร์แบบควอนตัมที่คงที่ภายใต้มาตราส่วนอื่นๆ นอกเหนือจากจุดตรึงแบบเกาส์เซียน ตัวอย่างหนึ่งคือจุดตรึงแบบวิลสัน-ฟิชเชอร์ดังที่แสดงด้านล่าง

ทฤษฎีสนาม ค วอนตัม ( QFT) ที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน (scale-invariant) มักจะไม่ขึ้นกับมาตราส่วนภายใต้สมมาตรคอนฟอร์มอ ลอย่างสมบูรณ์ และการศึกษาทฤษฎีสนามควอนตัมดังกล่าวเรียกว่าทฤษฎีสนามคอนฟอร์ม อล (CFT) ตัวดำเนินการ ใน CFT มี มิติมาตราส่วนที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนคล้ายกับมิติมาตราส่วน ∆ ของสนามคลาสสิกที่กล่าวถึงข้างต้น อย่างไรก็ตาม มิติมาตราส่วนของตัวดำเนินการใน CFT มักจะแตกต่างจากมิติมาตราส่วนของสนามในทฤษฎีคลาสสิกที่สอดคล้องกัน ส่วนประกอบเพิ่มเติมที่ปรากฏใน CFT เรียกว่ามิติมาตราส่วนที่ผิดปกติ (anomalous scaling dimensions )

ตัวอย่างทฤษฎี φ ⁴ข้างต้นแสดงให้เห็นว่าพารามิเตอร์การเชื่อมต่อของทฤษฎีสนามควอนตัมสามารถขึ้นอยู่กับมาตราส่วนได้ แม้ว่าทฤษฎีสนามคลาสสิกที่สอดคล้องกันจะไม่ขึ้นอยู่กับมาตราส่วน (หรือไม่ขึ้นอยู่กับคอนฟอร์มัล) ก็ตาม หากเป็นเช่นนั้น ความไม่ขึ้นอยู่กับมาตราส่วนแบบคลาสสิก (หรือแบบคอนฟอร์มัล) จะเรียกว่าผิดปกติ ทฤษฎีสนามที่ไม่ขึ้นอยู่กับมาตราส่วนแบบคลาสสิก ซึ่งความไม่ขึ้นอยู่กับมาตราส่วนถูกทำลายโดยผลกระทบควอนตัม จะให้คำอธิบายเกี่ยวกับการขยายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียลเกือบสมบูรณ์ ^ของเอกภพยุคแรกที่เรียกว่าภาวะเงินเฟ้อของเอกภพ ตราบใดที่ทฤษฎีนั้นสามารถศึกษาได้ผ่านทฤษฎีการรบกวน [ ^{7 ]}

ในกลศาสตร์เชิงสถิติเมื่อระบบเกิดการเปลี่ยนสถานะความผันผวนของระบบจะถูกอธิบายด้วยทฤษฎีสนามเชิงสถิติ ที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน สำหรับระบบที่อยู่ในสมดุล (กล่าวคือ ไม่ขึ้นกับเวลา) ใน มิติเชิงพื้นที่ Dทฤษฎีสนามเชิงสถิติที่สอดคล้องกันจะมีลักษณะคล้ายกับทฤษฎีสนามเชิงคอนฟอร์มอล (CFT) ในมิติ D โดยทั่วไป แล้ว มิติการปรับขนาดในปัญหาดังกล่าวจะถูกเรียกว่าเลขชี้กำลังวิกฤตและในทางทฤษฎีแล้วเราสามารถคำนวณเลขชี้กำลังเหล่านี้ได้ใน CFT ที่เหมาะสม

ตัวอย่างหนึ่งที่เชื่อมโยงแนวคิดหลายอย่างในบทความนี้เข้าด้วยกันคือ การเปลี่ยนเฟสของแบบจำลองไอซิงซึ่งเป็นแบบจำลองอย่างง่ายของ สาร เฟอร์โรแมกเนติกนี่คือแบบจำลองกลศาสตร์เชิงสถิติ ซึ่งมีคำอธิบายในแง่ของทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลด้วย ระบบประกอบด้วยอาร์เรย์ของไซต์แลตติส ซึ่งก่อตัวเป็นแลตติสแบบคาบในมิติD ไซต์แลตติสแต่ละไซต์จะมี โมเมนต์แม่เหล็กหรือสปินและสปินนี้สามารถมีค่าเป็น +1 หรือ −1 ได้ (สถานะเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่า ขึ้น และ ลง ตามลำดับ)

ประเด็นสำคัญคือแบบจำลอง Ising มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างสปิน ทำให้การเรียงตัวของสปินที่อยู่ติดกันสองสปินเป็นไปได้ในเชิงพลังงาน ในทางกลับกัน ความผันผวนทางความร้อนมักจะทำให้การเรียงตัวของสปินเป็นแบบสุ่ม ที่อุณหภูมิวิกฤตT_{_c}จะ เกิด การสร้างสนามแม่เหล็กขึ้นเองซึ่งหมายความว่าต่ำกว่าT _{_c}ปฏิสัมพันธ์ระหว่างสปินจะเริ่มมีบทบาทเด่น และจะมีการเรียงตัวสุทธิของสปินในทิศทางใดทิศทางหนึ่งจากสองทิศทาง

ตัวอย่างหนึ่งของปริมาณทางกายภาพที่เราต้องการคำนวณที่อุณหภูมิวิกฤตนี้ คือ ความสัมพันธ์ระหว่างสปินที่อยู่ห่างกันเป็นระยะrซึ่งมีพฤติกรรมทั่วไปดังนี้:

${\displaystyle G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},}$

สำหรับค่าเฉพาะบางค่าของซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของเลขชี้กำลังวิกฤต ${\displaystyle \eta }$

ความผันผวนที่อุณหภูมิTc _นั้นไม่ขึ้นกับขนาด ดังนั้นแบบจำลอง Ising ที่การเปลี่ยนเฟสนี้จึงคาดว่าจะสามารถอธิบายได้ด้วยทฤษฎีสนามสถิติที่ไม่ขึ้นกับขนาด อันที่จริง ทฤษฎีนี้คือจุดตรึงของวิลสัน-ฟิชเชอร์ ซึ่ง เป็นทฤษฎีสนามสเกลาร์ที่ ไม่ขึ้นกับขนาดโดยเฉพาะ

ในบริบทนี้G ( r )จะถูกเข้าใจว่าเป็นฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของฟิลด์สเกลาร์

${\displaystyle \langle \phi (0)\phi (r)\rangle \propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}}.}$

ตอนนี้เราสามารถนำแนวคิดต่างๆ ที่เราได้เห็นไปแล้วมาประกอบเข้าด้วยกันได้

จากข้างต้น จะเห็นได้ว่าเลขชี้กำลังวิกฤตηสำหรับการเปลี่ยนเฟสนี้ ก็เป็นมิติที่ผิดปกติเช่น กัน ทั้งนี้เนื่องจากมิติแบบคลาสสิกของสนามสเกลาร์

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}}}$

ถูกดัดแปลงให้กลายเป็น

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2+\eta }{2}},}$

โดยที่Dคือจำนวนมิติของโครงข่ายแบบจำลองไอซิง

ดังนั้น มิติที่ผิดปกติในทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลนี้ จึง เหมือนกับเลขชี้กำลังวิกฤตเฉพาะตัวหนึ่งของการเปลี่ยนเฟสตามแบบจำลองไอซิง

โปรดทราบว่าสำหรับมิติD ≡ 4− εนั้นηสามารถคำนวณได้โดยประมาณโดยใช้การขยายอนุกรมเอปซิลอนและพบว่า

${\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon ^{2}}{54}}+O(\epsilon ^{3})}$.

ในกรณีที่น่าสนใจทางกายภาพของมิติเชิงพื้นที่สามมิติ เรามีε = 1 ดังนั้นการขยายอนุกรมนี้จึงไม่น่าเชื่อถืออย่างเคร่งครัด อย่างไรก็ตาม การคาดการณ์กึ่งเชิงปริมาณคือηมีค่าเล็กน้อยในเชิงตัวเลขในสามมิติ

ในทางกลับกัน ในกรณีสองมิติ แบบจำลอง Ising สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเทียบเท่ากับแบบจำลองขั้นต่ำ แบบหนึ่ง ซึ่งเป็นตระกูลของ CFT ที่เข้าใจกันดี และสามารถคำนวณη (และเลขชี้กำลังวิกฤตอื่นๆ) ได้อย่างแม่นยำ

${\displaystyle \eta _{_{D=2}}={\frac {1}{4}}}$.

มิติที่ผิดปกติในทฤษฎีสนามควอนตัมแบบสองมิติบางประเภท สามารถเชื่อมโยงกับมิติแฟรกทัล ทั่วไป ของการเดินสุ่มได้ โดยที่การเดินสุ่มนั้นถูกกำหนดผ่านวิวัฒนาการของ Schramm–Loewner (SLE) ดังที่เราได้เห็นข้างต้น ทฤษฎีสนามควอนตัมอธิบายฟิสิกส์ของการเปลี่ยนเฟส ดังนั้นจึงสามารถเชื่อมโยงเลขชี้กำลังวิกฤตของการเปลี่ยนเฟสบางอย่างกับมิติแฟรกทัลเหล่านี้ได้ ตัวอย่างเช่น แบบจำลอง Ising วิกฤตแบบสองมิติ และ แบบจำลอง Pottsวิกฤต แบบสอง มิติที่ทั่วไปกว่า การเชื่อมโยงทฤษฎี สนามควอนตัมแบบสอง มิติอื่นๆกับ SLE เป็นหัวข้อการวิจัยที่กำลังดำเนินอยู่

ปรากฏการณ์ที่เรียกว่าความเป็นสากล (universality ) พบได้ในระบบทางฟิสิกส์หลากหลายประเภท มันแสดงให้เห็นถึงแนวคิดที่ว่าฟิสิกส์ระดับจุลภาคที่แตกต่างกันสามารถก่อให้เกิดพฤติกรรมการปรับขนาดแบบเดียวกัน ณ จุดเปลี่ยนสถานะ ตัวอย่างที่เป็นแบบอย่างของความเป็นสากลเกี่ยวข้องกับระบบสองระบบต่อไปนี้:

• การ เปลี่ยนเฟสตาม แบบจำลองไอซิง ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น
• การเปลี่ยนสถานะ จากของเหลวเป็นไอในของไหลแบบคลาสสิก

แม้ว่าฟิสิกส์ระดับจุลภาคของระบบทั้งสองนี้จะแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง แต่ค่าเลขชี้กำลังวิกฤตกลับเหมือนกัน ยิ่งไปกว่านั้น เราสามารถคำนวณค่าเลขชี้กำลังเหล่านี้ได้โดยใช้ทฤษฎีสนามสถิติเดียวกัน ข้อสังเกตที่สำคัญคือ ณ จุดเปลี่ยนเฟสหรือจุดวิกฤตความผันผวนเกิดขึ้นในทุกระดับความยาว ดังนั้นจึงควรค้นหาทฤษฎีสนามสถิติที่ไม่ขึ้นกับขนาดเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ ในแง่หนึ่ง ความเป็นสากลคือการสังเกตว่ามีทฤษฎีที่ไม่ขึ้นกับขนาดดังกล่าวค่อนข้างน้อย

กลุ่มของทฤษฎีระดับจุลภาคที่แตกต่างกันซึ่งอธิบายโดยทฤษฎีคงที่ตามมาตราส่วนเดียวกัน เรียกว่ากลุ่มความเป็นสากล (universality class ) ตัวอย่างอื่นๆ ของระบบที่อยู่ในกลุ่มความเป็นสากล ได้แก่:

• หิมะถล่มในกองทราย ความน่าจะเป็นของการเกิดหิมะถล่มแปรผันตามขนาดของหิมะถล่ม และพบว่าหิมะถล่มเกิดขึ้นได้ในทุกขนาด
• ความถี่ของการหยุดชะงักของเครือข่ายบนอินเทอร์เน็ตขึ้นอยู่กับขนาดและระยะเวลา
• ความถี่ของการอ้างอิงบทความวารสาร ซึ่งพิจารณาจากเครือข่ายการอ้างอิงทั้งหมดระหว่างบทความทั้งหมด เป็นฟังก์ชันของจำนวนการอ้างอิงในบทความนั้นๆ
• การก่อตัวและการแพร่กระจายของรอยแตกและรอยฉีกขาดในวัสดุต่างๆ ตั้งแต่เหล็ก หิน ไปจนถึงกระดาษ การเปลี่ยนแปลงของทิศทางของรอยฉีกขาด หรือความหยาบของพื้นผิวที่แตกหัก จะแปรผันตามสัดส่วนกำลังกับขนาดของรอยฉีกขาด
• การชำรุดทางไฟฟ้าของวัสดุฉนวนซึ่งมีลักษณะคล้ายรอยแตกและรอยฉีกขาด
• การซึมผ่านของของเหลวผ่านตัวกลางที่ไม่เป็นระเบียบ เช่นน้ำมันปิโตรเลียมผ่านชั้นหินที่มีรอยแตก หรือน้ำผ่านกระดาษกรอง เช่น ในกระบวนการโครมาโทกราฟีการปรับขนาดตามกฎกำลังเชื่อมโยงอัตราการไหลกับการกระจายตัวของรอยแตก
• การแพร่กระจายของโมเลกุลในสารละลายและปรากฏการณ์การรวมตัวที่ถูกจำกัดด้วยการแพร่กระจาย
• การกระจายตัวของหินขนาดต่างๆ ในส่วนผสมของวัสดุรวมที่กำลังถูกเขย่า (โดยมีแรงโน้มถ่วงกระทำต่อหิน)

ข้อสังเกตที่สำคัญคือ สำหรับระบบต่างๆ เหล่านี้ พฤติกรรมจะคล้ายกับการเปลี่ยนสถานะและสามารถใช้ภาษาของกลศาสตร์เชิงสถิติและทฤษฎีสนามเชิงสถิติ ที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน มาอธิบายได้

ภายใต้สถานการณ์บางอย่างกลศาสตร์ของไหลเป็นทฤษฎีสนามคลาสสิกที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน สนามต่างๆ ได้แก่ ความเร็วของการไหลของของไหล (v) ความหนาแน่นของของไหล (ρ) และความดันของของไหล (ρ ) สนามเหล่านี้ต้องสอดคล้องกับทั้ง สมการนาเวียร์-สโตกส์และสมการความต่อเนื่องสำหรับของไหลแบบนิวตันสมการเหล่านี้จะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-\nabla P+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right)}$$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0}$

ความ หนืด ไดนามิกอยู่ที่ไหน${\displaystyle \mu }$

เพื่อให้สามารถอนุมานถึงความไม่แปรผันตามขนาดของสมการเหล่านี้ได้ เราจึงกำหนดสมการสถานะที่เชื่อมโยงความดันของไหลกับความหนาแน่นของไหล สมการสถานะนี้ขึ้นอยู่กับชนิดของไหลและเงื่อนไขที่ไหลนั้นได้รับ ตัวอย่างเช่น เราพิจารณาก๊าซอุดมคติแบบไอโซเทอร์มอล ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle P=c_{s}^{2}\rho ,}$

โดยที่ความเร็วเสียงในของเหลวคือเท่าใด เมื่อกำหนดสมการสถานะนี้แล้ว สมการนาเวียร์-สโตกส์และสมการความต่อเนื่องจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลง ${\displaystyle c_{s}}$

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{2}t,}$

${\displaystyle \rho \rightarrow \lambda ^{-1}\rho ,}$

${\displaystyle \mathbf {u} \rightarrow \lambda ^{-1}\mathbf {u} .}$

เมื่อพิจารณาจากคำตอบและแล้วเราจะได้ว่า และ ก็เป็นคำตอบเช่นกัน โดยอัตโนมัติ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \lambda \mathbf {u} (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$${\displaystyle \lambda \rho (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$

ในการมองเห็นด้วยคอมพิวเตอร์และการมองเห็นทางชีวภาพการแปลงสเกลเกิดขึ้นเนื่องจากการแมปภาพแบบเปอร์สเปคทีฟและเนื่องจากวัตถุมีขนาดทางกายภาพที่แตกต่างกันในโลก ในพื้นที่เหล่านี้ ความไม่แปรผันตามสเกลหมายถึงตัวอธิบายภาพเฉพาะที่หรือการแสดงภาพของข้อมูลภาพที่ยังคงไม่แปรผันเมื่อสเกลเฉพาะที่ในโดเมนภาพเปลี่ยนไป^{[ 8 ]} การตรวจจับค่าสูงสุดเฉพาะที่เหนือสเกลของการตอบสนองอนุพันธ์ที่เป็นมาตรฐานจะให้กรอบการทำงานทั่วไปสำหรับการได้รับความไม่แปรผันตามสเกลจากข้อมูลภาพ^{[ 9 ] [ 10 ]} ตัวอย่างของการใช้งาน ได้แก่การตรวจจับกลุ่มก้อนการตรวจจับมุมการตรวจจับสันและการจดจำวัตถุผ่านการแปลงคุณลักษณะที่ไม่แปรผันตามสเกล

• ค่าคงที่ (คณิตศาสตร์)
• ศักยภาพผกผันกำลังสอง
• กฎกำลัง
• เครือข่ายไร้มาตราส่วน

• Zinn-Justin, Jean (2002). ทฤษฎีสนามควอนตัมและปรากฏการณ์วิกฤต . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด.การอภิปรายอย่างละเอียดเกี่ยวกับความไม่แปรผันตามมาตราส่วนในทฤษฎีสนามควอนตัมและสถิติ การประยุกต์ใช้กับปรากฏการณ์วิกฤต การขยายเอปซิลอน และหัวข้อที่เกี่ยวข้อง
• DiFrancesco, P.; Mathieu, P.; Senechal, D. (1997). ทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอล . Springer-Verlag.
• มุสซาร์โด, จี. (2010). ทฤษฎีสนามสถิติ บทนำสู่แบบจำลองที่แก้ได้อย่างแม่นยำของฟิสิกส์สถิติสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด