ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสาขาที่เกี่ยวข้อง กระบวนการสุ่ม( stochastic process ) หรือกระบวนการสุ่มคือวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มักนิยามว่าเป็นกลุ่มของตัวแปรสุ่มในปริภูมิความน่าจะเป็นโดยดัชนีของกลุ่มมักมีความหมายถึงเวลากระบวนการสุ่มถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในฐานะแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบและปรากฏการณ์ที่ดูเหมือนจะเปลี่ยนแปลงไปในลักษณะสุ่ม ตัวอย่างเช่น การเจริญเติบโตของประชากรแบคทีเรียกระแสไฟฟ้าที่ผันผวนเนื่องจากสัญญาณรบกวนทางความร้อนหรือการเคลื่อนที่ของโมเลกุลก๊าซ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 5 ] กระบวนการสุ่มมีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขา วิชา}เช่นชีววิทยา [ ^{6 ]}เคมี [ ^{7 ]}นิเวศวิทยา^{[ 8 ]}ประสาทวิทยา [ ^{9 ] ฟิสิกส์} [ ^{10 ]}การประมวลผลภาพการประมวลผลสัญญาณ [ ^{11 ] ทฤษฎี}การควบคุม^{[ 12 ]}ทฤษฎีสารสนเทศ^{[ 13 ]}วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์^{[ 14 ]}และโทรคมนาคม^{[ 15 ]}นอกจาก^{นี้ การ เปลี่ยนแปลง}ที่ดูเหมือนสุ่มในตลาดการเงินยังกระตุ้นให้มีการใช้กระบวนการสุ่มอย่างกว้างขวาง^ในด้านการเงิน [ ^{16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

การประยุกต์ใช้และปรากฏการณ์ในโลก แห่งความเป็นจริงได้กระตุ้นให้นักคณิตศาสตร์เสนอแนวคิดกระบวนการสุ่มใหม่ๆ ซ้ำแล้วซ้ำเล่า ตัวอย่างคลาสสิกสองประการคือกระบวนการ Wiener (เรียกอีกอย่างว่ากระบวนการเคลื่อนที่แบบบราวน์) ^{[ a ]}และกระบวนการ Poisson Louis Bachelierใช้กระบวนการ Wiener เพื่อจำลองการเปลี่ยนแปลงราคาในตลาดหลักทรัพย์ปารีส [ ^{21 ]}ในขณะที่AK Erlangใช้กระบวนการ Poisson เพื่อจำลองจำนวนการโทรที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนด^{[ 22 ] กระบวนการทั้ง สอง}นี้ถือกันอย่างกว้างขวางว่าเป็นศูนย์กลางของทฤษฎีกระบวนการสุ่ม^{[ 1 ] [ 4 ] [ 23 ]}และมีการคิดค้นขึ้นซ้ำแล้วซ้ำเล่าอย่างอิสระ ทั้งก่อนและหลัง Bachelier และ Erlang ในบริบทและประเทศต่างๆ^{[ 21 ] [ 24 ]}

คำว่าฟังก์ชันสุ่มยังใช้เพื่ออ้างถึงกระบวนการสุ่มหรือกระบวนการสโตแคสติก^{[ 25 ] [ 26 ]}เนื่องจากกระบวนการสโตแคสติกยังสามารถตีความได้ว่าเป็นองค์ประกอบสุ่มในปริภูมิฟังก์ชัน [ ^{27 ] [ 28 ] คำ}ว่ากระบวนการสโตแคสติกและกระบวนการสุ่มมักใช้แทนกันได้ โดยมักไม่มีปริภูมิทางคณิตศาสตร์ เฉพาะ สำหรับเซตที่จัดทำดัชนีตัวแปรสุ่ม^{[ 27 ] [ 29 ]}แต่บ่อยครั้งที่คำทั้งสองนี้ถูกใช้เมื่อตัวแปรสุ่มถูกจัดทำดัชนีด้วยจำนวนเต็มหรือช่วงของ เส้น จำนวนจริง^{[ 5 ] [ 29 ]}หากตัวแปรสุ่มถูกจัดทำดัชนีด้วยระนาบคาร์ทีเซียน หรือ ปริภูมิยูคลิดมิติสูงกว่าการรวบรวมตัวแปรสุ่มมักจะเรียกว่าฟิลด์สุ่มแทน^{[ 5 ] [ 30 ]}ค่าของกระบวนการสโตแคสติกไม่จำเป็นต้องเป็นตัวเลขเสมอไป และอาจเป็นเวกเตอร์หรือวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ^{[ 5 ] [ 28 ]}

โดยอาศัยคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ กระบวนการสุ่มสามารถจัดกลุ่มได้เป็นหลายประเภท ซึ่งรวมถึงการเดินสุ่ม^{[ 31 ]}มาร์ติงเกล [ ^{32 ] กระบวนการ}มาร์คอฟ [ 33 ^{]กระบวนการเล}วี [ ^{34 ] กระบวนการ}เกาส์เซียน^{[ 35 ]}ฟิลด์สุ่ม[ ^{36 ] กระบวนการ}ต่ออายุและกระบวนการแตกแขนง [ ^{37 ] การ}ศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการสุ่มใช้ความรู้และเทคนิคทางคณิตศาสตร์จากความน่าจะเป็นแคลคูลัสพีชคณิตเชิงเส้นทฤษฎีเซตและโทโพโลยี^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}รวมถึงสาขาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เช่น การวิเคราะห์ เชิงจริงทฤษฎีการวัดการวิเคราะห์ฟูริเยร์และ การ วิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}ทฤษฎีของกระบวนการสุ่มถือเป็นผลงานสำคัญทางคณิตศาสตร์^{[ 44 ]}และยังคงเป็นหัวข้อวิจัยที่ได้รับความสนใจอย่างต่อเนื่องทั้งในด้านทฤษฎีและการประยุกต์ใช้^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]}

กระบวนการสุ่มหรือกระบวนการสุ่มสามารถนิยามได้ว่าเป็นชุดของตัวแปรสุ่มที่จัดทำดัชนีโดยเซตทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ซึ่งหมายความว่าตัวแปรสุ่มแต่ละตัวของกระบวนการสุ่มนั้นมีความสัมพันธ์เฉพาะกับองค์ประกอบในเซต^{[ 4 ] [ 5 ]}เซตที่ใช้ในการจัดทำดัชนีตัวแปรสุ่มเรียกว่าเซตดัชนีในอดีต เซตดัชนีเป็นเซตย่อยของเส้นจำนวนจริงเช่นจำนวนธรรมชาติทำให้เซตดัชนีมีความหมายแทนเวลา^{[ 1 ]}ตัวแปรสุ่มแต่ละตัวในชุดจะรับค่าจากปริภูมิทางคณิตศาสตร์ เดียวกัน ที่เรียกว่าปริภูมิสถานะ ปริภูมิสถานะนี้อาจเป็นจำนวนเต็ม เส้นจำนวนจริง หรือปริภูมิยุคลิดมิติ n ก็ได้ ^{[ 1 ] [ 5 ]}ส่วนเพิ่มคือปริมาณที่กระบวนการสุ่มเปลี่ยนแปลงระหว่างค่าดัชนีสองค่า ซึ่งมักตีความว่าเป็นสองจุดในเวลา^{[ 48 ] [ 49 ]}กระบวนการสุ่มสามารถมีผลลัพธ์ ได้หลายอย่าง เนื่องจากความสุ่ม และผลลัพธ์เดียวของกระบวนการสุ่มเรียกว่าฟังก์ชันตัวอย่างหรือการรับรู้เป็นต้น^{[ 28 ] [ 50 ]}${\displaystyle n}$

กระบวนการสุ่มสามารถจำแนกได้หลายวิธี เช่น ตามปริภูมิสถานะ ชุดดัชนี หรือความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่ม วิธีการจำแนกทั่วไปวิธีหนึ่งคือตามจำนวนสมาชิกของชุดดัชนีและปริภูมิสถานะ^{[ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]}

เมื่อตีความในแง่ของเวลา หากเซตดัชนีของกระบวนการสุ่มมีจำนวนองค์ประกอบที่จำกัดหรือนับได้ เช่น เซตของจำนวนที่จำกัด เซตของจำนวนเต็ม หรือจำนวนธรรมชาติ กระบวนการสุ่มนั้นจะเรียกว่าอยู่ในเวลาไม่ต่อเนื่อง [ ^{54 ] [ 55 ] หาก}เซตดัชนีเป็นช่วงใดช่วงหนึ่งของเส้นจำนวนจริง เวลานั้นจะเรียกว่าต่อเนื่องกระบวนการสุ่มสองประเภทนี้เรียกว่า กระบวนการสุ่ม แบบเวลาไม่ต่อเนื่องและแบบเวลาต่อเนื่องตาม ลำดับ ^{[ 48 ] [ 56 ] [ 57 ]}กระบวนการสุ่มแบบเวลาไม่ต่อเนื่องถือว่าศึกษาได้ง่ายกว่า เนื่องจากกระบวนการแบบเวลาต่อเนื่องต้องใช้เทคนิคและความรู้ทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากเซตดัชนีไม่สามารถนับได้^{[ 58 ] [ 59 ]}หากเซตดัชนีเป็นจำนวนเต็มหรือเซตย่อยของจำนวนเต็ม กระบวนการสุ่มนั้นอาจเรียกว่าลำดับสุ่มได้เช่น กัน ^{[ 55 ]}

ถ้าปริภูมิสถานะเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนธรรมชาติ กระบวนการสุ่มจะเรียกว่า กระบวนการสุ่ม แบบไม่ต่อเนื่องหรือแบบค่าจำนวนเต็มถ้าปริภูมิสถานะเป็นเส้นจำนวนจริง กระบวนการสุ่มจะเรียกว่ากระบวนการสุ่มแบบค่าจริงหรือกระบวนการที่มีปริภูมิสถานะต่อเนื่องถ้าปริภูมิสถานะเป็นปริภูมิยุคลิดมิติ กระบวนการสุ่มจะเรียกว่ากระบวนการเวกเตอร์มิติหรือกระบวนการเวกเตอร์มิติ^{[ 51 ] [ 52 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

คำว่าstochasticในภาษาอังกฤษเดิมทีใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่า "เกี่ยวข้องกับการคาดเดา" และมาจาก คำภาษา กรีกที่มีความหมายว่า "มุ่งเป้าไปที่เป้าหมาย เดา" และพจนานุกรมภาษาอังกฤษของออกซ์ฟอร์ดระบุว่ามีการใช้คำนี้ครั้งแรกในปี 1662 ^{[ 60 ]}ในงานเขียนเกี่ยวกับความน่าจะเป็นเรื่องArs Conjectandiซึ่งตีพิมพ์เป็นภาษาละตินในปี 1713 ยาคอบ เบอร์นูลลีใช้คำว่า "Ars Conjectandi sive Stochastice" ซึ่งได้รับการแปลว่า "ศิลปะแห่งการคาดเดาหรือสโตแคสติก" ^{[ 61 ]}วลีนี้ถูกใช้โดยอ้างอิงถึงเบอร์นูลลีโดยลาดีสเลาส์ บอร์ทคีวิช^{[ 62 ]}ซึ่งในปี 1917 ได้เขียนคำว่าstochastic เป็นภาษาเยอรมัน ในความหมายว่าสุ่ม คำว่ากระบวนการสโตแค สติก ปรากฏในภาษาอังกฤษครั้งแรกในบทความปี 1934 โดยโจเซฟ ดูบ^{[ 60 ]}สำหรับคำศัพท์และคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจง Doob อ้างถึงเอกสารอีกฉบับในปี 1934 ซึ่งAleksandr Khinchinใช้ คำว่า stochasticscher Prozeß ในภาษาเยอรมัน [ ^{63 ] [ 64 ] แม้ว่าคำ ศัพท์}ภาษาเยอรมันนี้จะถูกใช้มาก่อนแล้ว เช่น โดย Andrei Kolmogorov ในปี 1931 ^{[ 65 ]}

ตามพจนานุกรมภาษาอังกฤษของอ็อกซ์ฟอร์ด การใช้คำว่าrandomในภาษาอังกฤษในความหมายปัจจุบัน ซึ่งเกี่ยวข้องกับโอกาสหรือโชค ย้อนกลับไปถึงศตวรรษที่ 16 ในขณะที่การใช้งานที่บันทึกไว้ก่อนหน้านั้นเริ่มต้นในศตวรรษที่ 14 ในฐานะคำนามที่มีความหมายว่า "ความใจร้อน ความเร็วสูง แรง หรือความรุนแรง (ในการขี่ม้า วิ่ง ตี ฯลฯ)" คำนี้มาจากคำในภาษาฝรั่งเศสยุคกลางที่มีความหมายว่า "ความเร็ว ความเร่งรีบ" และน่าจะมาจากคำกริยาภาษาฝรั่งเศสที่มีความหมายว่า "วิ่ง" หรือ "ควบม้า" การปรากฏเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกของคำว่าrandom processเกิดขึ้นก่อนคำ ว่า stochastic processซึ่งพจนานุกรมภาษาอังกฤษของอ็อกซ์ฟอร์ดก็ให้ไว้เป็นคำพ้องความหมายเช่นกัน และถูกใช้ในบทความของฟรานซิส เอดจ์เวิร์ธที่ตีพิมพ์ในปี 1888 ^{[ 66 ]}

นิยามของกระบวนการสุ่มนั้นแตกต่างกันไป^{[ 67 ]}แต่โดยทั่วไปแล้วกระบวนการสุ่มจะถูกนิยามว่าเป็นชุดของตัวแปรสุ่มที่มีดัชนีโดยเซตบางเซต^{[ 68 ] [ 69 ]}คำว่ากระบวนการสุ่มและกระบวนการสุ่มถือเป็นคำพ้องความหมายและใช้แทนกันได้ โดยไม่ต้องระบุเซตดัชนีอย่างแม่นยำ^{[ 27 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 70 ] [ 71 ] [ 72 ]}ทั้งคำว่า "ชุด" ^{[ 28 ] [ 70 ]}หรือ "ตระกูล" ถูกใช้^{[ 4 ] [ 73 ]} ในขณะที่บางครั้งแทนที่จะใช้คำว่า "เซตดัชนี" ก็ ใช้ คำว่า "เซตพารามิเตอร์" ^{[ 28 ]}หรือ "พื้นที่พารามิเตอร์" ^{[ 30 ]}

คำว่าฟังก์ชันสุ่มยังใช้เพื่ออ้างถึงกระบวนการสุ่มหรือกระบวนการสโตแคสติก^{[ 5 ] [ 74 ] [ 75 ]}แม้ว่าบางครั้งจะใช้เฉพาะเมื่อกระบวนการสโตแคสติกมีค่าจริง^{[ 28 ] [ 73 ]}คำนี้ยังใช้เมื่อเซตดัชนีเป็นปริภูมิทางคณิตศาสตร์อื่นที่ไม่ใช่เส้นจำนวนจริง^{[ 5 ] [ 76 ]}ในขณะที่คำว่ากระบวนการสโตแคสติกและกระบวนการสุ่มมักใช้เมื่อเซตดัชนีถูกตีความว่าเป็นเวลา^{[ 5 ] [ 76 ] [ 77 ]}และคำอื่นๆ เช่นฟิลด์สุ่ม จะใช้ เมื่อเซตดัชนีเป็นปริภูมิยุคลิดมิติหรือแมนิโฟลด์^{[ 5 ] [ 28 ] [ 30 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

กระบวนการสุ่มสามารถแสดงได้หลายวิธี เช่น[ ^{56 ] ,} [ ^{69 ] [ 78 ] หรือ}เพียงแค่เป็นผู้เขียนบางคนเขียนผิดพลาดแม้ว่าจะเป็นการใช้สัญลักษณ์ฟังก์ชันที่ผิดก็ตาม [ ^{79 ] ตัวอย่าง}เช่นหรือใช้เพื่ออ้างถึงตัวแปรสุ่มที่มีดัชนีและไม่ใช่กระบวนการสุ่มทั้งหมด^{[ 78 ]}ถ้าชุดดัชนีคือก็สามารถเขียนได้ เช่นเพื่อแสดงถึงกระบวนการสุ่ม^{[ 29 ]}${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in T}}$${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$${\displaystyle \{X_{t}\}}$${\displaystyle \{X(t)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T=[0,\infty )}$${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$

หนึ่งในกระบวนการสุ่มที่ง่ายที่สุดคือกระบวนการเบอร์นูลลี^[ 80 ^{] ซึ่ง}เป็นลำดับของ ตัวแปรสุ่ม อิสระและมีการกระจายเหมือนกัน (iid) โดยที่ตัวแปรสุ่มแต่ละตัวมีค่าเป็นหนึ่งหรือศูนย์ เช่น หนึ่งด้วยความน่าจะเป็นและศูนย์ด้วยความน่าจะเป็นกระบวนการนี้สามารถเชื่อมโยงกับการจำลองการโยนเหรียญซ้ำๆ โดยที่ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวคือและมีค่าเป็นหนึ่ง ในขณะที่ความน่าจะเป็นที่จะได้ก้อยคือศูนย์^{[ 81 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง กระบวนการเบอร์นูลลีคือลำดับของตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลี iid ^{[ 82 ]}โดยการโยนเหรียญในอุดมคติแต่ละครั้งเป็นตัวอย่างของการทดลองเบอร์นูลลี^{[ 83 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle p}$

การเดินแบบสุ่ม (Random walks)เป็นกระบวนการสุ่มที่โดยทั่วไปแล้วถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระและกระจายเหมือนกัน ( iid ) หรือเวกเตอร์สุ่มในปริภูมิยุคลิด ดังนั้นจึงเป็นกระบวนการที่เปลี่ยนแปลงในเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง ^{[ 84 ] [ 85 ] [ 86 ] [ 87 ] [ 88 ]}แต่บางคนก็ใช้คำนี้เพื่ออ้างถึงกระบวนการที่เปลี่ยนแปลงในเวลาแบบต่อเนื่อง^{[ 89 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งกระบวนการ Wiener ที่ใช้ในแบบจำลองทางการเงิน ซึ่งทำให้เกิดความสับสนและนำไปสู่การวิพากษ์วิจารณ์^{[ 90 ]}มีการเดินแบบสุ่มประเภทอื่นๆ อีกหลายประเภท ซึ่งกำหนดไว้เพื่อให้ปริภูมิสถานะของพวกมันสามารถเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น แลตทิซและกลุ่ม และโดยทั่วไปแล้วมีการศึกษาอย่างกว้างขวางและมีการประยุกต์ใช้มากมายในสาขาวิชาต่างๆ^{[ 89 ] [ 91 ]}

ตัวอย่างคลาสสิกของการเดินสุ่มเรียกว่าการเดินสุ่มแบบง่ายซึ่งเป็นกระบวนการสุ่มในเวลาไม่ต่อเนื่องโดยมีจำนวนเต็มเป็นปริภูมิสถานะ และอิงตามกระบวนการเบอร์นูลลี โดยที่ตัวแปรเบอร์นูลลีแต่ละตัวจะมีค่าเป็นบวกหนึ่งหรือลบหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเดินสุ่มแบบง่ายเกิดขึ้นบนจำนวนเต็ม และค่าของมันจะเพิ่มขึ้นหนึ่งด้วยความน่าจะเป็น เช่นหรือลดลงหนึ่งด้วยความน่าจะเป็นดังนั้นเซตดัชนีของการเดินสุ่มนี้คือจำนวนธรรมชาติ ในขณะที่ปริภูมิสถานะคือจำนวนเต็ม ถ้าการเดินสุ่มนี้เรียกว่าการเดินสุ่มแบบสมมาตร^{[ 92 ] [ 93 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle p=0.5}$

กระบวนการ Wiener เป็นกระบวนการสุ่มที่มี การเพิ่มขึ้น แบบคงที่และเป็นอิสระซึ่งมีการกระจายแบบปกติโดยขึ้นอยู่กับขนาดของการเพิ่มขึ้น^{[ 2 ] [ 94 ]}กระบวนการ Wiener ได้รับการตั้งชื่อตามNorbert Wienerผู้พิสูจน์การมีอยู่ทางคณิตศาสตร์ แต่กระบวนการนี้ยังถูกเรียกว่ากระบวนการเคลื่อนที่แบบบราวน์หรือเพียงแค่การเคลื่อนที่แบบบราวน์เนื่องจากความเชื่อมโยงทางประวัติศาสตร์ในฐานะแบบจำลองสำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในของเหลว^{[ 95 ] [ 96 ] [ 97 ]}

กระบวนการ Wiener มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็น และมักถูกพิจารณาว่าเป็นกระบวนการสุ่มที่สำคัญที่สุดและได้รับการศึกษามากที่สุด โดยมีความเชื่อมโยงกับกระบวนการสุ่มอื่นๆ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 98 ] [ 99 ] [ 100 ] [ 101 ]}เซตดัชนีและปริภูมิสถานะของมันคือจำนวนที่ไม่เป็นลบและจำนวนจริงตามลำดับ ดังนั้นจึงมีทั้งเซตดัชนีและปริภูมิสถานะที่ต่อเนื่อง^{[ 102 ]}แต่กระบวนการนี้สามารถกำหนดได้ทั่วไปมากขึ้น ดังนั้นปริภูมิสถานะของมันจึงสามารถเป็นปริภูมิยุคลิดมิติ n ได้^{[ 91 ] [ 99 ] [ 103 ]}ถ้าค่าเฉลี่ยของการเพิ่มขึ้นใดๆ เป็นศูนย์ กระบวนการ Wiener หรือ Brownian motion ที่ได้จะเรียกว่ามีการเลื่อนเป็นศูนย์ ถ้าค่าเฉลี่ยของการเพิ่มขึ้นสำหรับสองจุดใดๆ ในเวลาเท่ากับผลต่างของเวลาคูณด้วยค่าคงที่บางค่าซึ่งเป็นจำนวนจริง กระบวนการสุ่มที่ได้จะเรียกว่ามีการเลื่อน^{[ 104 ] [ 105 ] [ 106 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

แทบจะแน่นอนว่าเส้นทางตัวอย่างของกระบวนการ Wiener นั้นต่อเนื่องทุกที่ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่มันสามารถถือได้ว่าเป็นเวอร์ชันต่อเนื่องของการเดินสุ่มแบบง่าย^{[ 49 ] [ 105 ]}กระบวนการนี้เกิดขึ้นจากขีดจำกัดทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการสุ่มอื่นๆ เช่น การเดินสุ่มบางอย่างที่ปรับขนาดใหม่^{[ 107 ] [ 108 ]}ซึ่งเป็นหัวข้อของทฤษฎีบทของ Donskerหรือหลักการไม่แปรเปลี่ยน หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางเชิงฟังก์ชัน^{[ 109 ] [ 110 ] [ 111 ]}

กระบวนการ Wiener เป็นสมาชิกของตระกูลกระบวนการสุ่มที่สำคัญบางตระกูล รวมถึงกระบวนการ Markov กระบวนการ Lévy และกระบวนการ Gaussian ^{[ 2 ] [ 49 ]}กระบวนการนี้ยังมีการใช้งานมากมายและเป็นกระบวนการสุ่มหลักที่ใช้ในแคลคูลัสสุ่ม^{[ 112 ] [ 113 ]}มันมีบทบาทสำคัญในการเงินเชิงปริมาณ^{[ 114 ] [ 115 ]}ซึ่งใช้ในแบบจำลอง Black–Scholes–Merton เป็นต้น^{[ 116 ]}กระบวนการนี้ยังใช้ในสาขาต่างๆ รวมถึงวิทยาศาสตร์ธรรมชาติส่วนใหญ่ ตลอดจนสาขาสังคมศาสตร์บางสาขา ในฐานะแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับปรากฏการณ์สุ่มต่างๆ^{[ 3 ] [ 117 ] [ 118 ]}

กระบวนการปัวซงเป็นกระบวนการสุ่มที่มีรูปแบบและคำจำกัดความที่แตกต่างกัน^{[ 119 ] [ 120 ]}สามารถนิยามได้ว่าเป็นกระบวนการนับ ซึ่งเป็นกระบวนการสุ่มที่แสดงถึงจำนวนจุดหรือเหตุการณ์แบบสุ่มจนถึงเวลาหนึ่ง จำนวนจุดของกระบวนการที่อยู่ในช่วงตั้งแต่ศูนย์ถึงเวลาที่กำหนดคือตัวแปรสุ่มปัวซงที่ขึ้นอยู่กับเวลานั้นและพารามิเตอร์บางอย่าง กระบวนการนี้มีจำนวนธรรมชาติเป็นปริภูมิสถานะและจำนวนที่ไม่เป็นลบเป็นเซตดัชนี กระบวนการนี้ยังเรียกว่ากระบวนการนับปัวซง เนื่องจากสามารถตีความได้ว่าเป็นตัวอย่างของกระบวนการนับ^{[ 119 ]}

ถ้ากระบวนการปัวซงถูกกำหนดด้วยค่าคงที่บวกเพียงค่าเดียว กระบวนการนั้นจะเรียกว่ากระบวนการปัวซงเอกพันธุ์^{[ 119 ] [ 121 ]}กระบวนการปัวซงเอกพันธุ์เป็นสมาชิกของกลุ่มกระบวนการสุ่มที่สำคัญ เช่น กระบวนการมาร์คอฟและกระบวนการเลวี^{[ 49 ]}

กระบวนการปัวซงเอกพันธุ์สามารถกำหนดและสรุปได้หลายวิธี สามารถกำหนดได้ว่าเซตดัชนีของมันคือเส้นจำนวนจริง และกระบวนการสุ่มนี้ยังเรียกว่ากระบวนการปัวซงคงที่^{[ 122 ] [ 123 ]}หากค่าคงที่พารามิเตอร์ของกระบวนการปัวซงถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันอินทิกรัลที่ไม่เป็นลบของกระบวนการที่ได้จะเรียกว่ากระบวนการปัวซงไม่เอกพันธุ์หรือกระบวนการปัวซงไม่เป็นเอกพันธุ์ ซึ่งความหนาแน่นเฉลี่ยของจุดในกระบวนการจะไม่คงที่อีกต่อไป^{[ 124 ]}กระบวนการปัวซงเป็นกระบวนการพื้นฐานในทฤษฎีคิว และเป็นกระบวนการที่สำคัญสำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีการประยุกต์ใช้กับแบบจำลองของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแบบสุ่มในช่วงเวลาที่กำหนด^{[ 125 ] [ 126 ]}${\displaystyle t}$

กระบวนการปัวซงซึ่งกำหนดบนเส้นจำนวนจริง สามารถตีความได้ว่าเป็นกระบวนการสุ่ม^{[ 49 ] [ 127 ]}ในบรรดาวัตถุสุ่มอื่นๆ^{[ 128 ] [ 129 ]}แต่จากนั้นก็สามารถกำหนดบนปริภูมิยุคลิดมิติ หรือปริภูมิทางคณิตศาสตร์อื่นๆ^{[ 130 ]}ซึ่งมักจะตีความได้ว่าเป็นเซตสุ่มหรือการวัดการนับแบบสุ่ม แทนที่จะเป็นกระบวนการสุ่ม^{[ 128 ] [ 129 ]}ในบริบทนี้ กระบวนการปัวซง หรือที่เรียกว่ากระบวนการจุดปัวซง เป็นหนึ่งในวัตถุที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีความน่าจะเป็น ทั้งในด้านการประยุกต์ใช้และเหตุผลทางทฤษฎี^{[ 22 ] [ 131 ]}แต่มีข้อสังเกตว่ากระบวนการปัวซงไม่ได้รับความสนใจมากเท่าที่ควร ส่วนหนึ่งเป็นเพราะมักจะพิจารณาเฉพาะบนเส้นจำนวนจริงเท่านั้น ไม่ใช่บนปริภูมิทางคณิตศาสตร์อื่นๆ^{[ 131 ] [ 132 ]}${\displaystyle n}$

กระบวนการสุ่มถูกกำหนดให้เป็นชุดของตัวแปรสุ่มที่กำหนดไว้บนปริภูมิความน่าจะ เป็นร่วมกัน โดยที่เป็นปริภูมิของตัวอย่างเป็นพีชคณิตและเป็นการวัดความน่าจะเป็นและตัวแปรสุ่มทั้งหมดซึ่งมีดัชนีโดยเซตบางเซตจะ มีค่าอยู่ในปริภูมิทาง คณิตศาสตร์เดียวกันซึ่งจะต้องวัดได้โดยสัมพันธ์กับพีชคณิต บาง พีชคณิต^{[ 28 ]}${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}},P)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle P}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Sigma }$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับปริภูมิความน่าจะเป็นที่กำหนดและปริภูมิที่วัดได้กระบวนการสุ่มคือชุดของตัวแปรสุ่มที่มีค่า ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 80 ]}${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}},P)}$${\displaystyle (S,\Sigma )}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \{X(t):t\in T\}.}$

ในอดีต ปัญหาหลายอย่างจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ จุดหนึ่งมีความหมายว่าเวลา ดังนั้นตัวแปรสุ่มจึงแทนค่าที่สังเกตได้ ณ เวลา[ ^{133 ] กระบวนการ}สุ่มยังสามารถเขียนได้ในลักษณะที่สะท้อนให้เห็นว่าแท้จริงแล้วเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวคือและ^{[ 28 ] [ 134 ]}${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

มีวิธีอื่นในการพิจารณากระบวนการสุ่ม โดยที่คำจำกัดความข้างต้นถือเป็นแบบดั้งเดิม^{[ 68 ] [ 69 ]}ตัวอย่างเช่น กระบวนการสุ่มสามารถตีความหรือกำหนดได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นฟังก์ชัน โดยที่คือปริภูมิของฟังก์ชัน ที่เป็นไปได้ทั้งหมด จากเซต ไป ยังปริภูมิ^{[ 27 ] [ 68 ]}อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความทางเลือกนี้ในฐานะ "ตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นฟังก์ชัน" โดยทั่วไปแล้วต้องการสมมติฐานความสม่ำเสมอเพิ่มเติมเพื่อให้มีการกำหนดที่ดี^{[ 135 ]}${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$

เซตนี้เรียกว่าเซตดัชนี^{[ 4 ] [ 51 ]}หรือเซตพารามิเตอร์^{[ 28 ] [ 136 ]}ของกระบวนการสุ่ม บ่อยครั้งที่เซตนี้เป็นเซตย่อยของเส้นจำนวนจริงเช่นจำนวนธรรมชาติหรือช่วงเวลา ทำให้เซตนี้มีความหมายแทนเวลา^{[ 1 ]}นอกจากเซตเหล่านี้แล้ว เซตดัชนียังสามารถเป็นเซตอื่นที่มีลำดับสมบูรณ์หรือเซตทั่วไปมากกว่า^{[ 1 ] [ 54 ]}เช่น ระนาบคาร์ทีเซียนหรือปริภูมิยุคลิดมิติ n ซึ่งองค์ประกอบสามารถแทนจุดในอวกาศได้^{[ 48 ] [ 137 ]}อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์และทฤษฎีบทหลายอย่างเป็นไปได้เฉพาะสำหรับกระบวนการสุ่มที่มีเซตดัชนีที่มีลำดับสมบูรณ์เท่านั้น^{[ 138 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t\in T}$

พื้นที่ทางคณิตศาสตร์ ของกระบวนการสุ่มเรียกว่าปริภูมิสถานะ ปริภูมิทางคณิตศาสตร์นี้สามารถกำหนดได้โดยใช้จำนวนเต็มเส้นจำนวนจริงปริภูมิยุคลิดมิติระนาบเชิงซ้อน หรือปริภูมิทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมมากขึ้น ปริภูมิสถานะถูกกำหนดโดยใช้องค์ประกอบที่สะท้อนถึงค่าต่างๆ ที่กระบวนการสุ่มสามารถรับได้^{[ 1 ] [ 5 ] [ 28 ] [ 51 ] [ 56 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$

ฟังก์ชันตัวอย่างคือผลลัพธ์เดียวของกระบวนการสุ่ม ดังนั้นจึงสร้างขึ้นโดยการเลือกค่าที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวของตัวแปรสุ่มแต่ละตัวของกระบวนการสุ่ม^{[ 28 ] [ 139 ]}กล่าวโดยละเอียด หากเป็นกระบวนการสุ่มแล้ว สำหรับจุดใดๆการแมป${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle X(\cdot ,\omega ):T\rightarrow S,}$

เรียกว่าฟังก์ชันตัวอย่างการรับรู้หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตีความเป็นเวลา เรียกว่า เส้นทางตัวอย่างของกระบวนการสุ่ม[ ^{50 ] ซึ่ง}หมายความว่าสำหรับค่าคงที่ จะมีฟังก์ชันตัวอย่างที่แมปชุดดัชนีไปยังปริภูมิสถานะ[ ^{28 ] ชื่อ อื่นๆ สำหรับ ฟังก์ชัน}ตัวอย่างของกระบวนการสุ่ม ได้แก่วิถีเส้นทางฟังก์ชัน^{[ 140 ]}หรือเส้นทาง^{[ 141} ]${\displaystyle T}$${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$

ส่วนเพิ่มของกระบวนการสุ่มคือความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัวของกระบวนการสุ่มเดียวกัน สำหรับกระบวนการสุ่มที่มีชุดดัชนีที่สามารถตีความได้ว่าเป็นเวลา ส่วนเพิ่มคือการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการสุ่มในช่วงเวลาหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นกระบวนการสุ่มที่มีปริภูมิสถานะและชุดดัชนีแล้วสำหรับจำนวนที่ไม่เป็นลบสองจำนวนใดๆและที่ความแตกต่างคือตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็น ซึ่งเรียกว่าส่วนเพิ่ม^{[ 48 ] [ 49 ]}เมื่อสนใจส่วนเพิ่ม ปริภูมิสถานะมักจะเป็นเส้นจำนวนจริงหรือจำนวนธรรมชาติ แต่อาจเป็น ปริภูมิยุคลิดมิติ หรือปริภูมิ ที่เป็นนามธรรมมากกว่า เช่นปริภูมิบานาค^{[ 49 ]}${\displaystyle \{X(t):t\in T\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T=[0,\infty )}$${\displaystyle t_{1}\in [0,\infty )}$${\displaystyle t_{2}\in [0,\infty )}$${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$

สำหรับกระบวนการสุ่มที่กำหนดไว้บนปริภูมิความน่าจะเป็น กฎของกระบวนการสุ่มจะถูกกำหนดเป็นการวัดแบบผลักดันไปข้างหน้า : ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow S^{T}}$${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}},P)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu =P\circ X^{-1},}$

โดยที่เป็นการวัดความน่าจะเป็น สัญลักษณ์แทนการประกอบฟังก์ชัน และเป็นภาพก่อนหน้าของฟังก์ชันที่วัดได้ หรือเทียบเท่ากับตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็น โดย ที่เป็นปริภูมิของฟังก์ชันที่มีค่าเป็น ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของดังนั้นกฎของกระบวนการสุ่มจึงเป็นการวัดความน่าจะเป็น^{[ 27 ] [ 68 ] [ 142 ] [ 143 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle X^{-1}}$${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle t\in T}$

สำหรับเซตย่อยที่วัดได้ของภาพก่อนหน้าของจะให้ผลลัพธ์ ดังนี้${\displaystyle B}$${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\},}$

ดังนั้นกฎของ a สามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 28 ]}${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (B)=P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\}).}$

กฎของกระบวนการสุ่มหรือตัวแปรสุ่มยังเรียกว่ากฎความน่าจะเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นหรือการแจกแจง^{[ 133 ] [ 142 ] [ 144 ] [ 145 ] [ 146 ]}

สำหรับกระบวนการสุ่มที่มีกฎการแจกแจงมิติจำกัดสำหรับจะถูกกำหนดดังนี้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in T}$

${\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}=P\circ (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))^{-1},}$

มาตรการนี้คือการกระจายร่วมของเวกเตอร์สุ่มซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็น "การฉาย" ของกฎลงบนเซตย่อยจำกัดของ^{[ 27 ] [ 147 ]}${\displaystyle \mu _{t_{1},..,t_{n}}}$${\displaystyle (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$

สำหรับเซตย่อยที่วัดได้ใดๆของกำลังคาร์ทีเซียนแบบ-เท่า การกระจายมิติจำกัดของกระบวนการสุ่มสามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 28 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}=S\times \dots \times S}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}(C)=P{\Big (}{\big \{}\omega \in \Omega :{\big (}X_{t_{1}}(\omega ),\dots ,X_{t_{n}}(\omega ){\big )}\in C{\big \}}{\Big )}.}$

การแจกแจงมิติจำกัดของกระบวนการสุ่มเป็นไปตามเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์สองประการที่เรียกว่าเงื่อนไขความสอดคล้อง^{[ 57 ]}

ความนิ่ง (Stationarity)เป็นคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการสุ่ม เมื่อตัวแปรสุ่มทั้งหมดของกระบวนการสุ่มนั้นมีการกระจายแบบเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเป็นกระบวนการสุ่มที่นิ่งแล้ว สำหรับค่าใดๆของตัวแปรสุ่มจะมีการกระจายแบบเดียวกัน ซึ่งหมายความว่า สำหรับชุดค่าดัชนี ใดๆ ตัวแปรสุ่ม ที่สอดคล้องกันจะ มีการกระจายแบบเดียวกัน${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle X_{t_{1}},\dots X_{t_{n}},}$

ทั้งหมดมี การกระจายความน่าจะเป็นเดียวกันชุดดัชนีของกระบวนการสุ่มแบบอยู่ตัวมักจะถูกตีความว่าเป็นเวลา ดังนั้นจึงอาจเป็นจำนวนเต็มหรือเส้นจำนวนจริง^{[ 148 ] [ 149 ]}แต่แนวคิดเรื่องความอยู่ตัวยังมีอยู่สำหรับกระบวนการจุดและฟิลด์สุ่ม ซึ่งชุดดัชนีไม่ได้ถูกตีความว่าเป็นเวลา^{[ 148 ] [ 150 ] [ 151 ]}

เมื่อชุดดัชนีสามารถตีความได้ว่าเป็นเวลา กระบวนการสุ่มจะเรียกว่าเป็นแบบสถิตหากการกระจายมิติจำกัดของมันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนเวลา กระบวนการสุ่มประเภทนี้สามารถใช้เพื่ออธิบายระบบทางกายภาพที่อยู่ในสถานะคงที่ แต่ยังคงประสบกับความผันผวนแบบสุ่ม^{[ 148 ]}แนวคิดเบื้องหลังความเป็นสถิตคือ เมื่อเวลาผ่านไป การกระจายของกระบวนการสุ่มแบบสถิตยังคงเหมือนเดิม^{[ 152 ]}ลำดับของตัวแปรสุ่มจะก่อให้เกิดกระบวนการสุ่มแบบสถิตก็ต่อเมื่อตัวแปรสุ่มมีการกระจายเหมือนกัน^{[ 148 ]}${\displaystyle T}$

กระบวนการสุ่มที่มีนิยามของความนิ่งข้างต้นบางครั้งเรียกว่ามีความนิ่งอย่างเคร่งครัด แต่ก็มีรูปแบบอื่นของความนิ่งด้วย ตัวอย่างเช่น เมื่อกระบวนการสุ่มแบบเวลาไม่ต่อเนื่องหรือแบบเวลาต่อเนื่องเรียกว่ามีความนิ่งในความหมายกว้าง กระบวนการนั้นจะมีโมเมนต์อันดับสองที่จำกัดสำหรับทุกค่าและความแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่มสองตัวจะขึ้นอยู่กับจำนวนสำหรับทุกค่าเท่านั้น^{[ 152 ] [ 153 ]} Khinchinได้นำเสนอแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับความนิ่งในความหมายกว้างซึ่งมีชื่ออื่น ๆ รวมถึงความนิ่งของความแปรปรวนร่วมหรือความนิ่งในความหมาย^{กว้าง[} 153 ^{] [ 154 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X_{t+h}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle t\in T}$

การกรองคือลำดับที่เพิ่มขึ้นของซิกมาแอลเจบราที่กำหนดขึ้นโดยสัมพันธ์กับปริภูมิความน่าจะเป็นบางอย่างและเซตดัชนีที่มี ความสัมพันธ์ ลำดับรวม บางอย่าง เช่น ในกรณีที่เซตดัชนีเป็นเซตย่อยของจำนวนจริง ในทางที่เป็นทางการมากขึ้น หากกระบวนการสุ่มมีเซตดัชนีที่มีลำดับรวม การกรองบนปริภูมิความน่าจะเป็นคือตระกูลของซิกมาแอลเจบราเช่นนั้นสำหรับทุกโดยที่และแทนลำดับรวมของเซตดัชนี[ ^{51 ] ด้วย}แนวคิดของการกรอง ทำให้สามารถศึกษาปริมาณข้อมูลที่มีอยู่ในกระบวนการสุ่มที่ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นเวลา[ ^{51 ] [ 155 ] สัญชาตญาณ}เบื้องหลังการกรองคือ เมื่อเวลาผ่านไป ข้อมูลเกี่ยวกับ จะถูกทราบหรือพร้อมใช้งานมากขึ้นเรื่อยๆซึ่งถูกบันทึกไว้ใน ส่ง ผลให้มีการแบ่งย่อยของ ที่ละเอียดขึ้นเรื่อยๆ^{[ 156 ] [ 157 ]}${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle t,s\in T}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle T}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle \Omega }$

การดัดแปลงกระบวนการสุ่ม คือ กระบวนการสุ่มอีกกระบวนการหนึ่ง ซึ่งมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับกระบวนการสุ่มดั้งเดิม กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น กระบวนการสุ่มที่มีชุดดัชนีพื้นที่สถานะและพื้นที่ความน่าจะ เป็นเดียวกัน กับกระบวนการสุ่มอีกกระบวนการหนึ่งจะเรียกว่าเป็นการดัดแปลงของ กระบวนการสุ่มดั้งเดิม ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$

${\displaystyle P(X_{t}=Y_{t})=1,}$

ถือไว้ว่า กระบวนการสุ่มสองกระบวนการที่ปรับเปลี่ยนซึ่งกันและกันจะมีกฎมิติจำกัดเดียวกัน^{[ 158 ]}และกล่าวได้ว่า มีความสมมูล กันในเชิงสุ่มหรือเทียบเท่ากัน^{[ 159 ]}

แทนที่จะใช้คำว่าการดัดแปลง คำว่าเวอร์ชันก็ถูกใช้เช่นกัน^{[ 150 ] [ 160 ] [ 161 ] [ 162 ]}อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคนใช้คำว่าเวอร์ชันเมื่อกระบวนการสุ่มสองกระบวนการมีการกระจายมิติจำกัดที่เหมือนกัน แต่กระบวนการเหล่านั้นอาจถูกกำหนดบนปริภูมิความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน ดังนั้นกระบวนการสองกระบวนการที่เป็นการดัดแปลงซึ่งกันและกัน จึงเป็นเวอร์ชันของกันและกันในความหมายหลัง แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน^{[ 163 ] [ 142 ]}

หากกระบวนการสุ่มแบบค่าจริงต่อเนื่องตามเวลาตรงตามเงื่อนไขโมเมนต์บางประการบนส่วนเพิ่มของมันทฤษฎีบทความต่อเนื่องของ Kolmogorovกล่าวว่ามีการปรับเปลี่ยนกระบวนการนี้ที่มีเส้นทางตัวอย่างต่อเนื่องด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง ดังนั้นกระบวนการสุ่มจึงมีการปรับเปลี่ยนหรือเวอร์ชันต่อเนื่อง^{[ 161 ] [ 162 ] [ 164 ]}ทฤษฎีบทนี้ยังสามารถขยายไปสู่ฟิลด์สุ่มเพื่อให้เซตดัชนีเป็นปริภูมิยุคลิดมิติ^{[ 165 ]}เช่นเดียวกับกระบวนการสุ่มที่มีปริภูมิเมตริกเป็นปริภูมิสถานะ^{[ 166 ]}${\displaystyle n}$

กระบวนการสุ่มสองกระบวนการที่กำหนดบนปริภูมิความน่าจะเป็นเดียวกันโดยใช้ชุดดัชนีและปริภูมิชุด เดียวกัน จะกล่าวได้ว่าไม่สามารถแยกแยะได้หากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle P(X_{t}=Y_{t}{\text{ for all }}t\in T)=1,}$

ถือ^{[ 142 ] [ 158 ]}ถ้าสองและเป็นการดัดแปลงซึ่งกันและกัน และมีความต่อเนื่องเกือบแน่นอนแล้วและจะไม่สามารถแยกแยะได้^{[ 167 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ความสามารถในการแยกเป็นคุณสมบัติของกระบวนการสุ่มโดยอาศัยเซตดัชนีที่เกี่ยวข้องกับการวัดความน่าจะเป็น คุณสมบัตินี้ถือว่าฟังก์ชันของกระบวนการสุ่มหรือฟิลด์สุ่มที่มีเซตดัชนีที่นับไม่ได้สามารถสร้างตัวแปรสุ่มได้ สำหรับกระบวนการสุ่มที่จะสามารถแยกได้ นอกเหนือจากเงื่อนไขอื่นๆ แล้ว เซตดัชนีจะต้องเป็นปริภูมิที่แยกได้ [ ^{b ] ซึ่ง}หมายความว่าเซตดัชนีมีเซตย่อยที่หนาแน่นและนับได้^{[ 150 ] [ 168 ]}

กล่าวโดยละเอียด กระบวนการสุ่มแบบต่อเนื่องที่มีค่าจริงบนปริภูมิความน่าจะเป็นจะแยกได้ก็ต่อเมื่อเซตดัชนีมีเซตย่อยที่หนาแน่นและนับได้และมีเซตที่มีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ ดังนั้นเช่นนั้นสำหรับทุกเซตเปิดและทุกเซตปิด เหตุการณ์สองเหตุการณ์และจะแตกต่างกันไม่เกินบนเซตย่อยของ[ ^{169 ] [ 170 ] [ 171 ] นิยาม} ของการแยกได้^{[ c ]}สามารถระบุได้สำหรับเซตดัชนีและปริภูมิสถานะอื่นๆ^{[ 174 ]}เช่นในกรณีของฟิลด์สุ่ม ซึ่งเซตดัชนีและปริภูมิสถานะสามารถเป็นปริภูมิยุคลิดมิติได้^{[ 30 ] [ 150 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U\subset T}$${\displaystyle \Omega _{0}\subset \Omega }$${\displaystyle P(\Omega _{0})=0}$${\displaystyle G\subset T}$${\displaystyle F\subset \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\cap U\}}$${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\}}$${\displaystyle \Omega _{0}}$${\displaystyle n}$

แนวคิดเรื่องความสามารถในการแยกส่วนของกระบวนการสุ่มได้รับการแนะนำโดยJoseph Doob [ ^{168 ] แนวคิด}พื้นฐานของความสามารถในการแยกส่วนคือการทำให้เซตของจุดที่นับได้ของเซตดัชนีกำหนดคุณสมบัติของกระบวนการสุ่ม^{[ 172 ]}กระบวนการสุ่มใดๆ ที่มีเซตดัชนีที่นับได้จะตรงตามเงื่อนไขความสามารถในการแยกส่วนอยู่แล้ว ดังนั้นกระบวนการสุ่มแบบเวลาไม่ต่อเนื่องจึงสามารถแยกส่วนได้เสมอ^{[ 175 ]}ทฤษฎีบทของ Doob ซึ่งบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทความสามารถในการแยกส่วนของ Doob กล่าวว่ากระบวนการสุ่มแบบเวลาต่อเนื่องที่มีค่าเป็นจำนวนจริงใดๆ ก็มีการปรับเปลี่ยนที่สามารถแยกส่วนได้^{[ 168 ] [ 170 ] [ 176 ]}นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทเวอร์ชันต่างๆ สำหรับกระบวนการสุ่มทั่วไปที่มีเซตดัชนีและปริภูมิสถานะอื่นๆ นอกเหนือจากเส้นจำนวนจริง^{[ 136 ]}

กระบวนการสุ่มสองกระบวนการและที่กำหนดบนปริภูมิความน่าจะเป็นเดียวกันที่มีชุดดัชนีเดียวกันจะเรียกว่าเป็นอิสระต่อกันถ้าสำหรับทุกและสำหรับการเลือกยุคทุกแบบเวกเตอร์สุ่มและเป็นอิสระต่อกัน^{[ 177 ] : หน้า 515} ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}$${\displaystyle \left(X(t_{1}),\ldots ,X(t_{n})\right)}$${\displaystyle \left(Y(t_{1}),\ldots ,Y(t_{n})\right)}$

กระบวนการสุ่มสองกระบวนการและเรียกว่าไม่สัมพันธ์กันหากค่าความแปรปรวนร่วมไขว้เป็นศูนย์ตลอดเวลา^{[ 178 ] : หน้า 142} อย่างเป็นทางการ: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

ถ้ากระบวนการสุ่มสองกระบวนการและเป็นอิสระต่อกัน พวกมันก็จะไม่มีความสัมพันธ์กันด้วย^{[ 178 ] : หน้า 151} ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

กระบวนการสุ่มสองกระบวนการและเรียกว่าตั้งฉากกันหากค่าสหสัมพันธ์ไขว้ของทั้งสองเป็นศูนย์ตลอดเวลา^{[ 178 ] : หน้า 142} อย่างเป็นทางการ: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [X(t_{1}){\overline {Y(t_{2})}}]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ orthogonal}}\quad \iff \quad \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

ปริภูมิสโกโรค็อด (Skoroghod space)หรือเขียนอีกแบบว่าปริภูมิสโกโรค็อด (Skorohod space ) คือปริภูมิทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่ต่อเนื่องทางขวาโดยมีลิมิตทางซ้าย กำหนดไว้บนช่วงใดช่วงหนึ่งของเส้นจำนวนจริง เช่นหรือและรับค่าบนเส้นจำนวนจริงหรือบนปริภูมิเมตริกบางปริภูมิ^{[ 179 ] [ 180 ] [ 181 ]}ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชัน càdlàg หรือ cadlag โดยอิงจากคำย่อของวลีภาษาฝรั่งเศสcontinue à droite, limite à gauche [ ^{179 ] [ 182 ] ปริภูมิ}ฟังก์ชันสโกโรค็อด ซึ่งแนะนำโดย อนาโตลี ส โกโรค็อด^{[ 181 ]}มักจะแสดงด้วยตัวอักษร[ ^{179 ] [ 180 ] [ 181 ] [ 182 ] ดังนั้น}ปริภูมิฟังก์ชันจึงถูกเรียกว่าปริภูมิสโกโรค็อดด้วยเช่นกัน^{[ 179 ] [ 183 ] [ 184 ]}สัญลักษณ์ของปริภูมิฟังก์ชันนี้ยังสามารถรวมถึงช่วงที่ฟังก์ชัน càdlàg ทั้งหมดถูกกำหนดไว้ด้วย ดังนั้น ตัวอย่างเช่น แสดง ^ถึงปริภูมิของฟังก์ชัน càdlàg ที่กำหนดบนช่วงหน่วย [ ^{182 ] [ 184 ] [ 185 ]}${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D[0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$

ปริภูมิฟังก์ชัน Skorokhod ถูกใช้บ่อยในทฤษฎีของกระบวนการสุ่ม เนื่องจากมักถือว่าฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการสุ่มแบบต่อเนื่องเวลาเป็นของปริภูมิ Skorokhod ^{[ 181 ] [ 183 ]}ปริภูมิดังกล่าวประกอบด้วยฟังก์ชันต่อเนื่อง ซึ่งสอดคล้องกับฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการ Wiener แต่ปริภูมินี้ยังมีฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการสุ่มที่มีการกระโดด เช่น กระบวนการ Poisson (บนเส้นจำนวนจริง) ก็เป็นสมาชิกของปริภูมินี้ด้วย^{[ 184 ] [ 186 ]}

ในบริบทของการสร้างกระบวนการสุ่มทางคณิตศาสตร์ คำว่า"ความสม่ำเสมอ"ถูกใช้เมื่ออภิปรายและสมมติเงื่อนไขบางประการสำหรับกระบวนการสุ่มเพื่อแก้ไขปัญหาการสร้างที่เป็นไปได้^{[ 187 ] [ 188 ]}ตัวอย่างเช่น ในการศึกษากระบวนการสุ่มที่มีชุดดัชนีที่นับไม่ได้ จะถือว่ากระบวนการสุ่มเป็นไปตามเงื่อนไขความสม่ำเสมอบางประเภท เช่น ฟังก์ชันตัวอย่างมีความต่อเนื่อง^{[ 189 ] [ 190 ]}

กระบวนการมาร์คอฟเป็นกระบวนการสุ่ม ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะอยู่ในช่วงเวลาแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องที่มีคุณสมบัติของมาร์คอฟ ซึ่งหมายความว่าค่าถัดไปของกระบวนการมาร์คอฟขึ้นอยู่กับค่าปัจจุบัน แต่เป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขจากค่าก่อนหน้าของกระบวนการสุ่ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง พฤติกรรมของกระบวนการในอนาคตเป็นอิสระแบบสุ่มจากพฤติกรรมในอดีต โดยพิจารณาจากสถานะปัจจุบันของกระบวนการ^{[ 191 ] [ 192 ]}

กระบวนการเคลื่อนที่แบบบราวน์และกระบวนการปัวซง (ในมิติเดียว) ต่างก็เป็นตัวอย่างของกระบวนการมาร์คอฟ^{[ 193 ]}ในเวลาต่อเนื่อง ในขณะที่การเดินแบบสุ่มบนจำนวนเต็มและ ปัญหา การล้มละลายของนักพนันเป็นตัวอย่างของกระบวนการมาร์คอฟในเวลาไม่ต่อเนื่อง^{[ 194 ] [ 195 ]}

ห่วงโซ่มาร์คอฟเป็นกระบวนการมาร์คอฟประเภทหนึ่งที่มีปริภูมิสถานะแบบ ไม่ต่อเนื่อง หรือชุดดัชนีแบบไม่ต่อเนื่อง (มักแทนเวลา) แต่คำจำกัดความที่แน่นอนของห่วงโซ่มาร์คอฟนั้นแตกต่างกันไป^{[ 196 ]}ตัวอย่างเช่น เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดห่วงโซ่มาร์คอฟเป็นกระบวนการมาร์คอฟในเวลาแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องที่มีปริภูมิสถานะที่นับได้ (ดังนั้นจึงไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะของเวลา) ^{[ 197 ] [ 198 ] [ 199 ] [ 200 ]}แต่ก็เป็นเรื่องปกติเช่นกันที่จะกำหนดห่วงโซ่มาร์คอฟว่ามีเวลาแบบไม่ต่อเนื่องในปริภูมิสถานะที่นับได้หรือต่อเนื่อง (ดังนั้นจึงไม่ขึ้นอยู่กับปริภูมิสถานะ) ^{[ 196 ]}มีการโต้แย้งว่าคำจำกัดความแรกของห่วงโซ่มาร์คอฟซึ่งมีเวลาแบบไม่ต่อเนื่องนั้นมักจะถูกนำมาใช้ แม้ว่าคำจำกัดความที่สองจะถูกใช้โดยนักวิจัยเช่นJoseph DoobและKai Lai Chungก็ตาม^{[ 201 ]}

กระบวนการมาร์คอฟเป็นกระบวนการสุ่มประเภทสำคัญและมีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขา^{[ 39 ] [ 202 ]}ตัวอย่างเช่น เป็นพื้นฐานสำหรับวิธีการจำลองแบบสุ่มทั่วไปที่เรียกว่าMarkov chain Monte Carloซึ่งใช้ในการจำลองวัตถุสุ่มที่มีการกระจายความน่าจะเป็นเฉพาะ และมีการประยุกต์ใช้ในสถิติแบบเบย์เซียน^{[ 203 ] [ 204 ]}

แนวคิดของคุณสมบัติของมาร์คอฟเดิมทีใช้สำหรับกระบวนการสุ่มในเวลาต่อเนื่องและเวลาไม่ต่อเนื่อง แต่คุณสมบัตินี้ได้รับการปรับให้เข้ากับชุดดัชนีอื่นๆ เช่นพื้นที่ยุคลิดมิติ ซึ่งส่งผลให้เกิดการรวบรวมตัวแปรสุ่มที่เรียกว่าฟิลด์สุ่มมาร์คอฟ^{[ 205 ] [ 206 ] [ 207 ]}${\displaystyle n}$

มาร์ติงเกลเป็นกระบวนการสุ่มแบบเวลาไม่ต่อเนื่องหรือเวลาต่อเนื่องที่มีคุณสมบัติว่า ในทุกขณะ เมื่อกำหนดค่าปัจจุบันและค่าในอดีตทั้งหมดของกระบวนการแล้ว ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของค่าในอนาคตทุกค่าจะเท่ากับค่าปัจจุบัน ในเวลาไม่ต่อเนื่อง ถ้าคุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับค่าถัดไป ก็จะเป็นจริงสำหรับค่าในอนาคตทั้งหมด คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนของมาร์ติงเกลต้องใช้เงื่อนไขอื่นอีกสองข้อควบคู่กับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของฟิลเทรชัน ซึ่งเกี่ยวข้องกับสัญชาตญาณของข้อมูลที่มีอยู่ที่เพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป โดยทั่วไปมาร์ติงเกลจะถูกกำหนดให้เป็นค่าจริง^{[ 208 ] [ 209 ] [ 155 ]}แต่ก็อาจเป็นค่าเชิงซ้อน^{[ 210 ]}หรือแม้แต่ทั่วไปกว่านั้น^{[ 211 ]}

การเดินสุ่มแบบสมมาตรและกระบวนการ Wiener (ที่มีการเลื่อนเป็นศูนย์) ต่างก็เป็นตัวอย่างของมาร์ติงเกลในเวลาแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่องตามลำดับ^{[ 208 ] [ 209 ]}สำหรับลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระและมีการกระจายเหมือนกันโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ กระบวนการสุ่มที่สร้างขึ้นจากผลรวมย่อยที่ต่อเนื่องกันคือมาร์ติงเกลเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 212 ]}ในแง่นี้ มาร์ติงเกลเวลาแบบไม่ต่อเนื่องเป็นการขยายแนวคิดของผลรวมย่อยของตัวแปรสุ่มอิสระ^{[ 213 ]}${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$${\displaystyle X_{1},X_{1}+X_{2},X_{1}+X_{2}+X_{3},\dots }$

มาร์ติงเกลยังสามารถสร้างขึ้นจากกระบวนการสุ่มโดยการใช้การแปลงที่เหมาะสมบางอย่าง ซึ่งเป็นกรณีของกระบวนการปัวซงเอกพันธุ์ (บนเส้นจำนวนจริง) ส่งผลให้เกิดมาร์ติงเกลที่เรียกว่า กระบวนการปัวซ งชดเชย^{[ 209 ]}มาร์ติงเกลยังสามารถสร้างขึ้นจากมาร์ติงเกลอื่นๆ ได้อีกด้วย^{[ 212 ]}ตัวอย่างเช่น มีมาร์ติงเกลที่อิงตามมาร์ติงเกลของกระบวนการไวเนอร์ ซึ่งก่อให้เกิดมาร์ติงเกลแบบต่อเนื่อง^{[ 208 ] [ 214 ]}

มาร์ติงเกลเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของแนวคิด 'เกมที่ยุติธรรม' ซึ่งสามารถสร้างความคาดหวังที่สมเหตุสมผลสำหรับผลตอบแทนได้^{[ 215 ]}และเดิมทีพัฒนาขึ้นเพื่อแสดงให้เห็นว่าไม่สามารถได้เปรียบ 'ไม่ยุติธรรม' ในเกมดังกล่าวได้^{[ 216 ]}แต่ปัจจุบันมีการนำไปใช้ในหลายสาขาของความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นหนึ่งในเหตุผลหลักในการศึกษา^{[ 155 ] [ 216 ] [ 217 ]}ปัญหามากมายในความน่าจะเป็นได้รับการแก้ไขโดยการค้นหามาร์ติงเกลในปัญหาและศึกษา^{[ 218 ]}มาร์ติงเกลจะลู่เข้าภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับโมเมนต์ ดังนั้นจึงมักใช้เพื่อหาผลลัพธ์การลู่เข้า ซึ่งส่วนใหญ่เป็นผลมาจากทฤษฎีบทการลู่เข้าของมาร์ติงเกล^{[ 213 ] [ 219 ] [ 220 ]}

มาร์ติงเกลมีการใช้งานมากมายในสถิติ แต่มีการสังเกตว่าการใช้งานและการประยุกต์ใช้ยังไม่แพร่หลายเท่าที่ควรในสาขาสถิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการอนุมานทางสถิติ^{[ 221 ]}มีการนำไปประยุกต์ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เช่น ทฤษฎีการเข้าคิวและแคลคูลัสปาล์ม^{[ 222 ]}และสาขาอื่นๆ เช่น เศรษฐศาสตร์^{[ 223 ]}และการเงิน^{[ 17 ]}

กระบวนการ Lévy เป็นประเภทของกระบวนการสุ่มที่สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการวางนัยทั่วไปของการเดินสุ่มในเวลาต่อเนื่อง^{[ 49 ] [ 224 ]}กระบวนการเหล่านี้มีการประยุกต์ใช้มากมายในสาขาต่างๆ เช่น การเงิน กลศาสตร์ของไหล ฟิสิกส์ และชีววิทยา^{[ 225 ] [ 226 ]}ลักษณะสำคัญที่กำหนดกระบวนการเหล่านี้คือคุณสมบัติความคงที่และความเป็นอิสระ ดังนั้นจึงเรียกกันว่ากระบวนการที่มีการเพิ่มขึ้นแบบคงที่และเป็นอิสระ กล่าวอีกนัยหนึ่ง กระบวนการสุ่มเป็นกระบวนการ Lévy ถ้าสำหรับจำนวนที่ไม่เป็นลบ การเพิ่มขึ้น ที่สอดคล้องกัน${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}}$${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}},}$

ทั้งหมดเป็นอิสระต่อกัน และการกระจายของการเพิ่มแต่ละครั้งขึ้นอยู่กับความแตกต่างของเวลาเท่านั้น^{[ 49 ]}

กระบวนการ Lévy สามารถกำหนดได้โดยที่ปริภูมิสถานะของมันคือปริภูมิทางคณิตศาสตร์นามธรรมบางอย่าง เช่นปริภูมิ Banachแต่กระบวนการเหล่านี้มักถูกกำหนดให้มีค่าอยู่ในปริภูมิ Euclidean ชุดดัชนีคือจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นซึ่งให้การตีความของเวลา กระบวนการสุ่มที่สำคัญ เช่น กระบวนการ Wiener กระบวนการ Poisson เอกพันธุ์ (ในมิติเดียว) และsubordinatorล้วนเป็นกระบวนการ Lévy ^{[ 49 ] [ 224 ]}${\displaystyle I=[0,\infty )}$

ฟิลด์สุ่มคือชุดของตัวแปรสุ่มที่มีดัชนีโดยปริภูมิยุคลิดมิติ n หรือแมนิโฟลด์บางอย่าง โดยทั่วไป ฟิลด์สุ่มสามารถถือได้ว่าเป็นตัวอย่างของกระบวนการสุ่มหรือกระบวนการสโตแคสติก ซึ่งเซตดัชนีไม่จำเป็นต้องเป็นเซตย่อยของเส้นจำนวนจริง^{[ 30 ]}แต่มีธรรมเนียมว่าชุดของตัวแปรสุ่มที่มีดัชนีเรียกว่าฟิลด์สุ่มเมื่อดัชนีมีสองมิติขึ้นไป^{[ 5 ] [ 28 ] [ 227 ]}หากคำจำกัดความเฉพาะของกระบวนการสโตแคสติกต้องการให้เซตดัชนีเป็นเซตย่อยของเส้นจำนวนจริง ฟิลด์สุ่มสามารถถือได้ว่าเป็นการวางนัยทั่วไปของกระบวนการสโตแคสติก^{[ 228 ]}${\displaystyle n}$

กระบวนการจุดคือชุดของจุดที่ตั้งอยู่แบบสุ่มบนพื้นที่ทางคณิตศาสตร์บางอย่าง เช่น เส้นจำนวนจริงพื้นที่ยุคลิดมิติ n หรือพื้นที่นามธรรมอื่นๆ บางครั้งคำว่ากระบวนการจุดไม่เป็นที่นิยม เนื่องจากในอดีตคำว่ากระบวนการหมายถึงวิวัฒนาการของระบบบางอย่างในเวลา ดังนั้นกระบวนการจุดจึงเรียกว่า สนาม จุดสุ่ม^{[ 229 ]}มีการตีความกระบวนการจุดที่แตกต่างกัน เช่น การวัดการนับแบบสุ่มหรือเซตแบบสุ่ม^{[ 230 ] [ 231 ]}ผู้เขียนบางคนมองว่ากระบวนการจุดและกระบวนการสุ่มเป็นวัตถุสองอย่างที่แตกต่างกัน โดยที่กระบวนการจุดเป็นวัตถุสุ่มที่เกิดขึ้นจากหรือเกี่ยวข้องกับกระบวนการสุ่ม^{[ 232 ] [ 233 ]}แม้ว่าจะมีการกล่าวไว้ว่าความแตกต่างระหว่างกระบวนการจุดและกระบวนการสุ่มนั้นไม่ชัดเจน^{[ 233 ]}${\displaystyle n}$

ผู้เขียนคนอื่นๆ พิจารณากระบวนการจุดว่าเป็นกระบวนการสุ่ม โดยที่กระบวนการนั้นถูกจัดทำดัชนีโดยเซตของพื้นที่พื้นฐาน^{[ d ]}ที่กำหนดไว้ เช่น เส้นจำนวนจริงหรือพื้นที่ยุคลิดมิติ^{[ 236 ] [ 237 ]}กระบวนการสุ่มอื่นๆ เช่น กระบวนการต่ออายุและกระบวนการนับ ได้รับการศึกษาในทฤษฎีของกระบวนการจุด^{[ 238 ] [ 233 ]}${\displaystyle n}$

ทฤษฎีความน่าจะเป็นมีต้นกำเนิดมาจากเกมเสี่ยงโชค ซึ่งมีประวัติศาสตร์ยาวนาน โดยมีเกมบางเกมที่เล่นกันมาหลายพันปีแล้ว^{[ 239 ]}แต่มีการวิเคราะห์ในแง่ของความน่าจะเป็นน้อยมาก^{[ 240 ]}ปี ค.ศ. 1654 มักถูกพิจารณาว่าเป็นปีกำเนิดของทฤษฎีความน่าจะเป็น เมื่อนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์ แฟร์มาต์และบลาส์ ปาสคาลได้เขียนจดหมายโต้ตอบกันเกี่ยวกับความน่าจะเป็น โดยได้รับแรงบันดาลใจจาก ปัญหา การพนัน^{[ 241 ] [ 242 ]}แต่ก็มีงานทางคณิตศาสตร์ก่อนหน้านี้ที่ทำเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเกมการพนัน เช่นLiber de Ludo AleaeโดยGerolamo Cardanoซึ่งเขียนขึ้นในศตวรรษที่ 16 แต่ได้รับการตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี ค.ศ. 1663 ^{[ 243 ]}

หลังจากคาร์ดาโน ยาคอบ เบอร์นูลลี^{[ e ]}ได้เขียนArs Conjectandiซึ่งถือเป็นเหตุการณ์สำคัญในประวัติศาสตร์ของทฤษฎีความน่าจะเป็น หนังสือของเบอร์นูลลีได้รับการตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี 1713 และเป็นแรงบันดาลใจให้นักคณิตศาสตร์หลายคนศึกษาความน่าจะเป็น^{[ 245 ] [ 246 ]}แต่ถึงแม้จะมีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคนมีส่วนร่วมในทฤษฎีความน่าจะเป็น เช่นปิแอร์-ซีมอง ลาปลาซ อับราฮัมเดอ มัวร์คาร์ล เกาส์ซิเมออน ปัวซงและปาฟนูตี เชบิเชฟ [ ^{247 ] [ 248 ] ชุมชน}คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่^{[ f ]}ก็ไม่ได้พิจารณาว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์จนกระทั่งศตวรรษที่ 20 ^{[ 247 ] [ 249 ] [ 250 ] [ 251 ]}

ในสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ นักวิทยาศาสตร์ได้พัฒนาศาสตร์กลศาสตร์เชิงสถิติ ขึ้นในศตวรรษที่ 19 โดยที่ระบบทางกายภาพ เช่น ภาชนะที่บรรจุก๊าซ จะถูกพิจารณาหรือจัดการทางคณิตศาสตร์ในฐานะกลุ่มของอนุภาคที่เคลื่อนที่จำนวนมาก แม้ว่าจะมีนักวิทยาศาสตร์บางคน เช่นรูดอล์ฟ คลอเซียส พยายามที่จะรวมความสุ่มเข้าไปในฟิสิกส์เชิงสถิติ แต่ งานส่วนใหญ่ก็แทบไม่มีความสุ่มเลย^{[ 252 ] [ 253 ]} สิ่งนี้เปลี่ยนไปในปี พ.ศ. 2392 เมื่อเจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ ได้มีส่วนสำคัญในสาขานี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีจลน์ของก๊าซ โดยนำเสนอผลงานที่เขาสร้างแบบจำลองอนุภาคก๊าซให้เคลื่อนที่ในทิศทางสุ่มด้วยความเร็วสุ่ม^{[ 254 ] [ 255 ]}ทฤษฎีจลน์ของก๊าซและฟิสิกส์เชิงสถิติยังคงได้รับการพัฒนาต่อไปในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 โดยผลงานส่วนใหญ่ดำเนินการโดย Clausius, Ludwig BoltzmannและJosiah Gibbsซึ่งต่อมาจะมีอิทธิพลต่อแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของAlbert Einstein สำหรับ การเคลื่อนที่แบบบราวน์^{[ 256 ]}

ในการประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ที่ปารีสในปี 1900 เดวิด ฮิลเบิร์ตได้นำเสนอรายการปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยปัญหาข้อที่หกของเขาขอให้มีการจัดการทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์และความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับสัจพจน์[ ^{248 ] ใน}ช่วงต้นศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาทฤษฎีการวัด ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์สำหรับการศึกษาปริพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ โดยผู้ก่อตั้งสองคนเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ได้แก่อองรี เลเบสก์และเอมิล โบเรลในปี 1925 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอีกคนหนึ่ง คือ ปอล เลวี ได้ตีพิมพ์หนังสือความน่าจะเป็นเล่มแรกที่ใช้แนวคิดจากทฤษฎีการวัด^{[ 248 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1920 นักคณิตศาสตร์อย่างSergei Bernstein , Aleksandr Khinchin [ ^{g ] และ} Andrei Kolmogorov [ ^{251 ] ได้มีส่วนสำคัญต่อทฤษฎีความน่าจะเป็นในสหภาพโซเวียต [ 251 ]} Kolmogorov ได้ตีพิมพ์ผลงานชิ้นแรกของเขาในปี 1929 ซึ่งเป็นการนำเสนอพื้นฐานทางคณิตศาสตร์โดยอาศัยทฤษฎีการวัดสำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็น^{[ 257 ]}ในช่วงต้นทศวรรษ 1930 Khinchin และ Kolmogorov ได้จัดสัมมนาเกี่ยวกับความน่าจะเป็น ซึ่งมีนักวิจัยเข้าร่วมมากมาย เช่นEugene SlutskyและNikolai Smirnov [ ^{258 ] และ Khinchin ได้ให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์แรกของกระบวนการสุ่มว่าเป็นชุดของตัวแปรสุ่มที่จัด ทำ}ดัชนีโดยเส้นจำนวนจริง^{[ 63 ] [ 259 ] [ h ]}

ในปี พ.ศ. 2476 Andrei Kolmogorov ได้ตีพิมพ์หนังสือเกี่ยวกับพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นภาษาเยอรมันชื่อ^{Grundbegriffe} der Wahrscheinlichkeitsrechnung [ ^{i ]}ซึ่ง Kolmogorov ใช้ทฤษฎีการวัดเพื่อพัฒนากรอบเชิงสัจพจน์สำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็น การตีพิมพ์หนังสือเล่มนี้ถือกันอย่างกว้างขวางว่าเป็นจุดกำเนิดของทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ เมื่อทฤษฎีความน่าจะเป็นและกระบวนการสุ่มกลายเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์^{[ 248 ] [ 251 ]}

หลังจากการตีพิมพ์หนังสือของ Kolmogorov งานพื้นฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นและกระบวนการสุ่มได้ถูกดำเนินการโดย Khinchin และ Kolmogorov เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ เช่นJoseph Doob , William Feller , Maurice Fréchet , Paul Lévy , Wolfgang DoeblinและHarald Cramér [ ^{248 ] [ 251 ] หลาย} ทศวรรษต่อมา Cramér กล่าวถึงช่วงทศวรรษ 1930 ว่าเป็น "ยุคแห่งความกล้าหาญของทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์" ^{[ 251 ]}สงครามโลกครั้งที่สองได้ขัดขวางการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างมาก ทำให้ Feller อพยพจากสวีเดนไปยังสหรัฐอเมริกา^{[ 251 ]}และการเสียชีวิตของ Doeblin ซึ่งปัจจุบันถือเป็นผู้บุกเบิกในกระบวนการสุ่ม^{[ 261 ]}

หลังสงครามโลกครั้งที่สอง การศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นและกระบวนการสุ่มได้รับความสนใจจากนักคณิตศาสตร์มากขึ้น โดยมีผลงานสำคัญในหลายสาขาของความน่าจะเป็นและคณิตศาสตร์ รวมถึงการสร้างสาขาใหม่ๆ^{[ 251 ] [ 264 ]}ตั้งแต่ช่วงทศวรรษ 1940 Kiyosi Itôได้ตีพิมพ์บทความที่พัฒนาสาขาแคลคูลัสสุ่มซึ่งเกี่ยวข้องกับปริพันธ์ สุ่ม และสมการเชิงอนุพันธ์ สุ่ม โดยอาศัยกระบวนการเคลื่อนที่แบบ Wiener หรือ Brownian ^{[ 265 ]}

นอกจากนี้ ในช่วงทศวรรษ 1940 ยังมีการเชื่อมโยงระหว่างกระบวนการสุ่ม โดยเฉพาะมาร์ติงเกล และสาขาคณิตศาสตร์ของทฤษฎีศักยภาพโดยเริ่มจากแนวคิดของชิซูโอะ คาคูทานิและต่อมาเป็นผลงานของโจเซฟ ดูบ^{[ 264 ]}งานวิจัยเพิ่มเติมที่ถือว่าเป็นงานบุกเบิกนั้น ดำเนินการโดยกิลเบิร์ต ฮันต์ในช่วงทศวรรษ 1950 ซึ่งเชื่อมโยงกระบวนการมาร์คอฟและทฤษฎีศักยภาพ ซึ่งมีผลอย่างมากต่อทฤษฎีของกระบวนการเลวี และนำไปสู่ความสนใจในการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับกระบวนการมาร์คอฟด้วยวิธีการที่พัฒนาโดยอิโตะ^{[ 21 ] [ 266 ] [ 267 ]}

ในปี พ.ศ. 2496 Doob ได้ตีพิมพ์หนังสือเรื่องกระบวนการสุ่ม (Stochastic processes ) ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมากต่อทฤษฎีของกระบวนการสุ่มและเน้นย้ำถึงความสำคัญของทฤษฎีการวัดในความน่าจะเป็น^{[ 264 ] [ 263 ]} Doob ยังได้พัฒนาทฤษฎีมาร์ติงเกลเป็นหลัก โดยต่อมาได้รับการสนับสนุนอย่างมากจากPaul-André Meyerงานก่อนหน้านี้ดำเนินการโดยSergei Bernstein , Paul LévyและJean Villeซึ่งคนหลังได้นำคำว่ามาร์ติงเกลมาใช้สำหรับกระบวนการสุ่ม^{[ 268 ] [ 269 ]}วิธีการจากทฤษฎีมาร์ติงเกลได้รับความนิยมในการแก้ปัญหาความน่าจะเป็นต่างๆ เทคนิคและทฤษฎีได้รับการพัฒนาเพื่อศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการมาร์คอฟแล้วนำไปประยุกต์ใช้กับมาร์ติงเกล ในทางกลับกัน วิธีการจากทฤษฎีมาร์ติงเกลก็ได้รับการจัดตั้งขึ้นเพื่อจัดการกับกระบวนการมาร์คอฟ^{[ 264 ]}

มีการพัฒนาสาขาความน่าจะเป็นอื่นๆ และนำมาใช้ศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการสุ่ม โดยแนวทางหลักประการหนึ่งคือทฤษฎีความเบี่ยงเบนขนาดใหญ่^{[ 264 ]}ทฤษฎีนี้มีการประยุกต์ใช้มากมายในฟิสิกส์เชิงสถิติและสาขาอื่นๆ และมีแนวคิดหลักย้อนกลับไปอย่างน้อยถึงทศวรรษที่ 1930 ต่อมาในช่วงทศวรรษที่ 1960 และ 1970 อเล็กซานเดอร์ เวนท์เซลล์ ในสหภาพโซเวียต และมอนโร ดี. ดอนสเกอร์และศรีนิวาส วาราธานในสหรัฐอเมริกา ได้ทำงานพื้นฐาน ^{[ 270 ]}ซึ่งต่อมาส่งผลให้วาราธานได้รับรางวัลอาเบลในปี 2007 ^{[ 271 ]}ในช่วงทศวรรษ 1990 และ 2000 ทฤษฎีวิวัฒนาการของ Schramm–Loewner ^{[ 272 ]}และเส้นทางหยาบ^{[ 142 ]}ได้รับการนำเสนอและพัฒนาเพื่อศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการสุ่มและวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งส่งผลให้มีการมอบเหรียญ Fields ให้แก่ Wendelin Werner ^{[ 273 ]}ในปี 2008 และMartin Hairerในปี 2014 ตามลำดับ ^{[ 274 ]}

ทฤษฎีของกระบวนการสุ่มยังคงเป็นหัวข้อวิจัยที่สำคัญ โดยมีการประชุมนานาชาติประจำปีในหัวข้อกระบวนการสุ่ม^{[ 45 ] [ 225 ]}

แม้ว่า Khinchin จะให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการสุ่มในช่วงทศวรรษ 1930 ^{[ 63 ] [ 259 ]}แต่กระบวนการสุ่มเฉพาะบางอย่างก็ถูกค้นพบแล้วในบริบทที่แตกต่างกัน เช่น กระบวนการเคลื่อนที่แบบบราวน์และกระบวนการปัวซง^{[ 21 ] [ 24 ]}กระบวนการสุ่มบางตระกูล เช่น กระบวนการจุดหรือกระบวนการต่ออายุ มีประวัติความเป็นมาที่ยาวนานและซับซ้อน ย้อนกลับไปหลายศตวรรษ^{[ 275 ]}

กระบวนการเบอร์นูลลี ซึ่งสามารถใช้เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการโยนเหรียญที่มีอคติ อาจเป็นกระบวนการสุ่มแรกที่ได้รับการศึกษา^{[ 81 ]}กระบวนการนี้เป็นลำดับของการทดลองเบอร์นูลลีที่เป็นอิสระ^{[ 82 ]}ซึ่งตั้งชื่อตามจาคอบ เบอร์นูลลีผู้ใช้กระบวนการนี้เพื่อศึกษาเกมเสี่ยงโชค รวมถึงปัญหาความน่าจะเป็นที่เสนอและศึกษาโดยคริสเตียน ฮุยเกนส์ก่อนหน้านี้^{[ 276 ]}ผลงานของเบอร์นูลลี รวมถึงกระบวนการเบอร์นูลลี ได้รับการตีพิมพ์ในหนังสือArs Conjectandi ของเขา ในปี 1713 ^{[ 277 ]}

ในปี พ.ศ. 2448 คาร์ล เพียร์สันได้บัญญัติศัพท์คำว่าการเดินแบบสุ่ม (random walk)ขณะตั้งปัญหาที่อธิบายการเดินแบบสุ่มบนระนาบ ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากการประยุกต์ใช้ในทางชีววิทยา แต่ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเดินแบบสุ่มนั้นได้มีการศึกษามาแล้วในสาขาอื่นๆ ปัญหาการพนันบางอย่างที่ศึกษากันมาหลายศตวรรษก่อนหน้านี้สามารถถือได้ว่าเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเดินแบบสุ่ม^{[ 89 ] [ 277 ]}ตัวอย่างเช่น ปัญหาที่รู้จักกันในชื่อGambler's ruinนั้นมีพื้นฐานมาจากการเดินแบบสุ่มอย่างง่าย^{[ 195 ] [ 278 ]}และเป็นตัวอย่างของการเดินแบบสุ่มที่มีสิ่งกีดขวางแบบดูดซับ^{[ 241 ] [ 279 ]}ปาสคาล แฟร์มาต์ และฮูเยนส์ ต่างก็ให้คำตอบเชิงตัวเลขสำหรับปัญหานี้โดยไม่ได้อธิบายรายละเอียดวิธีการของพวกเขา^{[ 280 ]} จากนั้นยาคอบ เบอร์นูลลี และ อับราฮัม เดอ มัวฟร์ก็ได้นำเสนอคำตอบที่ละเอียดกว่า^{[ 281 ]}

สำหรับการเดินแบบสุ่มในแลตทิซจำนวนเต็มมิติGeorge Pólyaได้ตีพิมพ์ผลงานในปี พ.ศ. 2462 และ พ.ศ. 2464 โดยศึกษาความน่าจะเป็นของการเดินแบบสุ่มสมมาตรที่กลับไปยังตำแหน่งเดิมในแลตทิซ Pólya แสดงให้เห็นว่าการเดินแบบสุ่มสมมาตรซึ่งมีความน่าจะเป็นเท่ากันที่จะก้าวไปในทิศทางใดๆ ในแลตทิซ จะกลับไปยังตำแหน่งเดิมในแลตทิซเป็นจำนวนครั้งอนันต์ด้วยความน่าจะเป็นหนึ่งในหนึ่งและสองมิติ แต่มีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ในสามมิติหรือสูงกว่า^{[ 282 ] [ 283 ]}${\displaystyle n}$

กระบวนการWienerหรือกระบวนการเคลื่อนที่แบบบราวน์มีต้นกำเนิดมาจากสาขาต่างๆ รวมถึงสถิติ การเงิน และฟิสิกส์^{[ 21 ]}ในปี พ.ศ. 2423 นักดาราศาสตร์ชาวเดนมาร์ก Thorvald Thieleได้เขียนบทความเกี่ยวกับวิธีกำลังสองน้อยที่สุด โดยเขาใช้กระบวนการนี้เพื่อศึกษาข้อผิดพลาดของแบบจำลองในการวิเคราะห์อนุกรมเวลา^{[ 284 ] [ 285 ] [ 286 ]}ปัจจุบันงานนี้ถือเป็นการค้นพบเบื้องต้นของวิธีการทางสถิติที่เรียกว่าการกรอง Kalmanแต่ผลงานนี้กลับถูกมองข้ามไปเป็นส่วนใหญ่ เชื่อกันว่าแนวคิดในบทความของ Thiele นั้นล้ำหน้าเกินกว่าที่ชุมชนคณิตศาสตร์และสถิติในวงกว้างจะเข้าใจได้ในขณะนั้น^{[ 286 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสLouis Bachelierใช้กระบวนการ Wiener ในวิทยานิพนธ์ปี 1900 ของเขา^{[ 287 ] [ 288 ] เพื่อจำลองการเปลี่ยนแปลงราคาในตลาดหลักทรัพย์ปารีส [ 289 ] โดยไม่ทราบถึงงานของ Thiele [ 21 ] มีการคาดการณ์ว่าBachelier}ได้นำแนวคิดมาจาก^{แบบจำลอง}การ^{เดินแบบสุ่ม}ของJules Regnaultแต่ Bachelier ไม่ได้อ้างอิงถึงเขา^{[ 290 ]}และวิทยานิพนธ์ของ Bachelier ในปัจจุบันถือเป็นงานบุกเบิกในสาขาคณิตศาสตร์การเงิน^{[ 289 ] [ 290 ]}

โดยทั่วไปเชื่อกันว่างานของ Bachelier ได้รับความสนใจเพียงเล็กน้อยและถูกลืมไปหลายทศวรรษ จนกระทั่ง Leonard Savageค้นพบมันอีกครั้งในช่วงทศวรรษ 1950 และได้รับความนิยมมากขึ้นหลังจากวิทยานิพนธ์ของ Bachelier ได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษในปี 1964 แต่งานของเขาก็ไม่เคยถูกลืมในวงการคณิตศาสตร์ เพราะ Bachelier ได้ตีพิมพ์หนังสือในปี 1912 ซึ่งให้รายละเอียดเกี่ยวกับแนวคิดของเขา^{[ 290 ]}ซึ่งนักคณิตศาสตร์หลายคนได้อ้างอิงถึง รวมถึง Doob, Feller ^{[ 290 ]}และ Kolmogorov ^{[ 21 ]}หนังสือเล่มนี้ยังคงถูกอ้างอิงอย่างต่อเนื่อง แต่ในช่วงทศวรรษ 1960 วิทยานิพนธ์ดั้งเดิมของ Bachelier เริ่มถูกอ้างอิงมากกว่าหนังสือของเขา เมื่อนักเศรษฐศาสตร์เริ่มอ้างอิงงานของ Bachelier ^{[ 290 ]}

ในปี ค.ศ. 1905 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ได้ตีพิมพ์บทความที่เขาศึกษาการสังเกตทางกายภาพของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ หรือการเคลื่อนที่เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่แบบสุ่มของอนุภาคในของเหลวโดยใช้แนวคิดจากทฤษฎีจลน์ของก๊าซไอน์สไตน์ได้อนุพันธ์สมการเชิงอนุพันธ์ที่เรียกว่าสมการการแพร่กระจายเพื่ออธิบายความน่าจะเป็นของการพบอนุภาคในบริเวณใดบริเวณหนึ่งของพื้นที่ ไม่นานหลังจากบทความแรกของไอน์สไตน์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ มาเรียนสโมลูโชว์สกีได้ตีพิมพ์ผลงานที่เขาอ้างถึงไอน์สไตน์ แต่เขียนว่าเขาได้อนุพันธ์ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากันโดยอิสระโดยใช้วิธีการที่แตกต่างกัน^{[ 291 ]}

งานของไอน์สไตน์ รวมถึงผลการทดลองที่ได้รับจากฌอง แปร์แร็งต่อมาได้เป็นแรงบันดาลใจให้นอร์เบิร์ต วีนเนอร์ในช่วงทศวรรษ 1920 ^{[ 292 ]}ใช้ทฤษฎีการวัดประเภทหนึ่งที่พัฒนาโดยเพอร์ซี ดาเนียลและการวิเคราะห์ฟูริเยร์เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของกระบวนการวีนเนอร์ในฐานะวัตถุทางคณิตศาสตร์^{[ 21 ]}

กระบวนการปัวซงได้รับการตั้งชื่อตามซีเมออน ปัวซงเนื่องจากคำจำกัดความของมันเกี่ยวข้องกับการแจกแจงปัวซงแต่ปัวซงไม่เคยศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการนี้^{[ 22 ] [ 293 ]}มีการอ้างสิทธิ์มากมายเกี่ยวกับการใช้งานหรือการค้นพบกระบวนการปัวซงในยุคแรก^{[ 22 ] [ 24 ]} ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 กระบวนการปัวซงจะเกิดขึ้นอย่างอิสระในสถานการณ์ต่างๆ^{[ 22 ] [ 24 ]} ในประเทศสวีเดน ปี 1903 ฟิลิป ลุนด์เบิร์กได้ตีพิมพ์วิทยานิพนธ์ที่มีผลงานซึ่งปัจจุบันถือว่าเป็นพื้นฐานและเป็นงานบุกเบิก โดยเขาเสนอให้สร้างแบบจำลองการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนประกันภัยด้วยกระบวนการปัวซงที่เป็นเนื้อเดียวกัน^{[ 294 ] [ 295 ]}

การค้นพบอีกอย่างหนึ่งเกิดขึ้นในเดนมาร์กในปี พ.ศ. 2452 เมื่อAK Erlangได้อนุพันธ์การแจกแจงปัวซงเมื่อพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับจำนวนสายโทรศัพท์ขาเข้าในช่วงเวลาจำกัด Erlang ในขณะนั้นไม่ทราบถึงงานก่อนหน้าของปัวซงและสันนิษฐานว่าจำนวนสายโทรศัพท์ที่เข้ามาในแต่ละช่วงเวลาเป็นอิสระต่อกัน จากนั้นเขาจึงพบกรณีจำกัด ซึ่งก็คือการปรับเปลี่ยนการแจกแจงปัวซงให้เป็นขีดจำกัดของการแจกแจงทวินาม^{[ 22 ]}

ในปี พ.ศ. 2453 เออร์เนสต์ รัทเทอร์ฟอร์ดและฮันส์ ไกเกอร์ได้ตีพิมพ์ผลการทดลองเกี่ยวกับการนับอนุภาคอัลฟาแฮร์รี่ เบทแมน ได้รับแรงบันดาลใจจากงานของพวกเขา จึงศึกษาปัญหาการนับและได้อนุพันธ์ความน่าจะเป็นแบบปัวซงเป็นคำตอบของตระกูลสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งนำไปสู่การค้นพบกระบวนการปัวซงโดยอิสระ^{[ 22 ]}หลังจากนั้นก็มีการศึกษาและการประยุกต์ใช้กระบวนการปัวซงมากมาย แต่ประวัติศาสตร์ในช่วงแรกนั้นค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งได้รับการอธิบายโดยการประยุกต์ใช้กระบวนการนี้ในหลากหลายสาขาโดยนักชีววิทยา นักนิเวศวิทยา วิศวกร และนักวิทยาศาสตร์ฟิสิกส์ต่างๆ^{[ 22 ]}

กระบวนการมาร์คอฟและโซ่มาร์คอฟได้รับการตั้งชื่อตามอันเดรย์ มาร์คอฟผู้ศึกษาโซ่มาร์คอฟในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 มาร์คอฟสนใจศึกษาการขยายลำดับสุ่มอิสระ ในบทความแรกของเขาเกี่ยวกับโซ่มาร์คอฟที่ตีพิมพ์ในปี 1906 มาร์คอฟแสดงให้เห็นว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ ผลลัพธ์เฉลี่ยของโซ่มาร์คอฟจะลู่เข้าสู่เวกเตอร์ค่าคงที่ ซึ่งเป็นการพิสูจน์กฎอ่อนของจำนวนมากโดยไม่ต้องมีสมมติฐานความเป็นอิสระ^{[ 296 ] [ 297 ] [ 298 ]}ซึ่งโดยทั่วไปถือว่าเป็นข้อกำหนดสำหรับกฎทางคณิตศาสตร์ดังกล่าว^{[ 298 ]}ต่อมามาร์คอฟใช้โซ่มาร์คอฟเพื่อศึกษาการกระจายของสระในEugene Oneginที่เขียนโดยอเล็กซานเดอร์ ปุชกินและพิสูจน์ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางสำหรับโซ่ดังกล่าว

ในปี พ.ศ. 2455 ปวงกาเรได้ศึกษาโซ่ Markov บนกลุ่มจำกัดโดยมีเป้าหมายเพื่อศึกษาการสับไพ่ การใช้งานโซ่ Markov ในยุคแรกๆ อื่นๆ ได้แก่ แบบจำลองการแพร่กระจาย ซึ่งนำเสนอโดยPaulและTatyana Ehrenfestในปี พ.ศ. 2450 และกระบวนการแตกแขนง ซึ่งนำเสนอโดยFrancis GaltonและHenry William Watsonในปี พ.ศ. 2416 ซึ่งมาก่อนงานของ Markov ^{[ 296 ] [ 297 ]}หลังจากงานของ Galton และ Watson ต่อมาได้มีการเปิดเผยว่ากระบวนการแตกแขนงของพวกเขานั้นได้รับการค้นพบและศึกษาอย่างอิสระเมื่อประมาณสามทศวรรษก่อนหน้านั้นโดยIrénée-Jules Bienaymé [ ^{299 ] ตั้งแต่}ปี พ.ศ. 2461 Maurice Fréchetเริ่มสนใจโซ่ Markov ซึ่งในที่สุดก็ส่งผลให้เขาตีพิมพ์การศึกษาโดยละเอียดเกี่ยวกับโซ่ Markov ในปี พ.ศ. 2481 ^{[ 296 ] [ 300 ]}

Andrei Kolmogorovได้พัฒนาทฤษฎีเบื้องต้นของกระบวนการ Markov แบบต่อเนื่องในเวลาส่วนใหญ่ในบทความปี 1931 ^{[ 251 ] [ 257 ]} Kolmogorov ได้รับแรงบันดาลใจส่วนหนึ่งจากงานของ Louis Bachelier ในปี 1900 เกี่ยวกับความผันผวนในตลาดหุ้น เช่นเดียวกับงานของNorbert Wiener เกี่ยวกับแบบจำลองการเคลื่อนที่แบบบราวน์ของ Einstein ^{[ 257 ] [ 301 ]}เขาได้แนะนำและศึกษาชุดกระบวนการ Markov เฉพาะที่เรียกว่ากระบวนการแพร่กระจาย โดยเขาได้อนุพันธ์ชุดสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายกระบวนการเหล่านั้น^{[ 257 ] [ 302 ]}โดยไม่ขึ้นอยู่กับงานของ Kolmogorov, Sydney Chapmanได้อนุพันธ์สมการในบทความปี 1928 ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าสมการ Chapman–Kolmogorovในวิธีที่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์น้อยกว่า Kolmogorov ในขณะที่ศึกษาการเคลื่อนที่แบบบราวน์^{[ 303 ]}สมการเชิงอนุพันธ์ในปัจจุบันเรียกว่าสมการ Kolmogorov ^{[ 304 ]}หรือสมการ Kolmogorov–Chapman ^{[ 305 ]}นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ที่มีส่วนสำคัญในการวางรากฐานของกระบวนการ Markov ได้แก่ William Feller ซึ่งเริ่มตั้งแต่ช่วงทศวรรษ 1930 และต่อมาคือ Eugene Dynkin ซึ่งเริ่มตั้งแต่ช่วงทศวรรษ 1950 ^{[ 251 ]}

กระบวนการ Lévy เช่น กระบวนการ Wiener และกระบวนการ Poisson (บนเส้นจำนวนจริง) ได้รับการตั้งชื่อตาม Paul Lévy ผู้ซึ่งเริ่มศึกษากระบวนการเหล่านี้ในช่วงทศวรรษ 1930 ^{[ 225 ]}แต่กระบวนการเหล่านี้มีความเชื่อมโยงกับการแจกแจงที่แบ่งได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งย้อนกลับไปถึงทศวรรษ 1920 ^{[ 224 ]}ในบทความปี 1932 Kolmogorov ได้อนุมานฟังก์ชันลักษณะเฉพาะสำหรับตัวแปรสุ่มที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการ Lévy ผลลัพธ์นี้ต่อมาได้รับการอนุมานภายใต้เงื่อนไขทั่วไปมากขึ้นโดย Lévy ในปี 1934 และจากนั้น Khinchin ได้ให้รูปแบบทางเลือกสำหรับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะนี้โดยอิสระในปี 1937 ^{[ 251 ] [ 306 ]}นอกเหนือจาก Lévy, Khinchin และ Kolomogrov แล้ว การมีส่วนร่วมพื้นฐานในช่วงแรกในทฤษฎีของกระบวนการ Lévy ยังเกิดขึ้นโดยBruno de FinettiและKiyosi Itô ^{[ 224 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ จำเป็นต้องมีการสร้างวัตถุทางคณิตศาสตร์ ซึ่งก็เช่นเดียวกันสำหรับกระบวนการสุ่ม เพื่อพิสูจน์ว่าวัตถุเหล่านั้นมีอยู่จริงทางคณิตศาสตร์^{[ 57 ]}มีแนวทางหลักสองประการในการสร้างกระบวนการสุ่ม แนวทางหนึ่งเกี่ยวข้องกับการพิจารณาพื้นที่ฟังก์ชันที่วัดได้ กำหนดการแมปที่วัดได้ที่เหมาะสมจากพื้นที่ความน่าจะเป็นไปยังพื้นที่ฟังก์ชันที่วัดได้นี้ แล้วจึงหาการแจกแจงมิติจำกัดที่สอดคล้องกัน^{[ 307 ]}

แนวทางอื่นเกี่ยวข้องกับการกำหนดชุดของตัวแปรสุ่มให้มีการแจกแจงมิติจำกัดที่เฉพาะเจาะจง จากนั้นใช้ทฤษฎีบทการมีอยู่ของ Kolmogorov ^{[ j ]}เพื่อพิสูจน์ว่ากระบวนการสุ่มที่สอดคล้องกันมีอยู่จริง^{[ 57 ] [ 307 ]}ทฤษฎีบทนี้ ซึ่งเป็นทฤษฎีบทการมีอยู่สำหรับการวัดบนปริภูมิผลคูณอนันต์^{[ 311 ]}กล่าวว่า หากการแจกแจงมิติจำกัดใด ๆ เป็นไปตามเงื่อนไขสองประการที่เรียกว่าเงื่อนไขความสอดคล้องก็จะมีกระบวนการสุ่มที่มีการแจกแจงมิติจำกัดเหล่านั้นอยู่^{[ 57 ]}

เมื่อสร้างกระบวนการสุ่มแบบต่อเนื่องในเวลา จะเกิดปัญหาทางคณิตศาสตร์บางประการขึ้น เนื่องจากชุดดัชนีที่นับไม่ได้ ซึ่งไม่เกิดขึ้นกับกระบวนการแบบไม่ต่อเนื่องในเวลา^{[ 58 ] [ 59 ]}ปัญหาหนึ่งคือ เป็นไปได้ที่จะมีกระบวนการสุ่มมากกว่าหนึ่งกระบวนการที่มีการกระจายแบบมิติจำกัดเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น ทั้งการปรับเปลี่ยนแบบต่อเนื่องทางซ้ายและการปรับเปลี่ยนแบบต่อเนื่องทางขวาของกระบวนการปัวซงมีการกระจายแบบมิติจำกัดเหมือนกัน^{[ 312 ]}ซึ่งหมายความว่าการกระจายของกระบวนการสุ่มไม่จำเป็นต้องระบุคุณสมบัติของฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการสุ่มอย่างเฉพาะเจาะจง^{[ 307 ] [ 313 ]}

ปัญหาอีกประการหนึ่งคือฟังก์ชันของกระบวนการเวลาต่อเนื่องที่อาศัยจุดจำนวนนับไม่ได้ของเซตดัชนีอาจไม่สามารถวัดได้ ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างอาจไม่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจน^{[ 168 ]}ตัวอย่างเช่น ค่าสูงสุดของกระบวนการสุ่มหรือฟิลด์สุ่มไม่จำเป็นต้องเป็นตัวแปรสุ่มที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน^{[ 30 ] [ 59 ]}สำหรับกระบวนการสุ่มเวลาต่อเนื่องลักษณะอื่นๆ ที่ขึ้นอยู่กับจุดจำนวนนับไม่ได้ของเซตดัชนีได้แก่: ^{[ 168 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$

• ฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการสุ่มคือฟังก์ชันต่อเนื่องของ;${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$
• ฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการสุ่มคือฟังก์ชันที่มีขอบเขตของ; และ${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$
• ฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการสุ่มคือ ฟังก์ชัน เพิ่มขึ้นของ${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$

โดยที่สัญลักษณ์∈ สามารถอ่านได้ว่า "สมาชิกของเซต " เช่นสมาชิกของเซต${\displaystyle t}$${\displaystyle T}$

เพื่อเอาชนะความยากลำบากสองประการที่อธิบายไว้ข้างต้น ได้แก่ "มากกว่าหนึ่ง..." และ "ฟังก์ชันของ..." สมมติฐานและแนวทางที่แตกต่างกันจึงเป็นไปได้^{[ 69 ]}

แนวทางหนึ่งในการหลีกเลี่ยงปัญหาการสร้างทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการสุ่มที่เสนอโดยJoseph Doobคือการสมมติว่ากระบวนการสุ่มนั้นสามารถแยกได้^{[ 314 ]}ความสามารถในการแยกได้ทำให้มั่นใจได้ว่าการแจกแจงมิติอนันต์จะกำหนดคุณสมบัติของฟังก์ชันตัวอย่างโดยกำหนดให้ฟังก์ชันตัวอย่างถูกกำหนดโดยพื้นฐานจากค่าของฟังก์ชันเหล่านั้นบนเซตของจุดที่หนาแน่นและนับได้ในเซตดัชนี^{[ 315 ]}ยิ่งไปกว่านั้น หากกระบวนการสุ่มสามารถแยกได้ ฟังก์ชันของจุดจำนวนนับไม่ถ้วนในเซตดัชนีจะสามารถวัดได้ และสามารถศึกษาความน่าจะเป็นของฟังก์ชันเหล่านั้นได้^{[ 168 ] [ 315 ]}

แนวทางอื่นที่เป็นไปได้ ซึ่งเดิมพัฒนาโดยAnatoliy Skorokhod ^{และ Andrei Kolmogorov [ 316 ]}สำหรับกระบวนการสุ่ม^{แบบต่อ}เนื่องที่มีปริภูมิเมตริกใดๆ เป็นปริภูมิสถานะ สำหรับการสร้างกระบวนการสุ่มดังกล่าว ถือว่าฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการสุ่มเป็นของปริภูมิฟังก์ชันที่เหมาะสม ซึ่งโดยปกติจะเป็นปริภูมิ Skorokhod ที่ประกอบด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวาทั้งหมดที่มีขีดจำกัดทางซ้าย แนวทางนี้ถูกนำมาใช้มากกว่าสมมติฐานการแยกส่วน^{[ 69 ] [ 262 ]}แต่กระบวนการสุ่มดังกล่าวตามแนวทางนี้จะสามารถแยกส่วนได้โดยอัตโนมัติ^{[ 317 ]}

แม้ว่าจะมีการใช้งานน้อยกว่า แต่สมมติฐานการแยกส่วนถือว่ามีความทั่วไปมากกว่า เนื่องจากกระบวนการสุ่มทุกกระบวนการมีเวอร์ชันที่แยกส่วนได้^{[ 262 ]}นอกจากนี้ยังใช้เมื่อไม่สามารถสร้างกระบวนการสุ่มในพื้นที่ Skorokhod ได้^{[ 173 ]}ตัวอย่างเช่น สมมติฐานการแยกส่วนจะถูกใช้เมื่อสร้างและศึกษาฟิลด์สุ่ม โดยที่ชุดของตัวแปรสุ่มจะถูกจัดทำดัชนีโดยเซตอื่นที่ไม่ใช่เส้นจำนวนจริง เช่นพื้นที่ยุคลิดมิติ^{[ 30 ] [ 318 ]}${\displaystyle n}$

หนึ่งในการประยุกต์ใช้กระบวนการสุ่มที่มีชื่อเสียงที่สุดในด้านการเงินคือแบบจำลอง Black-Scholesสำหรับการกำหนดราคาออปชั่น แบบจำลองนี้พัฒนาโดยFischer Black , Myron ScholesและRobert Merton (ซึ่งผลงานของพวกเขาทำให้ได้รับ รางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ในปี 1997 ) โดยใช้การเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิตซึ่งเป็นกระบวนการสุ่มประเภทหนึ่ง เพื่ออธิบายพลวัตของราคาสินทรัพย์^{[ 319 ] [ 320 ]}

แบบจำลองนี้ตั้งสมมติฐานว่าราคาของหุ้นเป็นไปตามกระบวนการสุ่มแบบต่อเนื่องตามเวลา ซึ่งขับเคลื่อนโดยสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDE): โดยที่: $${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$$

• ${\textstyle S_{t}}$คือราคาของสินทรัพย์อ้างอิง ณ เวลาt
• μคืออัตราการเปลี่ยนแปลง ซึ่งแสดงถึงผลตอบแทนที่คาดหวังของสินทรัพย์
• σคือค่าความผันผวนของผลตอบแทนของสินทรัพย์
• ${\textstyle W_{t}}$เป็น กระบวนการ Wienerมาตรฐาน(การเคลื่อนที่แบบบราวน์) ที่นำเอาความผันผวนของตลาดแบบสุ่มเข้ามาใช้

ข้อสมมติฐานหลักของแบบจำลอง Black-Scholes คือ ราคาของสินทรัพย์ทางการเงิน เช่น หุ้น จะมีการกระจายแบบ ลอการิ ทมิกปกติ (log-normal distribution)โดยผลตอบแทนต่อเนื่องจะมีการกระจายแบบปกติ (normal distribution) เนื่องจากคุณสมบัติเหล่านี้ แบบจำลองจึงให้คำตอบในรูปแบบปิด (closed-form solution) สำหรับการกำหนดราคาออปชั่นแบบยุโรป สูตร Black-Scholes มีผลกระทบอย่างมากต่อตลาดการเงิน โดยเป็นพื้นฐานของการซื้อขายออปชั่นในปัจจุบัน แม้ว่าแบบจำลองจะมีข้อจำกัด เช่น ข้อสมมติฐานเรื่องความผันผวนคงที่และไม่มีต้นทุนการทำธุรกรรม แต่ก็ยังคงใช้กันอย่างแพร่หลายเนื่องจากความเรียบง่ายและความเกี่ยวข้องในทางปฏิบัติ

การประยุกต์ใช้กระบวนการสุ่มที่สำคัญอีกประการหนึ่งในด้านการเงินคือในแบบจำลองความผันผวนแบบสุ่มซึ่งมีจุดมุ่งหมายเพื่อจับลักษณะการเปลี่ยนแปลงตามเวลาของความผันผวนของตลาดแบบจำลอง Heston ^{[ 321 ]}เป็นตัวอย่างที่ได้รับความนิยม โดยอนุญาตให้ความผันผวนของราคาสินทรัพย์เป็นไปตามกระบวนการสุ่มของตัวเองแทนที่จะคงที่อย่างเคร่งครัด

ในแบบจำลองของ Heston ราคาของสินทรัพย์และความแปรปรวนของสินทรัพย์นั้นถูกจำลองเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มแบบเชื่อมโยงกัน โดยที่: $${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {v_{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S}}$$$${\displaystyle dv_{t}=\kappa (\theta -v_{t})\,dt+\xi {\sqrt {v_{t}}}\,dW_{t}^{v}}$$

• ${\textstyle v_{t}}$คือค่าความแปรปรวนทันที ซึ่งเป็นไปตามกระบวนการ Cox–Ingersoll–Ross ที่กลับสู่ค่า เฉลี่ย
• θคือค่าความแปรปรวนเฉลี่ยในระยะยาว และκคืออัตราที่ค่าความแปรปรวนกลับคืนสู่θ${\textstyle v_{t}}$
• ξคือ "ความผันผวนของความผันผวน"
• ${\textstyle W_{t}^{S}}$และเป็นกระบวนการ Wiener สองแบบที่แตกต่างกัน แต่มีความสัมพันธ์กันทางคณิตศาสตร์ (ด้วยสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ρ ) ซึ่งทำให้แบบจำลองสามารถจับผลกระทบจากเลเวอเรจได้ (เช่น ความผันผวนมักเพิ่มขึ้นเมื่อราคาหุ้นลดลง)${\textstyle W_{t}^{v}}$

แตกต่างจากแบบจำลอง Black-Scholes ซึ่งสมมติว่าความผันผวนคงที่และส่งผลให้พื้นผิวความผันผวนราบเรียบ แบบจำลองความผันผวนแบบสุ่มให้กรอบการทำงานที่ยืดหยุ่นกว่าสำหรับการจำลองพลวัตของตลาด แบบจำลองเหล่านี้สามารถจำลอง "รอยยิ้มของความผันผวน" ที่สังเกตได้ในการกำหนดราคาออปชั่นในโลกแห่งความเป็นจริงได้อย่างแม่นยำ ทำให้แบบจำลองเหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในช่วงเวลาที่มีความไม่แน่นอนสูงหรือภาวะตลาดตึงเครียด

หนึ่งในการประยุกต์ใช้หลักของกระบวนการสุ่มในทางชีววิทยาคือพลวัตของประชากรตรงกันข้ามกับแบบจำลองเชิงกำหนดซึ่งถือว่าประชากรเปลี่ยนแปลงไปในรูปแบบที่คาดการณ์ได้ แบบจำลองสุ่มจะคำนึงถึงความสุ่มโดยธรรมชาติในการเกิด การตาย และการอพยพ^{กระบวนการ}เกิด-ตาย [ ^{322 ]} ซึ่ง เป็นแบบจำลองสุ่มอย่างง่าย อธิบายว่าประชากรผันผวนอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไปเนื่องจากการเกิดและการตายแบบสุ่ม แบบจำลองเหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งเมื่อต้องจัดการกับประชากรขนาดเล็ก ซึ่งเหตุการณ์สุ่มอาจมีผลกระทบอย่างมาก เช่น ในกรณีของสัตว์ใกล้สูญพันธุ์หรือประชากรจุลินทรีย์ขนาดเล็ก

อีกตัวอย่างหนึ่งคือกระบวนการแตกแขนง [ ^{322 ] ซึ่งจำลองการเติบโตของประชากรที่แต่ละบุคคลสืบพันธุ์อย่างอิสระ กระบวนการแตกแขนงมักใช้เพื่อ อธิบาย}การสูญพันธุ์หรือการระเบิดของประชากร โดยเฉพาะอย่างยิ่งในระบาดวิทยา ซึ่งสามารถจำลองการแพร่กระจายของโรคติดเชื้อภายในประชากรได้

กระบวนการสุ่มมีบทบาทสำคัญในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์และพัฒนาอัลกอริทึมแบบสุ่มอัลกอริทึมเหล่านี้ใช้ข้อมูลป้อนเข้าแบบสุ่มเพื่อลดความซับซ้อนของการแก้ปัญหาหรือเพิ่มประสิทธิภาพในงานคำนวณที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่น โซ่ Markov ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในอัลกอริทึมความน่าจะเป็นสำหรับงานเพิ่มประสิทธิภาพและการสุ่มตัวอย่าง เช่นที่ใช้ในเครื่องมือค้นหาอย่าง PageRank ของ Google ^{[ 323 ]}วิธีการเหล่านี้สร้างสมดุลระหว่างประสิทธิภาพการคำนวณกับความแม่นยำ ทำให้มีคุณค่าอย่างยิ่งสำหรับการจัดการชุดข้อมูลขนาดใหญ่ อัลกอริทึมแบบสุ่มยังถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในด้านต่างๆ เช่น การเข้ารหัส การจำลองขนาดใหญ่ และปัญญาประดิษฐ์ ซึ่งต้องจัดการกับความไม่แน่นอนอย่างมีประสิทธิภาพ^{[ 323 ]}

การประยุกต์ใช้กระบวนการสุ่มที่สำคัญอีกประการหนึ่งในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์คือทฤษฎีคิวซึ่งจำลองการมาถึงและการให้บริการงานแบบสุ่มในระบบ^{[ 324 ]}สิ่งนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างยิ่งในการวิเคราะห์ปริมาณการรับส่งข้อมูลเครือข่ายและการจัดการเซิร์ฟเวอร์ ตัวอย่างเช่น แบบจำลองคิวช่วยในการทำนายความล่าช้า จัดการการจัดสรรทรัพยากร และเพิ่มประสิทธิภาพปริมาณงานในเว็บเซิร์ฟเวอร์และเครือข่ายการสื่อสาร ความยืดหยุ่นของแบบจำลองสุ่มช่วยให้นักวิจัยสามารถจำลองและปรับปรุงประสิทธิภาพของสภาพแวดล้อมที่มีปริมาณการรับส่งข้อมูลสูง ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีคิวมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการออกแบบศูนย์ข้อมูลที่มีประสิทธิภาพและโครงสร้างพื้นฐานการประมวลผลแบบคลาวด์^{[ 325 ]}

• Applebaum, David (2004). "กระบวนการ Lévy: จากความน่าจะเป็นสู่การเงินและกลุ่มควอนตัม" ประกาศของ AMS 51 ( 11): 1336– 1347
• Cramer, Harald (1976). "ครึ่งศตวรรษกับทฤษฎีความน่าจะเป็น: ความทรงจำส่วนตัวบางประการ" . The Annals of Probability . 4 (4): 509– 546. doi : 10.1214/aop/1176996025 . ISSN  0091-1798 .
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "เกิดอะไรขึ้นกับความโกลาหลแบบไม่ต่อเนื่อง กระบวนการ Quenouille และคุณสมบัติ Markov ที่คมชัด? ประวัติบางส่วนของกระบวนการจุดสุ่ม" วารสารสถิติระหว่างประเทศ80 (2): 253– 268. doi : 10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x . ISSN  0306-7734 . S2CID  80836 .
• Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). "ประวัติย่อของการบูรณาการเชิงสุ่มและคณิตศาสตร์การเงิน: ช่วงปีแรก ๆ 1880–1970". หนังสือที่ระลึกสำหรับ Herman Rubin . เอกสารบรรยายของสถาบันสถิติคณิตศาสตร์ - ชุดเอกสารวิจัย. หน้า  75–91 . doi : 10.1214/lnms/1196285381 . ISBN 978-0-940600-61-4ISSN 0749-2170​ ​
• Meyer, Paul-André (2009). "กระบวนการสุ่มตั้งแต่ปี 1950 ถึงปัจจุบัน" วารสารอิเล็กทรอนิกส์สำหรับประวัติศาสตร์ของความน่าจะเป็นและสถิติ 5 ( 1): 1– 42

• Robert J. Adler (2010). เรขาคณิตของสนามสุ่ม . SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1.
• Robert J. Adler; Jonathan E. Taylor (2009). Random Fields and Geometry . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48116-6.
• Pierre Brémaud (2013). Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3124-8.
• โจเซฟ แอล. ดูบ (1990). กระบวนการสุ่ม . ไวลีย์.
• Anders Hald (2005). ประวัติศาสตร์ของความน่าจะเป็นและสถิติและการประยุกต์ใช้ก่อนปี 1750. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-72517-6.
• Crispin Gardiner (2010). วิธีการเชิงสุ่ม . Springer. ISBN 978-3-540-70712-7.
• Iosif I. Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1996). บทนำสู่ทฤษฎีของกระบวนการสุ่ม . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-69387-3.
• เอมานูเอล ปาร์เซน (2015). กระบวนการสุ่ม . สำนักพิมพ์ Courier Dover. ISBN 978-0-486-79688-8.
• Murray Rosenblatt (1962). กระบวนการสุ่ม . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด.