กระบวนการเกิด-ตาย (หรือกระบวนการเกิดและตาย ) เป็นกรณีพิเศษของกระบวนการมาร์คอฟแบบต่อเนื่องตามเวลาโดยการเปลี่ยนสถานะมีเพียงสองประเภท คือ "การเกิด" ซึ่งเพิ่มตัวแปรสถานะขึ้นหนึ่ง และ "การตาย" ซึ่งลดสถานะลงหนึ่ง กระบวนการนี้ได้รับการแนะนำโดยวิลเลียม เฟลเลอร์^{[ 1 ]} ชื่อของแบบจำลองนี้มาจากการใช้งานทั่วไป คือ การใช้แบบจำลองดังกล่าวเพื่อแสดงขนาดปัจจุบันของประชากร โดยการเปลี่ยนสถานะเป็นการเกิดและการตายอย่างแท้จริง กระบวนการเกิด-ตายมีการใช้งานมากมายในด้านประชากรศาสตร์ทฤษฎีการเข้าคิววิศวกรรมประสิทธิภาพระบาดวิทยาชีววิทยาและสาขาอื่นๆ ตัวอย่างเช่น อาจใช้เพื่อศึกษาการวิวัฒนาการของแบคทีเรียจำนวนผู้ป่วยในประชากร หรือจำนวนลูกค้าที่ต่อแถวในซูเปอร์มาร์เก็ต

เมื่อเกิดการเกิด กระบวนการจะเปลี่ยนจากสถานะnไปยังn  + 1 เมื่อเกิดการตาย กระบวนการจะเปลี่ยนจากสถานะnไปยังสถานะ  n  − 1 กระบวนการนี้ระบุโดยอัตราการเกิดที่เป็นบวกและอัตราการตายที่เป็นบวกจำนวนบุคคลในกระบวนการ ณ เวลา t จะถูกแทนด้วยกระบวนการนี้มีคุณสมบัติแบบมาร์คอฟและอธิบายว่าt เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป สำหรับค่า t ที่เล็กฟังก์ชัน t จะถือว่ามีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty }}$${\displaystyle \{\mu _{i}\__{i=1\dots \infty }}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle P_{i,j}(t)={\mathsf {P}}\{X(t+s)=j|X(s)=i\}}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle \Delta t>0}$${\displaystyle P_{i,j}(\Delta t)}$

${\displaystyle P_{i,i+1}(\Delta t)=\lambda _{i}\Delta t+o(\Delta t),\quad i\geq 0,}$

${\displaystyle P_{i,i-1}(\Delta t)=\mu _{i}\Delta t+o(\Delta t),\quad i\geq 1,}$

${\displaystyle P_{i,i}(\Delta t)=1-(\lambda _{i}+\mu _{i})\Delta t+o(\Delta t),\quad i\geq 1.}$

กระบวนการนี้แสดงได้ด้วยภาพต่อไปนี้ โดยสถานะของกระบวนการ (เช่น จำนวนประชากร) แสดงด้วยวงกลม และการเปลี่ยนสถานะแสดงด้วยลูกศร

สำหรับปรากฏการณ์การเกิดซ้ำและการเปลี่ยนแปลงชั่วคราวในกระบวนการมาร์คอฟ โปรดดูหัวข้อ 5.3 จากหนังสือ Markov chain

เงื่อนไขสำหรับการเกิดซ้ำและการชั่วคราวได้รับการกำหนดโดยSamuel KarlinและJames McGregor ^{[ 2 ]}

กระบวนการเกิดและตายจะเกิดขึ้นซ้ำก็ต่อเมื่อ...

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty .}$

กระบวนการเกิดและตายเป็นแบบเออร์โกดิกก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}<\infty .}$

กระบวนการเกิดและตายจะเป็นแบบไม่เกิดซ้ำ (null-recurrent)ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}=\infty .}$

โดยใช้การทดสอบของ Bertrand ที่ขยายออกไปเงื่อนไขสำหรับการเกิดซ้ำ การเปลี่ยนแปลงชั่วคราว ความเป็นเออร์โกดิก และการเกิดซ้ำเป็นศูนย์ สามารถอนุมานได้ในรูปแบบที่ชัดเจนยิ่งขึ้น^{[ 3 ]}

สำหรับจำนวนเต็มให้แทนการวนซ้ำครั้งที่ของลอการิทึมธรรมชาตินั่นคือและสำหรับใดๆ, . ${\displaystyle K\geq 1,}$${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$${\displaystyle 2\leq k\leq K}$${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$

ดังนั้น เงื่อนไขสำหรับการเกิดซ้ำและความไม่จีรังของกระบวนการเกิดและตายมีดังต่อไปนี้

กระบวนการเกิดและตายนั้นไม่จีรัง หากมีอยู่และเป็นเช่นนั้นสำหรับทุกสิ่ง${\displaystyle c>1,}$${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}+{\frac {c}{n\prod _{j=1}^{K}\ln _{(j)}(n)}},}$

โดยถือว่าผลรวมว่างสำหรับ มีค่าเป็น 0 ${\displaystyle K=1}$

กระบวนการเกิดและการตายเกิดขึ้นซ้ำแล้วซ้ำเล่า หากมีอยู่และเป็นเช่นนั้นสำหรับทุกสิ่ง${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}.}$

คลาสที่กว้างขึ้นของกระบวนการเกิดและตาย ซึ่งสามารถกำหนดเงื่อนไขสำหรับการเกิดซ้ำและความไม่จีรังได้ สามารถพบได้ใน^{[ 4 ]}

พิจารณาการเดินสุ่มแบบหนึ่งมิติ ที่กำหนดดังต่อไปนี้ ให้และโดยที่มีค่าเป็นและการกระจายของถูกกำหนดโดยเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle S_{t},\ t=0,1,\ldots ,}$${\displaystyle S_{0}=1}$${\displaystyle S_{t}=S_{t-1}+e_{t},\ t\geq 1,}$${\displaystyle e_{t}}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}+1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}-1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=1|S_{t}=0\}=1,}$

โดยที่ ตรง ตาม เงื่อนไข${\displaystyle \alpha _{n}}$${\displaystyle 0<\alpha _{n}<\min\{C,n/2\},C>0}$

การเดินแบบสุ่มที่อธิบายไว้ในที่นี้เป็น แบบ จำลองเวลาไม่ต่อเนื่องของกระบวนการเกิดและตาย (ดูห่วงโซ่มาร์คอฟ ) โดยมีอัตราการเกิด

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{n}}{n}},}$

และอัตราการเสียชีวิต

${\displaystyle \mu _{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{n}}{n}}}$.

ดังนั้น การเกิดซ้ำหรือการเปลี่ยนแปลงชั่วคราวของการเดินแบบสุ่มจึงเกี่ยวข้องกับการเกิดซ้ำหรือการเปลี่ยนแปลงชั่วคราวของกระบวนการเกิดและตาย^{[ 3 ]}

การเดินแบบสุ่มเรียกว่าแบบชั่วคราว ถ้ามีอยู่และที่ทำให้สำหรับทุก${\displaystyle c>1}$${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle \alpha _{n}\geq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K-1}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}+c\prod _{j=1}^{K}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right),}$

โดยถือว่าผลรวมว่างสำหรับมีค่าเป็นศูนย์ ${\displaystyle K=1}$

การเดินแบบสุ่มจะเรียกว่าเกิดซ้ำได้ก็ต่อเมื่อมีอยู่จริงและเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่าสำหรับทุก ๆ${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle \alpha _{n}\leq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right).}$

ถ้ากระบวนการเกิดและตายเป็นแบบเออร์โกดิก (ergodic) แล้วจะมีค่าความน่าจะ เป็น ในสภาวะคง ที่อยู่ โดยที่คือความน่าจะเป็นที่กระบวนการเกิดและตายอยู่ในสถานะณ เวลาค่าลิมิตมีอยู่จริง โดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้นและคำนวณได้จากความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),}$${\displaystyle p_{k}(t)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle t.}$${\displaystyle p_{k}(0),}$

${\displaystyle \pi _{k}=\pi _{0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}},\quad k=1,2,\ldots ,}$

${\displaystyle \pi _{0}={\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}}}}.}$

ความน่าจะเป็นจำกัดเหล่านี้ได้มาจากการระบบสมการเชิงอนุพันธ์อนันต์สำหรับ${\displaystyle p_{k}(t):}$

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t)\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t),k=1,2,\ldots ,\,}$

และเงื่อนไขเริ่มต้น${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(t)=1.}$

ในทางกลับกัน ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ ชุดสุดท้าย ได้มาจากการระบบสมการเชิงผลต่างที่อธิบายพลวัตของระบบในช่วงเวลาสั้นๆในช่วงเวลาสั้นๆ นี้จะพิจารณาการเปลี่ยนแปลงเพียงสามประเภท ได้แก่ การตายหนึ่งครั้ง การเกิดหนึ่งครั้ง หรือการไม่มีการเกิดหรือการตาย ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงสองประเภทแรกมีลำดับของการเปลี่ยนแปลงอื่นๆ ในช่วงเวลาสั้นๆ นี้เช่นการเกิดมากกว่าหนึ่งครั้งการตายมากกว่าหนึ่งครั้งหรือการเกิดอย่างน้อยหนึ่งครั้งและการตายอย่างน้อยหนึ่งครั้งมีความน่าจะเป็นที่ มีลำดับน้อยกว่าและดังนั้นจึงสามารถละเลยได้ในการคำนวณ หากระบบอยู่ในสถานะkความน่าจะเป็นของการเกิดในช่วงเวลาหนึ่งคือความน่าจะเป็นของการตายคือและความน่าจะเป็นของการไม่มีการเกิดและการตายคือสำหรับกระบวนการประชากร "การเกิด" คือการเปลี่ยนแปลงไปสู่การเพิ่มขนาดประชากรขึ้น 1 ในขณะที่ "การตาย" คือการเปลี่ยนแปลงไปสู่การลดขนาดประชากรลง 1 ${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \lambda _{k}\Delta t+o(\Delta t)}$${\displaystyle \mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}$${\displaystyle 1-\lambda _{k}\Delta t-\mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}$

กระบวนการเกิดที่บริสุทธิ์คือกระบวนการเกิด-ตายซึ่งสำหรับทุกสิ่ง... ${\displaystyle \mu _{i}=0}$${\displaystyle i\geq 0}$

กระบวนการแห่งความตายที่บริสุทธิ์คือ กระบวนการเกิด-ตาย ที่สำหรับทุกสิ่ง... ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$${\displaystyle i\geq 0}$

แบบจำลอง M/M/1และแบบจำลอง M/M/cซึ่งทั้งสองแบบใช้ในทฤษฎีการเข้าคิวเป็นกระบวนการเกิด-ตายที่ใช้เพื่ออธิบายลูกค้าในคิวที่ไม่มีที่สิ้นสุด

กระบวนการเกิด-ตายถูกนำมาใช้ในฟิโลไดนามิกส์เป็นการกระจายความน่าจะเป็นล่วงหน้าสำหรับฟิโลเจนีส์กล่าวคือ ต้นไม้ไบนารีที่เหตุการณ์การเกิดสอดคล้องกับกิ่งก้านของต้นไม้ และเหตุการณ์การตายสอดคล้องกับโหนดใบ^{[ 5 ]}ที่น่าสังเกตคือ มีการใช้ในฟิโลไดนามิกส์ของไวรัส^{[ 6 ]}เพื่อทำความเข้าใจกระบวนการแพร่กระจายและจำนวนผู้ติดเชื้อเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป^{[ 7 ]}

การใช้กระบวนการเกิด-ตายแบบทั่วไปในฟิโลไดนามิกส์ได้กระตุ้นให้เกิดการตรวจสอบถึงระดับที่สามารถระบุอัตราการเกิดและการตายจากข้อมูลได้^{[ 8 ]}แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วแบบจำลองจะไม่สามารถระบุได้ แต่แบบจำลองย่อยที่ใช้กันโดยทั่วไปนั้นสามารถระบุได้^{[ 9 ]}

ในทฤษฎีการเข้าคิว กระบวนการเกิด-ตายเป็นตัวอย่างพื้นฐานที่สุดของแบบจำลองการเข้าคิว นั่นคือ คิว M/M/C/K/ FIFO${\displaystyle \infty }$ (ในสัญกรณ์ของ Kendall ที่สมบูรณ์ ) นี่คือคิวที่ มีการมาถึงแบบปัวซง โดยดึงมาจากประชากรที่ไม่มีที่สิ้นสุด และมีเซิร์ฟเวอร์C ตัวที่มี เวลาให้บริการแบบกระจายตัวแบบเอกซ์โปเนนเชียล โดยมีตำแหน่งในคิว Kตำแหน่ง แม้จะสมมติว่าประชากรไม่มีที่สิ้นสุด แต่แบบจำลองนี้ก็เป็นแบบจำลองที่ดีสำหรับระบบโทรคมนาคมต่างๆ

M /M/1คือคิวแบบเซิร์ฟเวอร์เดี่ยวที่มีขนาดบัฟเฟอร์ไม่จำกัด ในสภาพแวดล้อมที่ไม่สุ่ม กระบวนการเกิดและการตายในแบบจำลองคิวมีแนวโน้มที่จะเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ดังนั้นอัตราการมาถึงโดยเฉลี่ยจึงกำหนดโดยและเวลาให้บริการโดยเฉลี่ยโดยกระบวนการเกิดและการตายเป็นคิว M/M/1 เมื่อ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 1/\mu }$

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ and }}\mu _{i}=\mu {\text{ for all }}i.\,}$

สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับความน่าจะเป็นที่ระบบอยู่ในสถานะkณ เวลาtคือ

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}$

กระบวนการเกิดบริสุทธิ์ (Pure birth process) เป็นกรณีเฉพาะของกระบวนการเข้าคิวแบบ M/M/1 (M/M/1 queueing process) เรามีระบบสมการเชิงอนุพันธ์ ดังต่อไปนี้ : ${\displaystyle \lambda _{k}\equiv \lambda }$

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)-\lambda p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}$

ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นและคำตอบของระบบคือ ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$${\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=1,2,\ldots }$

${\displaystyle p_{k}(t)={\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda t}.}$

กล่าวคือกระบวนการปัวซง (เอกพันธุ์) เป็นกระบวนการกำเนิดที่บริสุทธิ์

M/M/C คือคิวแบบหลายเซิร์ฟเวอร์ที่มี เซิร์ฟเวอร์ C ตัวและบัฟเฟอร์ขนาดไม่จำกัด โดยมีพารามิเตอร์การเกิดและการตายดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \mu _{i}=i\mu \quad {\text{ for }}i\leq C-1,\,}$

และ

${\displaystyle \mu _{i}=C\mu \quad {\text{ for }}i\geq C,\,}$

กับ

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for all }}i.\,}$

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ในกรณีนี้มีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+(k+1)\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +k\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,C-1,\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+C\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +C\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k\geq C.\,}$

กระบวนการตายบริสุทธิ์ (Pure death process) เป็นกรณีเฉพาะของกระบวนการเข้าคิวแบบ M/M/C (M/M/C queueing process) เรามีระบบสมการเชิงอนุพันธ์ ดังต่อไปนี้ : ${\displaystyle \mu _{k}=k\mu }$

${\displaystyle p_{C}^{\prime }(t)=-C\mu p_{C}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=(k+1)\mu p_{k+1}(t)-k\mu p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=0,1,\ldots ,C-1.\,}$

ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นและเราจะได้คำตอบ ${\displaystyle p_{C}(0)=1}$${\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=0,1,\ldots ,C-1,}$

${\displaystyle p_{k}(t)={\binom {C}{k}}\mathrm {e} ^{-k\mu t}\left(1-\mathrm {e} ^{-\mu t}\right)^{C-k},}$

ซึ่งนำเสนอรูปแบบการแจกแจงทวินามที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เวลา(ดูกระบวนการทวินาม ) ${\displaystyle t}$

คิว M/M/1/K เป็นคิวแบบเซิร์ฟเวอร์เดียวที่มีบัฟเฟอร์ขนาดKคิวนี้มีการใช้งานในด้านโทรคมนาคม รวมถึงในด้านชีววิทยาเมื่อประชากรมีขีดจำกัดความจุ ในด้านโทรคมนาคม เราใช้พารามิเตอร์จากคิว M/M/1 อีกครั้ง โดยมีเงื่อนไขดังนี้

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for }}0\leq i<K,\,}$

${\displaystyle \lambda _{i}=0\quad {\text{ for }}i\geq K,\,}$

${\displaystyle \mu _{i}=\mu \quad {\text{ for }}1\leq i\leq K.\,}$

ในทางชีววิทยา โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเจริญเติบโตของแบคทีเรีย เมื่อประชากรเป็นศูนย์ ก็จะไม่สามารถเจริญเติบโตได้

${\displaystyle \lambda _{0}=0.\,}$

นอกจากนี้ หากความจุดังกล่าวแสดงถึงขีดจำกัดที่ทำให้บุคคลเสียชีวิตเนื่องจากประชากรล้นเกิน

${\displaystyle \mu _{K}=0.\,}$

สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับความน่าจะเป็นที่ระบบอยู่ในสถานะkณ เวลาtคือ

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{ for }}k\leq K-1,\,}$

${\displaystyle p_{K}^{\prime }(t)=\lambda p_{K-1}(t)-(\lambda +\mu )p_{K}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}(t)=0\quad {\text{ for }}k>K.\,}$

กล่าวได้ว่าคิวอยู่ในภาวะสมดุลหากความน่าจะ เป็น ของสภาวะคงที่เกิดขึ้น เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของ ความน่าจะเป็นของ สภาวะคงที่ เหล่านี้ ในกรณีของคิว M/M/1คือและในกรณีของคิว M/M/Cคือพารามิเตอร์นี้มักเรียกว่า พารามิเตอร์ ภาระหรือ พารามิเตอร์ การใช้ประโยชน์บางครั้งก็เรียกว่าความหนาแน่น ของการจราจร ด้วย${\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),\ k=0,1,\ldots ,}$${\displaystyle \rho =\lambda /\mu <1}$${\displaystyle \rho =\lambda /(C\mu )<1}$${\displaystyle \rho }$

ยกตัวอย่างเช่น คิว M/M/1 สม การ สภาวะคงที่คือ

${\displaystyle \lambda \pi _{0}=\mu \pi _{1},\,}$

${\displaystyle (\lambda +\mu )\pi _{k}=\lambda \pi _{k-1}+\mu \pi _{k+1}.\,}$

สิ่งนี้สามารถลดทอนได้เป็น

${\displaystyle \lambda \pi _{k}=\mu \pi _{k+1}{\text{ for }}k\geq 0.\,}$

ดังนั้น เมื่อพิจารณาว่าเราจะได้ ${\displaystyle \pi _{0}+\pi _{1}+\ldots =1}$

${\displaystyle \pi _{k}=(1-\rho )\rho ^{k}.}$

กระบวนการเกิดและตายแบบทวิภาคีถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับกระบวนการมาตรฐาน โดยมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ อัตราการเกิดและการตายถูกกำหนดสำหรับค่าของพารามิเตอร์ดัชนี[ ^{10 ] จาก}นั้น กระบวนการเกิดและตายแบบทวิภาคีจะเกิดขึ้นซ้ำก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle i=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{-n}}{\mu _{-n}}}=\infty .}$

แนวคิดเรื่องภาวะเออร์โกดิกและภาวะการเกิดซ้ำเป็นศูนย์นั้น นิยามในลักษณะเดียวกันโดยการขยายแนวคิดที่สอดคล้องกันของกระบวนการเกิดและตายแบบมาตรฐาน

• หน่วยเออร์ลัง
• ทฤษฎีการเข้าคิว
• แบบจำลองการเข้าคิว
• กระบวนการกึ่งเกิด-ตาย
• กระบวนการโมแรน