ในทางสถิติ โมเดล ความผันผวนแบบสุ่มคือโมเดลที่ความแปรปรวนของกระบวนการสุ่มนั้นมีการกระจายแบบสุ่ม^{[ 1 ]}โมเดลเหล่านี้ใช้ในสาขาการเงินเชิงคณิตศาสตร์เพื่อประเมินหลักทรัพย์อนุพันธ์ เช่นออปชั่นชื่อนี้มาจากการที่โมเดลเหล่านี้ถือว่าความผันผวน ของหลักทรัพย์อ้างอิง เป็นกระบวนการสุ่มซึ่งถูกควบคุมโดยตัวแปรสถานะเช่น ระดับราคาของหลักทรัพย์อ้างอิง แนวโน้มของความผันผวนที่จะกลับไปสู่ค่าเฉลี่ยระยะยาว และความแปรปรวนของกระบวนการความผันผวนเอง เป็นต้น

แบบจำลองความผันผวนแบบสุ่ม (Stochastic volatility models) เป็นแนวทางหนึ่งในการแก้ไขข้อบกพร่องของ แบบจำลอง Black-Scholesโดยเฉพาะอย่างยิ่ง แบบจำลองที่อิงตาม Black-Scholes นั้นสมมติว่าความผันผวนของสินทรัพย์อ้างอิงคงที่ตลอดอายุของอนุพันธ์ และไม่ได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงระดับราคาของหลักทรัพย์อ้างอิง อย่างไรก็ตาม แบบจำลองเหล่านี้ไม่สามารถอธิบายลักษณะที่สังเกตได้มานานของพื้นผิวความผันผวนโดยนัย เช่นรอยยิ้มความผันผวน (volatility smile)และความเบี่ยงเบน (skew) ซึ่งบ่งชี้ว่าความผันผวนโดยนัยมีแนวโน้มที่จะแปรผันตามราคาใช้สิทธิและวันหมดอายุ การสมมติว่าความผันผวนของราคาหลักทรัพย์อ้างอิงเป็นกระบวนการแบบสุ่มแทนที่จะเป็นค่าคงที่ ทำให้สามารถสร้างแบบจำลองอนุพันธ์ได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น

แบบจำลองความผันผวนเฉพาะที่ (Local Volatility Models)เป็นแบบจำลองที่อยู่ตรงกลางระหว่างแบบจำลอง Black-Scholes แบบดั้งเดิมและแบบจำลองความผันผวนแบบสุ่มในแบบจำลองเหล่านี้ ความผันผวนพื้นฐานไม่ได้มีลักษณะสุ่มใหม่ใดๆ แต่ก็ไม่ใช่ค่าคงที่เช่นกัน ในแบบจำลองความผันผวนเฉพาะที่ ความผันผวนเป็นฟังก์ชันที่ไม่ธรรมดาของสินทรัพย์อ้างอิง โดยไม่มีความสุ่มเพิ่มเติมใดๆ ตามคำจำกัดความนี้ แบบจำลองเช่นความยืดหยุ่นคงที่ของความแปรปรวนจึงจัดเป็นแบบจำลองความผันผวนเฉพาะที่ แม้ว่าบางครั้งจะถูกจัดประเภทเป็นแบบจำลองความผันผวนแบบสุ่มก็ตาม การจัดประเภทอาจมีความคลุมเครือในบางกรณี

ประวัติศาสตร์ช่วงแรกของความผันผวนแบบสุ่มมีรากฐานมาจากหลายแหล่ง (เช่น กระบวนการสุ่ม การกำหนดราคาออปชั่น และเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ) ซึ่งได้รับการทบทวนในบทที่ 1 ของหนังสือ "Stochastic Volatility" โดย Neil Shephard (2005) สำนักพิมพ์ Oxford University Press

เริ่มต้นจากแนวทางความผันผวนคงที่ สมมติว่าราคาของสินทรัพย์อ้างอิงของอนุพันธ์เป็นไปตามแบบจำลองมาตรฐานสำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต :

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$

โดยที่คือค่าเบี่ยงเบนคงที่ (เช่น ผลตอบแทนที่คาดหวัง) ของราคาหลักทรัพย์คือค่าความผันผวนคงที่ และ คือ กระบวนการ Wienerมาตรฐาน ที่มี ค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และอัตราความแปรปรวน เป็นหนึ่ง คำตอบที่ชัดเจนของ สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มนี้คือ ${\displaystyle \mu \,}$${\displaystyle S_{t}\,}$${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle dW_{t}\,}$

${\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t+\sigma W_{t}}.}$

ตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดที่ใช้ในการประมาณค่าความผันผวนคงที่สำหรับราคาหุ้นที่กำหนดในช่วงเวลาต่างๆคือ ${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle S_{t}\,}$${\displaystyle t_{i}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\sigma }}^{2}&=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(\ln S_{t_{i}}-\ln S_{t_{i-1}})^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right)-{\frac {1}{n}}{\frac {(\ln S_{t_{n}}-\ln S_{t_{0}})^{2}}{t_{n}-t_{0}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\left({\frac {\ln {\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}}{t_{i}-t_{i-1}}}-{\frac {\ln {\frac {S_{t_{n}}}{S_{t_{0}}}}}{t_{n}-t_{0}}}\right)^{2};\end{aligned}}}$

ค่าที่คาดหวังคือ${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.}$

แบบจำลองพื้นฐานที่มีความผันผวนคงที่นี้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับแบบจำลองความผันผวนที่ไม่ขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็น เช่นแบบจำลอง Black–Scholesและแบบจำลอง Cox–Ross– Rubinstein ${\displaystyle \sigma \,}$

สำหรับแบบจำลองความผันผวนแบบสุ่ม ให้แทนที่ความผันผวนคงที่ด้วยฟังก์ชันที่จำลองความแปรปรวนของ ฟังก์ชันความแปรปรวนนี้ยังถูกจำลองเป็นแบบการเคลื่อนที่แบบบราวน์ และรูปแบบของขึ้นอยู่กับแบบจำลองความผันผวนแบบสุ่มเฉพาะที่กำลังศึกษาอยู่ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \nu _{t}}$${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle \nu _{t}}$

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}\,}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\alpha _{\nu ,t}\,dt+\beta _{\nu ,t}\,dB_{t}\,}$

โดยที่และเป็นฟังก์ชันบางอย่างของและเป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนมาตรฐานอีกตัวหนึ่งที่สัมพันธ์กับโดยมีปัจจัยความสัมพันธ์คงที่ ${\displaystyle \alpha _{\nu ,t}}$${\displaystyle \beta _{\nu ,t}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle dB_{t}}$${\displaystyle dW_{t}}$${\displaystyle \rho }$

แบบจำลอง Heston ที่เป็นที่นิยมคือแบบจำลอง SV ที่ใช้กันทั่วไป ซึ่งความสุ่มของกระบวนการความแปรปรวนจะแปรผันตามรากที่สองของความแปรปรวน ในกรณีนี้ สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับความแปรปรวนจะมีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dB_{t}\,}$

โดยที่คือค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนระยะยาวคืออัตราที่ความแปรปรวนกลับคืนสู่ค่าเฉลี่ยระยะยาวคือความผันผวนของกระบวนการความแปรปรวน และก็เหมือนกับ เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวน อย่างไรก็ตามและมีความสัมพันธ์กันด้วยค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ คง ที่ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle dB_{t}}$${\displaystyle dW_{t}}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle dW_{t}}$${\displaystyle dB_{t}}$${\displaystyle \rho }$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แบบจำลอง Heston SV ถือว่าความแปรปรวนเป็นกระบวนการสุ่มที่

1. แสดงแนวโน้มที่จะกลับไปสู่ค่าเฉลี่ยระยะยาวในอัตราหนึ่ง${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta }$
2. แสดงให้เห็นถึงความผันผวนที่แปรผันตามรากที่สองของระดับ
3. และแหล่งที่มาของความสุ่มนั้นมีความสัมพันธ์ (ด้วยค่าสหสัมพันธ์) กับความสุ่มของกระบวนการราคาของสินทรัพย์อ้างอิง${\displaystyle \rho }$

การกำหนดพารามิเตอร์บางอย่างของพื้นผิวความผันผวน เช่น 'SVI' ^{[ 2 ]}อิงตามแบบจำลองของ Heston

แบบ จำลอง CEVอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างความผันผวนและราคา โดยนำเสนอความผันผวนแบบสุ่ม (stochastic volatility)

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}^{\,\gamma }\,dW_{t}}$

ในเชิงแนวคิด ในบางตลาด ความผันผวนจะเพิ่มขึ้นเมื่อราคาสูงขึ้น (เช่น สินค้าโภคภัณฑ์) ดังนั้นในขณะที่ตลาดอื่นๆ ความผันผวนมักจะเพิ่มขึ้นเมื่อราคาลดลง ซึ่งจำลองได้ด้วย ${\displaystyle \gamma >1}$${\displaystyle \gamma <1}$

บางคนแย้งว่า เนื่องจากแบบจำลอง CEV ไม่ได้รวมกระบวนการสุ่มของตัวเองสำหรับความผันผวน จึงไม่ใช่แบบจำลองความผันผวนแบบสุ่มอย่างแท้จริง แต่พวกเขาเรียกมันว่าแบบจำลอง ความผันผวนเฉพาะที่แทน

แบบ จำลอง SABR (Stochastic Alpha, Beta, Rho) ที่นำเสนอโดย Hagan et al. ^{[ 3 ]}อธิบายถึงสัญญาซื้อขายล่วงหน้าเดียว(ที่เกี่ยวข้องกับสินทรัพย์ใดๆ เช่น ดัชนี อัตราดอกเบี้ย พันธบัตร สกุลเงิน หรือหุ้น) ภายใต้ความผันผวนแบบสุ่ม: ${\displaystyle F}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}F_{t}^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

ค่าเริ่มต้นและคือราคาล่วงหน้าและความผันผวนในปัจจุบัน ในขณะที่และคือกระบวนการ Wiener สองกระบวนการที่มีความสัมพันธ์กัน (เช่น การเคลื่อนที่แบบบราวน์) โดยมีสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์พารามิเตอร์คงที่นั้นเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า ${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle -1<\rho <1}$${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$

คุณลักษณะหลักของแบบจำลอง SABR คือความสามารถในการจำลองปรากฏการณ์ "รอยยิ้มแห่งความผันผวน" (Volatility Smile )

แบบจำลอง Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity ( GARCH ) เป็นอีกแบบจำลองยอดนิยมสำหรับการประมาณค่าความผันผวนแบบสุ่ม โดยถือว่าความสุ่มของกระบวนการความแปรปรวนแปรผันตามความแปรปรวน ไม่ใช่ตามรากที่สองของความแปรปรวนเหมือนในแบบจำลอง Heston แบบจำลอง GARCH(1,1) มาตรฐานมีรูปแบบต่อไปนี้สำหรับความแตกต่างของความแปรปรวนแบบต่อเนื่อง: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}\,dB_{t}\,}$

แบบจำลอง GARCH ได้รับการขยายผ่านตัวแปรต่างๆ มากมาย รวมถึง NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH, Power GARCH, Component GARCH เป็นต้น อย่างไรก็ตาม โดยหลักการแล้ว ความผันผวนแบบมีเงื่อนไขจากแบบจำลอง GARCH ไม่ใช่แบบสุ่ม เนื่องจาก ณ เวลาtความผันผวนจะถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าอย่างสมบูรณ์ (แบบกำหนด) โดยพิจารณาจากค่าก่อนหน้า^{[ 5 ]}

แบบจำลอง 3/2 คล้ายกับแบบจำลองของ Heston แต่สมมติว่าความสุ่มของกระบวนการความแปรปรวนแปรผันตามรูปแบบของอนุพันธ์ความแปรปรวนคือ: ${\displaystyle \nu _{t}^{3/2}}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\nu _{t}(\omega -\theta \nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}^{3/2}\,dB_{t}.\,}$

อย่างไรก็ตาม ความหมายของพารามิเตอร์นั้นแตกต่างจากแบบจำลองของเฮสตัน ในแบบจำลองนี้ ทั้งพารามิเตอร์การกลับสู่ค่าเฉลี่ยและความผันผวนของความแปรปรวนเป็นปริมาณสุ่มที่กำหนดโดย และตามลำดับ ${\displaystyle \theta \nu _{t}}$${\displaystyle \xi \nu _{t}}$

การใช้การประมาณค่าความผันผวนจากข้อมูลความถี่สูงทำให้เกิดข้อสงสัยเกี่ยวกับความเรียบของกระบวนการความผันผวน^{[ 6 ]} พบว่าความผันผวนแบบลอการิทึมมีพฤติกรรมเหมือนการเคลื่อนที่แบบบราวน์เศษส่วนที่มีเลขชี้กำลังเฮิร์สต์อันดับในช่วงเวลาที่เหมาะสมใดๆ ซึ่งนำไปสู่การนำแบบจำลองความผันผวนแบบสุ่มเศษส่วน (FSV) มาใช้ ^{[ 7 ]}ทำให้เกิด FSV แบบหยาบ (RFSV) โดยรวม โดยคำว่า "หยาบ" ใช้เพื่อเน้นว่าแบบจำลอง RFSV สอดคล้องกับข้อมูลอนุกรมเวลา ทำให้สามารถพยากรณ์ความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงได้ดีขึ้น^{[ 6 ] [ 8 ]} RFSV เป็นหนึ่งในหลายแนวทางที่นำมาใช้กับปัญหานี้ ตั้งแต่แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์เชิงเส้นไปจนถึงสถาปัตยกรรมการเรียนรู้เชิงลึก ดังที่ Leushuis และ Petkov (2026) ได้สำรวจไว้^{[ 9 ]}${\displaystyle H=0.1}$${\displaystyle H<1/2}$

เมื่อเลือกโมเดล SV ที่เฉพาะเจาะจงแล้ว จะต้องทำการปรับเทียบกับข้อมูลตลาดที่มีอยู่ การปรับเทียบคือกระบวนการระบุชุดพารามิเตอร์ของโมเดลที่มีแนวโน้มมากที่สุดเมื่อพิจารณาจากข้อมูลที่สังเกตได้ เทคนิคที่นิยมอย่างหนึ่งคือการใช้การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด (MLE) ตัวอย่างเช่น ในโมเดล Heston ชุดพารามิเตอร์ของโมเดล สามารถประมาณได้โดยใช้อัลกอริธึม MLE เช่น วิธีPowell Directed Set [1]กับการสังเกตราคาหลักทรัพย์อ้างอิงในอดีต ${\displaystyle \Psi _{0}=\{\omega ,\theta ,\xi ,\rho \}\,}$

ในกรณีนี้ คุณเริ่มต้นด้วยการประมาณค่าสำหรับ จากนั้นคำนวณข้อผิดพลาดที่เหลืออยู่เมื่อนำข้อมูลราคาในอดีตไปใช้กับแบบจำลองที่ได้ และปรับแต่งเพื่อพยายามลดข้อผิดพลาดเหล่านี้ให้เหลือน้อยที่สุด เมื่อทำการปรับเทียบเสร็จแล้ว การปรับเทียบแบบจำลองซ้ำเป็นระยะๆ ถือเป็นแนวปฏิบัติมาตรฐาน ${\displaystyle \Psi _{0}\,}$${\displaystyle \Psi \,}$

ทางเลือกอื่นนอกเหนือจากการปรับเทียบคือการประมาณค่าทางสถิติ ซึ่งช่วยให้สามารถพิจารณาความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์ได้ มีวิธีการทางสถิติแบบ Frequentist และ Bayesian มากมายที่ได้รับการเสนอและนำไปใช้ โดยทั่วไปแล้วจะใช้กับแบบจำลองย่อยบางส่วนที่กล่าวถึงข้างต้น รายการต่อไปนี้ประกอบด้วยแพ็กเกจส่วนขยายสำหรับซอฟต์แวร์สถิติโอเพนซอร์สRซึ่งได้รับการออกแบบมาโดยเฉพาะสำหรับการประมาณค่าความแปรปรวนที่ไม่คงที่ สามแพ็กเกจแรกใช้สำหรับแบบจำลองประเภท GARCH ที่มีความผันผวนแบบกำหนดได้ ส่วนที่สี่เกี่ยวข้องกับการประมาณค่าความผันผวนแบบสุ่ม

• rugarch : ARFIMA, ค่าเฉลี่ยภายใน, ตัวถดถอยภายนอก และ GARCH รูปแบบต่างๆ พร้อมวิธีการสำหรับการปรับให้เหมาะสม การพยากรณ์ การจำลอง การอนุมาน และการพล็อต^{[ 10 ]}
• fGarch : ส่วนหนึ่งของสภาพแวดล้อม Rmetrics สำหรับการสอน "วิศวกรรมการเงินและการเงินเชิงคำนวณ"
• bayesGARCH : การประมาณค่าแบบเบย์เซียนของแบบจำลอง GARCH(1,1) ด้วยนวัตกรรม t ของนักเรียน^{[ 11 ]}
• stochvol : อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการประมาณค่าแบบเบย์เซียนอย่างสมบูรณ์ของแบบจำลองความผันผวนแบบสุ่ม (SV) ผ่าน วิธีการ มาร์คอฟเชนมอนเตคาร์โล (MCMC) ^{[ 12 ] [ 13 ]}

วิธีการเชิงตัวเลขจำนวนมากได้รับการพัฒนาขึ้นตลอดเวลาและได้แก้ปัญหาการกำหนดราคาของสินทรัพย์ทางการเงิน เช่น ออปชั่นด้วยแบบจำลองความผันผวนแบบสุ่ม การประยุกต์ใช้ที่พัฒนาขึ้นเมื่อเร็ว ๆ นี้คือแบบจำลองความผันผวนแบบสุ่มเฉพาะที่^{[ 14 ]}แบบจำลองความผันผวนแบบสุ่มเฉพาะที่นี้ให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าในการกำหนดราคาของสินทรัพย์ทางการเงินใหม่ ๆ เช่น ออปชั่นฟอเร็กซ์

นอกจากนี้ยังมีไลบรารีสำหรับการประมาณค่าทางสถิติทางเลือกในภาษาโปรแกรมอื่นๆ เช่น Python:

• PyFluxรองรับการอนุมานแบบเบย์เซียนและแบบคลาสสิกสำหรับแบบจำลอง GARCH และ beta-t-EGARCH

• แบบจำลองแบล็ก-โชลส์
• แบบจำลองเฮสตัน
• แบบจำลองเฉิน
• ความผันผวนในท้องถิ่น
• มัลติแฟร็กทัลการสลับมาร์คอฟ
• มาตรการที่ไม่ก่อให้เกิดความเสี่ยง
• แบบจำลองความผันผวน SABR
• การกระโดดของความผันผวนแบบสุ่ม
• ผู้ใต้บังคับบัญชา
• ความผันผวน
• การรวมกลุ่มของความผันผวน
• ความผันผวน ความไม่แน่นอน ความซับซ้อน และความคลุมเครือ

• ความผันผวนแบบสุ่มและการวิเคราะห์ค่าเฉลี่ย-ความแปรปรวน , Hyungsok Ahn, Paul Wilmott, (2006)
• วิธีแก้ปัญหาแบบปิดสำหรับออปชั่นที่มีความผันผวนแบบสุ่ม , SL Heston, (1993)
• อนุญาโตตุลาการความผันผวนภายใน , Alireza Javaheri, (2005)
• การเร่งการปรับเทียบแบบจำลองความผันผวนแบบสุ่ม , คิลิน, ฟิโอดาร์ (2006)