ในเศรษฐศาสตร์ เชิงปริมาณ แบบจำลองความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขอัตโนมัติแบบถดถอย ( ARCH ) เป็นแบบจำลองทางสถิติสำหรับ ข้อมูล อนุกรมเวลาที่อธิบายความแปรปรวนของพจน์ข้อผิดพลาดหรือนวัตกรรม ในปัจจุบัน เป็นฟังก์ชันของขนาดจริงของพจน์ข้อผิดพลาดในช่วงเวลาก่อนหน้า^{[ 1 ]}บ่อยครั้งที่ความแปรปรวนเกี่ยวข้องกับกำลังสองของนวัตกรรมก่อนหน้า แบบจำลอง ARCH เหมาะสมเมื่อความแปรปรวนของข้อผิดพลาดในอนุกรมเวลาเป็นไปตาม แบบจำลอง การถดถอยอัตโนมัติ (AR) หากสมมติว่าความแปรปรวนของข้อผิดพลาดเป็นไปตามแบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบถดถอยอัตโนมัติ (ARMA) แบบจำลองนั้นจะเป็นแบบจำลอง ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขอัตโนมัติแบบถดถอยทั่วไป ( GARCH ) ^{[ 2 ]}

แบบจำลอง ARCH มักใช้ในการสร้างแบบจำลองอนุกรมเวลาทางการเงิน ที่แสดง ความผันผวนที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาและการรวมกลุ่มของความผันผวน กล่าวคือ ช่วงเวลาของการแกว่งตัวสลับกับช่วงเวลาที่ค่อนข้างสงบ (นั่นคือ เมื่ออนุกรมเวลาแสดงความแปรปรวนที่ไม่คงที่) แบบจำลองประเภท ARCH บางครั้งถูกพิจารณาว่าอยู่ในกลุ่มของ แบบจำลอง ความผันผวนแบบสุ่มแม้ว่านี่จะไม่ถูกต้องอย่างเคร่งครัด เนื่องจาก ณ เวลาtความผันผวนจะถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าอย่างสมบูรณ์ (กำหนดได้) โดยพิจารณาจากค่าก่อนหน้า^{[ 3 ]}

ในการสร้างแบบจำลองอนุกรมเวลาโดยใช้กระบวนการ ARCH ให้แทนพจน์ความคลาดเคลื่อน (ส่วนต่างผลตอบแทน เมื่อเทียบกับกระบวนการค่าเฉลี่ย) กล่าวคือ พจน์อนุกรม พจน์เหล่านี้ถูกแบ่งออกเป็นส่วนสุ่มและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ขึ้นอยู่กับเวลาซึ่งบ่งบอกถึงขนาดโดยทั่วไปของพจน์ ดังนั้น ${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~}$

ตัวแปรสุ่มเป็น กระบวนการ ไวท์นอยส์ ที่รุนแรง อนุกรมนี้จำลองโดย ${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{tq}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{ti}^{2}}$,

ที่ไหนและ.${\displaystyle ~\alpha _{0}>0~}$${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0,~i>0}$

แบบจำลอง ARCH( q ) สามารถประมาณค่าได้โดยใช้วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาEngle (1982) ได้เสนอวิธีการทดสอบว่าค่าตกค้างแสดงความแปรปรวนแบบแปรผันตามเวลาหรือไม่ โดยใช้การทดสอบตัวคูณลากรางจ์ ขั้นตอนมีดังนี้: ${\displaystyle \epsilon _{t}}$

1. ประมาณค่า โมเดลอัตถารีเกรสซีฟ AR( q ) ที่เหมาะสมที่สุด${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{tq}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{ti}+\epsilon _{t}}$
2. หาค่ากำลังสองของความคลาดเคลื่อนแล้วทำการวิเคราะห์การถดถอยโดยใช้ค่าคงที่และ ค่าที่ล่าช้าไป qค่า: ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}^{2}}$

   ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}_{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}{\hat {\epsilon }}_{ti}^{2}}$

   โดยที่qคือความยาวของค่าความล่าช้าของ ARCH

3. สมมติฐานหลักคือ ในกรณีที่ไม่มีส่วนประกอบ ARCH เราจะได้ค่าสำหรับทุกค่าสมมติฐานทางเลือกคือ ในกรณีที่มีส่วนประกอบ ARCH อย่างน้อยหนึ่งค่าสัมประสิทธิ์ที่ประมาณได้จะต้องมีนัยสำคัญ ในตัวอย่างของ ค่าตกค้าง Tภายใต้สมมติฐานหลักที่ว่าไม่มีข้อผิดพลาด ARCH ค่าสถิติทดสอบT'R²จะมีการกระจายแบบมีองศาอิสระq โดยที่ คือจำนวนสมการในแบบจำลองที่เหมาะสมกับค่าตกค้างเทียบกับค่าล่าช้า (เช่น) ถ้าT'R²มากกว่าค่าในตารางไคสแควร์ เราจะปฏิเสธสมมติฐานหลักและสรุปได้ว่ามีผลกระทบ ARCH ในแบบจำลอง ARMAถ้าT'R²น้อยกว่าค่าในตารางไคสแควร์ เราจะไม่ปฏิเสธสมมติฐานหลัก${\displaystyle \alpha _{i}=0}$${\displaystyle i=1,\cdots ,q}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle T'=T-q}$

หาก สมมติว่าแบบ จำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบอัตถารีเกรสซีฟ (ARMA) สำหรับความแปรปรวนของข้อผิดพลาด แบบจำลองดังกล่าวจะเป็นแบบจำลองความแปรปรวนแบบอัตถารีเกรสซีฟแบบมีเงื่อนไขทั่วไป (GARCH) ^{[ 2 ]}

ในกรณีนั้น แบบจำลอง GARCH ( p , q ) (โดยที่pคือลำดับของเทอม GARCH และqคือลำดับของเทอม ARCH ) ตามสัญลักษณ์ในเอกสารต้นฉบับ จะแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle ~\sigma ^{2}}$${\displaystyle ~\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle y_{t}=x'_{t}b+\epsilon _{t}}$

${\displaystyle \epsilon _{t}|y_{t-1}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{t}^{2})}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\omega +\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{t-p}^{2}=\omega +\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}\sigma _{t-i}^{2}}$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อทดสอบความแปรปรวนที่ไม่คงที่ในแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์ การทดสอบที่ดีที่สุดคือการทดสอบไวท์ (White test ) อย่างไรก็ตาม เมื่อต้องจัดการกับ ข้อมูล อนุกรมเวลาจะต้องทดสอบข้อผิดพลาดแบบ ARCH และ GARCH แทน

ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ถ่วงน้ำหนักแบบเอกซ์โปเนนเชียล(EWMA) เป็นแบบจำลองทางเลือกในกลุ่มแบบจำลองการปรับเรียบแบบเอกซ์โปเนนเชียลอีกประเภทหนึ่ง โดยเป็นทางเลือกแทนแบบจำลอง GARCH ซึ่งมีคุณสมบัติที่น่าสนใจบางประการ เช่น การให้น้ำหนักกับข้อมูลล่าสุดมากกว่า แต่ก็มีข้อเสียเช่นกัน เช่น ปัจจัยการลดลงที่ไม่แน่นอน ซึ่งทำให้การประมาณค่ามีความเป็นอัตวิสัยมากขึ้น

การกำหนด ความยาวช่วงเวลาล่าช้าpของกระบวนการ GARCH( p , q ) ทำได้ในสามขั้นตอน:

1. ประมาณค่าโมเดล AR( q ) ที่เหมาะสมที่สุด

   ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}}$.

2. คำนวณและพล็อตค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของโดย ${\displaystyle \epsilon ^{2}}$

   ${\displaystyle \rho (i)={{\sum _{t=i+1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})({\hat {\epsilon }}_{t-i}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t-i}^{2})} \over {\sum _{t=1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})^{2}}}}$

3. ค่า เบี่ยงเบนมาตรฐานเชิงอะซิมโทติก (สำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่) คือ ค่าแต่ละค่าที่มากกว่านี้บ่งชี้ว่ามีข้อผิดพลาดแบบ GARCH ในการประมาณจำนวนช่วงเวลาทั้งหมด ให้ใช้การทดสอบ Ljung–Boxจนกว่าค่าเหล่านี้จะน้อยกว่าระดับนัยสำคัญ 10% สถิติ Q ของ Ljung–Box มีการกระจายแบบมีองศาอิสระn ถ้าค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสอง ไม่มีความสัมพันธ์กัน ขอแนะนำให้พิจารณาค่าn สูงสุดถึง T/4 สมมติฐานว่างระบุว่าไม่มีข้อผิดพลาดแบบ ARCH หรือ GARCH ดังนั้นการปฏิเสธสมมติฐานว่างหมายความว่ามีข้อผิดพลาดดังกล่าวอยู่ในความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข${\displaystyle \rho (i)}$${\displaystyle 1/{\sqrt {T}}}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle \epsilon _{t}^{2}}$

Nonlinear Asymmetric GARCH(1,1) ( NAGARCH ) เป็นแบบจำลองที่มีข้อกำหนดดังนี้: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}}$,

โดยที่และซึ่งรับประกันว่ากระบวนการความแปรปรวนจะไม่เป็นลบและมีเสถียรภาพ${\displaystyle ~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0}$${\displaystyle ~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1}$

สำหรับผลตอบแทนจากหุ้น พารามิเตอร์มักจะถูกประมาณค่าเป็นบวก ในกรณีนี้ สะท้อนถึงปรากฏการณ์ที่เรียกกันทั่วไปว่า "ผลกระทบจากเลเวอเรจ" ซึ่งหมายความว่าผลตอบแทนที่เป็นลบจะเพิ่มความผันผวนในอนาคตมากกว่าผลตอบแทนที่เป็นบวกที่มีขนาดเท่ากัน^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle ~\theta }$

ไม่ควรสับสนโมเดลนี้กับโมเดล NARCH รวมถึงส่วนขยาย NGARCH ที่ Higgins และ Bera นำเสนอในปี 1992 ^{[ 8 ]}

แบบจำลอง Integrated Generalized Autoregressive Conditional heteroskedasticity (IGARCH) เป็นแบบจำลอง GARCH เวอร์ชันที่จำกัด โดยที่พารามิเตอร์คงที่รวมกันได้หนึ่งหน่วย และนำเข้าหน่วยรากในกระบวนการ GARCH ^{[ 9 ]}เงื่อนไขสำหรับสิ่งนี้คือ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1}$.

แบบจำลองเอกซ์โพเนนเชียลทั่วไปแบบอัตถารีเกรสซีฟแบบมีเงื่อนไขเฮเทอโรสเคดาสติก (EGARCH) โดย Nelson & Cao (1991) เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของแบบจำลอง GARCH ในทางคณิตศาสตร์ EGARCH(p,q):

${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}=\omega +\sum _{k=1}^{q}\beta _{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\log \sigma _{t-k}^{2}}$

โดยที่, คือความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข , , , , และคือสัมประสิทธิ์อาจเป็นตัวแปรปกติมาตรฐานหรือมาจากการแจกแจงข้อผิดพลาดทั่วไป สูตรสำหรับช่วยให้เครื่องหมายและขนาดของมีผลแยกกันต่อความผันผวน ซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งในบริบทการกำหนดราคาของสินทรัพย์^{[ 10 ] [ 11 ]}${\displaystyle g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))}$${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle g(Z_{t})}$${\displaystyle Z_{t}}$

เนื่องจากค่าอาจเป็นลบได้ จึงไม่มีข้อจำกัดเรื่องเครื่องหมายสำหรับพารามิเตอร์ ${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}}$

แบบจำลอง GARCH-in-mean (GARCH-M) เพิ่มพจน์ความแปรปรวนที่ไม่คงที่ (heteroskedasticity) เข้าไปในสมการค่าเฉลี่ย โดยมีข้อกำหนดดังนี้:

${\displaystyle y_{t}=~\beta x_{t}+~\lambda ~\sigma _{t}+~\epsilon _{t}}$

ส่วนที่เหลือจะถูกกำหนดดังนี้: ${\displaystyle ~\epsilon _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}~\times z_{t}}$

แบบจำลอง Quadratic GARCH (QGARCH) โดย Sentana (1995) ใช้ในการจำลองผลกระทบที่ไม่สมมาตรของการเปลี่ยนแปลงเชิงบวกและเชิงลบ

ในตัวอย่างของแบบจำลอง GARCH(1,1) กระบวนการตกค้างคือ ${\displaystyle ~\sigma _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$

iid อยู่ ที่ไหน และ${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}}$

เช่นเดียวกับ QGARCH โมเดล Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH) โดย Glosten, Jagannathan และ Runkle (1993) ก็จำลองความไม่สมมาตรในกระบวนการ ARCH เช่นกัน ข้อเสนอแนะคือการจำลองโดยที่เป็นตัวแปรสุ่มอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน (iid) และ ${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}^{2}I_{t-1}}$

โดยที่ ถ้าและถ้า${\displaystyle I_{t-1}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\geq 0}$${\displaystyle I_{t-1}=1}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}<0}$

แบบจำลอง Threshold GARCH (TGARCH) โดย Zakoian (1994) คล้ายกับ GJR GARCH แต่ใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบมีเงื่อนไขแทนค่า ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข

${\displaystyle ~\sigma _{t}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}+~\alpha _{1}^{+}~\epsilon _{t-1}^{+}+~\alpha _{1}^{-}~\epsilon _{t-1}^{-}}$

โดยที่ถ้าและถ้าใน ทำนองเดียวกันถ้าและถ้า${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=~\epsilon _{t-1}}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$

แบบจำลองfGARCHของ Hentschel ^{[ 12 ]}หรือที่รู้จักกันในชื่อFamily GARCHเป็นแบบจำลอง omnibus ที่ซ้อนแบบจำลอง GARCH สมมาตรและไม่สมมาตรที่เป็นที่นิยมอื่นๆ หลากหลายแบบ รวมถึง APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH เป็นต้น

ในปี 2004 Claudia Klüppelberg , Alexander Lindner และ Ross Maller ได้เสนอการขยายแบบต่อเนื่องของกระบวนการ GARCH(1,1) แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง แนวคิดคือการเริ่มต้นด้วยสมการแบบจำลอง GARCH(1,1)

${\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t},}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\sigma _{t-1}^{2}z_{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2},}$

จากนั้นจึงแทนที่กระบวนการสัญญาณรบกวนสีขาวที่รุนแรงด้วยส่วนเพิ่มเล็กน้อยของกระบวนการ Lévyและแทนที่กระบวนการสัญญาณรบกวนกำลังสองด้วยส่วนเพิ่ม โดยที่ ${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle \mathrm {d} L_{t}}$${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle z_{t}^{2}}$${\displaystyle \mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}$

${\displaystyle [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0,}$

คือส่วนที่ไม่ต่อเนื่องอย่างแท้จริงของ กระบวนการ แปรผันกำลังสองของผลลัพธ์ที่ได้คือระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม ดังต่อไปนี้ : ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-}\,\mathrm {d} L_{t},}$

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2})\,\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2}\,\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} },}$

โดยที่พารามิเตอร์บวก, และถูกกำหนดโดย, และเมื่อกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นบางอย่างระบบข้างต้นจะมีคำตอบเฉพาะเส้นทางซึ่งเรียกว่าแบบจำลอง GARCH แบบต่อเนื่อง ( COGARCH ) ^{[ 13 ]}${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle (G_{0},\sigma _{0}^{2})}$${\displaystyle (G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}}$

แบบจำลอง GARCH แบบหลายความถี่ที่มีตัวคูณ (MF2-GARCH) ได้รับการเสนอโดย Conrad และ Engle (2025) ^{[ 14 ]}และมีคุณสมบัติผลตอบแทนคงที่และอนุญาตให้มีการพยากรณ์ความผันผวนระยะยาวแบบวนซ้ำ พวกเขาใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าข้อผิดพลาดในการพยากรณ์ความผันผวนมาตรฐานรายวันของแบบจำลอง GARCH แบบองค์ประกอบเดียวไม่สามารถคาดเดาได้โดยพื้นฐานจากข้อผิดพลาดในการพยากรณ์มาตรฐานรายวันในอดีต แต่ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบหน้าต่างเลื่อนของข้อผิดพลาดในการพยากรณ์มาตรฐานรายวันในอดีตมีพลังในการพยากรณ์ MF2-GARCH โดยที่ เป็นเกาส์เซียนมาตรฐาน รวมองค์ประกอบ GJR-GARCH ระยะสั้นเข้าด้วยกัน ${\displaystyle \epsilon _{t}={\sqrt {\sigma _{t}^{2}\tau _{t}}}z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle h_{t}=(1-\phi )+\left(\alpha +\gamma \mathbf {1} _{\{\eta _{d,t-1}<0\}}\right){\frac {\eta _{d,t-1}^{2}}{\tau _{t-1}}}+\beta h_{t-1}}$

โดยมีและและส่วนประกอบระยะยาวที่ระบุเป็นแบบจำลองข้อผิดพลาดแบบคูณ (MEM) สำหรับข้อผิดพลาดในการพยากรณ์ในอดีตของส่วนประกอบ GARCH โดยใช้ประโยชน์จากความสามารถในการคาดการณ์ในข้อผิดพลาดในการพยากรณ์มาตรฐานเฉลี่ยของส่วนประกอบระยะสั้น ${\displaystyle ~\alpha >0,\alpha +\gamma >0,\beta >0}$${\displaystyle ~\phi =\alpha +\gamma /2+\beta <1}$

${\displaystyle \tau _{t}=\lambda _{0}+\lambda _{1}{\frac {1}{m}}\sum _{j=1}^{m}{\frac {\eta _{d,t-j}^{2}}{h_{t-j}}}+\lambda _{2}\tau _{t-1}}$

โดยที่และ จะ ถูกเลือกโดยการลดค่าเกณฑ์ข้อมูลแบบเบย์เซียน (BIC, SIC) ให้เหลือน้อยที่สุด ${\displaystyle ~\lambda _{0}>0,\lambda _{1}>0,\lambda _{2}>0}$${\displaystyle ~\lambda _{1}+\lambda _{2}<1}$${\displaystyle m}$

จากประสบการณ์พบว่า ส่วนประกอบความผันผวนระยะยาวมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับข่าวสารเกี่ยวกับเศรษฐกิจมหภาคและนโยบายการเงิน ปฏิกิริยาทันทีของดัชนีตลาดหุ้นต่อการประกาศเศรษฐกิจมหภาคของสหรัฐฯ (เช่น จำนวนผู้ขอรับสวัสดิการว่างงานครั้งแรกหรือคำสั่งซื้อที่เข้ามา) ขึ้นอยู่กับระดับความผันผวนของตลาดหุ้นในระยะยาว^{[ 15 ]}

แบบจำลอง ARCH ที่ไม่มีจุดตัดได้รับการเสนอโดย Hafner และ Preminger (2015) ^{[ 16 ]}ซึ่งกำหนดพจน์จุดตัดเป็นศูนย์ ( ) ในแบบจำลอง ARCH อันดับแรกโดยที่เป็น iid และความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขคือ: ${\displaystyle ~\omega =0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\epsilon _{t-1}^{2}.}$

แบบจำลองนี้ได้รับการขยายโดย Li, Zhang, Zhu และ Ling (2018) ^{[ 17 ]}ซึ่งพิจารณา Zero-Drift GARCH (ZD-GARCH) ด้วยข้อกำหนด:

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta _{1}~\sigma _{t-1}^{2}.}$

แบบจำลอง ZD-GARCH ไม่ต้องการและด้วยเหตุนี้จึงรวม แบบ จำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ถ่วงน้ำหนักแบบเอกซ์โปเนนเชียล (EWMA) ไว้ใน " RiskMetrics " เนื่องจากแบบจำลอง ZD-GARCH จึงไม่คงที่เสมอ และวิธีการอนุมานทางสถิติของมันจึงแตกต่างจากแบบจำลอง GARCH แบบคลาสสิกอย่างมาก จากข้อมูลในอดีต พารามิเตอร์และสามารถประมาณได้โดยใช้วิธี QMLE แบบทั่วไป${\displaystyle ~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1}$${\displaystyle ~\omega =0}$${\displaystyle ~\alpha _{1}}$${\displaystyle ~\beta _{1}}$

กระบวนการ Spatial GARCH โดย Otto, Schmid และ Garthoff (2018) ^{[ 18 ]}ถือเป็นแบบจำลองเชิงพื้นที่ที่เทียบเท่ากับแบบจำลอง GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) เชิงเวลา^{[ 19 ]}ในทางตรงกันข้ามกับแบบจำลอง ARCH เชิงเวลา ซึ่งทราบการกระจายตัวเนื่องจากชุดข้อมูลทั้งหมดสำหรับช่วงเวลาก่อนหน้า การกระจายตัวนั้นไม่ตรงไปตรงมาในการตั้งค่าเชิงพื้นที่และเชิงพื้นที่และเวลาเนื่องจากการพึ่งพาซึ่งกันและกันระหว่างตำแหน่งเชิงพื้นที่ที่อยู่ใกล้เคียง แบบจำลองเชิงพื้นที่กำหนดโดยและ ${\displaystyle ~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})}$

${\displaystyle ~\sigma (s_{i})^{2}=~\alpha _{i}+\sum _{v=1}^{n}\rho w_{iv}\epsilon (s_{v})^{2},}$

โดยที่หมายถึงตำแหน่งเชิงพื้นที่ลำดับที่ และหมายถึงค่าลำดับที่ ของเมทริกซ์น้ำหนักเชิงพื้นที่ และสำหรับเมทริกซ์น้ำหนักเชิงพื้นที่กำหนดว่าตำแหน่งใดบ้างที่ถือว่าอยู่ติดกัน ${\displaystyle ~s_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle ~w_{iv}}$${\displaystyle iv}$${\displaystyle w_{ii}=0}$${\displaystyle ~i=1,...,n}$

ในการขยายเชิงพื้นที่และเวลา ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขจะถูกจำลองเป็นฟังก์ชันร่วมของการสังเกตการณ์ยกกำลังสองในอดีตที่ล่าช้าเชิงพื้นที่และความผันผวนที่ล่าช้าเชิงเวลา ทำให้สามารถพึ่งพาได้ทั้งแบบภาคตัดขวางและแบบอนุกรม แบบจำลองเหล่านี้ถูกนำไปใช้ในสาขาต่างๆ เช่น สถิติสิ่งแวดล้อม เศรษฐศาสตร์ภูมิภาค และเศรษฐศาสตร์การเงิน ซึ่งการช็อกสามารถแพร่กระจายไปได้ทั้งในเชิงพื้นที่และเวลา บทวิจารณ์ล่าสุดสรุปการพัฒนาวิธีการ เทคนิคการประมาณค่า และการประยุกต์ใช้ในสาขาวิชาต่างๆ^{[ 19 ]}

ในอีกแง่มุมหนึ่ง ชุมชนการเรียนรู้ของเครื่องได้เสนอให้ใช้แบบจำลองการถดถอยกระบวนการเกาส์เซียนเพื่อสร้างแบบแผน GARCH ^{[ 20 ]}ซึ่งส่งผลให้เกิดแบบแผนการสร้างแบบจำลองที่ไม่ใช้พารามิเตอร์ ซึ่งช่วยให้: (i) มีความทนทานต่อการโอเวอร์ฟิตติ้งขั้นสูง เนื่องจากแบบจำลองจะทำการมาร์จินัลเหนือพารามิเตอร์เพื่อทำการอนุมานภายใต้หลักการอนุมานแบบเบย์เซียน และ (ii) สามารถจับความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นสูงได้โดยไม่ต้องเพิ่มความซับซ้อนของแบบจำลอง

• Bollerslev, Tim; Russell, Jeffrey; Watson, Mark (พฤษภาคม 2010). "บทที่ 8: คำศัพท์เกี่ยวกับ ARCH (GARCH)" (PDF) . ความผันผวนและเศรษฐศาสตร์อนุกรมเวลา: บทความเพื่อเป็นเกียรติแก่ Robert Engle (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. หน้า  137–163 . ISBN 9780199549498.
• Enders, W. (2004). "การสร้างแบบจำลองความผันผวน" เศรษฐศาสตร์ประยุกต์เชิงอนุกรมเวลา (ฉบับที่สอง). John-Wiley & Sons. หน้า  108–155 . ISBN 978-0-471-45173-0.
• Engle, Robert F. (1982). "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation". Econometrica . 50 (4): 987– 1008. doi : 10.2307/1912773 . JSTOR  1912773 . S2CID  18673159 .(บทความที่จุดประกายความสนใจทั่วไปในแบบจำลอง ARCH)
• เอ็งเกิล, โรเบิร์ต เอฟ. (1995). ARCH: บทอ่านที่คัดสรร . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-877432-7.
• Engle, Robert F. (2001). "GARCH 101: การใช้แบบจำลอง ARCH/GARCH ในเศรษฐศาสตร์ประยุกต์"วารสารมุมมองทางเศรษฐศาสตร์ 15 (4): 157– 168. doi : 10.1257/jep.15.4.157 . JSTOR  2696523 .(บทนำสั้นๆ อ่านง่าย)
• Gujarati, DN (2003). เศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณขั้นพื้นฐาน . หน้า  856–862 .
• Hacker, RS; Hatemi-J, A. (2005). "การทดสอบสำหรับผลกระทบ ARCH แบบหลายตัวแปร" . Applied Economics Letters . 12 (7): 411– 417. doi : 10.1080/13504850500092129 . S2CID  218639533 .
• Nelson, DB (1991). "ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขในผลตอบแทนสินทรัพย์: แนวทางใหม่" Econometrica . 59 (2): 347– 370. doi : 10.2307/2938260 . JSTOR  2938260 .
• Otto, P.; Dogan, O.; Taspinar, S.; Schmid, W.; Bera, AK (2025). "แบบจำลองความผันผวนเชิงพื้นที่และเวลาเชิงพื้นที่: บทวิจารณ์"วารสารการสำรวจทางเศรษฐศาสตร์ 39 ( 3): 1037– 1091. doi : 10.1111/joes.12643 .