ใน การวิเคราะห์ ทางสถิติของอนุกรมเวลาโมเดลอัตถารีเกรสซีฟ-ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ ( ARMA ) ถูกใช้เพื่อแสดงกระบวนการสุ่มแบบอยู่ตัว (อย่างอ่อน)โดยการรวมสององค์ประกอบ ได้แก่อัตถารีเกรสซีฟ (AR) และค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (MA) โมเดลเหล่านี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์โครงสร้างของอนุกรมเวลาและการพยากรณ์ค่าในอนาคต

ส่วนประกอบ AR ระบุว่าค่าปัจจุบันของอนุกรมขึ้นอยู่กับค่าในอดีต (lags) ของตัวเองในเชิงเส้น ในขณะที่ส่วนประกอบ MA ระบุว่าค่าปัจจุบันขึ้นอยู่กับการรวมกันเชิงเส้นของค่าความคลาดเคลื่อน ในอดีต โดยทั่วไปแล้วแบบจำลอง ARMA จะถูกเขียนแทนด้วย ARMA( p , q ) โดยที่pคือลำดับของส่วนการถดถอยอัตโนมัติ และqคือลำดับของส่วนค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่

แบบจำลอง ARMA ทั่วไปได้รับการอธิบายไว้ในวิทยานิพนธ์ปี 1951 ของปีเตอร์ วิทเทิลเรื่องการทดสอบสมมติฐานในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาและได้รับความนิยมในหนังสือปี 1970 โดยจอร์จ อีพี บ็อกซ์และกวิลิม เจนกินส์

แบบจำลอง ARMA สามารถประมาณค่าได้โดยใช้วิธี Box– Jenkins

สัญลักษณ์ AR( p ) หมายถึงแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟลำดับp แบบจำลอง AR( p ) เขียนได้ดังนี้

${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}+\varepsilon _{t}}$

โดยที่พารามิเตอร์และตัวแปรสุ่มคือสัญญาณรบกวนสีขาวซึ่งโดยทั่วไปเป็นตัวแปรสุ่มปกติที่เป็นอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน (iid) ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{p}}$${\displaystyle \varepsilon _{t}}$

เพื่อให้โมเดลยังคงนิ่งรากของพหุนามลักษณะเฉพาะจะต้องอยู่นอกวงกลมหน่วย ตัวอย่างเช่น กระบวนการในโมเดล AR(1) ที่ไม่มีความนิ่งเนื่องจากรากของอยู่ภายในวงกลมหน่วย^{[ 3 ]}${\displaystyle |\varphi _{1}|\geq 1}$${\displaystyle 1-\varphi _{1}B=0}$

การทดสอบ Dickey–Fuller แบบเสริมสามารถประเมินความเสถียรของฟังก์ชันโหมดภายในและส่วนประกอบแนวโน้มได้ สำหรับอนุกรมเวลาแบบอยู่ตัว สามารถใช้แบบจำลอง ARMA ได้ ในขณะที่สำหรับอนุกรมเวลาแบบไม่อยู่ตัว สามารถใช้แบบจำลองหน่วยความจำระยะยาวแบบสั้น ( Long short-term memory models) เพื่อหาคุณลักษณะเชิงนามธรรม ค่าสุดท้ายได้มาจากการสร้างผลลัพธ์ที่คาดการณ์ไว้ของอนุกรมเวลาแต่ละชุดขึ้นใหม่

สัญลักษณ์ MA( q ) หมายถึงแบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ลำดับq :

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}\,}$

โดยที่เป็นพารามิเตอร์ของแบบจำลองเป็นค่าคาดหวังของ(โดยทั่วไปถือว่าเท่ากับ 0) และ, ..., เป็นเทอมข้อผิดพลาดแบบไวท์นอยส์อิสระและกระจายเหมือนกัน ซึ่งโดยทั่วไปเป็นตัวแปรสุ่มปกติ^{[ 4 ]}${\displaystyle \theta _{1},...,\theta _{q}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{1}}$${\displaystyle \varepsilon _{t}}$

สัญลักษณ์ ARMA( p , q ) หมายถึงแบบจำลองที่มี เทอมอัตถารีเกรสซี ฟ pเทอมและเทอมค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่q เทอม แบบจำลองนี้ประกอบด้วยแบบจำลอง AR( p ) และ MA( q ) ^{[ 5 ]}

${\displaystyle X_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}.\,}$

ในตำราบางเล่ม แบบจำลองจะถูกระบุโดยใช้ตัวดำเนินการหน่วงเวลาLในแง่นี้ แบบจำลอง AR( p ) จะกำหนดโดย

${\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi (L)X_{t}\,}$

โดยที่แทนพหุนาม ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}.\,}$

แบบจำลอง MA( q ) กำหนดโดย

${\displaystyle X_{t}-\mu =\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta (L)\varepsilon _{t},\,}$

โดยที่แทนพหุนาม ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

สุดท้ายนี้ แบบจำลอง ARMA( p , q ) แบบผสมจะแสดงดังนี้

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,,}$

หรือกล่าวโดยย่อกว่านั้นก็คือ

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}$

หรือ

${\displaystyle {\frac {\varphi (L)}{\theta (L)}}X_{t}=\varepsilon _{t}\,.}$

นี่คือรูปแบบที่ใช้ในBox , Jenkins & Reinsel ^{[ 6 ]}

ยิ่งไปกว่านั้น หากเริ่มต้นการหาผลรวมจาก และกำหนดค่าและแล้วเราจะได้สูตรที่ดูสง่างามยิ่งขึ้น:${\displaystyle i=0}$${\displaystyle \phi _{0}=-1}$${\displaystyle \theta _{0}=1}$${\displaystyle -\sum _{i=0}^{p}\phi _{i}L^{i}\;X_{t}=\sum _{i=0}^{q}\theta _{i}L^{i}\;\varepsilon _{t}\,.}$

ความหนาแน่นสเปกตรัมของกระบวนการ ARMA คือโดยที่คือความแปรปรวนของสัญญาณรบกวนสีขาวคือพหุนามลักษณะเฉพาะของส่วนค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของแบบจำลอง ARMA และคือพหุนามลักษณะเฉพาะของส่วนอัตถารีเกรสซีฟของแบบจำลอง ARMA ^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle S(f)={\frac {\sigma ^{2}}{2\pi }}\left\vert {\frac {\theta (e^{-if})}{\phi (e^{-if})}}\right\vert ^{2}}$$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

ค่าp ที่เหมาะสม ในแบบจำลอง ARMA( p , q ) สามารถหาได้โดยการพล็อตฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติบางส่วนในทำนองเดียวกันสามารถประมาณค่าq ได้โดยใช้ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติทั้งpและqสามารถกำหนดได้พร้อมกันโดยใช้ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติแบบขยาย (EACF) ^{[ 9 ]}ข้อมูลเพิ่มเติมสามารถรวบรวมได้โดยการพิจารณาฟังก์ชันเดียวกันสำหรับค่าตกค้างของแบบจำลองที่เหมาะสมกับการเลือกp และ q เริ่ม ต้น

Brockwell & Davis แนะนำให้ใช้เกณฑ์ข้อมูล Akaike (AIC) เพื่อหาค่าp และ q [ ^{10 ] อีก}ทางเลือกหนึ่งคือเกณฑ์ข้อมูล Bayesian (BIC)

หลังจากเลือก ค่า pและq แล้วสามารถสร้างแบบจำลอง ARMA ได้โดยใช้ การถดถอย กำลังสองน้อยที่สุดเพื่อหาค่าพารามิเตอร์ที่ทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนน้อยที่สุด ควรหาค่าpและq ที่น้อยที่สุด ที่ให้ความเหมาะสมกับข้อมูลในระดับที่ยอมรับได้ สำหรับแบบจำลอง AR บริสุทธิ์อาจใช้ สมการ Yule-Walker เพื่อให้ได้ความเหมาะสมของแบบจำลอง

ผลลัพธ์จากแบบจำลอง ARMA ใช้สำหรับการพยากรณ์ (ทำนาย) เป็นหลัก ไม่ได้ใช้สำหรับการอนุมานความสัมพันธ์เชิงสาเหตุเหมือนในสาขาอื่นๆ ของเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณและวิธีการถดถอย เช่น OLS และ 2SLS

• ในRแพ็กเกจมาตรฐานstatsมีฟังก์ชันarimaที่อธิบายไว้ในเอกสาร " การสร้างแบบจำลอง ARIMA ของอนุกรมเวลา " แพ็กเกจ นี้ astsaมีสคริปต์ที่ได้รับการปรับปรุงsarimaสำหรับการปรับแบบจำลอง ARMA (แบบมีฤดูกาลและไม่มีฤดูกาล) และsarima.simเพื่อจำลองข้อมูลจากแบบจำลองเหล่านี้ แพ็กเกจส่วนขยายมีฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องและเพิ่มเติม: แพ็กเกจtseriesประกอบด้วยฟังก์ชันarma()ที่อธิบายไว้ใน"การปรับแบบจำลอง ARMA ให้เข้ากับอนุกรมเวลา"แพ็กเกจfracdiffประกอบด้วยfracdiff()สำหรับกระบวนการ ARMA ที่บูรณาการแบบเศษส่วน และแพ็กเกจforecastประกอบด้วยauto.arimaสำหรับการเลือกชุดp, q ที่ประหยัดที่สุด มุมมองงาน CRAN เกี่ยวกับอนุกรมเวลามีลิงก์ไปยังส่วนใหญ่เหล่านี้
• Mathematicaมีไลบรารีฟังก์ชันอนุกรมเวลาที่สมบูรณ์ รวมถึง ARMA ด้วย^{[ 11 ]}
• MATLABมีฟังก์ชันต่างๆ เช่นarma`project` ar, arx`project` และ `project` เพื่อประมาณค่าแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ (autoregressive), อัตถารีเกรสซีฟภายนอก (exogenous autoregressive) และ ARMAX ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ที่ System Identification ToolboxและEconometrics Toolbox
• Juliaมีแพ็กเกจที่ขับเคลื่อนโดยชุมชนซึ่งนำการปรับให้เข้ากับโมเดล ARMA มาใช้ เช่นarma.jl.
• Python มี แพ็กเกจ statsmodelsSซึ่งประกอบด้วยโมเดลและฟังก์ชันมากมายสำหรับการวิเคราะห์อนุกรมเวลา รวมถึง ARMA ด้วย เดิมทีเป็นส่วนหนึ่งของ ไลบรารี scikit-learnแต่ปัจจุบันแยกออกมาเป็นแพ็กเกจอิสระและสามารถทำงานร่วมกับPandasได้ เป็นอย่างดี
• PyFluxเป็นโปรแกรมที่ใช้ Python ในการจำลองแบบ ARIMAX รวมถึงแบบ ARIMAX เชิงเบย์เซียนด้วย
• ไลบรารีเชิงตัวเลขของ IMSLคือไลบรารีของฟังก์ชันการวิเคราะห์เชิงตัวเลข ซึ่งรวมถึงขั้นตอนวิธี ARMA และ ARIMA ที่นำมาใช้ในภาษาโปรแกรมมาตรฐาน เช่น C, Java, C# .NET และ Fortran
• gretlสามารถประมาณค่าโมเดล ARMA ได้ ดังที่กล่าวไว้ในที่นี้
• แพ็กเกจเสริมของ GNU Octaveoctave-forgeรองรับโมเดล AR
• Stataมีฟังก์ชันarimaสำหรับโมเดล ARMA และ ARIMA
• SuanShuเป็นไลบรารี Java สำหรับวิธีการเชิงตัวเลขที่ใช้ในการสร้างแบบจำลอง ARMA, ARIMA, ARMAX และแบบจำลองหลายตัวแปร โดยมีเอกสารอธิบายอยู่ใน"SuanShu, a Java numerical and statistical library "
• SASมีแพ็กเกจทางเศรษฐศาสตร์ ETS ที่ใช้ในการประมาณค่าแบบจำลอง ARIMA ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่นี่

แบบจำลอง ARMA ทั่วไปได้รับการอธิบายไว้ในวิทยานิพนธ์ของPeter Whittle ในปี 1951 ซึ่งใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ( อนุกรม Laurentและการวิเคราะห์ Fourier ) และการอนุมานทางสถิติ^{[ 12 ] [ 13 ]}แบบจำลอง ARMA ได้รับความนิยมจากหนังสือของGeorge EP Boxและ Jenkins ในปี 1970 ซึ่งได้อธิบายวิธีการวนซ้ำ ( Box–Jenkins ) สำหรับการเลือกและการประมาณค่า วิธีนี้มีประโยชน์สำหรับพหุนามลำดับต่ำ (ดีกรีสามหรือน้อยกว่า) ^{[ 14 ]}

ARMA โดยพื้นฐานแล้วคือ ตัวกรอง การตอบสนองแบบอิมพัลส์อนันต์ที่นำมาใช้กับสัญญาณรบกวนสีขาว โดยมีการตีความเพิ่มเติมบางอย่างเข้าไปด้วย

ในการประมวลผลสัญญาณดิจิทัล ARMA ถูกแทนด้วยตัวกรองดิจิทัลที่มีสัญญาณรบกวนสีขาวที่อินพุตและกระบวนการ ARMA ที่เอาต์พุต

โมเดล ARMA เหมาะสมเมื่อระบบเป็นฟังก์ชันของชุดของปัจจัยรบกวนที่ไม่สามารถสังเกตได้ (ส่วนของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่) รวมถึงพฤติกรรมของตัวระบบเองด้วย ตัวอย่างเช่น ราคาหุ้นอาจได้รับผลกระทบจากข้อมูลพื้นฐาน เช่นเดียวกับการแสดงแนวโน้มทางเทคนิคและ ผลกระทบของ การกลับสู่ค่าเฉลี่ยเนื่องจากผู้เข้าร่วมตลาด

แบบ จำลอง ARMA มีการขยายความทั่วไปหลายแบบ แบบจำลอง AR แบบไม่เชิงเส้น (NAR), แบบจำลอง MA แบบไม่เชิงเส้น (NMA) และแบบจำลอง ARMA แบบไม่เชิงเส้น (NARMA) จำลองความสัมพันธ์แบบไม่เชิงเส้นกับค่าในอดีตและพจน์ความคลาดเคลื่อนแบบจำลองAR แบบเวกเตอร์ (VAR) และแบบจำลอง ARMA แบบเวกเตอร์ (VARMA ) จำลองอนุกรมเวลาแบบหลายตัวแปร แบบจำลอง ARIMA (Autoregressive integrated moving average ) จำลองอนุกรมเวลาที่ไม่คงที่ (กล่าวคือ ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา) แบบจำลอง ARCH (Autoregressive conditional heteroskedasticity ) จำลองอนุกรมเวลาที่ความแปรปรวนเปลี่ยนแปลง แบบจำลอง ARIMA แบบฤดูกาล (SARIMA หรือ ARMA แบบเป็นคาบ) จำลอง การเปลี่ยนแปลง เป็นคาบ แบบจำลอง ARFIMA (Autoregressive fractionally integrated moving average หรือ FARIMA) จำลองอนุกรมเวลาที่แสดงความจำระยะยาวแบบจำลอง AR แบบหลายสเกล (MAR) ใช้ดัชนีเป็นโหนดของต้นไม้แทนที่จะใช้จำนวนเต็ม

สัญลักษณ์ ARMAX( p , q , b ) หมายถึงแบบจำลองที่มีพจน์ถดถอยอัตโนมัติpพจน์ พจน์ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่q พจน์ และพจน์ปัจจัยนำเข้าภายนอก bพจน์ โดยพจน์สุดท้ายเป็นผลรวมเชิงเส้นของ พจน์ b พจน์สุดท้าย ของอนุกรมเวลาภายนอกที่ทราบค่าซึ่งมีสูตรดังนี้: ${\displaystyle d_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}+\sum _{i=1}^{b}\eta _{i}d_{ti}.\,}$

พารามิเตอร์ของอินพุตภายนอก อยู่ที่ไหน${\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\eta _{b}}$${\displaystyle d_{t}}$

มีการกำหนดรูปแบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นบางรูปแบบของแบบจำลองที่มีตัวแปรภายนอกไว้แล้ว ตัวอย่างเช่น ดู แบบจำลองอัตถารีเกรสซี ฟ ที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่มีตัวแปรภายนอก

แพ็กเกจทางสถิติใช้โมเดล ARMAX โดยใช้ตัวแปร "ภายนอก" (นั่นคือ ตัวแปรอิสระ) ต้องระมัดระวังในการตีความผลลัพธ์ของแพ็กเกจเหล่านั้น เนื่องจากพารามิเตอร์ที่ประมาณค่ามักจะ (ตัวอย่างเช่น ในR ^{[ 15 ]}และgretl ) อ้างอิงถึงการถดถอย:

${\displaystyle X_{t}-m_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}(X_{ti}-m_{ti})+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}.\,}$

โดยที่ตัวแปรภายนอก (หรือตัวแปรอิสระ) ทั้งหมดจะถูกรวมไว้ด้วย: ${\displaystyle m_{t}}$

${\displaystyle m_{t}=c+\sum _{i=0}^{b}\eta _{i}d_{ti}.\,}$

• แบบจำลอง ARIMA ( Autoregressive Integrated Moving Average )
• การปรับเรียบแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล
• การเข้ารหัสทำนายเชิงเส้น
• การวิเคราะห์เชิงทำนาย
• การตอบสนองแบบอิมพัลส์อนันต์
• การตอบสนองแบบอิมพัลส์จำกัด

• มิลส์, เทเรนซ์ ซี. (1990). เทคนิคอนุกรมเวลาสำหรับนักเศรษฐศาสตร์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 0521343399.
• Percival, Donald B.; Walden, Andrew T. (1993). การวิเคราะห์สเปกตรัมสำหรับการประยุกต์ใช้ทางฟิสิกส์สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 052135532X.
• Francq, C.; Zakoïan, J.-M. (2005), "ผลลัพธ์ล่าสุดสำหรับแบบจำลองอนุกรมเวลาเชิงเส้นที่มีนวัตกรรมที่ไม่เป็นอิสระ" ใน Duchesne, P.; Remillard, B. (บรรณาธิการ), การสร้างแบบจำลองและการวิเคราะห์ทางสถิติสำหรับปัญหาข้อมูลที่ซับซ้อน , Springer, หน้า  241–265 , CiteSeerX  10.1.1.721.1754.
• Shumway, RH และ Stoffer, DS (2017). การวิเคราะห์อนุกรมเวลาและการประยุกต์ใช้พร้อมตัวอย่าง R. Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-52452-8