ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ รากหน่วย ( unit root ) คือคุณสมบัติของกระบวนการสุ่ม บางอย่าง (เช่นการเดินสุ่ม ) ที่อาจก่อให้เกิดความท้าทายต่อการอนุมานทางสถิติในแบบจำลองอนุกรมเวลากระบวนการสุ่มเชิงเส้นจะมีรากหน่วยหาก 1 เป็นคำตอบของสมการลักษณะเฉพาะของกระบวนการนั้น

กระบวนการที่มีรากหน่วย (unit root) ถือเป็น กระบวนการ ที่ไม่เสถียร (non-stationary ) เนื่องจากกระบวนการเหล่านี้ไม่ได้แสดงแนวโน้มที่แน่นอนเสมอไป

ถ้ารากอื่นๆ ของสมการลักษณะเฉพาะอยู่ภายในวงกลมหน่วย—นั่นคือ มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหนึ่ง—แล้วผลต่างแรกของกระบวนการจะเป็นสภาวะคงที่ มิฉะนั้น กระบวนการจะต้องถูกหาผลต่างหลายครั้งจึงจะเป็นสภาวะคงที่^{[ 1 ]}ถ้ามี รากหน่วย dราก กระบวนการจะต้องถูกหาผลต่างdครั้งจึงจะเป็นสภาวะคงที่^{[ 2 ]}ด้วยลักษณะนี้ กระบวนการรากหน่วยจึงเรียกว่าสภาวะคงที่แบบผลต่าง^{[ 3 ] [ 4 ]}

กระบวนการรากหน่วยบางครั้งอาจสับสนกับ กระบวนการ ที่มีแนวโน้มคงที่แม้ว่าจะมีคุณสมบัติร่วมกันหลายอย่าง แต่ก็มีความแตกต่างกันในหลายแง่มุม เป็นไปได้ที่อนุกรมเวลาจะไม่คงที่ แต่ไม่มีรากหน่วยและมีแนวโน้มคงที่ ในทั้งกระบวนการรากหน่วยและกระบวนการที่มีแนวโน้มคงที่ ค่าเฉลี่ยอาจเพิ่มขึ้นหรือลดลงเมื่อเวลาผ่านไป อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่มีการช็อก กระบวนการที่มีแนวโน้มคงที่จะเป็นการกลับคืนสู่ค่าเฉลี่ย (กล่าวคือชั่วคราว อนุกรมเวลาจะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยที่เพิ่มขึ้นอีกครั้ง ซึ่งไม่ได้รับผลกระทบจากการช็อก) ในขณะที่กระบวนการรากหน่วยจะมีผลกระทบถาวรต่อค่าเฉลี่ย (กล่าวคือไม่มีการลู่เข้าเมื่อเวลาผ่านไป) ^{[ 5 ]}

หากรากของสมการลักษณะเฉพาะของกระบวนการมีค่ามากกว่า 1 กระบวนการนั้นจะเรียกว่ากระบวนการระเบิดแม้ว่าบางครั้งกระบวนการดังกล่าวจะถูกเรียกอย่างไม่ถูกต้องว่ากระบวนการรากหน่วยก็ตาม

สามารถตรวจสอบการมีอยู่ของรากหน่วยได้โดยใช้การ ทดสอบรากหน่วย

พิจารณากระบวนการสุ่มแบบ เวลาไม่ต่อเนื่อง และสมมติว่าสามารถเขียนได้ในรูปของ กระบวนการ ถดถอยอัตโนมัติอันดับ  p : ${\displaystyle (y_{t},t=1,2,3,\ldots )}$

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{tp}+\varepsilon _{t}.}$

ในที่นี้เป็นกระบวนการสุ่มที่ไม่สัมพันธ์กันแบบอนุกรม มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ และมีความแปรปรวนคงที่เพื่อความสะดวก ให้สมมติว่าถ้าเป็นรากของสมการลักษณะเฉพาะที่มีความซ้ำซ้อน 1: ${\displaystyle (\varepsilon _{t},t=0,1,2,\ldots ,)}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle y_{0}=0}$${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

ดังนั้นกระบวนการสุ่มจะมีรากหน่วยหรืออีกทางหนึ่งคือเป็นกระบวนการบูรณาการอันดับหนึ่ง ซึ่งแสดงด้วยถ้าm = 1 เป็นรากที่มีความซ้ำซ้อนrแล้วกระบวนการสุ่มจะเป็นกระบวนการบูรณาการอันดับrซึ่งแสดงด้วยI ( r ) ${\displaystyle I(1)}$

แบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟอันดับแรกมีรากหน่วยเมื่อในตัวอย่างนี้ สมการลักษณะเฉพาะคือรากของสมการคือ ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}}$${\displaystyle a_{1}=1}$${\displaystyle m-a_{1}=0}$${\displaystyle m=1}$

ถ้ากระบวนการมีรากหน่วย (unit root) แสดงว่าอนุกรมเวลานั้นเป็นอนุกรมเวลาที่ไม่คงที่ (non-stationary time series) กล่าวคือ โมเมนต์ของกระบวนการสุ่มขึ้นอยู่กับเพื่อแสดงให้เห็นถึงผลกระทบของรากหน่วย เราสามารถพิจารณากรณีอันดับแรก โดยเริ่มจากy ₀  = 0: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

โดยการแทนค่าซ้ำๆ เราสามารถเขียนได้ว่า จากนั้นค่าความแปรปรวนของจะกำหนดโดย: ${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}}$${\displaystyle y_{t}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}$

ความแปรปรวนขึ้นอยู่กับtเนื่องจากในขณะที่ความแปรปรวนของอนุกรมลู่เข้าสู่ค่าอนันต์เมื่อ  t เพิ่ม ขึ้น ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$

มีวิธีการทดสอบต่างๆ เพื่อตรวจสอบการมีอยู่ของหน่วยราก ซึ่งบางส่วนมีดังต่อไปนี้:

1. การทดสอบ Dickey–Fuller (DF) หรือ การทดสอบ Dickey–Fuller เสริม (ADF)
2. การทดสอบความสำคัญของสัมประสิทธิ์มากกว่าหนึ่งตัว ( การทดสอบ f )
3. การทดสอบฟิ ลลิปส์-เพอร์รอน (PP)
4. การทดสอบ Dickey Pantula

นอกเหนือจากแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ (AR) และอัตถารีเกรสซีฟ-เคลื่อนที่เฉลี่ย (ARMA) แล้ว ยังมีแบบจำลองสำคัญอื่นๆ เกิดขึ้นใน การวิเคราะห์การถดถอยซึ่งข้อผิดพลาดของแบบจำลองอาจมี โครงสร้าง อนุกรมเวลาและดังนั้นอาจจำเป็นต้องสร้างแบบจำลองโดยกระบวนการ AR หรือ ARMA ที่อาจมีรากหน่วย ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น คุณสมบัติ ตัวอย่างจำกัดของแบบจำลองการถดถอยที่มีข้อผิดพลาด ARMA อันดับแรก รวมถึงรากหน่วย ได้รับการวิเคราะห์แล้ว^{[ 6 ] [ 7 ]}

โดยทั่วไปแล้ววิธีการกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดา (OLS) จะถูกใช้เพื่อประมาณค่าสัมประสิทธิ์ความชันของแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟการใช้ OLS ขึ้นอยู่กับว่ากระบวนการสุ่มนั้นมีความเสถียร เมื่อกระบวนการสุ่มไม่มีความเสถียร การใช้ OLS อาจทำให้ได้ค่าประมาณที่ไม่ถูกต้องGrangerและ Newbold เรียกค่าประมาณดังกล่าวว่าผลลัพธ์ 'การถดถอยที่ผิดพลาด' ^{[ 8 ]} ค่า R ²สูงและอัตราส่วน t สูง ทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่มีความหมายที่แท้จริง (ในบริบททางเศรษฐกิจ)

ในการประมาณค่าสัมประสิทธิ์ความชัน ควรทำการทดสอบรากหน่วย ก่อน โดยมีสมมติฐานหลักคือมีรากหน่วยอยู่ หากสมมติฐานนี้ถูกปฏิเสธ ก็สามารถใช้ OLS ได้ แต่หากไม่ปฏิเสธการมีอยู่ของรากหน่วย ก็ควรใช้ตัวดำเนินการผลต่างกับอนุกรมเวลา หากการทดสอบรากหน่วยอีกครั้งแสดงว่าอนุกรมเวลาที่หาผลต่างแล้วมีเสถียรภาพ ก็สามารถใช้ OLS กับอนุกรมเวลานี้เพื่อประมาณค่าสัมประสิทธิ์ความชันได้

ตัวอย่างเช่น ในกรณี AR(1) นั้นเป็นสภาวะคงที่ ${\displaystyle \Delta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}=\varepsilon _{t}}$

ในกรณี AR(2) สามารถเขียนได้เป็นโดยที่ L เป็นตัวดำเนินการหน่วงเวลาที่ลดดัชนีเวลาของตัวแปรลงหนึ่งช่วงเวลา: . ถ้าแบบจำลองจะมีรากหน่วย และเราสามารถกำหนด; จากนั้น ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon _{t}}$${\displaystyle (1-\lambda _{1}L)(1-\lambda _{2}L)y_{t}=\varepsilon _{t}}$${\displaystyle Ly_{t}=y_{t-1}}$${\displaystyle \lambda _{2}=1}$${\displaystyle z_{t}=\Delta y_{t}}$

${\displaystyle z_{t}=\แลมบ์ดา _{1}z_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

ถือว่ามีเสถียรภาพหาก. สามารถใช้ OLS ในการประมาณค่าสัมประสิทธิ์ความชันได้ ${\displaystyle |\lambda _{1}|<1}$${\displaystyle \lambda _{1}}$

หากกระบวนการมีรากหน่วยหลายราก สามารถใช้ตัวดำเนินการผลต่างได้หลายครั้ง

• การเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันต่อกระบวนการที่มีรากหน่วยจะมีผลถาวรซึ่งไม่ลดลงเหมือนกับกรณีที่กระบวนการนั้นอยู่ตัว
• ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น กระบวนการรากหน่วยมีค่าความแปรปรวนที่ขึ้นอยู่กับ t และลู่เข้าสู่ค่าอนันต์
• หากทราบว่าอนุกรมมีรากหน่วย อนุกรมนั้นสามารถหาผลต่างเพื่อให้ได้อนุกรมสถิตได้ ตัวอย่างเช่น หากอนุกรมเป็น I(1) อนุกรม จะเป็น I(0) (สถิต) ดังนั้นจึงเรียกว่าอนุกรมสถิตผลต่าง${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle \Delta Y_{t}=Y_{t}-Y_{t-1}}$

นักเศรษฐศาสตร์ถกเถียงกันว่าสถิติทางเศรษฐกิจต่างๆ โดยเฉพาะผลผลิตมีหน่วยรากหรือมีแนวโน้มคงที่หรือไม่^{[ 9 ]}กระบวนการหน่วยรากที่มีการเคลื่อนตัวจะได้รับในกรณีอันดับแรกโดย

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}$

โดยที่cคือค่าคงที่ที่เรียกว่า "ค่าเบี่ยงเบน" และคือสัญญาณรบกวนสีขาว ค่าใดๆ ของสัญญาณรบกวนสีขาวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งเกิดขึ้นเพียงช่วงเวลาเดียว จะส่งผลกระทบอย่างถาวรต่อค่าของดังแสดงในกราฟ ดังนั้นการเบี่ยงเบนจากเส้นจึงไม่คงที่ กล่าวคือไม่มีการกลับคืนสู่เส้นแนวโน้มใดๆ ในทางตรงกันข้าม กระบวนการที่คงที่ตามแนวโน้มจะกำหนดโดย ${\displaystyle e_{t}}$${\displaystyle y_{t}}$${\displaystyle y_{t}=a+ct}$

${\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}$

โดยที่kคือความชันของเส้นแนวโน้ม และคือสัญญาณรบกวน (สัญญาณรบกวนสีขาวในกรณีที่ง่ายที่สุด หรือโดยทั่วไปแล้วคือสัญญาณรบกวนที่ดำเนินไปตามกระบวนการถดถอยอัตโนมัติแบบอยู่ตัวของมันเอง) ในที่นี้ สัญญาณรบกวนชั่วคราวใดๆ จะไม่เปลี่ยนแปลงแนวโน้มระยะยาวของ ที่จะอยู่บนเส้นแนวโน้ม ดังที่แสดงในกราฟ กระบวนการนี้เรียกว่ามีแนวโน้มคงที่ เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนจากเส้นแนวโน้มมีลักษณะคงที่ ${\displaystyle u_{t}}$${\displaystyle y_{t}}$

ประเด็นนี้เป็นที่นิยมอย่างมากในวรรณกรรมเกี่ยวกับวัฏจักรธุรกิจ^{[ 10 ] [ 11 ]} การวิจัยในหัวข้อนี้เริ่มต้นด้วย Nelson และ Plosser ซึ่งบทความของพวกเขาเกี่ยวกับGNPและผลผลิตรวมอื่นๆ ไม่สามารถปฏิเสธสมมติฐานรากหน่วยสำหรับอนุกรมเหล่านี้ได้^{[ 12 ]} นับตั้งแต่นั้นมา การถกเถียง—ที่เกี่ยวพันกับข้อพิพาททางเทคนิคเกี่ยวกับวิธีการทางสถิติ—ก็เกิดขึ้น นักเศรษฐศาสตร์บางคน^{[ 13 ]}โต้แย้งว่าGDPมีรากหน่วยหรือการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างซึ่งหมายความว่าภาวะเศรษฐกิจตกต่ำจะส่งผลให้ระดับ GDP ลดลงอย่างถาวรในระยะยาว นักเศรษฐศาสตร์คนอื่นๆ โต้แย้งว่า GDP มีแนวโน้มคงที่ กล่าวคือ เมื่อ GDP ลดลงต่ำกว่าแนวโน้มในช่วงที่เศรษฐกิจตกต่ำ ต่อมามันจะกลับไปสู่ระดับที่บ่งชี้โดยแนวโน้ม ดังนั้นจึงไม่มีการลดลงของผลผลิตอย่างถาวร แม้ว่าวรรณกรรมเกี่ยวกับสมมติฐานรากหน่วยอาจประกอบด้วยการถกเถียงที่ซับซ้อนเกี่ยวกับวิธีการทางสถิติ แต่สมมติฐานนี้ก็มีนัยสำคัญในทางปฏิบัติสำหรับการพยากรณ์และนโยบายทางเศรษฐกิจ

• การทดสอบดิคกีย์-ฟูลเลอร์
• การทดสอบ Dickey–Fuller เสริม
• การทดสอบ ADF-GLS
• การทดสอบรากหน่วย
• การทดสอบฟิลลิปส์-เพอร์รอน
• การร่วมบูรณาการ (Cointegration)คือการหาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวที่มีรากหน่วย (unit roots)
• การทดสอบรากหน่วยสมมาตรแบบถ่วงน้ำหนัก (WS)
• การทดสอบ Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin หรือที่รู้จักกันในชื่อการทดสอบ KPSS