ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น การ แจกแจงความน่าจะเป็นจะแบ่งได้ไม่จำกัดหากสามารถแสดงได้เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน( iid) จำนวนใดๆ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงที่แบ่งได้ไม่จำกัดใดๆ จะเรียกว่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะที่แบ่งได้ไม่จำกัด^{[ 1 ]}

กล่าวอย่างเคร่งครัดยิ่งขึ้น การแจกแจงความน่าจะเป็นFจะแบ่งได้ไม่จำกัดก็ต่อเมื่อ สำหรับจำนวนเต็มบวกn ทุกตัว จะมีตัวแปรสุ่มอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกันX _{n 1} , ..., X _nnซึ่งผลรวมS _n = X _{n 1} + ... + X _nnมีการแจกแจงเดียวกัน  กับ F

แนวคิดเรื่องการแบ่งย่อยแบบไม่จำกัดของฟังก์ชันความน่าจะเป็นได้รับการนำเสนอในปี พ.ศ. 2462 โดยBruno de Finetti การแบ่ง ย่อยฟังก์ชัน ความน่าจะเป็น แบบนี้ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติเพื่อค้นหาตระกูลของฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่อาจเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับแบบจำลองหรือการใช้งานบางอย่าง ฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่แบ่งย่อยได้ไม่จำกัดมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็นในบริบทของทฤษฎีบทลิมิต^{[ 1 ]}

ตัวอย่างของการแจกแจงแบบต่อเนื่องที่แบ่งได้ไม่จำกัด ได้แก่ สมาชิกทั้งหมดของ ตระกูล การแจกแจงแบบเสถียรซึ่งรวมถึงการแจกแจงแบบปกติการแจกแจงแบบโคชีและการแจกแจงแบบเลวีนอกเหนือจากคลาสเสถียรแล้ว ตัวอย่างบางส่วน ได้แก่การแจกแจงแบบแกมมาการแจกแจงแบบไคสแควร์การแจกแจงแบบวอลด์การแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ^{[ 2 ]}และการแจกแจงแบบ t ของสตูเดนต์

ในบรรดาการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างได้แก่การแจกแจงปัวซงและการแจกแจงทวินามเชิงลบ (และด้วยเหตุนี้การแจกแจงเรขาคณิตด้วย) การแจกแจงแบบจุดเดียวซึ่งผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ 0 ก็สามารถแบ่งได้ไม่จำกัดเช่นกัน (อย่างเห็นได้ชัด)

การแจกแจงแบบเอกรูปและการแจกแจงแบบทวินามไม่สามารถแบ่งได้อย่างไม่จำกัด เช่นเดียวกับการแจกแจงอื่นๆ ที่มีขอบเขต จำกัด (≈ โดเมน ขนาดจำกัด ) ยกเว้นการแจกแจงแบบจุดเดียวที่กล่าวถึงข้างต้น^{[ 3 ]}การแจกแจงของส่วนกลับของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบ t ของนักเรียนก็ไม่สามารถแบ่งได้อย่างไม่จำกัดเช่นกัน^{[ 4 ]}

การแจกแจงปัวซงแบบผสมใดๆ ก็ตามสามารถแบ่งได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากนิยาม

การแจกแจงที่แบ่งได้ไม่จำกัดปรากฏในการขยายความทั่วไปของทฤษฎีบทลิมิตกลาง : ลิมิตเมื่อn → +∞ของผลรวมS _n = X _{n 1} + ... + X _nnของ ตัวแปรสุ่มอิสระที่ไม่สำคัญอย่างสม่ำเสมอใน เชิงอะซิมโทติก (uan) ภายในอาร์เรย์สามเหลี่ยม

เข้าใกล้การกระจายที่แบ่งได้ไม่จำกัด ใน ความหมายแบบอ่อนเงื่อนไขการละเลยแบบเอกรูปเชิงอะสิมโทติก (uan)กำหนดโดย

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น หากเงื่อนไขความเล็กน้อยเชิงอะซิมโทติกแบบสม่ำเสมอ (uan) เป็นไปตามการปรับขนาดที่เหมาะสมของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงเหมือนกันและมีความแปรปรวน จำกัด การลู่เข้าแบบอ่อนจะเป็นการแจกแจงปกติในทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางแบบคลาสสิก โดยทั่วไปแล้ว หากเงื่อนไข uan เป็นไปตามการปรับขนาดของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงเหมือนกัน (โดยไม่จำเป็นต้องมีค่าโมเมนต์อันดับสองจำกัด) การลู่เข้าแบบอ่อนจะเป็นการแจกแจงที่เสถียร ในทางกลับกัน สำหรับอาร์เรย์สามเหลี่ยม ของตัวแปรสุ่ม เบอร์นูลีอิสระ (ไม่ได้ปรับขนาด) ที่เงื่อนไข uan เป็นไปตามการปรับขนาด

การลู่เข้าอย่างอ่อนของผลรวมนั้นเป็นไปตามการแจกแจงปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยλ ดังที่แสดงโดยการพิสูจน์ที่คุ้นเคยของกฎของจำนวนน้อย

การแจกแจงความน่าจะเป็นที่แบ่งได้ไม่จำกัดทุกแบบจะสอดคล้องกับ กระบวนการเลวี (Lévy process ) ในทางธรรมชาติกระบวนการเลวีเป็นกระบวนการสุ่ม {  L _t  |  t  ≥ 0 } ที่มีส่วนเพิ่มอิสระแบบคง ที่ โดยที่คงที่หมายความว่า สำหรับs < tการแจกแจงความน่าจะเป็นของL _t − L _sขึ้นอยู่กับt  −  s เท่านั้น และส่วนเพิ่มอิสระหมายความว่า ผลต่างL _t − L _s นั้น เป็นอิสระจากผลต่างที่สอดคล้องกันในช่วงเวลาใดๆ ที่ไม่ทับซ้อนกับ [ s ,  t ] และในทำนองเดียวกันสำหรับช่วงเวลาจำนวนจำกัดใดๆ ที่ไม่ทับซ้อนกัน

ถ้า {  L _t  |  t  ≥ 0 } เป็นกระบวนการ Lévy แล้ว สำหรับt ≥ 0 ใดๆ ตัวแปรสุ่มL _tจะหารลงตัวได้ไม่จำกัด: สำหรับn ใดๆ เราสามารถเลือก( X _{n 1} , X _{n 2} , ..., X _nn ) = ( L _{t / n} − L ₀ , L _{2 t / n} − L _{t / n} , ..., L _t − L _{( n −1) t / n} )ได้ ในทำนองเดียวกันL _t − L _sจะหารลงตัวได้ไม่จำกัดสำหรับs < t ใด ๆ

ในทางกลับกัน ถ้าFเป็นการแจกแจงที่แบ่งได้ไม่จำกัด เราสามารถสร้างกระบวนการ Lévy {  L _t  |  t  ≥ 0 } จากมันได้ สำหรับช่วง[ s , t ] ใดๆ ที่t − s > 0เท่ากับจำนวนตรรกยะp / qเราสามารถกำหนดให้L _t − L _sมีการแจกแจงแบบเดียวกับX _{q 1} + X _{q 2} + ... + X _qpได้ ส่วนค่า อตรรกยะของt − s > 0นั้น จะใช้การอ้างเหตุผลเรื่องความต่อเนื่องมาจัดการ

กระบวนการบวก ( cadlag ซึ่งเป็นกระบวนการสุ่มแบบต่อเนื่องในความน่าจะ เป็น ที่มีการเพิ่มขึ้นอย่างอิสระ ) มีการกระจายที่แบ่งได้ไม่จำกัดสำหรับ⁠ ⁠ ใดๆ ให้เป็นตระกูลของการกระจายที่แบ่งได้ไม่จำกัด ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขความต่อเนื่องและความเป็นเอกภาคหลายประการ ยิ่งไปกว่านั้น หากตระกูลของการกระจายที่แบ่งได้ไม่จำกัดสอดคล้องกับเงื่อนไขความต่อเนื่องและความเป็นเอกภาคเหล่านี้ จะมีกระบวนการบวก (เพียงหนึ่งเดียวในทางกฎหมาย) ที่มีการกระจายนี้^{[ 5 ]}${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle >t\geq 0}$${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$

ให้เป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงที่แบ่งได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง แล้วจะมีฟังก์ชันที่ไม่ลดลงซึ่งมีความแปรผันจำกัดและค่าคงที่จริงอยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้ ${\displaystyle \phi (t)}$${\displaystyle G(u)}$${\displaystyle \delta }$

การกระจายความน่าจะเป็นบนกลุ่มอาเบเลียนที่กระชับเฉพาะที่เรียกว่าแบ่งได้ไม่จำกัดถ้าสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนจะมีองค์ประกอบและการกระจายความน่าจะเป็นบนเช่นนั้น โดยที่คือการกระจายความน่าจะเป็นแบบเสื่อมสภาพ (ดิแรก) ที่กระจุกตัวอยู่ที่ ^{[ 6 ]} ; ดูเพิ่มเติม  ที่ ^{[ 7 ]}คำจำกัดความนี้แตกต่างจากแบบคลาสสิกเล็กน้อยในกรณีของเส้นจำนวนจริง ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}\in X}$${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n}}}$${\displaystyle E_{x_{n}}}$${\displaystyle x_{n}}$

ตัวอย่างของการแจกแจงที่หารลงตัวได้ไม่จำกัดบนกลุ่มอาเบเลียนที่กระชับในระดับท้องถิ่นได้แก่ การแจกแจงแบบเสื่อมสภาพ การแจกแจงแบบฮาร์บนกลุ่มย่อยที่กระชับของการแจกแจงแบบเกาส์เซียนและการ แจกแจงแบบปัวซ ง ทั่วไป${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

สูตร Lévy–Khintchine ที่คล้ายกันสำหรับการกระจายที่แบ่งได้ไม่จำกัดบนกลุ่มอาเบเลียนที่กะทัดรัดเฉพาะที่ได้รับใน[ ^{6 ] ดู}เพิ่มเติมที่^{[ 7 ]}

• Domínguez-Molina, JA; Rocha-Arteaga, A. (2007) "เกี่ยวกับการหารลงตัวอย่างไม่มีที่สิ้นสุดของการแจกแจงสมมาตรแบบเบ้บางประเภท" จดหมายสถิติและความน่าจะเป็น 77 (6), 644–648 doi : 10.1016/j.spl.2006.09.014
• Steutel, FW (1979), "การหารลงตัวอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในทฤษฎีและการปฏิบัติ" (พร้อมการอภิปราย), วารสารสถิติสแกนดิเนเวีย 6, 57–64.
• Steutel, FW และ Van Harn, K. (2003), การหารลงตัวอย่างไม่มีที่สิ้นสุดของการกระจายความน่าจะเป็นบนเส้นจำนวนจริง (Marcel Dekker)