ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น การแจกแจงที่ไม่สามารถแยกส่วนได้คือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ไม่สามารถแสดงได้ในรูปของการแจกแจงผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ ที่ไม่คงที่สองตัวขึ้นไป : Z  ≠  X  +  Yหากสามารถแสดงได้ในรูปดังกล่าว การแจกแจงนั้นจะ สามารถ แยกส่วนได้: Z  =  X  +  Yและหากสามารถแสดงได้ในรูปของการแจกแจงผลรวมของ ตัวแปรสุ่มอิสระที่มี การแจกแจงเหมือนกัน สองตัวขึ้นไป การ แจกแจง นั้นจะสามารถหารลงตัวได้: Z  =  X ₁  + … +  X _k

• ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือการแจกแจงแบบเบอร์นูลลี : ถ้า

${\displaystyle X={\begin{cases}1&{\text{ด้วยความน่าจะเป็น }}p,\\0&{\text{ด้วยความน่าจะเป็น }}1-p,\end{cases}}}$

ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็นของXจึงไม่สามารถแยกย่อยได้

บทพิสูจน์: กำหนดให้การแจกแจง UและVไม่คงที่โดยที่Uมีค่าอย่างน้อยสองค่าคือaและ  bและVมีค่าอย่างน้อยสองค่า คือ cและ  dโดยที่a  <  bและc  <  dแล้วU  +  V จะ มีค่าอย่างน้อยสามค่าที่แตกต่างกันคือa  +  c , a  +  dและb  +  d ( b  +  cอาจเท่ากับa  +  dก็ได้ เช่น ถ้าใช้ 0, 1 และ 0, 1) ดังนั้น ผลรวมของการแจกแจงที่ไม่คงที่จึงมีค่าอย่างน้อยสามค่า ดังนั้น การแจกแจงเบอร์นูลลีจึงไม่ใช่ผลรวมของการแจกแจงที่ไม่คงที่

• สมมติว่าa  +  b  +  c  = 1, a ,  b ,  c  ≥ 0 และ

${\displaystyle X={\begin{cases}2&{\text{ด้วยความน่าจะเป็น }}a,\\1&{\text{ด้วยความน่าจะเป็น }}b,\\0&{\text{ด้วยความน่าจะเป็น }}c.\end{cases}}}$

การแจกแจงความน่าจะเป็นนี้สามารถแยกส่วนได้ (เช่นเดียวกับการแจกแจงผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวที่แจกแจงแบบเบอร์นูลลี ) ถ้า

${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1\ }$

และไม่สามารถแยกย่อยได้ด้วยวิธีอื่น เพื่อให้เห็นเช่นนี้ สมมติว่าUและVเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ และU  +  Vมีการแจกแจงความน่าจะเป็นดังนี้ จากนั้นเราต้องมี

${\displaystyle {\begin{matrix}U={\begin{cases}1&{\text{with probability }}p,\\0&{\text{with probability }}1-p,\end{cases}}&{\mbox{and}}&V={\begin{cases}1&{\text{with probability }}q,\\0&{\text{with probability }}1-q,\end{cases}}\end{matrix}}}$

สำหรับบางค่าp ,  q  ∈ [0, 1] โดยใช้เหตุผลที่คล้ายกับกรณีของเบอร์นูลลี (มิฉะนั้นผลรวมU  +  Vจะมีค่ามากกว่าสามค่า) จึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle a=pq,\,}$

${\displaystyle c=(1-p)(1-q),\,}$

${\displaystyle b=1-ac.\,}$

ระบบสมการกำลังสองสองตัวแปรpและq นี้ จะมีคำตอบ ( p ,  q ) ∈ [0, 1] ^²ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1.\ }$

ดังนั้น ตัวอย่างเช่นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องบนเซต {0, 1, 2} นั้นไม่สามารถแยกส่วนได้ แต่การแจกแจงทวินาม สำหรับการทดลองสองครั้ง โดยแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็น 1/2 ทำให้ได้ความน่าจะเป็น a, b, cเป็น 1/4, 1/2, 1/4 ตามลำดับนั้น สามารถแยกส่วนได้

• การ กระจายที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ แบบต่อเนื่องโดยสมบูรณ์สามารถแสดงได้ว่าการกระจายที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นคือ

${\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \,}}}x^{2}e^{-x^{2}/2}}$

ไม่สามารถย่อยสลายได้

• การแจกแจงที่แบ่งได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งทั้งหมด สามารถแยกย่อยได้โดย ปริยายโดยเฉพาะอย่างยิ่งการแจกแจงแบบเสถียรเช่นการแจกแจงแบบปกติ ก็รวมอยู่ในการแจกแจงนี้ ด้วย
• การแจกแจงแบบเอกรูปในช่วง [0, 1] สามารถแยกส่วนได้ เนื่องจากเป็นผลรวมของตัวแปรเบอร์นูลลีที่รับค่า 0 หรือ 1/2 ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน และการแจกแจงแบบเอกรูปในช่วง [0, 1/2] การทำซ้ำเช่นนี้จะให้ผลลัพธ์เป็นการแยกส่วนแบบอนันต์:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{X_{n} \over 2^{n}},}$

โดยที่ตัวแปรสุ่มอิสระX _nแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ 0 หรือ 1 ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน – นี่คือการทดลองแบบเบอร์นูลลีของแต่ละหลักของการขยายเลขฐานสอง

• ผลรวมของตัวแปรสุ่มที่ไม่สามารถแยกส่วนได้นั้น สามารถแยกส่วนกลับไปเป็นพจน์เดิมได้ แต่ผลรวมนั้นอาจหารลงตัวได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งสมมติว่าตัวแปรสุ่มYมีการแจกแจงแบบเรขาคณิต

${\displaystyle \Pr(Y=n)=(1-p)^{n}p\,}$

บน {0, 1, 2, ...}

สำหรับจำนวนเต็มบวกk ใดๆ จะมีลำดับของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบ ทวินามเชิงลบ Y _j , j = 1, ..., kโดยแต่ละตัวมีพารามิเตอร์p และ r  = 1/ kที่ไม่ใช่จำนวนเต็มซึ่งทำให้Y ₁  + ... +  Y _kมีการแจกแจงแบบเรขาคณิตนี้ ดังนั้น การแจกแจงนี้จึงสามารถแบ่งได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง

ในทางกลับกัน ให้D _nเป็นเลขฐานสองลำดับที่n ของ Yสำหรับn ≥ 0 แล้วD _nเหล่านั้นจะเป็นอิสระต่อกัน

${\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}D_{n},}$

และแต่ละพจน์ในผลรวมนี้ไม่สามารถแยกย่อยได้

ตรงข้ามกับภาวะที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ คือ ภาวะ ที่ สามารถแบ่งย่อยได้อย่างไม่จำกัด

• ทฤษฎีบทของ Cramérแสดงให้เห็นว่า แม้ว่าการแจกแจงแบบปกติจะสามารถแบ่งได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง แต่ก็สามารถแยกย่อยได้เฉพาะการแจกแจงแบบปกติเท่านั้น
• ทฤษฎีบทของ Cochranแสดงให้เห็นว่าพจน์ต่างๆ ในการแยกส่วนผลรวมกำลังสองของตัวแปรสุ่มปกติออกเป็นผลรวมกำลังสองของการรวมเชิงเส้นของตัวแปรเหล่านั้น จะมีการแจกแจงไคกำลังสองที่เป็นอิสระต่อกันเสมอ

• ทฤษฎีบทของเครเมอร์
• ทฤษฎีบทของคอคแรน
• การหารลงตัวอย่างไม่มีที่สิ้นสุด (ความน่าจะเป็น)
• ทฤษฎีบทของคินชินเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของการแจกแจง