ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันที่มีความแปรผันจำกัดหรือที่เรียกว่าฟังก์ชันBVคือฟังก์ชันค่าจริงที่ มี ความแปรผันรวมจำกัด (มีค่าจำกัด) กล่าวคือกราฟของฟังก์ชันที่มีคุณสมบัตินี้จะมีพฤติกรรมที่ดีในความหมายที่แม่นยำ สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง ของ ตัวแปรเดียวความแปรผันจำกัดหมายความว่าระยะทางตามทิศทางของแกนyโดยไม่คำนึงถึงการเคลื่อนที่ตามแกนxที่จุดที่เคลื่อนที่ไปตามกราฟนั้นมีค่าจำกัด สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องของหลายตัวแปร ความหมายของคำจำกัดความจะเหมือนกัน ยกเว้นข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นทางต่อเนื่องที่จะพิจารณานั้นไม่สามารถเป็นกราฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด (ซึ่งในกรณีนี้คือพื้นผิวหลายมิติ ) แต่สามารถเป็นจุดตัด ทุกจุด ของกราฟนั้นเองกับระนาบหลายมิติ (ในกรณีของฟังก์ชันสองตัวแปร คือระนาบ ) ที่ขนานกับ แกน xและแกนy ที่ กำหนด ไว้

ฟังก์ชันที่มีความแปรผันจำกัด คือฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์รีมันน์-สตีลต์เจสของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด ได้

ลักษณะเฉพาะอีกประการหนึ่งระบุว่า ฟังก์ชันที่มีความแปรผันจำกัดบนช่วงกระชับ คือฟังก์ชันfที่สามารถเขียนได้ในรูปผลต่างg  −  hโดยที่gและhเป็นฟังก์ชันเอก ภาคที่มีขอบเขต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชัน BV อาจมีจุดไม่ต่อเนื่อง แต่ไม่เกินจำนวนนับได้

ในกรณีที่มีตัวแปรหลายตัว ฟังก์ชันfที่กำหนดบนเซตย่อยเปิดΩของจะกล่าวได้ว่ามีความแปรผันจำกัด หากอนุพันธ์เชิงการกระจายของฟังก์ชัน นั้น เป็นมาตรวัดเรดอนแบบเวกเตอร์ที่มีค่า จำกัด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

หนึ่งในแง่มุมที่สำคัญที่สุดของฟังก์ชันที่มีความแปรผันจำกัดคือ ฟังก์ชันเหล่านี้ก่อให้เกิดพีชคณิตของฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งอนุพันธ์อันดับแรกมีอยู่เกือบทุกที่ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันเหล่านี้จึงสามารถและมักถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดคำตอบทั่วไปของปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันและสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและเชิงอนุพันธ์ ย่อย ในคณิตศาสตร์ฟิสิกส์และวิศวกรรม

เรามีลำดับการรวมต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิดที่มีขอบเขตบนเส้นจำนวนจริง:

อนุพันธ์ต่อเนื่อง ⊆ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ ⊆ต่อเนื่องสัมบูรณ์ ⊆ต่อเนื่องและแปรผันอย่างมีขอบเขต ⊆อนุพันธ์ได้เกือบทุกที่

ตามที่ Boris Golubov กล่าว ฟังก์ชัน BV ของตัวแปรเดียวได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยCamille Jordanในบทความ ( Jordan 1881 ) ที่เกี่ยวข้องกับการลู่เข้าของอนุกรมฟูริเยร์ "คุณสมบัติของฟังก์ชันที่มีการแปรผันจำกัดเป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายเพราะ Jordan ได้กล่าวถึงไว้ในหมายเหตุที่แนบมากับเล่มที่สามของCourse d'analyse ของเขา (1887) ^{[ 1 ]}

ขั้นตอนแรกที่ประสบความสำเร็จในการวางนัยทั่วไปของแนวคิดนี้ไปยังฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวนั้นเกิดจากLeonida Tonelli ^{[ 2 ]}ซึ่งได้แนะนำคลาสของ ฟังก์ชัน BV ต่อเนื่องในปี 1926 ( Cesari 1986 , หน้า 47–48) เพื่อขยายวิธีการโดยตรง ของเขา ในการหาคำตอบของปัญหาในแคลคูลัสของการแปรผันในตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว สิบปีต่อมา ใน ( Cesari 1936 ) Lamberto Cesari ได้เปลี่ยนข้อกำหนดความต่อเนื่องในคำจำกัดความของ Tonelli ไปเป็น ข้อกำหนดความสามารถ ในการอินทิเกรต ที่เข้มงวดน้อยกว่าทำให้ได้คลาสของฟังก์ชันการแปรผันแบบจำกัดของตัวแปรหลายตัวในรูปแบบทั่วไปอย่างสมบูรณ์เป็นครั้งแรก เช่นเดียวกับที่ Jordan ทำมาก่อน เขาได้ประยุกต์ใช้แนวคิดนี้เพื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรมฟูริเยร์ แต่สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวหลังจากเขา ผู้เขียนหลายคนได้ประยุกต์ใช้ฟังก์ชัน BV เพื่อศึกษาอนุกรมฟูริเยร์ในตัวแปรหลายตัวทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิตแคลคูลัสของการแปรผัน และฟิสิกส์ทางคณิตศาสตร์เรนาโต คาชิออปโปลีและเอนนิโอ เดอ จิออร์จีใช้เซตเหล่านี้ในการกำหนดมาตรวัดขอบเขตที่ไม่เรียบ ของเซต (ดู ข้อมูลเพิ่มเติมได้ในหัวข้อ " เซตคาชิออปโปลี ") โอลกา อาร์เซนิเยฟนา โอเลนิกนำเสนอมุมมองของเธอเกี่ยวกับคำตอบทั่วไปของ สม การเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไม่เชิงเส้นใน รูป ของฟังก์ชันจากปริภูมิ BV ในบทความ ( Oleinik 1957 ) และสามารถสร้างคำตอบทั่วไปของการแปรผันแบบจำกัดของ สมการเชิงอนุพันธ์ ย่อยอันดับหนึ่งได้ในบทความ ( Oleinik 1959 ) ไม่กี่ปีต่อมาเอ็ดเวิร์ด ดี. คอนเวย์และโจเอล เอ. สโมลเลอร์ได้ประยุกต์ใช้ฟังก์ชัน BV ในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไฮเปอร์โบลิกแบบไม่เชิงเส้นอันดับหนึ่งในบทความ ( Conway & Smoller 1966 ) โดยพิสูจน์ว่าคำตอบของปัญหาโคชีสำหรับสมการดังกล่าวเป็นฟังก์ชันของการแปรผันแบบจำกัด หากค่าเริ่มต้นอยู่ในชั้นเดียวกันไอซิก อิซาโควิช โวลเพิร์ตได้พัฒนาแคลคูลัสสำหรับฟังก์ชัน BV อย่างกว้างขวาง โดยในบทความ ( โวลเพิร์ต 1967 ) เขาได้พิสูจน์กฎลูกโซ่สำหรับฟังก์ชัน BVและในหนังสือ ( ฮุดจาเยฟและโวลเพิร์ต 1985 ) เขาได้ร่วมกับเซอร์เกย์ อิวาโนวิช ฮุดจาเยฟ ลูกศิษย์ของเขาเขาได้ศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชัน BV และการประยุกต์ใช้อย่างละเอียดถี่ถ้วน สูตรกฎลูกโซ่ของเขาได้รับการขยายเพิ่มเติมในภายหลังโดยLuigi AmbrosioและGianni Dal Masoในบทความ ( Ambrosio & Dal Maso 1990 )

นิยาม 1.1. ผลรวมของ การเปลี่ยนแปลง ของฟังก์ชัน ค่า จริง (หรือโดยทั่วไป คือฟังก์ชัน ค่าเชิงซ้อน ) fที่กำหนดบนช่วงหนึ่งคือปริมาณ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.\,}$

โดยที่ค่าสูงสุดจะหาจากเซต ของ พาร์ติชันทั้งหมดของช่วงเวลาที่พิจารณา ${\textstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P เป็นพาร์ติชันของ }}[a,b]{\text{ ที่สอดคล้องกับ }}x_{i}\leq x_{i+1}{\text{ สำหรับ }}0\leq i\leq n_{P}-1\right\}}$

ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์ของ f สามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ ค่าความแปรผันรวมของ f จะเท่ากับส่วนประกอบแนวตั้งของความยาวส่วนโค้งของกราฟ กล่าวคือ

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.}$

นิยาม 1.2ฟังก์ชันค่าจริงบนเส้นจำนวนจริงเรียกว่าเป็นฟังก์ชันที่มีความแปรผันจำกัด ( ฟังก์ชัน BV ) บนช่วง ที่เลือก ถ้าความแปรผันรวมของฟังก์ชันนั้นมีค่าจำกัด กล่าวคือ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle f\in \operatorname {BV} ([a,b])\iff V_{a}^{b}(f)<+\infty }$

สามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชันจริงมีค่าแปรผันจำกัดในก็ต่อเมื่อสามารถเขียนได้ในรูปผลต่างของฟังก์ชันไม่ลดลงสองฟังก์ชันและบน: ผลลัพธ์นี้เรียกว่าการแยกส่วนแบบจอร์แดนของฟังก์ชันและมีความเกี่ยวข้องกับการแยกส่วนแบบจอร์แดนของมาตรวัด ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f=f_{1}-f_{2}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle [a,b]}$

ผ่านอินทิกรัล Stieltjesฟังก์ชันใดๆ ที่มีการแปรผันจำกัดบนช่วงปิดจะกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขตบนในกรณีพิเศษนี้^{[ 3 ]}ทฤษฎีบทการแสดงแทน Riesz–Markov–Kakutaniระบุว่าฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขตทุกตัวเกิดขึ้นอย่างไม่ซ้ำกันด้วยวิธีนี้ ฟังก์ชันบวกปกติหรือมาตรวัดความน่าจะ เป็นสอดคล้องกับ ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างที่ไม่ลดลงที่เป็นบวกมุมมองนี้มีความสำคัญใน ทฤษฎีสเปกตรัม [ ^{4 ] โดย}เฉพาะอย่างยิ่งในการประยุกต์ใช้กับ สม การ เชิงอนุพันธ์สามัญ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle C([a,b])}$

ฟังก์ชันของการแปรผันที่จำกัด ฟังก์ชัน BV คือฟังก์ชันที่อนุพันธ์ การกระจายตัว เป็นการวัด Radon ที่จำกัด^{[ 5 ]} กล่าวโดยละเอียด:

นิยาม 2.1.ให้เป็นเซตย่อยเปิดของ ฟังก์ชัน ที่อยู่ในเรียกว่าฟังก์ชันที่มีความแปรผันจำกัด ( ฟังก์ชัน BV ) และเขียนแทนด้วย ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle L^{1}(\โอเมก้า )}$

${\displaystyle u\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

ถ้ามีเวกเตอร์วัดเรดอนจำกัดอยู่จริง ซึ่งทำให้ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง ${\displaystyle Du\in {\mathcal {M}}(\โอเมก้า ,\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldสัญลักษณ์ {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldสัญลักษณ์ {\phi }},Du(x)\rangle \qquad \forall {\boldสัญลักษณ์ {\phi }}\in C_{c}^{1}(\โอเมก้า ,\mathbb {R} ^{n})}$

กล่าวคือกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นบนปริภูมิของฟังก์ชันเวกเตอร์ที่อนุพันธ์ต่อเนื่องได้ซึ่ง มี ขอบเขต จำกัด ที่บรรจุอยู่ใน: ดังนั้นการวัด เวกเตอร์จึงแสดงถึง เกรเดียนต์แบบกระจายหรือแบบอ่อนของ${\displaystyle u}$${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\phi }}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle Du}$${\displaystyle u}$

BV สามารถนิยามได้อย่างเทียบเท่ากันด้วยวิธีต่อไปนี้

นิยาม 2.2.เมื่อกำหนดฟังก์ชันที่อยู่ใน การเปลี่ยนแปลง ทั้งหมดของ^{[ 6 ]}ในจะถูกกำหนดเป็น ${\displaystyle u}$${\displaystyle L^{1}(\โอเมก้า )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle V(u,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldสัญลักษณ์ {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldสัญลักษณ์ {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldสัญลักษณ์ {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

บรรทัดฐานสูงสุดที่สำคัญอยู่ที่ไหนบางครั้ง โดยเฉพาะในทฤษฎีเซต Caccioppoliจะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้ ${\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\โอเมก้า )}}$

${\displaystyle \int _{\โอเมก้า }\vert Du\vert =V(u,\โอเมก้า )}$

เพื่อเน้นย้ำว่านี่คือการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดของเกร เดียนต์ แบบกระจาย / แบบอ่อนของสัญลักษณ์นี้ยังเตือนด้วยว่า ถ้าเป็นฟังก์ชันประเภท (กล่าวคือฟังก์ชันต่อเนื่องและ หาอนุพันธ์ได้ ที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง ) แล้วการเปลี่ยนแปลง ของมัน คือปริพันธ์ของค่าสัมบูรณ์ ของเก ร เดียนต์ของมัน อย่างแม่นยำ${\displaystyle V(u,\Omega )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle C^{1}}$

พื้นที่ของฟังก์ชันที่มีความแปรผันจำกัด ( ฟังก์ชัน BV ) สามารถกำหนดได้ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )=\{u\in L^{1}(\Omega )\colon V(u,\Omega )<+\infty \}}$

นิยามทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน เนื่องจากถ้าเช่นนั้น ${\displaystyle V(u,\Omega )<+\infty }$

${\displaystyle \left|\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldสัญลักษณ์ {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq V(u,\Omega )\Vert {\boldสัญลักษณ์ {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\qquad \forall {\boldสัญลักษณ์ {\phi }}\in C_{c}^{1}(\โอเมก้า ,\mathbb {R} ^{n})}$

ดังนั้น จึงกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบนปริภูมิเนื่องจากเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้น ฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องนี้จึงสามารถขยายได้อย่างต่อเนื่องและเป็นเชิงเส้นไปยังปริภูมิทั้งหมดโดยทฤษฎีบทฮาห์น-บานาคดังนั้น ฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องจึงกำหนดมาตรวัดราดอนโดยทฤษฎีบทการแทนของรีสซ์-มาร์คอฟ-คาคูทานิ ${\textstyle \displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\phi }}\mapsto \,\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldสัญลักษณ์ {\phi }}(x)\,dx}$${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})\subset C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

หากพิจารณาปริภูมิฟังก์ชันของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ในระดับท้องถิ่น กล่าว คือฟังก์ชันที่อยู่ในกลุ่ม ในนิยาม 1.2 , 2.1และ2.2 ก่อนหน้านี้ แทนที่จะเป็นปริภูมิ ฟังก์ชันของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ ได้ในระดับสากล ปริภูมิ ฟังก์ชันที่กำหนดขึ้นจะเป็นปริภูมิฟังก์ชันของฟังก์ชันที่มีการแปรผันจำกัดในระดับท้องถิ่น กล่าวคือ เมื่อพัฒนาแนวคิดนี้สำหรับนิยาม 2.2การแปรผันในระดับท้องถิ่นจะถูกกำหนดดังต่อไปนี้ ${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(\โอเมก้า )}$

${\displaystyle V(u,U):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

สำหรับทุกเซต โดยกำหนดให้เป็นเซตของเซตย่อยเปิดแบบพรีคอม แพ็กต์ทั้งหมด ของโดยสัมพันธ์กับโทโพโลยี มาตรฐาน ของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดและในทำนองเดียวกัน ชั้นของฟังก์ชันที่มีการแปรผันแบบจำกัดเฉพาะที่ถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$${\displaystyle {\mathcal {O}__{c}(\โอเมก้า )}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \operatorname {BV} _{\text{loc}}(\Omega )=\{u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )\colon \,(\forall U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega ))\,V(u,U)<+\infty \}}$

โดยพื้นฐานแล้วมีหลักการสองแบบที่แตกต่างกันสำหรับการเขียนสัญลักษณ์ของปริภูมิของฟังก์ชันที่มีการแปรผันแบบจำกัดในระดับท้องถิ่นหรือระดับโลก และน่าเสียดายที่ทั้งสองแบบค่อนข้างคล้ายกัน: แบบแรก ซึ่งเป็นแบบที่ใช้ในบทความนี้ ใช้ในเอกสารอ้างอิง เช่นGiusti (1984) (บางส่วน), Hudjaev & Vol'pert (1985) (บางส่วน), Giaquinta, Modica & Souček (1998)และเป็นแบบดังต่อไปนี้

• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ระบุพื้นที่ของฟังก์ชันที่มีการแปรผันที่จำกัดทั่วโลก
• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } _{\text{loc}}(\Omega )}$ระบุพื้นที่ของฟังก์ชันที่มีการแปรผันที่จำกัดในระดับท้องถิ่น

ข้อที่สอง ซึ่งถูกนำมาใช้ในเอกสารอ้างอิงVol'pert (1967)และMaz'ya (1985) (บางส่วน) มีดังต่อไปนี้:

• ${\displaystyle {\overline {\operatorname {\operatorname {BV} } }}(\Omega )}$ระบุพื้นที่ของฟังก์ชันที่มีการแปรผันที่จำกัดทั่วโลก
• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ระบุพื้นที่ของฟังก์ชันที่มีการแปรผันที่จำกัดในระดับท้องถิ่น

ต่อไปนี้จะพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติทั่วไปของฟังก์ชันตัวแปรเดียวและฟังก์ชัน หลายตัวแปรเท่านั้น และ จะทำการพิสูจน์เฉพาะฟังก์ชันหลายตัวแปรเท่านั้น เนื่องจากวิธีการพิสูจน์กรณีตัวแปรเดียวเป็นการดัดแปลงโดยตรงจากกรณีหลายตัวแปร นอกจากนี้ ในแต่ละส่วนจะระบุด้วยว่าคุณสมบัติดังกล่าวมีอยู่ในฟังก์ชันที่มีการแปรผันแบบจำกัดเฉพาะที่หรือไม่ มีการอ้างอิงอย่างกว้างขวางใน ( Giusti 1984 , หน้า 7–9), ( Hudjaev & Vol'pert 1985 ) และ ( Màlek et al. 1996 )

ในกรณีที่มีตัวแปรเดียว ข้อความดังกล่าวชัดเจน: สำหรับแต่ละจุดในช่วงนิยามของฟังก์ชัน ข้อความใดข้อความหนึ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)=\!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)\neq \!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

ในขณะที่ ลิมิตทั้งสองมีอยู่และมีค่าจำกัด ในกรณีของฟังก์ชันหลายตัวแปร มีข้อสมมติบางประการที่ต้องทำความเข้าใจ ประการแรก มีทิศทางต่อเนื่องที่สามารถเข้าใกล้จุดที่กำหนดซึ่งอยู่ในโดเมน⊂ ได้ จำเป็นต้องทำให้แนวคิดของลิมิต มีความชัดเจนยิ่งขึ้น : เมื่อเลือกเวกเตอร์หน่วยแล้วสามารถแบ่งออกเป็นสองเซตได้ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {a}}}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}\qquad \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},-{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}}$

ดังนั้น สำหรับแต่ละจุดที่อยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน BV จะมีเพียงข้อความใดข้อความหนึ่งต่อไปนี้ที่เป็นจริง ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \Omega \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=\!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})\neq \!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

หรือเป็นส่วนหนึ่งของเซตย่อยที่มีมาตรวัดเฮาส์ดอร์ฟมิติศูนย์ ปริมาณเหล่านี้ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}}_{0})\qquad \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}}_{0})}$

เรียกว่าค่าประมาณของฟังก์ชัน BV ที่จุดนั้น ${\displaystyle u}$${\displaystyle x_{0}}$

ฟังก์ชันดังกล่าวเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง : เพื่อให้เห็นเช่นนั้น ให้เลือกซีกโคชีของฟังก์ชัน BV ที่ลู่เข้าสู่ จากนั้น เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดในซีกและฟังก์ชันลิมิตของพวกมันสามารถหาปริพันธ์ได้และตามนิยามของลิมิตล่าง${\displaystyle V(\cdot ,\Omega ):\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )&\geq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\\&\geq \int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\quad \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\end{aligned}}}$

เมื่อพิจารณาค่าสูงสุดบนเซตของฟังก์ชันแล้วอสมการต่อไปนี้จะเป็นจริง ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1}$

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq V(u,\Omega )}$

ซึ่งตรงกับนิยามของ ความ ต่อ เนื่องกึ่งล่าง อย่างแท้จริง

ตามนิยามแล้วคือเซตย่อยของในขณะที่ความเป็นเชิงเส้นเป็นผลมาจากคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของอินทิกรัล ที่กำหนด กล่าว คือ ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }[u(x)+v(x)]\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }v(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=\\&=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle -\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Dv(x)\rangle =-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),[Du(x)+Dv(x)]\rangle \end{aligned}}}$

ดังนั้นเพื่อทุกคนและ ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle u+v\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle u,v\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }c\cdot u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-c\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle }$

สำหรับทุก ๆดังนั้นสำหรับทุก ๆและทุก ๆคุณสมบัติของปริภูมิเวกเตอร์ที่พิสูจน์แล้ว บ่งชี้ว่า เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดดังนี้ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$${\displaystyle cu\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle u\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \|\;\|_{\operatorname {BV} }:\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {BV} }:=\|u\|_{L^{1}}+V(u,\Omega )}$

บรรทัดฐานปกติอยู่ที่ไหน: พิสูจน์ได้ง่ายว่านี่คือบรรทัดฐานบนเพื่อดูว่า นั้นสมบูรณ์เมื่อเทียบกับมัน กล่าวคือเป็นปริภูมิบานาคให้พิจารณาลำดับโคชีในตามคำนิยาม มันยังเป็นลำดับโคชีในและดังนั้นจึงมีลิมิตใน: เนื่องจากมีขอบเขตในสำหรับแต่ละแล้วโดยความต่อเนื่องกึ่งล่างของการแปรผันดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชัน BV สุดท้าย โดยความต่อเนื่องกึ่งล่างอีกครั้ง เลือกจำนวนบวกเล็กๆ ใดๆ${\displaystyle \|\;\|_{L^{1}}}$${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Vert u\Vert _{\operatorname {BV} }<+\infty }$${\displaystyle V(\cdot ,\Omega )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \Vert u_{j}-u_{k}\Vert _{\operatorname {BV} }<\varepsilon \quad \forall j,k\geq N\in \mathbb {N} \quad \Rightarrow \quad V(u_{k}-u,\Omega )\leq \liminf _{j\rightarrow +\infty }V(u_{k}-u_{j},\Omega )\leq \varepsilon }$

จากสิ่งนี้เราสรุปได้ว่าเป็นค่าต่อเนื่องเนื่องจากเป็นค่ามาตรฐาน ${\displaystyle V(\cdot ,\Omega )}$

เพื่อให้เห็นสิ่งนี้ พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ที่อยู่ในพื้นที่ก็เพียงพอแล้ว: ^{[ 7 ]}สำหรับแต่ละ 0 <  α  < 1 กำหนด ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1])}$

${\displaystyle \chi _{\alpha }=\chi _{[\alpha ,1]}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x\notin \;[\alpha ,1]\\1&{\mbox{if }}x\in [\alpha ,1]\end{cases}}}$

โดยเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของช่วงปิดทางซ้าย จากนั้น เลือกค่าที่ทำให้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle [\alpha ,1]}$${\displaystyle \alpha ,\beta \in [0,1]}$${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

${\displaystyle \Vert \chi _{\alpha }-\chi _{\beta }\Vert _{\operatorname {BV} }=2}$

ทีนี้ เพื่อพิสูจน์ว่าเซตย่อยหนาแน่นทุกเซตของไม่สามารถเป็นเซตที่นับได้ก็เพียงพอที่จะเห็นว่า สำหรับทุก ๆเซตนั้น สามารถสร้างทรงกลมได้${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (]0,1[)}$${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle B_{\alpha }=\left\{\psi \in \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1]);\Vert \chi _{\alpha }-\psi \Vert _{\operatorname {BV} }\leq 1\right\}}$

เห็นได้ชัดว่าลูกบอลเหล่านั้นแยกจากกันเป็นคู่ๆและยังเป็นตระกูลของเซต ที่มีดัชนี ซึ่งเซตดัชนีคือซึ่งหมายความว่าตระกูลนี้มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนสมาชิกต่อเนื่อง : เนื่องจากเซตย่อยหนาแน่นทุกเซตของจะต้องมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดภายในสมาชิกแต่ละตัวของตระกูลนี้ จำนวนสมาชิกของมันจึงอย่างน้อยเท่ากับจำนวนสมาชิกต่อเนื่องและไม่สามารถเป็นเซตย่อยที่นับได้^{[ 8 ]}ตัวอย่างนี้สามารถขยายไปยังมิติที่สูงกว่าได้อย่างชัดเจน และเนื่องจากเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติเฉพาะที่ เท่านั้น จึงหมายความว่าคุณสมบัติเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับ ด้วยเช่นกัน ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1])}$${\displaystyle \operatorname {BV} _{loc}}$

กฎลูกโซ่สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เรียบมีความสำคัญมากในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์เนื่องจากมีแบบจำลองทางฟิสิกส์ ที่สำคัญหลายแบบ ซึ่งพฤติกรรมของแบบจำลองเหล่านั้นถูกอธิบายโดยฟังก์ชันหรือฟังก์ชันนัลที่มีระดับความเรียบ ที่จำกัดมาก กฎลูกโซ่ต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในบทความ ( Vol'pert 1967 , หน้า 248) โปรดทราบว่าอนุพันธ์ย่อย ทั้งหมด จะต้องถูกตีความในความหมายทั่วไป กล่าวคือ เป็นอนุพันธ์ทั่วไป

ทฤษฎีบทให้เป็นฟังก์ชันในกลุ่ม(กล่าวคือฟังก์ชันต่อเนื่องและ หาอนุพันธ์ได้ ที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง ) และให้เป็นฟังก์ชันในโดยที่เป็นเซตย่อยเปิดของแล้วและ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=(u_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,u_{p}({\boldsymbol {x}}))}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } _{loc}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f\circ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))\in \operatorname {\operatorname {BV} } _{loc}(\Omega )}$

${\displaystyle {\frac {\partial f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\partial {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {u_{k}({\boldsymbol {x}})}}{\partial x_{i}}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n}$

โดยที่คือค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน ณ จุดซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}$${\displaystyle x\in \Omega }$

${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))=\int _{0}^{1}f\left({\boldsymbol {u}}_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}})t+{\boldsymbol {u}}_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}})(1-t)\right)\,dt}$

สูตรกฎลูกโซ่ ทั่วไปสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ถูกค้นพบโดยLuigi AmbrosioและGianni Dal Masoและตีพิมพ์ในบทความ ( Ambrosio & Dal Maso 1990 ) อย่างไรก็ตาม แม้แต่สูตรนี้ก็ยังมีผลลัพธ์โดยตรงที่สำคัญมาก: เราใช้แทน โดยที่ก็เป็นฟังก์ชันเช่นกัน เราต้องสมมติด้วยว่าสามารถหาปริพันธ์ได้ในระดับท้องถิ่นเทียบกับมาตรวัดสำหรับแต่ละและสามารถหาปริพันธ์ได้ในระดับท้องถิ่นเทียบกับมาตรวัดสำหรับแต่ละ จากนั้น เมื่อเลือกสูตรข้างต้นจะให้กฎของไลบ์นิซสำหรับฟังก์ชัน 'BV' ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} ^{s}}$${\displaystyle (u({\boldsymbol {x}}),v({\boldsymbol {x}}))}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle v({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle BV_{loc}}$${\displaystyle {\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle {\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle {\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f((u,v))=uv}$

${\displaystyle {\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}={{\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}+{{\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$

เป็นไปได้ที่จะขยายแนวคิดเรื่องความแปรผันรวม ข้างต้น เพื่อให้ความแปรผันที่แตกต่างกันมีน้ำหนักต่างกัน กล่าวคือ ให้เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นใดๆ โดยที่( ฟังก์ชันน้ำหนัก ) และให้เป็นฟังก์ชันจากช่วงที่รับค่าในปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐานจากนั้นความแปรผันของบนจะถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle \varphi :[0,+\infty )\longrightarrow [0,+\infty )}$${\displaystyle \varphi (0)=\varphi (0+)=\lim _{x\rightarrow 0_{+}}\varphi (x)=0}$${\displaystyle f:[0,T]\longrightarrow X}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle \subset \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,T]}$

${\displaystyle \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f):=\sup \sum _{j=0}^{k}\varphi \left(|f(t_{j+1})-f(t_{j})|_{X}\right),}$

โดยที่ค่าสูงสุดจะหาจากพาร์ทิชันจำกัดทั้งหมดของช่วง นั่นคือเซตจำกัด ทั้งหมด ของจำนวนจริงที่ ${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle t_{i}}$

${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=T.}$

แนวคิดดั้งเดิมของการแปรผันที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นกรณีพิเศษของการแปรผันแบบ ซึ่งฟังก์ชันน้ำหนักคือฟังก์ชันเอกลักษณ์ดังนั้นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้จะเรียกว่าเป็นฟังก์ชัน BV แบบมีน้ำหนัก (ที่มีน้ำหนัก) ก็ต่อเมื่อการแปรผันแบบ ของฟังก์ชันนั้นมีค่าจำกัด ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle f\in \operatorname {BV} _{\varphi }([0,T];X)\iff \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f)<+\infty }$

ปริภูมิดังกล่าวเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีโดยสัมพันธ์กับนอร์ม${\displaystyle \operatorname {BV} _{\varphi }([0,T];X)}$

${\displaystyle \|f\|_{\operatorname {BV} _{\varphi }}:=\|f\|_{\infty }+\mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f),}$

โดยที่หมายถึงค่าสูงสุดของนอร์ม ปกติ ของฟังก์ชัน BV แบบถ่วงน้ำหนักได้รับการแนะนำและศึกษาอย่างเต็มรูปแบบโดยWładysław OrliczและJulian MusielakในบทความMusielak & Orlicz 1959 : Laurence Chisholm Youngได้ศึกษาในกรณีที่เป็นจำนวนเต็มบวก มาก่อนหน้านี้${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi (x)=x^{p}}$${\displaystyle p}$

ฟังก์ชัน SBV หรือฟังก์ชันพิเศษที่มีความแปรผันจำกัด (Special functions of Bounded Variation)ถูกนำเสนอโดยLuigi AmbrosioและEnnio De Giorgiในบทความ ( Ambrosio & De Giorgi 1988 ) ซึ่งเกี่ยวข้องกับปัญหาความแปรผัน แบบไม่ต่อเนื่องอิสระ : เมื่อกำหนดเซตย่อยเปิด ของพื้นที่นั้นเป็นพื้นที่ย่อยเชิงเส้น ที่เหมาะสม ของเนื่องจากเกรเดียนต์แบบอ่อนของแต่ละฟังก์ชันที่อยู่ในนั้นประกอบด้วยผลรวมของส่วนรองรับมิติและมาตรวัดส่วนรองรับมิติและไม่มีพจน์มิติกลางดังที่เห็นในคำจำกัดความต่อไปนี้ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {SBV} (\Omega )}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

นิยามกำหนดให้ฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในระดับท้องถิ่น แล้วก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle u}$${\displaystyle u\in \operatorname {SBV} (\Omega )}$

1.มีฟังก์ชันบอเรล สองฟังก์ชัน คือ และที่มีโดเมนและโคโดเมนโดยที่ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert f\vert \,dH^{n}+\int _{\Omega }\vert g\vert \,dH^{n-1}<+\infty .}$

2. สำหรับ ฟังก์ชันเวกเตอร์ที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง ทั้งหมดที่ มีขอบเขตจำกัด ซึ่งบรรจุอยู่ใน กล่าวคือสำหรับทุกค่า สูตรต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\operatorname {div} \phi \,dH^{n}=\int _{\Omega }\langle \phi ,f\rangle \,dH^{n}+\int _{\Omega }\langle \phi ,g\rangle \,dH^{n-1}.}$

โดยที่ ค่า การวัดเฮาส์ดอร์ฟมิติ - คือค่าใด${\displaystyle H^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$

รายละเอียดเกี่ยวกับคุณสมบัติของ ฟังก์ชัน SBVสามารถพบได้ในงานที่อ้างอิงในส่วนบรรณานุกรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งบทความ ( De Giorgi 1992 ) มีบรรณานุกรมที่ เป็นประโยชน์

ตัวอย่างเฉพาะของปริภูมิบานาค Dunford & Schwartz (1958 , บทที่ IV) พิจารณาปริภูมิของลำดับที่มีความแปรผันจำกัดนอกเหนือจากปริภูมิของฟังก์ชันที่มีความแปรผันจำกัด ความแปรผันรวมของลำดับx  = ( xi ₎ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {TV} (x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

ปริภูมิของลำดับทั้งหมดที่มีความแปรผันรวมจำกัดจะถูกแทนด้วย BV นอร์มบน BV กำหนดโดย

${\displaystyle \|x\|_{\operatorname {BV} }=|x_{1}|+\operatorname {TV} (x)=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

ด้วยบรรทัดฐานนี้ พื้นที่ BV เป็นพื้นที่ Banach ซึ่งสมมาตรกับ ${\displaystyle \ell _{1}}$

ความแปรผันทั้งหมดนั้นเองกำหนดบรรทัดฐานบนปริภูมิย่อยบางส่วนของ BV ซึ่งแสดงด้วย BV ₀โดยประกอบด้วยลำดับx = ( x _i ) ซึ่ง

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=0.}$

ค่ามาตรฐานบน BV ₀ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \|x\|_{\operatorname {BV} _{0}}=\operatorname {TV} (x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

เมื่อพิจารณาตามบรรทัดฐานนี้ BV ₀ก็จะกลายเป็นปริภูมิบานาคเช่นกัน ซึ่งมีสมบัติสมมาตรและสมมูลกับ(แม้ว่าจะไม่ใช่ในลักษณะที่เป็นธรรมชาติก็ตาม) ${\displaystyle \ell _{1}}$

กล่าวได้ว่าการวัดแบบมีเครื่องหมาย (หรือเชิงซ้อน ) บนปริภูมิที่วัดได้ นั้นมีการแปรผันจำกัด หาก การแปรผันรวมของการแปรผันรวม นั้น มีขอบเขตจำกัด ดูHalmos (1950 , หน้า 123), Kolmogorov & Fomin (1969 , หน้า 346) หรือหัวข้อ " การแปรผันรวม " สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \Vert \mu \Vert =|\mu |(X)}$

ดังที่กล่าวไว้ในบทนำ ฟังก์ชัน BV แบ่งออกเป็นสองกลุ่มใหญ่ ได้แก่ ฟังก์ชันเอกภาค และฟังก์ชันต่อเนื่องสัมบูรณ์ สำหรับตัวอย่างเชิงลบ: ฟังก์ชัน

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

ไม่ใช่ การแปรผันที่จำกัด ในช่วงเวลา${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

แม้ว่าจะมองเห็นได้ยากกว่า แต่ฟังก์ชันต่อเนื่องนั้น

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

ไม่มีการแปรผันที่จำกัดในช่วงเวลานั้นเช่นกัน ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

ในขณะเดียวกัน ฟังก์ชัน

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

มีค่าความแปรผันจำกัดในช่วงอย่างไรก็ตามฟังก์ชันทั้งสามมีค่าความแปรผันจำกัดในแต่ละช่วงเช่น กัน${\displaystyle [0,2/\pi ]}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a>0}$

ฟังก์ชันเอกภาคที่มีขอบเขตทุกฟังก์ชันจะมีความแปรผันที่มีขอบเขต สำหรับฟังก์ชันดังกล่าวบนช่วงและการแบ่งช่วงใดๆ ก็ตาม จะเห็นได้ว่า ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle P=\{x_{0},\ldots ,x_{n_{P}}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|=|f(b)-f(a)|}$

จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมทางด้านซ้ายเป็นแบบเทเลสโคปิกจากนี้จึงสรุปได้ว่า สำหรับค่าดังกล่าว ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=|f(b)-f(a)|.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชัน Cantor แบบโมโนโทน เป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดีของฟังก์ชันที่มีการเปลี่ยนแปลงแบบจำกัดซึ่งไม่ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์^{[ 9 ]}

ปริภูมิโซโบเลฟ เป็นเซตย่อยแท้ของในความเป็นจริง สำหรับแต่ละในสามารถเลือกมาตรวัด (โดยที่คือมาตรวัดเลเบสบน) ได้เช่นนั้น ความเท่าเทียมกัน ${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$${\displaystyle \mu :=\nabla u{\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int u\operatorname {div} \phi =-\int \phi \,d\mu =-\int \phi \,\nabla u\qquad \forall \phi \in C_{c}^{1}}$

เป็นจริง เพราะมันก็คือคำจำกัดความของอนุพันธ์อ่อนนั่นเอง ดังนั้นจึงเป็นจริง เราสามารถหาตัวอย่างของฟังก์ชัน BV ที่ไม่เป็นจริงได้ง่ายๆเช่น ในมิติหนึ่ง ฟังก์ชันขั้นบันไดใดๆ ที่มีการกระโดดที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ก็ใช้ได้ ${\displaystyle W^{1,1}}$

ฟังก์ชันที่มีความแปรผันจำกัดได้รับการศึกษาโดยเชื่อมโยงกับเซตของจุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันและความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริง และผลลัพธ์ต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกันดี ถ้าเป็นฟังก์ชันจริงที่มีความแปรผันจำกัดบนช่วงหนึ่งแล้ว ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$

• ${\displaystyle f}$มีความต่อเนื่องยกเว้นในกรณีส่วนใหญ่บนเซตที่นับได้
• ${\displaystyle f}$มีขอบเขตด้านเดียวทุกที่ (ขอบเขตจากด้านซ้ายทุกที่ในและขอบเขตจากด้านขวาทุกที่ใน )${\displaystyle (a,b]}$${\displaystyle [a,b)}$
• อนุพันธ์มีอยู่เกือบทุกที่( กล่าวคือ ยกเว้นเซตที่มีขนาดเป็นศูนย์ )${\displaystyle f'(x)}$

สำหรับฟังก์ชันจริง ของตัวแปรจริงหลายตัว

• ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซต Caccioppoliคือฟังก์ชัน BV: ฟังก์ชัน BV เป็นพื้นฐานของทฤษฎีเส้นรอบรูปสมัยใหม่
• พื้นผิวขั้นต่ำคือกราฟของฟังก์ชัน BV: ในบริบทนี้ โปรดดูเอกสารอ้างอิง ( Giusti 1984 )

ความสามารถของฟังก์ชัน BV ในการจัดการกับความไม่ต่อเนื่องทำให้มีการใช้งานอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์ประยุกต์: คำตอบของปัญหาในกลศาสตร์ ฟิสิกส์ และจลนศาสตร์เคมี มักสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันที่มีความแปรผันจำกัด หนังสือเล่มนี้ ( Hudjaev & Vol'pert 1985 ) ได้อธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ฟังก์ชัน BV ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ไว้อย่างครบถ้วน นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างการประยุกต์ใช้ในยุคปัจจุบันที่ควรค่าแก่การอธิบายโดยสังเขปด้วย

• ฟังก์ชัน Mumford –Shah : ปัญหาการแบ่งส่วนภาพสองมิติ กล่าวคือ ปัญหาการสร้างเส้นขอบและระดับสีเทาขึ้นมาใหม่ได้อย่างถูกต้องนั้น เทียบเท่ากับ การลดค่า ฟังก์ชันดังกล่าวให้เหลือน้อยที่สุด
• การลดสัญญาณรบกวนแบบความแปรผันรวม

• Golubov, Boris I.; Vitushkin, Anatolii G. (2001) [1994], "การเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• " ฟังก์ชัน BV " PlanetMath.
• Rowland, Todd และ Weisstein, Eric W. "Bounded Variation" . MathWorld .
• ฟังก์ชันของการแปรผันที่มีขอบเขตในสารานุกรมคณิตศาสตร์

• หน้าเว็บส่วนตัวของ Luigi Ambrosio ที่Scuola Normale Superiore di Pisaหน้าเว็บวิชาการ (พร้อมบทความฉบับร่างและผลงานตีพิมพ์) ของหนึ่งในผู้มีส่วนร่วมในทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ฟังก์ชัน BV
• กลุ่มวิจัยแคลคูลัสของการแปรผันและทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิต Scuola Normale Superiore di Pisa

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากฟังก์ชัน BV บนPlanetMath มาใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License