สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง

Q: โซลูชันทั่วไปและโซลูชันแบบบูรณาการที่สมบูรณ์

คำ ตอบทั่วไป ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งคือคำตอบที่มีฟังก์ชันใดๆ อยู่ด้วย แต่คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งที่มีค่าคงที่ใดๆ เท่ากับจำนวนตัวแปรอิสระเรียกว่า ปริพันธ์สมบูรณ์ ต่อไปนี้คือตระกูลคำตอบที่มีพารามิเตอร์ n ตัว

ในทางคณิตศาสตร์สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งคือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันตัวแปรที่ไม่ทราบค่า สมการมีรูปแบบ^[¹^] โดยใช้สัญลักษณ์ตัวห้อยเพื่อแสดงอนุพันธ์ย่อยของ $u$ $n\geq 2$ $F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0,$ $u$

สมการดังกล่าวเกิดขึ้นในการสร้างพื้นผิวลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไฮเปอร์โบลิก ในแคลคูลัสของการแปรผันใน ปัญหา ทางเรขาคณิต บางประการ และในแบบจำลองอย่างง่ายสำหรับพลศาสตร์ของก๊าซซึ่งการแก้ปัญหาเกี่ยวข้อง กับ วิธีลักษณะ เฉพาะ เช่นสมการการพาความร้อนหากสามารถหาชุดคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งเพียงสมการเดียวได้แล้ว ก็สามารถหาคำตอบเพิ่มเติมได้โดยการสร้างซองของคำตอบในชุดนั้น ในกระบวนการที่เกี่ยวข้อง ก็สามารถหาคำตอบทั่วไปได้โดยการอินทิเกรตชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

โซลูชันทั่วไปและโซลูชันแบบบูรณาการที่สมบูรณ์

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งคือคำตอบที่มีฟังก์ชันใดๆ อยู่ด้วย แต่คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งที่มีค่าคงที่ใดๆ เท่ากับจำนวนตัวแปรอิสระเรียกว่าปริพันธ์สมบูรณ์ต่อไปนี้คือตระกูลคำตอบที่มีพารามิเตอร์ n ตัว

\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},u,a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})

เป็นอินทิกรัลสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ[ ²^]^การอภิปรายด้านล่างนี้เกี่ยวกับประเภทของอินทิกรัลอ้างอิงจากตำราA Treatise on Differential Equations (บทที่ IX ฉบับที่ 6 พ.ศ. 2461) โดยAndrew Forsyth ^[³^] ${\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0$

อินทิกรัลสมบูรณ์

วิธีการแก้ปัญหาต่างๆ จะถูกอธิบายในลักษณะที่ค่อนข้างง่ายในสองหรือสามมิติ ซึ่งแนวคิดหลักสามารถขยายไปยังมิติที่สูงกว่าได้อย่างง่ายดาย สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งทั่วไปในสามมิติมีรูปแบบดังนี้

F(x,y,z,u,p,q,r)=0,\,

สมมติให้เป็นอินทิกรัลสมบูรณ์ที่ประกอบด้วยค่าคงที่สามค่าจากนี้เราสามารถหาความสัมพันธ์สามอย่างได้โดยการหาอนุพันธ์ $p=u_{x},\,q=u_{y},\,r=u_{z}.$ $\phi (x,y,z,u,a,b,c)=0$ $(a,b,c)$

\phi _{x}+p\phi _{u}=0

\phi _{y}+q\phi _{u}=0

\phi _{z}+r\phi _{u}=0

นอกจากปริพันธ์สมบูรณ์แล้วความสัมพันธ์ทั้งสามข้างต้นยังสามารถใช้เพื่อกำจัดค่าคงที่สามค่าและได้สมการ (สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยดั้งเดิม) ที่เชื่อมโยงกันได้ โปรดทราบว่าการกำจัดค่าคงที่ที่นำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยนั้นไม่จำเป็นต้องมีเพียงหนึ่งเดียว กล่าวคือ สมการสองสมการที่แตกต่างกันอาจให้ผลลัพธ์เป็นปริพันธ์สมบูรณ์เดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น การกำจัดค่าคงที่จากความสัมพันธ์จะนำไปสู่และ $\phi =0$ $(x,y,z,u,p,q,r)$ $u={\sqrt {(xa)^{2}+(yb)^{2}}}+zc$ $p^{2}+q^{2}=1$ $r=1$

อินทิกรัลทั่วไป

เมื่อได้อินทิกรัลสมบูรณ์แล้ว สามารถสร้างคำตอบทั่วไปจากอินทิกรัลนั้นได้ อินทิกรัลทั่วไปได้มาจากการทำให้ค่าคงที่เป็นฟังก์ชันของพิกัด กล่าวคือฟังก์ชันเหล่านี้ถูกเลือกเพื่อให้รูปแบบของไม่เปลี่ยนแปลง เพื่อให้สามารถใช้กระบวนการกำจัดจากอินทิกรัลสมบูรณ์ได้ การหาอนุพันธ์ของอินทิกรัลสมบูรณ์จะให้ผลลัพธ์ดังนี้ $a=a(x,y,z),\,b=b(x,y,z),\,c=c(x,y,z)$ $(p,q,r)$

\phi _{x}+p\phi _{u}=-(a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})

\phi _{y}+q\phi _{u}=-(a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})

\phi _{z}+r\phi _{u}=-(a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})

ซึ่งเราต้องการให้พจน์ด้านขวามือของสมการทั้งสามมีค่าเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ เพื่อให้การกำจัด ออกจากจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เงื่อนไขนี้สามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้โดยเขียนเป็น $(a,b,c)$ $\phi$

J\phi _{a}=0,\quad J\phi _{b}=0,\quad J\phi _{c}=0

ที่ไหน

J={\frac {\partial (a,b,c)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}

คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริก ซ์จาโคเบียนเงื่อนไขนี้นำไปสู่คำตอบทั่วไป เมื่อใดก็ตามที่ แล้วจะมีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างเพราะเมื่อใดก็ตามที่ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ คอลัมน์ (หรือแถว) จะไม่เป็นอิสระเชิงเส้น ให้ถือว่าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันนี้เป็น $J=0$ $J=0$ $(a,b,c)$

c=\psi (a,b).

เมื่อพบแล้ว ปัญหาก็จะได้รับการแก้ไข จากความสัมพันธ์ข้างต้น เราจะได้โดยการรวมสมการดั้งเดิมและเราจะได้จากนั้นกำจัด ออกจากสมการทั้งสองที่ได้มา เราจะได้ $(a,b)$ $dc=\psi _{a}ดา+\psi _{b}db$ $(a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})=0$ $(a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})=0$ $(a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})=0$ $\phi _{a}ดา+\phi _{b}db+\phi _{c}dc=0$ $dc$

(\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})da+(\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})db=0

เนื่องจากและเป็นอิสระต่อกัน เราจึงต้องการ $a$ $b$

(\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})=0

(\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})=0.

สมการสองสมการข้างต้นสามารถใช้แก้หาและ ได้ เมื่อแทน ค่า ลงไป เราจะได้ปริพันธ์ทั่วไปดังนั้น ปริพันธ์ทั่วไปจึงอธิบายความสัมพันธ์ระหว่าง ซึ่งเป็นฟังก์ชันอิสระที่ทราบค่าสองฟังก์ชันและฟังก์ชันใดๆโปรดทราบว่าเราได้สมมติให้ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ แต่ไม่จำเป็นเสมอไป ความสัมพันธ์หรือก็เพียงพอที่จะทำให้ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ได้ $a$ $b$ $(a,b,c)$ $\phi =0$ $(x,y,z,u)$ $(a,b)$ $\psi (a,b)$ $c=\psi (a,b)$ $J$ $c=\psi (a)$ $c=\psi (b)$

อินทิกรัลเอกฐาน

จะได้อินทิกรัลเอกฐานเมื่อในกรณีนี้ การกำจัด ออกจากจะได้ผลก็ต่อเมื่อ $J\neq 0$ $(a,b,c)$ $\phi =0$

\phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0,\quad \phi _{c}=0.

สมการทั้งสามสามารถใช้แก้หาค่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่าทั้งสามได้ คำตอบที่ได้จากการกำจัดตัวแปรด้วยวิธีนี้จะนำไปสู่สิ่งที่เรียกว่าปริพันธ์เอกฐาน $(a,b,c)$ $(a,b,c)$

อินทิกรัลพิเศษ

โดยทั่วไป อินทิกรัลส่วนใหญ่จะแบ่งออกเป็นสามประเภทตามที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น แต่บางครั้งอาจมีคำตอบที่ไม่เข้ากับอินทิกรัลทั้งสามประเภทที่กล่าวมา คำตอบเหล่านี้เรียกว่าอินทิกรัลพิเศษความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยจะเรียกว่า อินทิ กรัลพิเศษหากเราไม่สามารถหาค่าได้จากสมการต่อไปนี้ $\chi (x,y,z,u)=0$ $(a,b,c)$

\phi _{x}\chi _{u}-\chi _{x}\phi _{u}=0

\phi _{y}\chi _{u}-\chi _{y}\phi _{u}=0

\phi _{z}\chi _{u}-\chi _{z}\phi _{u}=0.

ถ้าเราสามารถหาค่าจากชุดสมการข้างต้นได้ ก็จะพบว่าค่าดังกล่าวเป็นหนึ่งในสามปริพันธ์ที่กล่าวถึงไปก่อนหน้านี้ $(a,b,c)$ $\chi =0$

กรณีสองมิติ

อินทิกรัลสมบูรณ์ในปริภูมิสองมิติสามารถเขียนได้เป็น. อินทิกรัลทั่วไปได้มาจากการกำจัด ออกจากสมการต่อไปนี้ $\phi (x,y,u,a,b)=0$ $a$

\phi (x,y,z,a,\psi (a))=0,\quad \phi _{a}+\psi _{a}\phi _{b}=0.

อินทิกรัลเอกฐาน (ถ้ามี) สามารถหาได้โดยการกำจัดออกจากสมการต่อไปนี้ $(a,b)$

\phi (x,y,z,a,b)=0,\quad \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0.

หากไม่สามารถหาปริพันธ์สมบูรณ์ได้ ก็ยังสามารถหาคำตอบได้โดยการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในการสร้างระบบสมการนี้ ก่อนอื่นให้สังเกตว่าสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) กำหนดกรวย (คล้ายกับกรวยแสง ) ที่แต่ละจุด: ถ้า PDE เป็นเชิงเส้นในอนุพันธ์ของu (เป็นกึ่งเชิงเส้น) กรวยจะลดรูปเป็นเส้นตรง ในกรณีทั่วไป คู่ ( p , q ) ที่สอดคล้องกับสมการจะกำหนดตระกูลของระนาบที่จุดที่กำหนด:

u-u_{0}=p(x-x_{0})+q(y-y_{0}),\,

ที่ไหน

F(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)=0.\,

ขอบเขตของระนาบเหล่านี้คือรูปกรวย หรือเส้นตรงหากสมการอนุพันธ์ย่อยเป็นแบบกึ่งเชิงเส้น เงื่อนไขสำหรับขอบเขตคือ

F_{p}\,dp+F_{q}\,dq=0,\,

โดยที่ F ถูกประเมินที่และdpและdqคือส่วนเพิ่มของpและqที่สอดคล้องกับF = 0 ดังนั้น ตัวสร้างของกรวยจึงเป็นเส้นตรงที่มีทิศทาง $(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)$

dx:dy:du=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}).\,

ทิศทางนี้สอดคล้องกับรังสีแสงสำหรับสมการคลื่น ในการอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์ตามทิศทางเหล่านี้ เราต้องการค่าเพิ่มขึ้นสำหรับpและqตามแนวรังสี ซึ่งสามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย:

F_{x}+F_{u}p+F_{p}p_{x}+F_{q}p_{y}=0,\,

F_{y}+F_{u}q+F_{p}q_{x}+F_{q}q_{y}=0,\,

ดังนั้นทิศทางของรังสีในอวกาศคือ $(x,y,u,p,q)$

dx:dy:du:dp:dq=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}):(-F_{x}-F_{u}p):(-F_{y}-F_{u}q).\,

การอินทิเกรตสมการเหล่านี้จะนำไปสู่รูปทรงกรวยรังสีที่แต่ละจุด จากนั้นจึงสามารถหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยได้จากเส้นโค้งห่อหุ้มของรูปทรงกรวยรังสีดังกล่าว $(x_{0},y_{0},u_{0})$

นิยามของการพึ่งพาเชิงเส้นสำหรับระบบเชิงอนุพันธ์

ส่วนนี้สามารถอ้างอิงได้จากหนังสือของ Courant ^[⁴^] $\S 1.2.3$

เราถือว่าสมการเหล่านี้เป็นอิสระต่อกัน กล่าวคือ ไม่มีสมการใดสามารถอนุมานได้จากสมการอื่นโดยวิธีการหาอนุพันธ์และการกำจัด $h$

— Courant, R. & Hilbert, D. (1962), วิธีการทางฟิสิกส์คณิตศาสตร์: สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย, II, หน้า 15-18

มีการให้คำอธิบายที่เทียบเท่ากัน มีการให้คำจำกัดความสองประการของการพึ่งพาเชิงเส้นสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นอันดับหนึ่ง

(*)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(1)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{1}}=0\\\vdots \\\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(n)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{n}}=0\end{array}}\right.

โดยที่เป็นตัวแปรอิสระ; เป็นตัวแปรตาม; เป็นสัมประสิทธิ์เชิงเส้น; และ เป็นตัวแปรที่ไม่เป็นเอกพันธ์ ให้ . $x_{i}$ $y_{j}$ $a_{ij}^{(k)}$ $f_{k}$ ${\textstyle {Z_{k}}\equiv \sum _{ij}^{}{a_{ij}^{(k)}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{k}}}$

นิยาม I: กำหนดฟิลด์จำนวนเมื่อมีสัมประสิทธิ์ ( ) ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด โดยที่; สมการ (*) เป็นอิสระเชิงเส้น $P$ $c_{k}\in P$ ${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}=0}}$

นิยาม II ( การพึ่งพาเชิงเส้นเชิงอนุพันธ์ ): กำหนดให้ฟิลด์จำนวนเมื่อมีสัมประสิทธิ์ ( ) ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด โดยที่สมการ (*) ถือว่ามีการพึ่งพาเชิงเส้นเชิงอนุพันธ์ ถ้านิยามนี้จะลดรูปเป็นนิยาม I $P$ ${c_{k}},d_{kl}\in P$ ${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}}+\sum _{kl}{{d_{kl}}{\frac {\partial }{\partial {x_{l}}}}{Z_{k}}=0}}$ ${d_{kl}}\equiv 0$

ระบบdiv-curl , สมการของแม็กซ์เวลล์ , สมการของไอน์สไตน์ (ที่มีพิกัดฮาร์มอนิกสี่ตัว) และ สมการของหยาง-มิลส์ (ที่มีเงื่อนไขเกจ) นั้นมีการกำหนดอย่างดีในนิยามที่ II ในขณะที่มีการกำหนดเกินในนิยามที่ I

พื้นผิวลักษณะเฉพาะสำหรับสมการคลื่น

พื้นผิวลักษณะเฉพาะสำหรับสมการคลื่นคือพื้นผิวระดับสำหรับคำตอบของสมการ

u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,

หากเรากำหนดให้ โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปไปมากนักในกรณีนั้นuจะสอดคล้องกับเงื่อนไข $u_{t}=1$

u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,

ในสัญลักษณ์เวกเตอร์ให้

{\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,

กลุ่มของคำตอบที่มีระนาบเป็นพื้นผิวระดับนั้นกำหนดโดย

u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,

ที่ไหน

|{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,

ถ้าxและx ₀คงที่ เส้นโค้งห่อหุ้มของคำตอบเหล่านี้จะหาได้จากการหาจุดบนทรงกลมรัศมี 1/ cที่ค่าของuคงที่ ซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อขนานกับดังนั้นเส้นโค้งห่อหุ้มจึงมีสมการ ${\vec {p}}$ ${\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}$

u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.

คำตอบเหล่านี้สอดคล้องกับทรงกลมที่มีรัศมีขยายหรือหดตัวตามความเร็วcซึ่งก็คือกรวยแสงในปริภูมิเวลา

ปัญหาค่าเริ่มต้นสำหรับสมการนี้ประกอบด้วยการระบุพื้นผิวระดับSที่u = 0 สำหรับt = 0 คำตอบได้มาจากการหาขอบเขตของทรงกลมทั้งหมดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่บนSซึ่งรัศมีเพิ่มขึ้นตามความเร็วcขอบเขตนี้ได้มาจากการกำหนดเงื่อนไขว่า

{\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,

เงื่อนไขนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อตั้งฉากกับSดังนั้นซองคลื่นจึงสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วcตามแนวตั้งฉากแต่ละเส้นกับSนี่คือการสร้างหน้าคลื่นของฮุยเกนส์ : แต่ละจุดบนSปล่อยคลื่นทรงกลมที่เวลาt = 0 และหน้าคลื่นที่เวลาt ต่อมา คือซองคลื่นของคลื่นทรงกลมเหล่านี้ เส้นตั้งฉากกับSคือรังสีแสง $|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|$

อ่านเพิ่มเติม

อีแวนส์, แอลซี (1998). สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย . พรอวิเดนซ์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 0-8218-0772-2.
Polyanin, AD; Zaitsev, VF; Moussiaux, A. (2002). คู่มือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง . ลอนดอน: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27267-X.
Polyanin, AD (2002). คู่มือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นสำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ . โบคา ราตัน: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.
Sarra, Scott (2003). "วิธีการลักษณะเฉพาะกับการประยุกต์ใช้กับกฎการอนุรักษ์"วารสารคณิตศาสตร์ออนไลน์และการประยุกต์ใช้

[

2

[

[

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง

โซลูชันทั่วไปและโซลูชันแบบบูรณาการที่สมบูรณ์

อินทิกรัลสมบูรณ์

อินทิกรัลทั่วไป

อินทิกรัลเอกฐาน

อินทิกรัลพิเศษ

กรณีสองมิติ

นิยามของการพึ่งพาเชิงเส้นสำหรับระบบเชิงอนุพันธ์

พื้นผิวลักษณะเฉพาะสำหรับสมการคลื่น

อ่านเพิ่มเติม

ข้อมูลสำคัญจากบทความ