ในทางคณิตศาสตร์สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไฮเปอร์โบลิกอันดับ n คือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) ที่โดยคร่าวๆ แล้ว มีปัญหาค่าเริ่มต้น ที่กำหนดไว้อย่างดี สำหรับอนุพันธ์อันดับแรกกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นปัญหาของโคชี สามารถแก้ไขได้ในระดับท้องถิ่นสำหรับข้อมูลเริ่มต้นใดๆ ตาม พื้นผิวที่ไม่ใช่ลักษณะเฉพาะใดๆ สมการใน กลศาสตร์หลายสมการเป็นสมการไฮเปอร์โบลิก ดังนั้นการศึกษาเกี่ยวกับสมการไฮเปอร์โบลิกจึงเป็นที่น่าสนใจอย่างมากในปัจจุบัน สมการไฮเปอร์โบลิกแบบจำลองคือสมการคลื่นในมิติเชิงพื้นที่หนึ่งมิติ สมการนี้คือ สมการนี้มีคุณสมบัติว่า ถ้าu และอนุพันธ์อันดับแรกของมันเทียบ กับ เวลาเป็นข้อมูลเริ่มต้นที่กำหนดไว้โดยพลการบนเส้นตรงt = 0 (โดยมีคุณสมบัติความเรียบที่เพียงพอ) แล้วจะมีคำตอบสำหรับทุกเวลาt${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$

คำตอบของสมการไฮเปอร์โบลิกมีลักษณะเป็น "คลื่น" หากมีการเปลี่ยนแปลงข้อมูลเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ไฮเปอร์โบลิก ไม่ใช่ทุกจุดในอวกาศจะรู้สึกถึงการเปลี่ยนแปลงนั้นพร้อมกัน เมื่อเทียบกับพิกัดเวลาคงที่ การเปลี่ยนแปลงจะมีอัตราเร็วในการแพร่กระจาย ที่จำกัด โดยจะเคลื่อนที่ไปตามลักษณะเฉพาะของสมการ คุณสมบัตินี้ทำให้สมการไฮเปอร์โบลิกแตกต่างจากสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบพาราโบลิกการเปลี่ยนแปลงข้อมูลเริ่มต้น (หรือข้อมูลขอบเขต) ของสมการแบบวงรีหรือพาราโบลิกจะส่งผลกระทบต่อจุดเกือบทั้งหมดในโดเมนพร้อมกัน

แม้ว่านิยามของความเป็นไฮเปอร์โบลิกโดยพื้นฐานแล้วจะเป็นเชิงคุณภาพ แต่ก็มีเกณฑ์ที่แม่นยำซึ่งขึ้นอยู่กับชนิดของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำลังพิจารณาอยู่ มีทฤษฎีที่พัฒนามาอย่างดีสำหรับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้น โดยลาร์ส การ์ดิงในบริบทของการวิเคราะห์ไมโครโลคอล สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นจะเป็นไฮเปอร์โบลิกหากการทำให้เป็นเชิงเส้นของสมการเหล่านั้นเป็นไฮเปอร์โบลิกในความหมายของการ์ดิง นอกจาก นี้ ยังมีทฤษฎีที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยสำหรับระบบสมการอันดับหนึ่งที่ได้มาจากระบบกฎการอนุรักษ์

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเป็นไฮเปอร์โบลิกที่จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อปัญหาโคชีสามารถแก้ได้เพียงจุดเดียวในบริเวณใกล้เคียงของสำหรับข้อมูลเริ่มต้นใดๆ ที่กำหนดบนไฮเปอร์เซอร์เฟซที่ไม่ใช่ลักษณะเฉพาะที่ผ่าน^{[ 1 ]} ในที่นี้ ข้อมูลเริ่มต้นที่กำหนดประกอบด้วยอนุพันธ์ (ตามขวาง) ทั้งหมดของฟังก์ชันบนพื้นผิวจนถึงอันดับน้อยกว่าอันดับของสมการเชิงอนุพันธ์หนึ่ง ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

โดยการเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้น สมการใดๆ ในรูปแบบ ที่มีดิสคริมิแนนต์ สามารถแปลงเป็นสมการคลื่นได้ นอกเหนือจากพจน์ลำดับต่ำกว่าซึ่งไม่จำเป็นต่อความเข้าใจเชิงคุณภาพของสมการ^{[ 2 ] : 400} คำจำกัดความนี้คล้ายคลึงกับคำจำกัดความของไฮเปอร์โบลา แบบ ระนาบ $${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(พจน์อนุพันธ์อันดับต่ำกว่า)}}=0}$$$${\displaystyle B^{2}-AC>0}$$

สมการคลื่นหนึ่งมิติเป็น ตัวอย่างของสมการไฮเปอร์โบลิก สมการคลื่นสองมิติและสามมิติก็จัดอยู่ในประเภทของสมการอนุพันธ์ย่อยไฮเปอร์โบลิกเช่นกัน สมการอนุพันธ์ย่อยไฮเปอร์โบลิกอันดับสองประเภทนี้สามารถแปลงเป็นระบบสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งไฮเปอร์โบลิกได้^{[ 2 ] : 402} $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$$

ต่อไปนี้เป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งสำหรับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า, ,โดยที่:${\displaystyle s}$${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f}}^{j}({\vec {u}})=0,}$$

*

โดยที่ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องนั้นโดยทั่วไปแล้ว จะเป็นฟังก์ชัน ไม่เชิงเส้น${\displaystyle {\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s})}$

ถัดไป สำหรับแต่ละกรณีให้กำหนดเมทริกซ์จาโคเบียน${\displaystyle {\vec {f}}^{j}}$${\displaystyle s\times s}$$${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$$

ระบบ ( ∗ ) เป็นระบบไฮเปอร์โบลิกถ้าเมทริกซ์ มีค่าไอเกนเป็นจำนวนจริง ทั้งหมด และสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$

ถ้าเมทริกซ์มี ค่าไอเกนจริง ที่แตกต่างกันsค่า แสดงว่าเมทริกซ์นั้นสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ ในกรณีนี้ ระบบ ( ∗ ) เรียกว่า ระบบไฮเปอร์โบลิ ก อย่างเคร่งครัด${\displaystyle A}$

ถ้าเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์สมมาตร แสดงว่าเมทริกซ์นั้นสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ และค่าไอเกนจะเป็นจำนวนจริง ในกรณีนี้ ระบบ ( ∗ ) เรียกว่า ระบบ ไฮเปอร์โบลิกสมมาตร ${\displaystyle A}$

มีความเชื่อมโยงระหว่างระบบไฮเปอร์โบลิกและกฎการอนุรักษ์พิจารณาระบบไฮเปอร์โบลิกของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยหนึ่งสมการสำหรับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าหนึ่งฟังก์ชันจากนั้นระบบ ( ∗ ) จะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.}$$

∗∗

ในที่นี้สามารถตีความได้ว่าเป็นปริมาณที่เคลื่อนที่ไปตามฟลักซ์ที่กำหนดโดยเพื่อให้เห็นว่าปริมาณนี้คงที่ ให้ทำการอินทิเกรต ( ∗∗ ) เหนือโดเมน${\displaystyle u}$${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$$${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.}$$

ถ้าและเป็นฟังก์ชันที่เรียบเนียนเพียงพอ เราสามารถใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์และเปลี่ยนลำดับของการอินทิเกรตเพื่อให้ได้กฎการอนุรักษ์สำหรับปริมาณในรูปแบบทั่วไป ซึ่งหมายความว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของในโดเมนเท่ากับฟลักซ์สุทธิของที่ผ่านขอบเขตของมันเนื่องจากนี่เป็นความเท่าเทียมกัน จึงสามารถสรุปได้ว่าถูกอนุรักษ์ไว้ภายใน ${\displaystyle u}$${\displaystyle {\vec {f}}}$${\displaystyle \partial /\partial t}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$

• สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยวงรี
• ตัวดำเนินการไฮโปเอลลิปติก
• สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยพาราโบลิก

• AD Polyanin, คู่มือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นสำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

• " สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไฮเปอร์โบลิก วิธีการเชิงตัวเลข" สารานุกรมคณิตศาสตร์สำนักพิมพ์ EMS 2001 [1994]
• สมการไฮเปอร์โบลิกเชิงเส้นที่ EqWorld: โลกแห่งสมการทางคณิตศาสตร์
• สมการไฮเปอร์โบลิกไม่เชิงเส้นที่ EqWorld: โลกแห่งสมการทางคณิตศาสตร์