ในทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงเส้นปริภูมิย่อยเชิงเส้นหรือปริภูมิย่อยเวกเตอร์^{[ 1 ] [หมายเหตุ 1 ]}คือปริภูมิเวกเตอร์ที่เป็นเซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์ที่ใหญ่กว่า ปริภูมิย่อยเชิงเส้นมักเรียกว่าปริภูมิย่อย เฉยๆ เมื่อบริบทเอื้อต่อการแยกแยะออกจากปริภูมิย่อย ประเภทอื่น ๆ

ถ้าVเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์Kเซตย่อยWของVจะเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของVถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือKสำหรับการดำเนินการของVหรือเทียบเท่ากัน ปริภูมิย่อยเชิงเส้นของVคือเซตย่อยW ที่ไม่ว่าง^{เปล่า}โดยที่เมื่อใดก็ตามที่w ₁ , w ₂เป็นสมาชิกของWและα , βเป็นสมาชิกของKจะได้ว่าαw ₁ + βw ₂อยู่ในW [ ^{2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

เซตเอกภาคที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ศูนย์เพียงอย่างเดียวและปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมดเองเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นที่เรียกว่าปริภูมิย่อยที่ไม่สำคัญของปริภูมิเวกเตอร์^{[ 7 ]}

ในปริภูมิเวกเตอร์V = R ³ ( ปริภูมิพิกัดจริงเหนือฟิลด์Rของจำนวนจริง ) ให้Wเป็นเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดในV ที่ มี ส่วนประกอบสุดท้ายเป็น 0 แล้วWเป็นปริภูมิย่อยของV

การพิสูจน์:

1. เมื่อกำหนดuและvในWแล้ว สามารถเขียนแทนได้เป็นu = ( u ₁ , u ₂ , 0)และv = ( v ₁ , v ₂ , 0)ดังนั้นu + v = ( u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , 0+0) = ( u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , 0)ด้วยเหตุนี้u + vจึงเป็นสมาชิกในWด้วยเช่นกัน
2. กำหนดให้u อยู่ ในWและค่าคงที่c อยู่ ในRถ้าu = ( u ₁ , u ₂ , 0)อีกครั้ง แล้วc u = ( cu ₁ , cu ₂ , c 0) = ( cu ₁ , cu ₂ ,0)ดังนั้นc uก็เป็นสมาชิกของWด้วยเช่นกัน

ให้ฟิลด์เป็นRอีกครั้ง แต่คราวนี้ให้ปริภูมิเวกเตอร์Vเป็นระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนR ²ให้Wเป็นเซตของจุด ( x , y ) ในR ²โดยที่x = yแล้วWเป็นปริภูมิย่อยของ R ²

การพิสูจน์:

1. ให้p = ( p ₁ , p ₂ )และq = ( q ₁ , q ₂ )เป็นสมาชิกของWนั่นคือ จุดในระนาบที่p ₁ = p ₂และq ₁ = q ₂แล้วp + q = ( p ₁ + q ₁ , p ₂ + q ₂ ) ; เนื่องจากp ₁ = p ₂และq ₁ = q ₂ดังนั้นp ₁ + q ₁ = p ₂ + q ₂ดังนั้นp + qเป็นสมาชิกของW
2. ให้p = ( p ₁ , p ₂ ) เป็นสมาชิกของWนั่นคือ จุดในระนาบที่p ₁ = p ₂และให้cเป็นสเกลาร์ในRแล้วc p = ( cp ₁ , cp ₂ )เนื่องจากp ₁ = p ₂ดังนั้นcp ₁ = cp ₂ดังนั้นc pเป็นสมาชิกของW

โดยทั่วไปแล้ว เซตย่อยใดๆ ของปริภูมิพิกัดจริงR ⁿที่นิยามโดยระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์จะให้ปริภูมิย่อย (สมการในตัวอย่างที่ 1 คือz  = 0 และสมการในตัวอย่างที่ 2 คือx  =  y )

สมมติให้ฟิลด์เป็นR อีกครั้ง แต่คราวนี้ให้ปริภูมิเวกเตอร์Vเป็นเซตR ^R ของ ฟังก์ชันทั้งหมดจากRไปยังRให้ C( R ) เป็นเซตย่อยที่ประกอบด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว C( R ) เป็นปริภูมิย่อยของ R ^R

การพิสูจน์:

1. เราทราบจากแคลคูลัสว่า0 ∈ C( R ) ⊂ R ^R
2. เราทราบจากแคลคูลัสว่า ผลรวมของฟังก์ชันต่อเนื่องก็เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเช่นกัน
3. จากวิชาแคลคูลัส เราทราบอยู่แล้วว่า ผลคูณของฟังก์ชันต่อเนื่องกับจำนวนใดๆ ก็เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเช่นกัน

คงไว้ซึ่งฟิลด์และปริภูมิเวกเตอร์เดิม แต่คราวนี้ให้พิจารณาเซต Diff( R ) ของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ทั้งหมด การให้เหตุผลแบบเดียวกันกับก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่านี่ก็เป็นปริภูมิย่อยเช่นกัน

ตัวอย่างที่ต่อยอดจากแนวคิดเหล่านี้พบได้ทั่วไปในการวิเคราะห์เชิงหน้าที่

จากนิยามของปริภูมิเวกเตอร์ จะเห็นได้ว่าปริภูมิย่อยไม่ว่างเปล่า และปิดภายใต้ผลรวมและภายใต้ผลคูณสเกลาร์^{[ 8 ]}หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ปริภูมิย่อยสามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยคุณสมบัติของการปิดภายใต้การรวมเชิงเส้น นั่นคือ เซตW ที่ไม่ว่าง เปล่าเป็นปริภูมิย่อยก็ต่อเมื่อการรวมเชิงเส้นทุกอันขององค์ประกอบจำนวนจำกัด ของ Wก็เป็นของW ด้วย เช่นกัน นิยามที่เทียบเท่ากันระบุว่าการพิจารณาการรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบสองตัวในแต่ละครั้งก็เทียบเท่ากันด้วย

ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีXปริภูมิย่อยWไม่จำเป็นต้องปิด เชิงทอพอโลยี แต่ ปริภูมิย่อย มิติจำกัดจะปิดเสมอ^{[ 9 ]}เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับปริภูมิย่อยที่มีมิติ ร่วมจำกัด (กล่าวคือ ปริภูมิย่อยที่กำหนดโดย ฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องจำนวนจำกัด)

คำอธิบายของปริภูมิย่อย ได้แก่ เซตคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์เซตย่อยของปริภูมิยุคลิดที่อธิบายโดยระบบสมการเชิงเส้นพาราเมตริกเอกพันธุ์ ปริภูมิแผ่ขยายของกลุ่มเวกเตอร์ และปริภูมิว่างปริภูมิคอลัมน์และปริภูมิแถวของเมทริก ซ์ ในทางเรขาคณิต (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในฟิลด์ของจำนวนจริงและฟิลด์ย่อยของมัน) ปริภูมิย่อยคือระนาบใน ปริภูมิ nมิติที่ผ่านจุดกำเนิด

คำอธิบายตามธรรมชาติของ 1-subspace คือการคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์v ที่ไม่เป็น ศูนย์กับค่าสเกลาร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 1-subspace ที่ระบุโดยเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ตัวหนึ่งสามารถได้มาจากอีกตัวหนึ่งโดยการคูณสเกลาร์

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {v} '=c\mathbf {v} {\text{ (or }}\mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {v} '{\text{)}}}$

แนวคิดนี้สามารถนำไปใช้กับมิติที่สูงกว่าได้ด้วยการแผ่ขยายเชิงเส้นแต่เกณฑ์สำหรับความเท่าเทียมกันของ ปริภูมิ kที่กำหนดโดยเซตของ เวกเตอร์ kนั้นไม่ง่ายนัก

คำ อธิบาย แบบคู่ขนานนั้นให้ไว้ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้น (โดยปกติจะถูกนำไปใช้ในรูปสมการเชิงเส้น) ฟังก์ชันเชิงเส้น ที่ไม่ เป็นศูนย์F หนึ่งตัว จะระบุปริภูมิย่อยเคอร์เนลF  = 0 ที่มีมิติร่วม 1 ปริภูมิย่อยที่มีมิติร่วม 1 ที่ระบุโดยฟังก์ชันเชิงเส้นสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อฟังก์ชันหนึ่งสามารถได้มาจากอีกฟังก์ชันหนึ่งด้วยการคูณสเกลาร์ (ในปริภูมิคู่ขนาน )

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {F} '=c\mathbf {F} {\text{ (หรือ }}\mathbf {F} ={\frac {1}{c}}\mathbf {F} '{\text{)}}}$

แนวคิดนี้ได้รับการขยายความสำหรับมิติร่วมที่สูงขึ้นด้วยระบบสมการสองส่วนย่อยถัดไปจะนำเสนอคำอธิบายในส่วนหลังนี้โดยละเอียด และ สี่ส่วนย่อย ที่เหลือจะอธิบายแนวคิดของช่วงเชิงเส้นเพิ่มเติม

เซตคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์ ใดๆ ที่มี ตัวแปร nตัว คือปริภูมิย่อยในปริภูมิพิกัดK ⁿ : $${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\&&&&&&&&&&\vdots \quad &\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0&\end{alignedat}}\right\}.}$$

ตัวอย่างเช่น เซตของเวกเตอร์ทั้งหมด( x , y , z ) (บนจำนวนจริงหรือจำนวนตรรกยะ ) ที่สอดคล้องกับสมการนั้น เป็นปริภูมิย่อยหนึ่งมิติ โดยทั่วไปแล้ว กล่าวคือ เมื่อกำหนดเซตของ ฟังก์ชันอิสระ nฟังก์ชัน มิติของปริภูมิย่อยในK ^kจะเป็นมิติของเซตว่างของAซึ่งเป็นเมทริกซ์ประกอบของ ฟังก์ชันทั้ง nฟังก์ชัน $${\displaystyle x+3y+2z=0\quad {\text{และ}}\quad 2x-4y+5z=0}$$

ในปริภูมิที่มีมิติจำกัด ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์สามารถเขียนได้ในรูปสมการเมทริกซ์เดียว:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

เซตของคำตอบของสมการนี้เรียกว่าปริภูมิว่างของเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิย่อยที่กล่าวถึงข้างต้นคือปริภูมิว่างของเมทริกซ์

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-4&5\end{bmatrix}}.}$

ปริภูมิย่อยทุกปริภูมิของK ⁿสามารถอธิบายได้ว่าเป็นปริภูมิว่างของเมทริกซ์บางตัว (ดู รายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อ § อัลกอริทึมด้านล่าง)

เซตย่อยของK ⁿที่อธิบายโดยระบบสมการพาราเมตริก เชิงเส้นเอกพันธุ์ คือปริภูมิย่อย:

${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&a_{11}t_{1}&&\;+\;&&a_{12}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1m}t_{m}&\\x_{2}&&\;=\;&&a_{21}t_{1}&&\;+\;&&a_{22}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2m}t_{m}&\\&&\vdots \;\;&&&&&&&&&&&\\x_{n}&&\;=\;&&a_{n1}t_{1}&&\;+\;&&a_{n2}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{nm}t_{m}&\\\end{alignedat}}{\text{ for some }}t_{1},\ldots ,t_{m}\in K\right\}.}$

ตัวอย่างเช่น เซตของเวกเตอร์ทั้งหมด ( x ,  y ,  z ) ที่กำหนดพารามิเตอร์โดยสมการ

${\displaystyle x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}}$

เป็นปริภูมิย่อยสองมิติของK ³ถ้าKเป็นฟิลด์จำนวน (เช่น จำนวนจริงหรือจำนวนตรรกยะ) ^{[หมายเหตุ 2 ]}

ในพีชคณิตเชิงเส้น ระบบสมการพาราเมตริกสามารถเขียนให้อยู่ในรูปสมการเวกเตอร์เดียวได้:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;=\;t_{1}\!{\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}}+t_{2}\!{\begin{bmatrix}3\\-4\\2\end{bmatrix}}.}$

นิพจน์ทางด้านขวาเรียกว่าการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ (2, 5, −1) และ (3, −4, 2) เวกเตอร์ทั้งสองนี้เรียกว่าเวกเตอร์ที่แผ่คลุมปริภูมิย่อยที่ได้

โดยทั่วไปแล้วการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์v ₁ ,  v ₂ , ... ,  v _kคือเวกเตอร์ใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}.}$

เซตของผลรวมเชิงเส้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดเรียกว่าสแปน (span )

${\displaystyle {\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}:t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\right\}.}$

ถ้าเวกเตอร์v ₁ , ... ,  v _kมีnองค์ประกอบ แล้วปริภูมิย่อยของเวกเตอร์เหล่านั้นจะเป็นปริภูมิย่อยของK ⁿ ในทางเรขาคณิต ปริภูมิย่อย นี้ คือระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดใน ปริภูมิ nมิติ ซึ่งกำหนดโดยจุดv ₁ , ... ,  v _k

ตัวอย่าง

ระนาบxzในR ³สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ด้วยสมการต่อไปนี้

${\displaystyle x=t_{1},\;\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.}$

ระนาบ xz เป็น ปริภูมิย่อยที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ (1, 0, 0) และ (0, 0, 1) เวกเตอร์ทุกตัวใน ระนาบ xzสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสองนี้:

${\displaystyle (t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{.}}}$

ในทางเรขาคณิต สิ่งนี้สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าทุกจุดบน ระนาบ xzสามารถเข้าถึงได้จากจุดกำเนิดโดยการเคลื่อนที่ไปในทิศทาง (1, 0, 0) เป็นระยะทางหนึ่งก่อน แล้วจึงเคลื่อนที่ไปในทิศทาง (0, 0, 1) เป็นระยะทางหนึ่ง

ระบบสมการพาราเมตริกเชิงเส้นในปริภูมิที่มีมิติจำกัด สามารถเขียนได้ในรูปสมการเมทริกซ์เดียวเช่นกัน:

${\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;A=\left[{\begin{alignedat}{2}2&&3&\\5&&\;\;-4&\\-1&&2&\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}}$

ในกรณีนี้ ปริภูมิย่อยประกอบด้วยค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเวกเตอร์xในพีชคณิตเชิงเส้น ปริภูมิย่อยนี้เรียกว่าปริภูมิคอลัมน์ (หรือภาพ ) ของเมทริกซ์Aซึ่งก็คือปริภูมิย่อยของK ⁿที่เกิดจากเวกเตอร์คอลัมน์ของAนั่นเอง

ปริภูมิแถวของเมทริกซ์คือปริภูมิย่อยที่เกิดจากเวกเตอร์แถวของเมทริกซ์นั้น ปริภูมิแถวมีความน่าสนใจเพราะเป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของปริภูมิว่าง (ดูด้านล่าง)

โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิย่อยของK ⁿที่กำหนดโดย พารามิเตอร์ k ตัว (หรือที่เกิดจาก เวกเตอร์ kตัว) จะมีมิติkอย่างไรก็ตาม มีข้อยกเว้นสำหรับกฎนี้ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิย่อยของK ³ที่เกิดจากเวกเตอร์สามตัว (1, 0, 0), (0, 0, 1) และ (2, 0, 3) ก็คือ ระนาบ xzโดยที่แต่ละจุดบนระนาบนั้นถูกอธิบายด้วยค่าt ₁ , t ₂ , t ₃ ที่แตกต่างกันอย่างไม่มีที่ สิ้นสุด

โดยทั่วไป เวกเตอร์v ₁ , ... ,  v _kเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นถ้า

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}}$

สำหรับ ( t ₁ ,  t ₂ , ... ,  t _k ) ≠ ( u ₁ ,  u ₂ , ... ,  u _k ) ^{[หมายเหตุ 3 ]} ถ้าv ₁ , ..., v _kเป็นอิสระเชิงเส้นพิกัดt ₁ , ..., t _kสำหรับเวกเตอร์ในช่วงจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน

ฐานสำหรับปริภูมิย่อยSคือเซตของเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นซึ่งมีปริภูมิแผ่ขยายเป็นSจำนวนองค์ประกอบในฐานจะเท่ากับมิติทางเรขาคณิตของปริภูมิย่อยเสมอ เซตแผ่ขยายใดๆ สำหรับปริภูมิย่อยสามารถเปลี่ยนเป็นฐานได้โดยการลบเวกเตอร์ที่ซ้ำซ้อนออก (ดู§ อัลกอริทึมด้านล่างสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม)

ตัวอย่าง

ให้Sเป็นปริภูมิย่อยของR ⁴ที่กำหนดโดยสมการต่อไปนี้

${\displaystyle x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.}$

ดังนั้น เวกเตอร์ (2, 1, 0, 0) และ (0, 0, 5, 1) จึงเป็นฐานสำหรับSโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์ทุกตัวที่สอดคล้องกับสมการข้างต้นสามารถเขียนได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ฐานทั้งสอง:

${\displaystyle (2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).}$

ปริภูมิย่อยSเป็นปริภูมิสองมิติ ในทางเรขาคณิต มันคือระนาบใน^R⁴ ที่ผ่านจุด (0, 0, 0, 0), (2, 1, 0, 0) และ (0, 0, 5, 1)

ความสัมพันธ์ทวิภาคแบบ การรวมเชิงทฤษฎีเซตระบุลำดับบางส่วนบนเซตของปริภูมิย่อยทั้งหมด (ไม่ว่าจะมีมิติใดก็ตาม)

ปริภูมิย่อยไม่สามารถอยู่ในปริภูมิย่อยที่มีมิติน้อยกว่าได้ ถ้า dim  U  =  kซึ่งเป็นจำนวนจำกัด และU  ⊂  Wแล้ว dim  W  =  k ก็ ต่อ เมื่อU  =  W เท่านั้น

เมื่อกำหนดปริภูมิย่อยUและWของปริภูมิเวกเตอร์Vแล้วการตัดกัน ของปริภูมิย่อยทั้งสอง U  ∩  W  := { v  ∈  V  : v  เป็นสมาชิกของทั้งUและ  W } ก็เป็นปริภูมิย่อยของV เช่น กัน ^{[ 10 ]}

การพิสูจน์:

1. ให้vและwเป็นสมาชิกของU  ∩  Wแล้วvและwเป็นสมาชิกของทั้งUและWเนื่องจากUเป็นปริภูมิย่อย ดังนั้นv  +  wเป็นสมาชิกของU ในทำนอง เดียวกัน เนื่องจากWเป็นปริภูมิย่อย ดังนั้นv  +  wเป็นสมาชิกของWดังนั้นv  +  w เป็น สมาชิกของU  ∩  W
2. ให้vเป็นสมาชิกของU  ∩  Wและให้cเป็นสเกลาร์ แล้วv เป็น สมาชิกของทั้งUและWเนื่องจากUและWเป็นปริภูมิย่อย ดังนั้นc vเป็นสมาชิกของทั้งUและ  Wด้วย
3. เนื่องจากUและWเป็นปริภูมิเวกเตอร์ ดังนั้น0 จึง เป็นสมาชิกของทั้งสองเซต ดังนั้น0จึงเป็นสมาชิกของU  ∩  Wด้วย

สำหรับ ปริภูมิเวกเตอร์V ทุกตัว เซต{ 0 }และVเองเป็นปริภูมิย่อยของV ^{[ 11 ] [ 12 ]}

ถ้าUและWเป็นปริภูมิย่อยผลรวม ของทั้งสอง จะเป็นปริภูมิย่อย^{[ 13 ] [ 14 ]}$${\displaystyle U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.}$$

ตัวอย่างเช่น ผลรวมของเส้นตรงสองเส้นคือระนาบที่บรรจุเส้นตรงทั้งสองนั้น มิติของผลรวมเป็นไปตามอสมการ $${\displaystyle \max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).}$$

ที่นี่ ค่าต่ำสุดจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อปริภูมิย่อยหนึ่งบรรจุอยู่ในปริภูมิย่อยอื่น ในขณะที่ค่าสูงสุดเป็นกรณีทั่วไปที่สุด มิติของการตัดกันและผลรวมมีความสัมพันธ์กันตามสมการต่อไปนี้: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).}$$

เซตของปริภูมิย่อยจะเป็นอิสระเมื่อจุดตัดเพียงจุดเดียวระหว่างปริภูมิย่อยคู่ใดๆ คือปริภูมิย่อยที่ไม่สำคัญผลรวมโดยตรงคือผลรวมของปริภูมิย่อยที่เป็นอิสระ เขียนได้เป็นการกล่าวซ้ำที่เทียบเท่ากันคือผลรวมโดยตรงเป็นผลรวมของปริภูมิย่อยภายใต้เงื่อนไขที่ปริภูมิย่อยทุกตัวมีส่วนช่วยในปริภูมิย่อยของผลรวม^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}${\displaystyle U\oplus W}$

มิติของผลรวมโดยตรงจะเท่ากับผลรวมของปริภูมิย่อย แต่สามารถย่อให้สั้นลงได้เนื่องจากมิติของปริภูมิย่อยที่ไม่มีนัยสำคัญเป็นศูนย์^{[ 20 ]}${\displaystyle U\oplus W}$

$${\displaystyle \dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)}$$

การดำเนินการตัดกันและการบวกทำให้เซตของปริภูมิย่อยทั้งหมดเป็นแลตทิซโมดูลาร์ ที่มีขอบเขต โดยที่ ปริภูมิย่อย {0}ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่เล็กที่สุดเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของการดำเนินการบวก และปริภูมิย่อยที่เหมือนกันVซึ่งเป็นองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของการดำเนินการตัดกัน

ถ้าเป็นปริภูมิผลคูณภายในและเป็นเซตย่อยของแล้วส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของซึ่งแทนด้วยจะเป็นปริภูมิย่อยอีกครั้ง^{[ 21 ]}ถ้าเป็นปริภูมิมิติจำกัด และเป็นปริภูมิย่อย มิติของและจะสอดคล้องกับความสัมพันธ์เชิงเติมเต็ม[ ^{22 ] ยิ่ง} ไปกว่านั้น ไม่มีเวกเตอร์ใดตั้งฉากกับตัวเอง ดังนั้นและจึงเป็นผลรวมโดยตรงของและ[ ^{23 ] การใช้ส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากสองครั้งจะคืนค่า ปริภูมิ} ย่อยเดิม: สำหรับทุกปริภูมิย่อย^{[ 24 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{\perp }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{\perp }}$${\displaystyle \dim(N)+\dim(N^{\perp })=\dim(V)}$${\displaystyle N\cap N^{\perp }=\{0\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{\perp }}$${\displaystyle (N^{\perp })^{\perp }=N}$${\displaystyle N}$

การดำเนินการนี้ ซึ่งเข้าใจได้ว่าเป็นนิเกชัน ( ) ทำให้แลตทิซของซับสเปซ เป็นแลตทิซออร์โธคอม พลีเมนต์ (อาจเป็นอนันต์ ) (แม้ว่าจะไม่ใช่แลตทิซแบบกระจาย) ${\displaystyle \neg }$

ในปริภูมิที่มีรูปแบบทวิเชิงเส้น อื่นๆ ผลลัพธ์เหล่านี้บางส่วนแต่ไม่ใช่ทั้งหมดก็ยังคงใช้ได้ตัวอย่างเช่น ใน ปริภูมิแบบซูโด-ยูคลิดและปริภูมิเวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติก มีส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากอยู่ อย่างไรก็ตาม ปริภูมิเหล่านี้อาจมี เวกเตอร์ศูนย์ที่ตั้งฉากกับตัวเอง และด้วยเหตุนี้จึงมีปริภูมิย่อยอยู่ซึ่งดังนั้น การดำเนินการนี้จึงไม่เปลี่ยนแลตทิซของปริภูมิย่อยให้กลายเป็นพีชคณิตบูลีน (หรือพีชคณิตเฮย์ติง ) ${\displaystyle N}$${\displaystyle N\cap N^{\perp }\neq \{0\}}$

อัลกอริทึมส่วนใหญ่ที่ใช้ในการจัดการกับปริภูมิย่อยเกี่ยวข้องกับการลดแถวซึ่งเป็นกระบวนการของการใช้การดำเนินการแถวขั้นพื้นฐานกับเมทริกซ์ จนกระทั่งได้รูปแบบขั้นบันไดแถวหรือรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป การลดแถวมีคุณสมบัติที่สำคัญดังต่อไปนี้:

1. เมทริกซ์ที่ลดขนาดแล้วมีปริภูมิว่างเหมือนกับเมทริกซ์ต้นฉบับ
2. การลดจำนวนแถวจะไม่เปลี่ยนแปลงช่วงของเวกเตอร์แถว กล่าวคือ เมทริกซ์ที่ลดจำนวนแถวแล้วจะมีพื้นที่แถวเท่ากับเมทริกซ์เดิม
3. การลดจำนวนแถวไม่มีผลต่อความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์คอลัมน์

นำเข้าเมทริกซ์Aขนาดm  ×  n

ผลลัพธ์คือฐานสำหรับปริภูมิแถวของ A

1. ใช้การดำเนินการแถวขั้นพื้นฐานเพื่อแปลงเมทริกซ์ Aให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถว
2. แถวที่ไม่เป็นศูนย์ของฟอร์มขั้นบันไดเป็นฐานสำหรับ ปริภูมิแถวของA

ดูบทความเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างแถวเพื่อดู ตัวอย่าง

หากเราแปลงเมทริกซ์Aให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป ผลลัพธ์ที่ได้คือฐานของปริภูมิแถวจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน ซึ่งเป็นอัลกอริทึมที่ใช้ตรวจสอบว่าปริภูมิแถวสองปริภูมิเท่ากันหรือไม่ และโดยนัยเดียวกันนี้ ยังสามารถใช้ได้กับตรวจสอบว่าปริภูมิย่อยสองปริภูมิของK ⁿเท่ากัน หรือไม่ด้วย

ป้อนฐาน A { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } สำหรับปริภูมิย่อยSของK ⁿและเวกเตอร์vที่มีnส่วนประกอบ

ผลลัพธ์จะตรวจสอบว่าvเป็นสมาชิกของS หรือไม่

1. สร้างเมทริกซ์A _{ขนาด (} k  + 1) ×  n โดยที่แถวของ _เมท ริก ซ์คือเวกเตอร์b₁ , ...,  bₙและv
2. ใช้การดำเนินการแถวขั้นพื้นฐานเพื่อแปลงเมทริกซ์ Aให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถว
3. ถ้าฟอร์มขั้นบันไดมีแถวที่เป็นศูนย์ เวกเตอร์{ b 1 _, ..., b _k , v }จะเป็นอิสระเชิงเส้น และดังนั้นv ∈ S

อินพุตเป็นเมทริกซ์ขนาดm  ×  n ชื่อA

เอาต์พุต A เป็นฐานสำหรับปริภูมิคอลัมน์ของA

1. ใช้การดำเนินการแถวขั้นพื้นฐานเพื่อแปลงเมทริกซ์ Aให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถว
2. พิจารณาว่าคอลัมน์ใดในรูปแบบขั้นบันไดมีตัวหมุนคอลัมน์ที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะเป็นฐานสำหรับปริภูมิคอลัมน์

ดูบทความเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างคอลัมน์เพื่อดู ตัวอย่าง

วิธีนี้จะสร้างฐานสำหรับปริภูมิคอลัมน์ซึ่งเป็นเซตย่อยของเวกเตอร์คอลัมน์ดั้งเดิม วิธีนี้ได้ผลเพราะคอลัมน์ที่มีตัวหมุนเป็นฐานสำหรับปริภูมิคอลัมน์ของรูปแบบขั้นบันได และการลดแถวจะไม่เปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์การพึ่งพาเชิงเส้นระหว่างคอลัมน์

อินพุตคือฐาน { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } สำหรับปริภูมิย่อยSของK ⁿและเวกเตอร์v ∈ S

แสดงผลตัวเลขt ₁ , t ₂ , ..., t _kโดยที่v = t ₁ b ₁ + ··· + t _k b _k

1. สร้างเมทริกซ์เสริมAที่มีคอลัมน์เป็นb ₁ ,..., b _kโดยที่คอลัมน์สุดท้ายคือv
2. ใช้การดำเนินการแถวขั้นพื้นฐานเพื่อแปลงเมทริกซ์ Aให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป
3. แสดงคอลัมน์สุดท้ายของรูปแบบขั้นบันไดลดรูปเป็นผลรวมเชิงเส้นของ คอลัมน์ k แรก สัมประสิทธิ์ที่ใช้คือตัวเลขที่ต้องการt ₁ , t ₂ , ..., t _k (ตัวเลขเหล่านี้ควรเป็นค่า kแรกในคอลัมน์สุดท้ายของรูปแบบขั้นบันไดลดรูปอย่างแม่นยำ)

ถ้าคอลัมน์สุดท้ายของรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูปมีตัวหมุน แสดงว่าเวกเตอร์อินพุตv ไม่อยู่ในS

นำเข้าเมทริกซ์Aขนาดm  ×  n

ผลลัพธ์ A คือฐานสำหรับปริภูมิว่างของA

1. ใช้การดำเนินการแถวขั้นพื้นฐานเพื่อแปลงเมทริกซ์ Aให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป
2. โดยใช้รูปแบบขั้นบันไดลดรูป จงระบุว่าตัวแปรใดบ้างในกลุ่มx ₁ , x ₂ , ..., x _nเป็นตัวแปรอิสระ จากนั้นจงเขียนสมการของตัวแปรตามในรูปของตัวแปรอิสระเหล่านั้น
3. สำหรับตัวแปรอิสระx _i แต่ละตัว ให้เลือกเวกเตอร์ในปริภูมิว่างซึ่งx _i = 1และตัวแปรอิสระที่เหลือเป็นศูนย์ ชุดของเวกเตอร์ที่ได้จะเป็นฐานสำหรับปริภูมิว่างของA

ดูบทความเกี่ยวกับปริภูมิว่างเพื่อดู ตัวอย่าง

เมื่อกำหนดปริภูมิย่อยUและWของVแล้ว ฐานของผลรวมและจุดตัดสามารถคำนวณได้โดยใช้ อัลกอริทึม ของ Zassenhaus${\displaystyle U+W}$${\displaystyle U\cap W}$

ป้อนฐาน { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } สำหรับปริภูมิย่อยSของK ⁿ

ส่งออก เมทริกซ์ขนาด ( n  −  k ) ×  nที่มีปริภูมิว่างเป็น S

1. สร้างเมทริกซ์Aที่มีแถวเป็นb ₁ , b ₂ , ..., b _k
2. ใช้การดำเนินการแถวขั้นพื้นฐานเพื่อแปลงเมทริกซ์ Aให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป
3. ให้c ₁ , c ₂ , ..., c _nเป็นคอลัมน์ของรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป สำหรับแต่ละคอลัมน์ที่ไม่มีตัวหลัก ให้เขียนสมการที่แสดงคอลัมน์นั้นเป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ที่มีตัวหลัก
4. ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์จำนวนn − k สม การ ซึ่งเกี่ยวข้องกับตัวแปรc ₁ ,..., c _nเมท ริกซ์ขนาด ( n − k ) × n ที่สอดคล้องกับระบบนี้คือเมทริกซ์ที่ต้องการ ซึ่งมีปริภูมิว่างS

ตัวอย่าง

ถ้าฟอร์มขั้นบันไดแถวลดรูปของAคือ

${\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]}$

จากนั้นเวกเตอร์คอลัมน์c ₁ , ..., c ₆จะสอดคล้องกับสมการต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf {c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6}&=4\mathbf {c} _{2}-9\mathbf {c} _{4}\end{alignedat}}}$

ดังนั้น เวกเตอร์แถวของA จึง สอดคล้องกับสมการต่อ ไปนี้

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{alignedat}}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์แถวของAเป็นฐานสำหรับปริภูมิว่างของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง

• พื้นที่ย่อยแบบวงจร
• ปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลง
• การเรียนรู้ซับสเปซเชิงเส้นหลายตัว
• ปริภูมิผลหาร (พีชคณิตเชิงเส้น)
• พื้นที่ย่อยสัญญาณ
• โทโพโลยีของปริภูมิย่อย

• แอนตัน, ฮาวาร์ด (2005), พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น (ฉบับประยุกต์) (ฉบับที่ 9), ไวลีย์ อินเตอร์เนชั่นแนล
• Axler, Sheldon Jay (2015). พีชคณิตเชิงเส้นที่ถูกต้อง (ฉบับที่ 3). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), หลักสูตรเบื้องต้นในพีชคณิตเชิงเส้น: พร้อมบทนำเพิ่มเติมเกี่ยวกับกลุ่ม วงแหวน และฟิลด์ , บอสตัน: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด (ฉบับที่ 2). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
• เฮฟเฟอรอน, จิม (2020). พีชคณิตเชิงเส้น (ฉบับที่ 4). สำนักพิมพ์ออร์โธโกนัล. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Herstein, IN (1964), Topics In Algebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Katznelson, ยิตซัค ; คัทซ์เนลสัน, โยนาทัน อาร์. (2008) A (Terse) รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . ไอเอสบีเอ็น 978-0-8218-4419-9.
• Kreyszig, Erwin (1972), คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง (ฉบับที่ 3), นิวยอร์ก: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
• เลย์, เดวิด ซี. (22 สิงหาคม 2548), พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ 3), แอดดิสัน เวสลีย์, ISBN 978-0-321-28713-7
• Leon, Steven J. (2006), พีชคณิตเชิงเส้นพร้อมการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ 7), Pearson Prentice Hall
• Meyer, Carl D. (15 กุมภาพันธ์ 2544), การวิเคราะห์เมทริกซ์และพีชคณิตเชิงเส้นประยุกต์ , สมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์ (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 1 มีนาคม 2544
• เนอริง, อีวาร์ ดี. (1970), พีชคณิตเชิงเส้นและทฤษฎีเมทริกซ์ (ฉบับที่ 2), นิวยอร์ก: ไวลีย์ , LCCN  76091646
• พูล, เดวิด (2006), พีชคณิตเชิงเส้น: บทนำสมัยใหม่ (ฉบับที่ 2), บรูคส์/โคล, ISBN 0-534-99845-3

• ไวส์สไตน์, เอริค โวล์ฟกัง . "ปริภูมิย่อย" . MathWorld . สืบค้นเมื่อ 16 กุมภาพันธ์ 2021 .
• DuChateau, Paul (5 ก.ย. 2002). "ข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับปริภูมิฮิลเบิร์ต" (PDF) . มหาวิทยาลัยแห่งรัฐโคโลราโด . สืบค้นเมื่อ17 ก.พ. 2021 .

• Strang, Gilbert (7 พฤษภาคม 2009). "สี่มิติย่อยพื้นฐาน" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 11 ธันวาคม 2021 . สืบค้นเมื่อ 17 กุมภาพันธ์ 2021 – ผ่านทางYouTube .
• Strang, Gilbert (5 พฤษภาคม 2020). "ภาพรวมของพีชคณิตเชิงเส้น" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 11 ธันวาคม 2021 . สืบค้นเมื่อ17 กุมภาพันธ์ 2021 – ผ่านทางYouTube .