อินเวอร์สเกาส์เซียน
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
สัญกรณ์	${\displaystyle \textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {IG} \left(\mu ,\lambda \right)}$
พารามิเตอร์	${\displaystyle \textstyle \mu >0}$${\displaystyle \lambda >0}$
สนับสนุน	${\displaystyle \textstyle x\in (0,\infty )}$
พีดี	${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left[-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right]}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle \textstyle \Phi \left({\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}-1\right)\right)}$${\displaystyle \textstyle {}+\exp \left({\frac {2\lambda }{\mu }}\right)\Phi \left(-{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}+1\right)\right)}$ ฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf) ของการกระจายแบบปกติมาตรฐาน (แบบเกาส์เซียนมาตรฐาน)อยู่ ที่ไหน${\displaystyle \Phi }$
หมายถึง	${\displaystyle \textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {E} [X]=\mu }$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]={\frac {1}{\mu }}+{\frac {1}{\lambda }}}$
โหมด	${\displaystyle \textstyle \mu \left[\left(1+{\frac {9\mu ^{2}}{4\lambda ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}-{\frac {3\mu }{2\lambda }}\right]}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle \textstyle \operatorname {Var} [X]={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{X}}\right]={\frac {1}{\mu \lambda }}+{\frac {2}{\lambda ^{2}}}}$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle \textstyle 3\left({\frac {\mu }{\lambda }}\right)^{1/2}}$
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle \textstyle {\frac {15\mu }{\lambda }}}$
เอ็มจีเอฟ	${\displaystyle \textstyle \exp \left[{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}t}{\lambda }}}}\right)}\right]}$
ซีเอฟ	${\displaystyle \textstyle \exp \left[{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}\mathrm {i} t}{\lambda }}}}\right)}\right]}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น การแจกแจงแบบ เกาส์เซียนผกผัน (หรือที่รู้จักกันในชื่อการแจกแจงแบบวอลด์ ) เป็นตระกูลของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง ที่ มี พารามิเตอร์สองตัว โดยมีช่วงค่าอยู่บน⁠ ⁠${\displaystyle (0,\infty )}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของมันกำหนดโดย

${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}{\biggr )}}$

สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle x>0}$โดยที่คือค่าเฉลี่ย และคือพารามิเตอร์รูปร่าง^{[ 1 ]} ทั้ง⁠ ⁠หรือ⁠ ⁠ (หรือโดยทั่วไปแล้ว การรวมกันใดๆ ของรูปแบบสำหรับ⁠ ⁠ จริงใดๆ ) สามารถใช้เป็นพารามิเตอร์มาตราส่วนได้ ดังนั้นพารามิเตอร์รูปร่างที่เหมาะสม (เช่น ไม่ปรับขนาด) จะเป็นกำลังที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของ⁠ ⁠ : Tweedie เสนอให้ใช้การกำหนด พารามิเตอร์ ⁠ ⁠และ⁠ ⁠นอกเหนือจากการ กำหนดพารามิเตอร์ ⁠ ⁠ มาตรฐาน (“แต่ละรูปแบบเหล่านี้สะดวกหรือชวนให้คิดสำหรับวัตถุประสงค์บางอย่าง” ^{[ 2 ]} ) และต่อมาใช้การกำหนดพารามิเตอร์⁠ ⁠ เพียงอย่างเดียว ^{[ 3 ]}${\displaystyle \mu >0}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu ^{p}\lambda ^{1-p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varphi =\lambda /\mu }$${\displaystyle (\mu ,\varphi )}$${\displaystyle (\varphi ,\lambda )}$${\displaystyle (\mu ,\lambda )}$${\displaystyle (\varphi ,\lambda )}$

การแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันมีคุณสมบัติหลายอย่างที่คล้ายคลึงกับการแจกแจงแบบเกาส์เซียนชื่อนี้อาจทำให้เข้าใจผิดได้ เพราะมันเป็นผกผันก็ต่อเมื่อ ในขณะที่การแจกแจงแบบเกาส์เซียนอธิบาย ระดับ ของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ที่เวลาคงที่ การแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันอธิบายการแจกแจงของเวลาที่การเคลื่อนที่แบบบราวน์ที่มีการเลื่อนไปทางบวกใช้ในการไปถึงระดับบวกคงที่ ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงแบบเกาส์เซียนและการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันจึงเหมือนกับความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงแบบทวินาม (จำนวนความสำเร็จสำหรับจำนวนการทดลองแบบเบอร์นูลี คงที่ ) และ การแจกแจง แบบทวินามเชิงลบ (จำนวนการทดลองแบบเบอร์นูลีสำหรับจำนวนความสำเร็จคงที่) ^{[ 4 ]}

การสะท้อนแกน y ของฟังก์ชันสร้างคูมูลันต์ของการแจกแจงแบบเกาส์เซียนและแบบเกาส์เซียนผกผันจะผกผันกัน (กล่าวคือ กราฟของฟังก์ชันสร้างคูมูลันต์ทั้งสองจะสะท้อนซึ่งกันและกันข้ามเส้น⁠ ⁠${\displaystyle y=-x}$ ) ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่การแจกแจงแบบทวินามและแบบทวินามลบมีร่วมกัน (หลังจากหารฟังก์ชันสร้างคูมูลันต์ด้วยพารามิเตอร์คงที่ของแต่ละการแจกแจง) ^{[ 4 ]}

เพื่อระบุว่าตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผัน โดยมี${\displaystyle X}$ค่าเฉลี่ย${\displaystyle \mu }$และพารามิเตอร์${\displaystyle \lambda }$รูปร่างเราเขียนว่า${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ของการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันมีรูปแบบพารามิเตอร์เดียว โดยกำหนดโดย

${\displaystyle f(x;\mu ,\mu ^{2})={\frac {\mu }{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2x}}{\biggr )}.}$

ในรูปแบบนี้ ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงจะ เท่ากัน${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\operatorname {Var} (X)}$

นอกจากนี้ ฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf) ของการกระจายแบบเกาส์เซียนผกผันพารามิเตอร์เดียวมีความสัมพันธ์กับการกระจายแบบปกติมาตรฐานโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X<x)&=\Phi (-z_{1})+e^{2\mu }\Phi (-z_{2}),\end{aligned}}}$

โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle z_{1}={\frac {\mu }{x^{1/2}}}-x^{1/2}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle z_{2}={\frac {\mu }{x^{1/2}}}+x^{1/2}}$และคือฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf) ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน ตัวแปรและมีความสัมพันธ์กันโดยเอกลักษณ์⁠ ⁠ . ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle z_{2}^{2}=z_{1}^{2}+4\mu }$

ในรูปแบบพารามิเตอร์เดียว MGF จะลดรูปเหลือเพียง

${\displaystyle M(t)=\exp[\mu (1-{\sqrt {1-2t}})].}$

การ แจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันในรูปแบบพารามิเตอร์คู่สามารถแปลงเป็นรูปแบบพารามิเตอร์เดี่ยวได้โดย การปรับขนาดที่เหมาะสมโดยที่${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )}$${\displaystyle f(y;\mu _{0},\mu _{0}^{2})}$${\displaystyle y={\frac {\mu ^{2}x}{\lambda }}}$${\displaystyle \mu _{0}=\mu ^{3}/\lambda }$

ย่อหน้าข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle Y=\lambda X/\mu ^{2}<}$แล้ว⁠ ⁠ ${\displaystyle Y\sim \operatorname {IG} (\lambda /\mu ,(\lambda /\mu )^{2})}$^{[ 5 ]}แนวทางนี้ดีกว่าในแง่ที่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงลักษณะไร้มิติของรูปแบบพารามิเตอร์เดียว (โปรดทราบว่า⁠ ⁠${\displaystyle \dim \lambda =\dim \mu =\dim x}$ ) คุณสมบัติ นี้ เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงทั่วไปมากขึ้น: ถ้าและ⁠ ⁠แล้ว⁠ ⁠ ^{[ 2 ]}${\displaystyle a>0}$${\displaystyle Y=aX}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {IG} (a\mu ,a\lambda )}$

รูปแบบมาตรฐานของการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันคือ

${\displaystyle f(x;1,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-1)^{2}}{2x}}{\biggr )}.}$

ถ้ามี${\displaystyle X_{i}}$การแจกแจงสำหรับและ ทั้งหมดเป็นอิสระต่อกันแล้ว ​${\displaystyle \operatorname {IG} (\mu _{0}w_{i},\lambda _{0}w_{i}^{2})}$${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\mu _{0}\sum w_{i},\lambda _{0}\left(\sum w_{i}\right)^{2}\right).}$

กรณีพิเศษนี้แสดงให้เห็นว่าการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันนั้น สามารถแบ่ง ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง ${\displaystyle w_{i}=1/n}$

โปรดทราบว่า

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Var} (X_{i})}{\operatorname {E} (X_{i})}}={\frac {\mu _{0}^{2}w_{i}^{2}}{\lambda _{0}w_{i}^{2}}}={\frac {\mu _{0}^{2}}{\lambda _{0}}}}$

มีค่าคงที่สำหรับทุกค่า${\displaystyle i}$นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการหาผลรวม มิฉะนั้นจะไม่${\displaystyle S}$กระจายแบบอินเวอร์สเกาส์ เซียน

สำหรับสิ่งใดๆก็ตาม${\displaystyle t>0}$ถือว่า

${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,tX\sim \operatorname {IG} (t\mu ,t\lambda ).}$

การแจกแจง แบบ เกาส์เซียนผกผันเป็น ตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลสองพารามิเตอร์ที่มีพารามิเตอร์ธรรมชาติ⁠ ⁠${\displaystyle -\lambda /(2\mu ^{2})}$และ⁠ ⁠${\displaystyle -\lambda /2}$และสถิติธรรมชาติ⁠ ⁠${\displaystyle X}$และ  ⁠ ⁠${\displaystyle 1/X}$

สำหรับ ค่าคงที่ มันยังเป็นการ แจกแจงตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลธรรมชาติแบบพารามิเตอร์เดียว^{[ 6 ]}โดยที่การแจกแจงพื้นฐานมีความหนาแน่น ${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle h(x)={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\lambda }{2x}}\right)\mathbb {1} _{[0,\infty )}(x)\,.}$

อันที่จริง ด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \theta \leq 0}$ ,

${\displaystyle p(x;\theta )={\frac {\exp(\theta x)h(x)}{\int \exp(\theta y)h(y)dy}}}$

เป็นความหนาแน่นเหนือจำนวนจริง เมื่อประเมินอินทิกรัล เราจะได้

${\displaystyle p(x;\theta )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\lambda }{2x}}+\theta x-{\sqrt {-2\lambda \theta }}\right)\mathbb {1} _{[0,\infty )}(x)\,.}$

เมื่อแทนค่าแล้วนิพจน์ข้างต้นจะเท่ากับ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \theta =-\lambda /(2\mu ^{2})}$${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )}$

ให้กระบวนการสุ่ม⁠ ⁠${\displaystyle X_{t}}$กำหนดโดย

${\displaystyle X_{0}=0\quad }$

${\displaystyle X_{t}=\nu t+\sigma W_{t}\quad \quad \quad \quad }$

โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle W_{t}}$คือการเคลื่อนที่แบบบราวน์มาตรฐาน นั่นคือ⁠ ⁠${\displaystyle X_{t}}$คือการเคลื่อนที่แบบบราวน์ที่มีการเลื่อน⁠ ⁠${\displaystyle \nu >0}$

จากนั้นเวลาผ่านครั้งแรกสำหรับระดับคงที่โดย⁠ ⁠จะมีการกระจายตามการแจกแจงแบบอินเวอร์สเกาส์เซียน: ${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle T_{\alpha }=\inf\{t>0\mid X_{t}=\alpha \}\sim \operatorname {IG} \left({\frac {\alpha }{\nu }},\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu x)^{2}}{2\sigma ^{2}x}}{\biggr )}}$

เช่น

${\displaystyle P(T_{\alpha }\in (T,T+dT))={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi T^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu T)^{2}}{2\sigma ^{2}T}}{\biggr )}dT}$

(ดูสมการที่ 19 ของ Schrödinger ^{[ 7 ]} , สมการที่ 8 ของ Smoluchowski ^{[ 8 ]}และสมการที่ 1 ของ Folks ^{[ 5 ]} )

กรณีพิเศษที่พบได้ทั่วไปของกรณีข้างต้นเกิดขึ้นเมื่อการเคลื่อนที่แบบบราวน์ไม่มีการเลื่อน ในกรณีนั้น พารามิเตอร์จะเข้า${\displaystyle \mu }$ใกล้ค่าอนันต์ และเวลาที่ผ่านครั้งแรกสำหรับระดับคงที่จะมีฟังก์ชัน${\displaystyle \alpha }$ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

${\displaystyle f\left(x;0,\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp \left(-{\frac {\alpha ^{2}}{2\sigma ^{2}x}}\right)}$

( ดู Bachelier ^{[ 9 ] : 74 [ 10 ] : 39} ด้วย ) นี่คือการแจกแจง Lévyที่มีพารามิเตอร์และ⁠ ⁠${\displaystyle c=\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}}$${\displaystyle \mu =0}$

แบบจำลองที่

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda w_{i}),\,\,\,\,\,\,i=1,2,\ldots ,n}$

โดยที่ ตัวแปร${\displaystyle w_{i}}$ทั้งหมดที่ทราบตัวแปร ที่ ไม่${\displaystyle (\mu ,\lambda )}$ทราบ และตัวแปรอิสระทั้งหมด${\displaystyle X_{i}}$ มีฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้ :

${\displaystyle L(\mu ,\lambda )=\left({\frac {\lambda }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{X_{i}^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\lambda }{\mu }}\sum _{i=1}^{n}w_{i}-{\frac {\lambda }{2\mu ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}-{\frac {\lambda }{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{X_{i}}}\right).}$

การแก้สมการความน่าจะเป็นจะให้ค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดดังต่อไปนี้

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {1}{\widehat {\lambda }}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {1}{X_{i}}}-{\frac {1}{\widehat {\mu }}}\right).}$

${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$และเป็นอิสระและ ${\displaystyle {\widehat {\lambda }}}$

${\displaystyle {\widehat {\mu }}\sim \operatorname {IG} \left(\mu ,\lambda \sum _{i=1}^{n}w_{i}\right),\qquad {\frac {n}{\widehat {\lambda }}}\sim {\frac {1}{\lambda }}\chi _{n-1}^{2}.}$

สามารถใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้ได้^{[ 11 ]}

สร้างตัวแปรสุ่มจาก1การแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย⁠ ⁠${\displaystyle 0}$และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \displaystyle \nu \sim N(0,1).}$

ยกกำลังสองค่า

${\displaystyle \displaystyle y=\nu ^{2}}$

และใช้ความสัมพันธ์

${\displaystyle x=\mu +{\frac {\mu ^{2}y}{2\lambda }}-{\frac {\mu }{2\lambda }}{\sqrt {4\mu \lambda y+\mu ^{2}y^{2}}}.}$

สร้างตัวแปรสุ่มอีกตัวหนึ่ง โดยครั้งนี้สุ่มมาจากการแจกแจงแบบเอกรูป ระหว่าง⁠ ⁠${\displaystyle 0}$และ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \displaystyle z\sim U(0,1).}$

ถ้าเป็นเช่นนั้นให้ส่งคืน มิฉะนั้นให้ส่งคืน ${\displaystyle z\leq {\frac {\mu }{\mu +x}}}$${\displaystyle \displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{x}}.}$

ตัวอย่างโค้ดในภาษา Java :

public double inverseGaussian ( double mu , double lambda ) { Random rand = new Random (); double v = rand . nextGaussian (); // สุ่มตัวอย่างจาก1การแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 double y = v * v ; double x = mu + ( mu * mu * y ) / ( 2 * lambda ) - ( mu / ( 2 * lambda )) * Math . sqrt ( 4 * mu * lambda * y + mu * mu * y * y ); double test = rand . nextDouble (); // สุ่มตัวอย่างจาก1การแจกแจงเอกรูปที่มีค่าระหว่าง 0 และ 1 if ( test <= ( mu ) / ( mu + x )) return x ; else return ( mu * mu ) / x ; }

และวิธีการสร้างกราฟแสดงการแจกแจงแบบ Wald ในPythonโดยใช้matplotlibและNumPy :

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as nph = plt.hist ( np.random.wald ( 3 , 2 , 100000 ) , bins = 200 , density = True )​​​​​plt.show ( )​

• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle kX\sim \operatorname {IG} (k\mu ,k\lambda )}$สำหรับจำนวนใดๆ⁠ ⁠${\displaystyle k>0}$ . ^{[ 1 ]}
• ถ้าเช่นนั้น⁠ ⁠ .${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}$${\displaystyle {1}}$
• ถ้าเป็นเช่นนั้น⁠ ⁠ .${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle {\bar {X}}\sim \operatorname {IG} (\mu ,n\lambda )}$
• ถ้าเช่นนั้น⁠ ⁠ .${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu _{i},2\mu _{i}^{2})}$${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},2\left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\right)^{2}\right)}$
• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \lambda (X-\mu )^{2}/\mu ^{2}X\sim \chi ^{2}(1)}$ . ^{[ 12 ]}

การคอนโวลูชันของการกระจายแบบเกาส์เซียนผกผัน (การกระจายแบบวอลด์) และการกระจายแบบเอกซ์โพเนนเชียล (การกระจายแบบเอ็กซ์-วอลด์) ถูกใช้เป็นแบบจำลองสำหรับเวลาตอบสนองในทางจิตวิทยา^{[ 13 ]}โดยมีการค้นหาภาพเป็นตัวอย่างหนึ่ง^{[ 14 ]}

การแจกแจงนี้ดูเหมือนจะได้รับการคิดค้นขึ้นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2443 โดยLouis Bachelier ^{[ 9 ] [ 10 ]}ในฐานะเวลาที่หุ้นถึงราคาที่กำหนดเป็นครั้งแรก ในปี พ.ศ. 2458 Erwin Schrödinger ^{[ 7 ]}และMarian v. Smoluchowski ^{[ 8 ]} ได้นำมาใช้โดยอิสระ ในฐานะเวลาที่จะผ่านการเคลื่อนที่แบบบราวน์เป็นครั้งแรก ในสาขาการสร้างแบบจำลองการสืบพันธุ์ เป็นที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชัน Hadwiger ตามชื่อของHugo Hadwigerผู้ซึ่งอธิบายไว้ในปี พ.ศ. 2483 ^{[ 15 ]} Abraham Waldได้คิดค้นการแจกแจงนี้ขึ้นใหม่ในปี พ.ศ. 2487 ^{[ 16 ]}ในฐานะรูปแบบจำกัดของตัวอย่างในการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นแบบลำดับ ชื่อ Inverse Gaussian ได้รับการเสนอโดยMaurice Tweedieในปี พ.ศ. 2488 ^{[ 4 ]} Tweedie ได้ทำการศึกษาการแจกแจงนี้ในปี พ.ศ. 2499 ^{[ 17 ]}และ พ.ศ. 2490 ^{[ 2 ] [ 3 ]}และได้กำหนดคุณสมบัติทางสถิติบางประการ การแจกแจงนี้ได้รับการตรวจสอบอย่างละเอียดโดย Folks และ Chhikara ในปี พ.ศ. 2521 ^{[ 5 ]}

สมมติว่าช่วงเวลาระหว่างการเกิดปรากฏการณ์สุ่มเป็นไปตามการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผัน การแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับจำนวนครั้งของการเกิดเหตุการณ์นี้ภายในกรอบเวลาที่กำหนดเรียกว่าการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันแบบจัดอันดับ [ ^{18 ] ใน}ขณะที่โมเมนต์แรกและโมเมนต์ที่สองของการแจกแจงนี้ได้รับการคำนวณแล้ว การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข

แม้ว่าสูตรสำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะเรียบง่าย แต่การคำนวณความน่าจะเป็นเชิงตัวเลขสำหรับการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันยังคงต้องใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษเพื่อให้ได้ความแม่นยำของเครื่องจักรอย่างเต็มที่ในการคำนวณเลขทศนิยมสำหรับค่าพารามิเตอร์ทั้งหมด^{[ 19 ]} ฟังก์ชันสำหรับการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันมีให้สำหรับภาษาการเขียนโปรแกรม Rโดยแพ็กเกจหลายแพ็กเกจ ได้แก่ rmutil ^{[ 20 ] [ 21 ]} SuppDists ^{[ 22 ]} STAR ^{[ 23 ]} invGauss ^{[ 24 ]} LaplacesDemon ^{[ 25 ]}และ statmod ^{[ 26 ]}

• การกระจายแบบเกาส์เซียนผกผันทั่วไป
• การแจกแจงแบบทวีดี (Tweedie distribution) – การแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผัน (Inverse Gaussian distribution) เป็นหนึ่งในตระกูลของแบบจำลองการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียล ของทวีดี (Tweedie exponential dispersion models)
• การหยุดเวลา

• Høyland, Arnljot ; Rausand, Marvin (1994). ทฤษฎีความน่าเชื่อถือของระบบ . นิวยอร์ก: Wiley. ISBN 978-0-471-59397-3.
• Seshadri, V. (1993). การแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผัน . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-852243-0.

• การแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันในเว็บไซต์ Wolfram