ในความน่าจะเป็นและสถิติตระกูล เอกซ์ โพเนนเชียลคือ ชุด พารามิเตอร์ของการแจกแจงความน่าจะเป็นในรูปแบบหนึ่งที่ระบุไว้ด้านล่าง รูปแบบพิเศษนี้ถูกเลือกเพื่อความสะดวกทางคณิตศาสตร์ รวมถึงการช่วยให้ผู้ใช้สามารถคำนวณค่าคาดหวัง ความแปรปรวนร่วมโดยใช้การหาอนุพันธ์ตามคุณสมบัติทางพีชคณิตที่มีประโยชน์บางประการ ตลอดจนเพื่อความทั่วไป เนื่องจากตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลในแง่หนึ่งเป็นชุดการแจกแจงที่เป็นธรรมชาติมากที่จะพิจารณา บางครั้งคำว่าชั้นเอกซ์โพเนนเชียลถูกใช้แทนคำว่า "ตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล" ^{[ 1 ]}หรือคำเก่ากว่า คือ ตระกูลคูปมัน-ดาร์มัวส์บางครั้งเรียกอย่างไม่เป็นทางการว่าตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล ชั้นของการแจกแจงนี้มีความแตกต่างกันเนื่องจากทั้งหมดมีคุณสมบัติที่พึงประสงค์หลายประการ ที่สำคัญที่สุดคือการมีอยู่ของสถิติ ที่เพียงพอ

แนวคิดของตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลได้รับการยกย่องให้แก่^{[ 2 ]} EJG Pitman , ^{[ 3 ]} G. Darmois , ^{[ 4 ]}และBO Koopman ^{[ 5 ]}ในปี 1935–1936 ตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลของการแจกแจงให้กรอบการทำงานทั่วไปสำหรับการเลือกพารามิเตอร์ทางเลือกที่เป็นไปได้ของตระกูลการแจกแจงแบบพาราเมตริก ในแง่ของพารามิเตอร์ธรรมชาติ และสำหรับการกำหนดสถิติตัวอย่าง ที่มีประโยชน์ ซึ่งเรียกว่าสถิติเพียงพอตามธรรมชาติของตระกูล

คำว่า "การแจกแจง" และ "ตระกูล" มักถูกใช้ในความหมายที่ไม่เคร่งครัดนัก โดยเฉพาะอย่างยิ่งตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลคือชุดของการแจกแจง ซึ่งการแจกแจงเฉพาะจะแปรผันตามพารามิเตอร์^{[ a ]}อย่างไรก็ตามตระกูลการแจกแจงแบบพารามิเตอร์มักถูกเรียกว่า " การแจกแจง" (เช่น "การแจกแจงปกติ" ซึ่งหมายถึง "ตระกูลของการแจกแจงปกติ") และบางครั้งชุดของตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลทั้งหมดก็ถูกเรียกว่า "ตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล" อย่างไม่เคร่งครัดนัก

การแจกแจงที่ใช้กันทั่วไปส่วนใหญ่เป็นแบบตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลหรือเป็นส่วนย่อยของตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล ซึ่งแสดงไว้ในหัวข้อย่อยด้านล่าง หัวข้อย่อยถัดไปเป็นลำดับของคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่ครอบคลุมมากขึ้นเรื่อยๆ ของตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล ผู้อ่านทั่วไปอาจต้องการจำกัดความสนใจไว้ที่คำจำกัดความแรกและง่ายที่สุด ซึ่งสอดคล้องกับตระกูลการแจกแจงความน่าจะเป็น แบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง ที่มีพารามิเตอร์เดียว

ตระกูลเลขชี้กำลังประกอบด้วยการแจกแจงที่พบได้บ่อยที่สุดหลายอย่าง ในบรรดาการแจกแจงอื่นๆ อีกมากมาย ตระกูลเลขชี้กำลังยังรวมถึงสิ่งต่อไปนี้: ^{[ 6 ]}

การแจกแจงทั่วไปหลายแบบจัดอยู่ในกลุ่มการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล แต่จะเป็นเช่นนั้นก็ต่อเมื่อพารามิเตอร์บางอย่างคงที่และทราบค่าแล้วเท่านั้น ตัวอย่างเช่น:

• ทวินาม (โดยมีจำนวนการทดลองคงที่)
• แบบพหุนาม (ที่มีจำนวนการทดลองคงที่)
• ทวินามเชิงลบ (โดยมีจำนวนความล้มเหลวคงที่)

โปรดทราบว่าในแต่ละกรณี พารามิเตอร์ที่ต้องกำหนดให้คงที่คือพารามิเตอร์ที่กำหนดขีดจำกัดของช่วงค่าที่สามารถสังเกตได้

ตัวอย่างของการแจกแจงทั่วไปที่ไม่ใช่ตระกูลการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล ได้แก่การแจกแจง แบบ tของนักเรียน การแจกแจงแบบผสมส่วน ใหญ่และแม้แต่ตระกูลการแจกแจงแบบเอกรูปเมื่อขอบเขตไม่คงที่ ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ใน หัวข้อตัวอย่าง ด้านล่าง

ค่าของเรียกว่าพารามิเตอร์ของตระกูล ${\displaystyle \theta }$

ตระกูลการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลพารามิเตอร์เดียว คือชุดของการแจกแจงความน่าจะเป็นซึ่งฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (หรือฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นสำหรับกรณีของการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง ) สามารถแสดงได้ในรูปแบบ

$${\displaystyle f_{X}{\left(x\,{\big |}\,\theta \right)}=h(x)\,\exp \left[\eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta )\right]}$$

โดยที่T ( x ) , h ( x ) , η ( θ )และA ( θ )เป็นฟังก์ชันที่ทราบค่า ฟังก์ชันh ( x )ต้องมีค่าไม่เป็นลบ

รูปแบบอื่นที่เทียบเท่ากันซึ่งมักใช้กันคือ

$${\displaystyle f_{X}{\left(x\ {\big |}\ \theta \right)}=h(x)\,g(\theta )\,\exp \left[\eta (\theta )\cdot T(x)\right]}$$

หรือเทียบเท่า

$${\displaystyle f_{X}{\left(x\ {\big |}\ \theta \right)}=\exp \left[\eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta )+B(x)\right].}$$

ในแง่ของ ความน่าจะเป็น แบบ ลอการิทึม$${\displaystyle \log(f_{X}{\left(x\ {\big |}\ \theta \right)})=\eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta )+B(x).}$$

โปรดสังเกตว่าและ. ${\displaystyle g(\theta )=e^{-A(\theta )}}$${\displaystyle h(x)=e^{B(x)}}$

ที่สำคัญคือการสนับสนุนของ(ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งมากกว่า) จะต้องไม่ขึ้นอยู่กับ^{[ 7 ]} ข้อกำหนดนี้สามารถใช้เพื่อยกเว้นการแจกแจงตระกูลพาราเมตริกจากการเป็นตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล ${\displaystyle f_{X}{\left(x{\big |}\theta \right)}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{X}\!\left(x{\big |}\theta \right)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \theta ~.}$

ตัวอย่างเช่น: การแจกแจงพาเรโตมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ซึ่งกำหนดไว้สำหรับ(ค่าต่ำสุดโดยที่ คือพารามิเตอร์มาตราส่วน) และขอบเขตการรองรับของมันจึงมีขีดจำกัดล่างเป็นเนื่องจากขอบเขตการรองรับของขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ ดังนั้นตระกูลของการแจกแจงพาเรโตจึงไม่ก่อให้เกิดตระกูลการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล (อย่างน้อยที่สุดเมื่อไม่ทราบค่า) ${\displaystyle x\geq x_{\mathsf {m}}}$${\displaystyle x_{m}\ ,}$${\displaystyle x_{\mathsf {m}}~.}$${\displaystyle f_{\alpha ,x_{m}}\!(x)}$${\displaystyle x_{m}}$

อีกตัวอย่างหนึ่ง: การแจกแจงแบบเบอร์นูลลี เช่น การแจกแจง ทวิ นาม การแจกแจงทวิ นามเชิงลบการแจกแจงเรขาคณิตและการแจกแจงที่คล้ายกัน จะสามารถรวมอยู่ในกลุ่มการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลได้ก็ต่อเมื่อจำนวนการทดลองแบบเบอร์นูลลี n ถูกกำหนดให้เป็นค่าคงที่ โดยไม่รวมอยู่ในพารามิเตอร์อิสระเนื่องจากจำนวนการทดลองที่อนุญาตจะกำหนดขีดจำกัดของจำนวน "ความสำเร็จ" หรือ "ความล้มเหลว" ที่สามารถสังเกตได้ในชุดของการทดลอง ${\displaystyle \theta }$

โดยทั่วไปแล้วจะเป็นเวกเตอร์ของการวัด ซึ่งในกรณีนี้อาจเป็นฟังก์ชันจากปริภูมิของค่าที่เป็นไปได้ของไปยังจำนวนจริง ${\displaystyle x}$${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle x}$

โดยทั่วไปแล้วและสามารถเป็นเวกเตอร์ค่าได้ โดยที่เป็นค่าจริง อย่างไรก็ตาม โปรดดูการอภิปรายด้านล่างเกี่ยวกับพารามิเตอร์เวกเตอร์ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับตระกูลเลขชี้กำลัง โค้ง${\displaystyle \eta (\theta )}$${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle \eta (\theta )\cdot T(x)}$

ถ้าเช่นนั้นตระกูลเลขชี้กำลังจะถูกเรียกว่าอยู่ในรูปแบบมาตรฐานโดยการกำหนดพารามิเตอร์ที่แปลงแล้วจะสามารถแปลงตระกูลเลขชี้กำลังให้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้เสมอ รูปแบบมาตรฐานนั้นไม่ซ้ำกัน เนื่องจากสามารถคูณด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ก็ได้ โดยมีเงื่อนไขว่าT ( x )จะต้องคูณด้วยส่วนกลับของค่าคงที่นั้น หรือสามารถบวก ค่าคงที่ c เข้าไป และคูณh ( x ) ด้วย เพื่อชดเชย ในกรณีพิเศษที่และT ( x ) = xแล้วตระกูลนั้นเรียกว่าตระกูล เลขชี้กำลังธรรมชาติ${\displaystyle \eta (\theta )=\theta \ ,}$${\displaystyle \eta =\eta (\theta )\ ,}$${\displaystyle \eta (\theta )}$${\displaystyle \eta (\theta )}$${\displaystyle \exp \left[{-c}\cdot T(x)\,\right]}$${\displaystyle \eta (\theta )=\theta }$

แม้ว่าจะเป็นปริมาณสเกลาร์ และมีพารามิเตอร์เพียงตัวเดียว ฟังก์ชันและก็ยังคงเป็นเวกเตอร์ได้ ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง ${\displaystyle x}$${\displaystyle \eta (\theta )}$${\displaystyle T(x)}$

ฟังก์ชันหรือเทียบเท่าจะถูกกำหนดโดยอัตโนมัติเมื่อเลือกฟังก์ชันอื่นๆ แล้ว เนื่องจากต้องมีรูปแบบที่ทำให้การกระจายตัวเป็นปกติ (ผลรวมหรืออินทิเกรตเท่ากับหนึ่งตลอดทั้งโดเมน) ยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันทั้งสองนี้สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของ ได้เสมอแม้ว่าจะไม่ใช่ ฟังก์ชัน แบบหนึ่งต่อหนึ่งกล่าวคือ ค่าที่แตกต่างกันสองค่าขึ้นไปของจะแมปไปยังค่าเดียวกันของและดังนั้นจึงไม่สามารถผกผันได้ ในกรณีเช่นนี้ ค่าทั้งหมดของที่แมปไปยังค่าเดียวกันจะมีค่าเดียวกันสำหรับและ ด้วย${\displaystyle A(\theta )\ ,}$${\displaystyle g(\theta )\ ,}$${\displaystyle \eta \ ,}$${\displaystyle \eta (\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \eta (\theta )\ ,}$${\displaystyle \eta (\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \eta (\theta )}$${\displaystyle A(\theta )}$${\displaystyle g(\theta )~.}$

สิ่งที่สำคัญที่ควรทราบ และเป็นลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันตระกูลเลขชี้กำลังทั้งหมด คือ พารามิเตอร์และตัวแปรสังเกตจะต้องสามารถแยกตัวประกอบได้ (สามารถแยกออกเป็นผลคูณซึ่งแต่ละผลคูณเกี่ยวข้องกับตัวแปรเพียงประเภทเดียว) ไม่ว่าจะโดยตรงหรือภายในส่วนใดส่วนหนึ่ง (ฐานหรือเลขชี้กำลัง) ของ การดำเนินการ ยกกำลังโดยทั่วไปแล้ว หมายความว่าตัวประกอบทั้งหมดที่ประกอบเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นหรือฟังก์ชันมวลจะต้องอยู่ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x),&&c^{f(x)},&&{[f(x)]}^{c},&&{[f(x)]}^{g(\theta )},&&{[f(x)]}^{h(x)g(\theta )},\\g(\theta ),&&c^{g(\theta )},&&{[g(\theta )]}^{c},&&{[g(\theta )]}^{f(x)},&&~~{\mathsf {or}}~~{[g(\theta )]}^{h(x)j(\theta )},\end{aligned}}}$$

โดยที่fและhเป็นฟังก์ชันใดๆ ของxซึ่งเป็นตัวแปรทางสถิติที่สังเกตได้; gและjเป็นฟังก์ชันใดๆ ของพารามิเตอร์คงที่ที่กำหนดรูปร่างของการแจกแจง; และcเป็นนิพจน์คงที่ใดๆ (เช่น ตัวเลขหรือนิพจน์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามxหรือ) ${\displaystyle \theta ,}$${\displaystyle \theta }$

นอกจากนี้ยังมีข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับจำนวนปัจจัยดังกล่าวที่สามารถเกิดขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น นิพจน์สองอย่างต่อไปนี้:

$${\displaystyle {[f(x)g(\theta )]}^{h(x)j(\theta )},\qquad {[f(x)]}^{h(x)j(\theta )}{[g(\theta )]}^{h(x)j(\theta )},}$$

เหมือนกัน กล่าวคือ เป็นผลคูณของตัวประกอบสองตัวที่ "อนุญาต" อย่างไรก็ตาม เมื่อเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปแยกตัวประกอบแล้ว

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\left[f(x)g(\theta )\right]}^{h(x)j(\theta )}&={\left[f(x)\right]}^{h(x)j(\theta )}{\left[g(\theta )\right]}^{h(x)j(\theta )}\\[4pt]&=\exp \left\{{[h(x)\log f(x)]j(\theta )+h(x)[j(\theta )\log g(\theta )]}\right\},\end{aligned}}}$$

จะเห็นได้ว่าไม่สามารถแสดงออกมาในรูปแบบที่ต้องการได้ (อย่างไรก็ตาม รูปแบบประเภทนี้เป็นสมาชิกของตระกูลเลขชี้กำลังโค้งซึ่งอนุญาตให้มีพจน์แยกตัวประกอบหลายพจน์ในเลขชี้กำลัง)

เพื่อดูว่าเหตุใดจึงมีการแสดงออกในรูปแบบดังกล่าว

$${\displaystyle {[f(x)]}^{g(\theta )}}$$

มีคุณสมบัติเหมาะสม $${\displaystyle {[f(x)]}^{g(\theta )}=e^{g(\theta )\log f(x)}}$$

และด้วยเหตุนี้จึงสามารถแยกตัวประกอบภายในเลขชี้กำลังได้ ในทำนองเดียวกัน

$${\displaystyle {[f(x)]}^{h(x)g(\theta )}=e^{h(x)g(\theta )\log f(x)}=e^{[h(x)\log f(x)]g(\theta )}}$$

และสามารถแยกตัวประกอบภายในเลขชี้กำลังได้อีกครั้ง

ตัวประกอบที่ประกอบด้วยผลรวมซึ่งมีตัวแปรทั้งสองประเภทเกี่ยวข้อง (เช่น ตัวประกอบในรูปแบบ) ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในลักษณะนี้ (ยกเว้นในบางกรณีที่ปรากฏโดยตรงในเลขชี้กำลัง) นี่คือเหตุผลที่ตัวอย่างเช่นการแจกแจงโคชีและการแจกแจงทีของสตูเดนต์ไม่ใช่ตระกูลเลขชี้กำลัง ${\displaystyle 1+f(x)g(\theta )}$

นิยามในแง่ของ พารามิเตอร์ จำนวนจริง หนึ่งตัว สามารถขยายไปสู่พารามิเตอร์ เวกเตอร์จริง หนึ่งตัวได้

$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}\equiv {\begin{bmatrix}\theta _{1}&\theta _{2}&\cdots &\theta _{s}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$$

กลุ่มของการแจกแจงจะเรียกว่าอยู่ในกลุ่มการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลเวกเตอร์ ถ้าฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (หรือฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น สำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง) สามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\,\exp \left(\sum _{i=1}^{s}\eta _{i}({\boldsymbol {\theta }})T_{i}(x)-A({\boldsymbol {\theta }})\right)~,}$$

หรือในรูปแบบที่กะทัดรัดกว่านั้น

$${\displaystyle f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\,\exp \left[{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})\cdot \mathbf {T} (x)-A({\boldsymbol {\theta }})\right]}$$

รูปแบบนี้เขียนผลรวมเป็นผลคูณดอท ของ ฟังก์ชัน เวกเตอร์และT ( x )${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})}$

รูปแบบอื่นที่เทียบเท่ากันซึ่งมักพบเห็นได้คือ

$${\displaystyle f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\,g({\boldsymbol {\theta }})\,\exp \left[{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})\cdot \mathbf {T} (x)\right]}$$

เช่นเดียวกับกรณีค่าสเกลาร์ ตระกูลเลขชี้กำลังจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐานก็ต่อเมื่อ

$${\displaystyle \eta _{i}({\boldsymbol {\theta }})=\theta _{i}~,\quad \forall i\,.}$$

ตระกูลเวกเตอร์เอกซ์โพเนนเชียลจะเรียกว่าโค้งถ้ามิติของ

$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}\equiv {\begin{bmatrix}\theta _{1}&\theta _{2}&\cdots &\theta _{d}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$

น้อยกว่ามิติของเวกเตอร์

$${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})\equiv {\begin{bmatrix}\eta _{1}{\!({\boldsymbol {\theta }})}&\eta _{2}{\!({\boldsymbol {\theta }})}&\cdots &\eta _{s}{\!({\boldsymbol {\theta }})}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}~.}$$

กล่าวคือ ถ้ามิติ d ของเวกเตอร์พารามิเตอร์น้อยกว่าจำนวนฟังก์ชันs ของเวก เตอร์พารามิเตอร์ในการแสดงฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นข้างต้น การแจกแจงทั่วไปส่วนใหญ่ในตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลนั้นไม่โค้งและอัลกอริทึมจำนวนมากที่ออกแบบมาเพื่อทำงานกับตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลใด ๆ จะสมมติโดยปริยายหรือโดยชัดแจ้งว่าการแจกแจงนั้นไม่โค้ง

เช่นเดียวกับกรณีของพารามิเตอร์ที่มีค่าเป็นสเกลาร์ ฟังก์ชันหรือเทียบเท่าจะถูกกำหนดโดยอัตโนมัติโดยข้อจำกัดการทำให้เป็นมาตรฐาน เมื่อเลือกฟังก์ชันอื่นๆ แล้ว แม้ว่าจะไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ฟังก์ชันและสามารถกำหนดได้โดยกำหนดให้การแจกแจงเป็นมาตรฐานสำหรับแต่ละค่าของพารามิเตอร์ธรรมชาติซึ่งจะให้รูปแบบมาตรฐาน${\displaystyle A({\boldsymbol {\theta }})}$${\displaystyle g({\boldsymbol {\theta }})}$${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})}$${\displaystyle A({\boldsymbol {\eta }})}$${\displaystyle g({\boldsymbol {\eta }})}$${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$

$${\displaystyle f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\eta }})=h(x)\exp \left[{\boldsymbol {\eta }}\cdot \mathbf {T} (x)-A({\boldsymbol {\eta }})\right],}$$

หรือเทียบเท่า

$${\displaystyle f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\eta }})=h(x)g({\boldsymbol {\eta }})\exp \left[{\boldsymbol {\eta }}\cdot \mathbf {T} (x)\right].}$$

บางครั้งอาจพบรูปแบบข้างต้นโดยใช้ แทนซึ่งเป็นสูตรที่เทียบเท่ากันทุกประการ เพียงแต่ใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันสำหรับผลคูณดอทเท่านั้น ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}^{\mathsf {T}}\mathbf {T} (x)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\cdot \mathbf {T} (x)\,}$

รูปแบบพารามิเตอร์เวกเตอร์สำหรับตัวแปรสุ่มค่าสเกลาร์ตัวเดียว สามารถขยายได้อย่างง่ายดายเพื่อครอบคลุมการแจกแจงร่วมสำหรับเวกเตอร์ของตัวแปรสุ่ม การแจกแจงที่ได้นั้นก็เหมือนกับการแจกแจงข้างต้นสำหรับตัวแปรสุ่มค่าสเกลาร์ โดยที่ค่าสเกลาร์x แต่ละตัว ถูกแทนที่ด้วยเวกเตอร์

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{k}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$$

มิติkของตัวแปรสุ่มไม่จำเป็นต้องตรงกับมิติd ของ  เวก เตอร์พารามิเตอร์ หรือ (ในกรณีของฟังก์ชันเลขชี้กำลังโค้ง) มิติsของพารามิเตอร์ธรรมชาติและสถิติเพียงพอT ( x )${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$

ในกรณีนี้ การแจกแจงจะเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle f_{X}{\left(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }}\right)}=h(\mathbf {x} )\,\exp \!\left[\sum _{i=1}^{s}\eta _{i}({\boldsymbol {\theta }})T_{i}(\mathbf {x} )-A({\boldsymbol {\theta }})\right]}$$

หรือพูดให้กระชับยิ่งขึ้นก็คือ

$${\displaystyle f_{X}{\left(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }}\right)}=h(\mathbf {x} )\,\exp \left[{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})\cdot \mathbf {T} (\mathbf {x} )-A({\boldsymbol {\theta }})\right]}$$

หรืออีกทางเลือกหนึ่งคือ

$${\displaystyle f_{X}{\left(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }}\right)}=g({\boldsymbol {\theta }})\,h(\mathbf {x} )\,\exp \left[{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})\cdot \mathbf {T} (\mathbf {x} )\right]}$$

เราใช้ฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) เพื่อครอบคลุมทั้งการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่อง

สมมติว่าHเป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลงของตัวแปรจริง จากนั้นปริพันธ์เลเบส-สตีลต์เจสเทียบกับคือปริพันธ์เทียบกับมาตรวัดอ้างอิงของตระกูลเลขชี้กำลังที่สร้างขึ้น โดย H${\displaystyle dH(\mathbf {x} )}$

สมาชิกใดๆ ในตระกูลเลขชี้กำลังนั้นมีฟังก์ชันการกระจายสะสม

$${\displaystyle dF{\left(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }}\right)}=\exp \left[{\boldsymbol {\eta }}(\theta )\cdot \mathbf {T} (\mathbf {x} )-A({\boldsymbol {\theta }})\right]~dH(\mathbf {x} )\,.}$$

H ( x )คือตัวรวม Lebesgue–Stieltjesสำหรับการวัดอ้างอิง เมื่อการวัดอ้างอิงมีค่าจำกัด สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ และ Hก็คือฟังก์ชันการกระจายสะสมของความน่าจะเป็น ถ้า Fเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสัมบูรณ์ที่มีความหนาแน่นสัมพันธ์กับการวัดอ้างอิง(โดยทั่วไปคือการวัด Lebesgue ) เราสามารถเขียนได้ว่าในกรณีนี้ Hก็เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสัมบูรณ์เช่นกัน และสามารถเขียนได้ว่าดังนั้นสูตรจึงลดลงเหลือเท่ากับในย่อหน้าก่อนหน้า ถ้า Fเป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง H ก็ คือฟังก์ชันขั้นบันได (โดยมีขั้นบันไดบนขอบเขตของ F ) ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dF(x)=f(x)\,dx}$${\displaystyle dH(x)=h(x)\,dx}$

อีกวิธีหนึ่ง เราสามารถเขียนมาตรวัดความน่าจะเป็นโดยตรงได้ดังนี้

$${\displaystyle P\left(d\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }}\right)=\exp \left[{\boldsymbol {\eta }}(\theta )\cdot \mathbf {T} (\mathbf {x} )-A({\boldsymbol {\theta }})\right]~\mu (d\mathbf {x} )\,.}$$

สำหรับ การวัดอ้างอิงบางอย่าง${\displaystyle \mu \,}$

ในคำจำกัดความข้างต้น ฟังก์ชันT ( x ) , η ( θ )และA ( η )เป็นฟังก์ชันที่กำหนดขึ้นเอง อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันเหล่านี้มีความหมายสำคัญในการกระจายความน่าจะเป็นที่ได้

• T ( x )คือสถิติเพียงพอของการแจกแจง สำหรับตระกูลการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล สถิติเพียงพอคือฟังก์ชันของข้อมูลที่เก็บข้อมูลทั้งหมดที่ข้อมูล xให้ไว้เกี่ยวกับค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่า ซึ่งหมายความว่า สำหรับชุดข้อมูลใดๆและy อัตราส่วนความน่าจะเป็นจะเท่ากัน นั่นคือถ้า T ( x ) = T ( y )ซึ่งเป็นจริงแม้ว่า xและ yจะไม่เท่ากันก็ตาม มิติของ T ( x )เท่ากับจำนวนพารามิเตอร์ของ θและครอบคลุมข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์ θสถิติเพียงพอของชุด ข้อมูลการสังเกต ที่เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกันนั้นเป็นเพียงผลรวมของสถิติเพียงพอแต่ละตัว และรวบรวมข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นในการอธิบายการแจกแจงภายหลังของพารามิเตอร์ เมื่อกำหนดข้อมูล (และด้วยเหตุนี้จึงสามารถประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการได้) (คุณสมบัติที่สำคัญนี้จะกล่าวถึงเพิ่มเติมด้านล่าง )${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\frac {f(x;\theta _{1})}{f(x;\theta _{2})}}={\frac {f(y;\theta _{1})}{f(y;\theta _{2})}}}$
• ηเรียกว่าพารามิเตอร์ธรรมชาติเซตของค่าηที่ทำให้ฟังก์ชันสามารถหาปริพันธ์ได้เรียกว่าปริภูมิพารามิเตอร์ธรรมชาติสามารถแสดงได้ว่าปริภูมิพารามิเตอร์ธรรมชาติเป็น ปริภูมิ แบบนูน เสมอ${\displaystyle f_{X}(x;\eta )}$
• A ( η )เรียกว่าฟังก์ชันการแบ่งพาร์ติชันแบบลอการิทึม^{[ b ]}เนื่องจากเป็นลอการิทึมของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานซึ่งหากไม่มีปัจจัยนี้จะไม่สามารถเป็นการกระจายความน่าจะเป็นได้:${\displaystyle f_{X}(x;\theta )}$$${\displaystyle A(\eta )=\log \left(\int _{X}h(x)\,\exp \left[\eta (\theta )\cdot T(x)\right]\,dx\right)}$$

ฟังก์ชันAมีความสำคัญในตัวของมันเอง เพราะค่าเฉลี่ยความแปรปรวนและโมเมนต์ อื่นๆ ของสถิติเพียงพอT ( x )สามารถหาได้ง่ายๆ โดยการหาอนุพันธ์ของA ( η )ตัวอย่างเช่น เนื่องจากlog( x )เป็นหนึ่งในส่วนประกอบของสถิติเพียงพอของการแจกแจงแกมมาจึงสามารถหาค่า สำหรับการแจกแจงนี้ได้ง่ายๆ โดยใช้A ( η )ในทางเทคนิคแล้ว นี่เป็นความจริงเพราะเป็นฟังก์ชันสร้างคูมูลันต์ของสถิติเพียงพอ ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {E}} [\log x]}$$${\displaystyle K{\left(u\mid \eta \right)}=A(\eta +u)-A(\eta )\,,}$$

ตระกูลฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีคุณสมบัติมากมายที่ทำให้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติ ในหลายกรณี สามารถแสดงได้ว่า มี เพียงตระกูลฟังก์ชันเลขชี้กำลังเท่านั้นที่มีคุณสมบัติเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น:

• ตระกูลการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลเป็นตระกูลเดียวที่มีสถิติเพียงพอที่จะสรุปข้อมูลอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกัน ในปริมาณใดๆ โดยใช้ค่าจำนวนคงที่ ( ทฤษฎีบท พิตแมน - คูปแมน - ดาร์มัวส์ )
• ตระกูลเลขชี้กำลังมีไพรเออร์แบบสังยุคซึ่งเป็นคุณสมบัติสำคัญในสถิติแบบเบย์เซียน
• การแจกแจงการทำนายภายหลังของตัวแปรสุ่มตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลที่มีการแจกแจงก่อนหน้าแบบคอนจูเกตสามารถเขียนได้ในรูปแบบปิดเสมอ (โดยมีเงื่อนไขว่าตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานของการแจกแจงตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลนั้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบปิดเช่นกัน) ^{[ c ]}
• ในการประมาณค่าสนามเฉลี่ยในเบย์แบบแปรผัน (ใช้สำหรับการประมาณค่าการกระจายความน่าจะเป็นภายหลังในเครือข่ายเบย์เซียน ขนาดใหญ่ ) การกระจายความน่าจะเป็นภายหลังที่ประมาณค่าได้ดีที่สุดของโหนดตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล (โหนดเป็นตัวแปรสุ่มในบริบทของเครือข่ายเบย์เซียน) ที่มีไพรเออร์แบบคอนจูเกตจะอยู่ในตระกูลเดียวกันกับโหนด^{[ 8 ]}

กำหนดให้ตระกูลเลขชี้กำลังถูกกำหนดโดย โดยที่คือปริภูมิพารามิเตอร์ ซึ่งแล้ว ${\displaystyle f_{X}{\!(x\mid \theta )}=h(x)\exp \left[\theta \cdot T(x)-A(\theta )\right]}$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \theta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}}$

• ถ้ามีส่วนภายในที่ไม่ว่างเปล่าใน แล้วเมื่อกำหนดตัวอย่าง IID ใดๆ สถิติจะเป็นสถิติที่สมบูรณ์สำหรับ^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle X_{1},...,X_{n}\sim f_{X}}$${\textstyle T(X_{1},\dots ,X_{n}):=\sum _{i=1}^{n}T(X_{i})}$${\displaystyle \theta }$
• ${\displaystyle T}$เป็นสถิติขั้นต่ำสำหรับ^ก็ต่อเมื่อสำหรับทั้งหมดและในการสนับสนุนของถ้าแล้วหรือ^{[ 11} ]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}\in \Theta }$${\displaystyle x_{1},x_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (\theta _{1}-\theta _{2})\cdot [T(x_{1})-T(x_{2})]=0}$${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$

เมื่อพิจารณาตัวอย่างในส่วนนี้ สิ่งสำคัญคือต้องระลึกถึงการอภิปรายข้างต้นเกี่ยวกับความหมายของการกล่าวว่า "การแจกแจง" เป็นตระกูลเอกซ์โปเนนเชียล และโดยเฉพาะอย่างยิ่งต้องจำไว้ว่าชุดของพารามิเตอร์ที่อนุญาตให้เปลี่ยนแปลงได้นั้นมีความสำคัญอย่างยิ่งในการกำหนดว่า "การแจกแจง" เป็นตระกูลเอกซ์โปเนนเชียลหรือไม่

การแจกแจงแบบปกติ , แบบเอกซ์โปเนนเชียล, แบบล็อกนอร์มัล, แบบแกมมา, แบบไคกำลังสอง , แบบเบตา , แบบดิริชเล ต์ , แบบ เบอร์นูลลี , แบบแคทิคอล , แบบปัวซง , แบบเรขาคณิต , แบบอินเวอร์ส เกาส์เซียน , แบบ ALAAM , แบบฟอนมิเซสและแบบฟอนมิเซส-ฟิชเชอร์ ล้วนเป็นตระกูลการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลทั้งสิ้น

การแจกแจงบางประเภทจะเป็นตระกูลการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลได้ก็ต่อเมื่อพารามิเตอร์บางตัวถูกกำหนดให้คงที่เท่านั้น เช่น ตระกูลการแจกแจงพาเรโตที่มีขอบเขตต่ำสุดคงที่x_{_m} ก็เป็นตระกูลการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียล ตระกูล การแจกแจง ทวินามและพหุนามที่มีจำนวนครั้งในการทดลองคง ที่ nแต่มีพารามิเตอร์ความน่าจะเป็นที่ไม่ทราบค่า ก็เป็นตระกูลการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียล และตระกูลการแจกแจงทวินามเชิงลบที่มีจำนวนความล้มเหลวคงที่ (หรือพารามิเตอร์เวลาหยุด) rก็เป็นตระกูลการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียล อย่างไรก็ตาม หากพารามิเตอร์คงที่ใดๆ ที่กล่าวมาข้างต้นสามารถเปลี่ยนแปลงได้ ตระกูลการแจกแจงที่ได้จะไม่ใช่ตระกูลการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียล

ดังที่กล่าวมาข้างต้น โดยทั่วไปแล้วขอบเขตการรองรับของตระกูลการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลจะต้องคงที่เหมือนเดิมในทุกการตั้งค่าพารามิเตอร์ของตระกูลนั้น นี่คือเหตุผลที่กรณีข้างต้น (เช่น การแจกแจงแบบทวินามที่มีจำนวนการทดลองแปรผัน การแจกแจงแบบพาเรโตที่มีขอบเขตต่ำสุดแปรผัน) ไม่ใช่ตระกูลการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล เพราะในทุกกรณี พารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องจะส่งผลต่อขอบเขตการรองรับ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเปลี่ยนแปลงค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดที่เป็นไปได้) ด้วยเหตุผลที่คล้ายกัน การแจกแจงแบบเอกรูปไม่ต่อเนื่องและการแจกแจงแบบเอกรูปต่อเนื่อง จึงไม่ใช่ ตระกูลการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล เนื่องจากขอบเขตหนึ่งหรือทั้งสองขอบเขตแปรผัน

การแจกแจงไวบูลที่มีพารามิเตอร์รูปร่างk คงที่นั้น เป็นตระกูลการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ พารามิเตอร์รูปร่างไม่มีผลต่อขอบเขตการแจกแจง ข้อเท็จจริงที่ว่าการอนุญาตให้พารามิเตอร์รูปร่างเปลี่ยนแปลงได้ทำให้การแจกแจงไวบูลไม่ใช่แบบเอกซ์โปเนนเชียลนั้น เป็นผลมาจากรูปแบบเฉพาะของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ของไวบูล ( kปรากฏอยู่ในเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลัง)

โดยทั่วไปแล้ว การแจกแจงที่เกิดจาก การผสมผสานอย่างจำกัดหรือไม่จำกัดของการแจกแจงอื่นๆ เช่น ความหนาแน่น ของแบบจำลองผสมและการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบผสมไม่ใช่ ตระกูลเอก ซ์โพเนนเชียล ตัวอย่างเช่น แบบจำลองผสมเกาส์เซียนทั่วไปรวมถึงการแจกแจงแบบหางหนักจำนวน มาก ที่เกิดจากการผสม (เช่น การผสมอย่างไม่จำกัด) การแจกแจงกับการแจกแจงก่อนหน้าเหนือพารามิเตอร์ตัวใดตัวหนึ่ง เช่นการแจกแจงtของนักเรียน (การผสมการแจกแจงปกติเหนือ การแจกแจงก่อนหน้าแบบแม่นยำ ที่แจกแจงแกมมา ) และ การแจกแจง เบตา-ไบโนเมียลและ การแจกแจง ดิริชเลต์-มัลติโนเมียลตัวอย่างอื่นๆ ของการแจกแจงที่ไม่ใช่ตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล ได้แก่การแจกแจง F การแจกแจงโคชี การแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกและการ แจกแจงโลจิสติก

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างโดยละเอียดของการแสดงการแจกแจงที่มีประโยชน์บางอย่างในรูปแบบของตระกูลเลขชี้กำลัง

ตัวอย่างแรก พิจารณาตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยμ ที่ไม่ทราบค่า และความแปรปรวนσ²ที่ทราบ ค่า ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะเป็น ^{ดังนี้}

$${\displaystyle f_{\sigma }(x;\mu )={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}.}$$

นี่คือตระกูลฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบพารามิเตอร์เดียว ดังที่เห็นได้จากการตั้งค่า

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\sigma }(x)&={\frac {x}{\sigma }},&h_{\sigma }(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}},\\[4pt]A_{\sigma }(\mu )&={\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},&\eta _{\sigma }(\mu )&={\frac {\mu }{\sigma }}.\end{aligned}}}$$

ถ้าσ = 1จะอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เนื่องจาก  η ( μ ) = μ

ต่อไป พิจารณากรณีของการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่า ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะเป็นดังนี้

$${\displaystyle f(y;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(y-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}.}$$

นี่คือตระกูลเลขชี้กำลังซึ่งสามารถเขียนในรูปแบบมาตรฐานได้โดยการกำหนด

$${\displaystyle {\begin{aligned}h(y)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},&{\boldsymbol {\eta }}&=\left[{\frac {\mu }{\sigma ^{2}}},~-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\right],\\T(y)&=\left(y,y^{2}\right)^{\mathsf {T}},&A({\boldsymbol {\eta }})&={\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}+\log |\sigma |=-{\frac {\eta _{1}^{2}}{4\eta _{2}}}+{\frac {1}{2}}\log \left|{\frac {1}{2\eta _{2}}}\right|\end{aligned}}}$$

ตัวอย่างหนึ่งของตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลแบบไม่ต่อเนื่อง คือ การแจกแจงทวินามที่มีจำนวนครั้งทดลองnที่ทราบค่า ฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลสำหรับการแจกแจงนี้คือ ซึ่งสามารถเขียนได้เทียบเท่าเป็น ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการแจกแจงทวินามเป็นตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล โดยมีพารามิเตอร์ธรรมชาติคือ ฟังก์ชันของp นี้ เรียกว่าโลจิต (logit ) $${\displaystyle f(x)={\binom {n}{x}}p^{x}{\left(1-p\right)}^{n-x},\quad x\in \{0,1,2,\ldots ,n\}.}$$$${\displaystyle f(x)={\binom {n}{x}}\exp \left[x\log \left({\frac {p}{1-p}}\right)+n\log(1-p)\right],}$$$${\displaystyle \eta =\log {\frac {p}{1-p}}.}$$

ตารางต่อไปนี้แสดงวิธีการเขียนการแจกแจงทั่วไปจำนวนหนึ่งใหม่เป็นการแจกแจงตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์ธรรมชาติ โปรดดูแฟลชการ์ด^{[ 12 ]}สำหรับตระกูลเอกซ์โพเนนเชียลหลัก

สำหรับตัวแปรสเกลาร์และพารามิเตอร์สเกลาร์ รูปแบบจะเป็นดังนี้:

$${\displaystyle f_{X}(x\mid \theta )=h(x)\exp \left[\eta ({\theta })T(x)-A(\eta )\right]}$$

สำหรับตัวแปรสเกลาร์และพารามิเตอร์เวกเตอร์:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})&=h(x)\,\exp \left[{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})\cdot \mathbf {T} (x)-A({\boldsymbol {\eta }})\right]\\[4pt]f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})&=h(x)\,g({\boldsymbol {\theta }})\,\exp \left[{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})\cdot \mathbf {T} (x)\right]\end{aligned}}}$$

สำหรับตัวแปรเวกเตอร์และพารามิเตอร์เวกเตอร์:

$${\displaystyle f_{X}(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }})=h(\mathbf {x} )\,\exp \left[{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})\cdot \mathbf {T} (\mathbf {x} )-A({\boldsymbol {\eta }})\right]}$$

สูตรข้างต้นเลือกใช้รูปแบบฟังก์ชันของตระกูลเลขชี้กำลังที่มีฟังก์ชันแบ่งส่วนแบบลอการิทึมเหตุผลก็คือเพื่อให้สามารถคำนวณโมเมนต์ของสถิติเพียงพอ ได้ง่าย โดยการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่านั้น รูปแบบอื่น ๆ เกี่ยวข้องกับการกำหนดพารามิเตอร์ของฟังก์ชันนี้ในรูปของพารามิเตอร์ปกติ แทนที่จะเป็นพารามิเตอร์ธรรมชาติ และ/หรือใช้ตัวประกอบที่อยู่นอกเลขชี้กำลัง ความสัมพันธ์ระหว่างแบบหลังและแบบแรกคือ: ในการแปลงระหว่างการแสดงผลที่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์สองประเภท ให้ใช้สูตรด้านล่างสำหรับการเขียนพารามิเตอร์ประเภทหนึ่งในรูปของพารามิเตอร์อีกประเภทหนึ่ง ${\displaystyle A({\boldsymbol {\eta }})}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$${\displaystyle g({\boldsymbol {\eta }})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A({\boldsymbol {\eta }})&=-\log g({\boldsymbol {\eta }}),\\[2pt]g({\boldsymbol {\eta }})&=e^{-A({\boldsymbol {\eta }})}\end{aligned}}}$$

การกระจาย	พารามิเตอร์θ	พารามิเตอร์ธรรมชาติη	การแมปพารามิเตอร์ผกผัน	การวัดฐานh ( x )	สถิติที่เพียงพอT ( x )	พาร์ทิชันลอการิทึมA ( η )	การแบ่งพาร์ติชันลอการิทึมA ( θ )
การแจกแจงแบบเบอร์นูลลี	${\displaystyle p}$	${\displaystyle \log {\frac {p}{1-p}}}$ นี่คือฟังก์ชัน logit	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-\eta }}}={\frac {e^{\eta }}{1+e^{\eta }}}}$ นี่คือฟังก์ชันโลจิสติกส์	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle \log(1+e^{\eta })}$	${\displaystyle -\log(1-p)}$
การแจกแจงทวินามที่มีจำนวนครั้งการทดลองที่ทราบแล้ว${\displaystyle n}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle \log {\frac {p}{1-p}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-\eta }}}={\frac {e^{\eta }}{1+e^{\eta }}}}$	${\displaystyle {\binom {n}{x}}}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle n\log(1+e^{\eta })}$	${\displaystyle -n\log(1-p)}$
การแจกแจงปัวซง	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \log \lambda }$	${\displaystyle e^{\eta }}$	${\displaystyle {\frac {1}{x!}}}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle e^{\eta }}$	${\displaystyle \lambda }$
การแจกแจงทวินามเชิงลบที่มีจำนวนความล้มเหลวที่ทราบแล้ว${\displaystyle r}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle \log(1-p)}$	${\displaystyle 1-e^{\eta }}$	${\displaystyle {\binom {x{+}r{-}1}{x}}}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle -r\log(1-e^{\eta })}$	${\displaystyle -r\log(p)}$
การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle -\lambda }$	${\displaystyle -\eta }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle -\log(-\eta )}$	${\displaystyle -\log \lambda }$
การแจกแจงพาเรโตที่มีค่าต่ำสุดที่ทราบ${\displaystyle x_{m}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle -\alpha -1}$	${\displaystyle -1-\eta }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \log x}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&-\log(-1-\eta )\\&+(1+\eta )\log x_{\mathrm {m} }\end{aligned}}}$	${\displaystyle -\log \left(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }\right)}$
การแจกแจงไวบูลที่มีรูปร่างk ที่ทราบแล้ว	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{k}}}}$	${\displaystyle (-\eta )^{-1/k}}$	${\displaystyle x^{k-1}}$	${\displaystyle x^{k}}$	${\displaystyle \log \left(-{\frac {1}{\eta k}}\right)}$	${\displaystyle \log {\frac {\lambda ^{k}}{k}}}$
การแจกแจงแบบลาปลาสที่มีค่าเฉลี่ยที่ทราบ${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle -{\frac {1}{b}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\eta }}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle |x-\mu |}$	${\displaystyle \log \left(-{\frac {2}{\eta }}\right)}$	${\displaystyle \log 2b}$
การแจกแจงไคกำลังสอง	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}-1}$	${\displaystyle 2(\eta +1)}$	${\displaystyle e^{-x/2}}$	${\displaystyle \log x}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\log \Gamma (\eta +1)\\&+(\eta +1)\log 2\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\log \Gamma {\left({\tfrac {\nu }{2}}\right)}\\&+{\tfrac {\nu }{2}}\log 2\end{aligned}}}$
การแจกแจงปกติที่มีค่าความแปรปรวนที่ทราบแล้ว	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle {\frac {\mu }{\sigma }}}$	${\displaystyle \sigma \eta }$	${\displaystyle {\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}}$	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma }}}$	${\displaystyle {\frac {\eta ^{2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
การแจกแจงเบอร์นูลลีแบบต่อเนื่อง	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \log {\frac {\lambda }{1-\lambda }}}$	${\displaystyle {\frac {e^{\eta }}{1+e^{\eta }}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle \log {\frac {e^{\eta }-1}{\eta }}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\log \left({\tfrac {1-2\lambda }{1-\lambda }}\right)\\[1ex]{}-{}&\log ^{2}\left({\tfrac {1}{\lambda }}-1\right)\end{aligned}}}$ โดยที่log 2หมายถึงลอการิทึมแบบวนซ้ำ
การกระจายแบบปกติ	${\displaystyle \mu ,\ \sigma ^{2}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {\mu }{\sigma ^{2}}}\\[1ex]-{\dfrac {1}{2\sigma ^{2}}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\dfrac {\eta _{1}}{2\eta _{2}}}\\[1ex]-{\dfrac {1}{2\eta _{2}}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\x^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle -{\frac {\eta _{1}^{2}}{4\eta _{2}}}-{\frac {1}{2}}\log(-2\eta _{2})}$	${\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}+\log \sigma }$
การแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ	${\displaystyle \mu ,\ \sigma ^{2}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {\mu }{\sigma ^{2}}}\\[1ex]-{\dfrac {1}{2\sigma ^{2}}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\dfrac {\eta _{1}}{2\eta _{2}}}\\[1ex]-{\dfrac {1}{2\eta _{2}}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}x}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log x\\(\log x)^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle -{\frac {\eta _{1}^{2}}{4\eta _{2}}}-{\frac {1}{2}}\log(-2\eta _{2})}$	${\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}+\log \sigma }$
การกระจายแบบเกาส์เซียนผกผัน	${\displaystyle \mu ,\ \lambda }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\dfrac {\lambda }{2\mu ^{2}}}\\[15pt]-{\dfrac {\lambda }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\sqrt {\dfrac {\eta _{2}}{\eta _{1}}}}\\[15pt]-2\eta _{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}x^{3/2}}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\[5pt]{\dfrac {1}{x}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle -2{\sqrt {\eta _{1}\eta _{2}}}-{\tfrac {1}{2}}\log(-2\eta _{2})}$	${\displaystyle -{\tfrac {\lambda }{\mu }}-{\tfrac {1}{2}}\log \lambda }$
การแจกแจงแกมมา	${\displaystyle \alpha ,\ \beta }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha -1\\-\beta \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\eta _{1}+1\\-\eta _{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log x\\x\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\log \Gamma (\eta _{1}+1)\\{}-{}&(\eta _{1}+1)\log(-\eta _{2})\end{aligned}}}$	${\displaystyle \log {\frac {\Gamma (\alpha )}{\beta ^{\alpha }}}}$
	${\displaystyle k,\ \theta }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}k-1\\[5pt]-{\dfrac {1}{\theta }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\eta _{1}+1\\[5pt]-{\dfrac {1}{\eta _{2}}}\end{bmatrix}}}$				${\displaystyle \log \left(\theta ^{k}\Gamma (k)\right)}$
การกระจายแกมมาผกผัน	${\displaystyle \alpha ,\ \beta }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\alpha -1\\-\beta \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\eta _{1}-1\\-\eta _{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log x\\{\frac {1}{x}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\log \Gamma (-\eta _{1}-1)\\+&\left(\eta _{1}+1\right)\log(-\eta _{2})\end{aligned}}}$	${\displaystyle \log {\frac {\Gamma (\alpha )}{\beta ^{\alpha }}}}$
การกระจายแบบเกาส์เซียนผกผันทั่วไป	${\displaystyle p,\ a,\ b}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}p-1\\-a/2\\-b/2\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\eta _{1}+1\\-2\eta _{2}\\-2\eta _{3}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log x\\x\\{\frac {1}{x}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\log 2K_{\eta _{1}+1}{\!\left({\sqrt {4\eta _{2}\eta _{3}}}\right)}\\[2pt]{}-{}&{\frac {\eta _{1}+1}{2}}\log {\frac {\eta _{2}}{\eta _{3}}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\log 2K_{p}({\sqrt {ab}})\\[2pt]&{}-{\frac {p}{2}}\log {\frac {a}{b}}\end{aligned}}}$
การแจกแจงไคกำลังสองผกผันแบบปรับขนาด	${\displaystyle \nu ,\ \sigma ^{2}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\dfrac {\nu }{2}}-1\\[10pt]-{\dfrac {\nu \sigma ^{2}}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2(\eta _{1}+1)\\[10pt]{\dfrac {\eta _{2}}{\eta _{1}+1}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log x\\{\frac {1}{x}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\log \Gamma (-\eta _{1}-1)\\[2pt]+&\left(\eta _{1}+1\right)\log(-\eta _{2})\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\log \Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}\\[2pt]{}-{}&{\frac {\nu }{2}}\log {\frac {\nu \sigma ^{2}}{2}}\end{aligned}}}$
การแจกแจงเบต้า (แบบที่ 1)	${\displaystyle \alpha ,\ \beta }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\eta _{1}\\\eta _{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{x(1-x)}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log x\\\log(1{-}x)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \log {\frac {\Gamma (\eta _{1})\,\Gamma (\eta _{2})}{\Gamma (\eta _{1}+\eta _{2})}}}$	${\displaystyle \log {\frac {\Gamma (\alpha )\,\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$
การแจกแจงเบต้า (แบบที่ 2)	${\displaystyle \alpha ,\ \beta }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha -1\\\beta -1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\eta _{1}+1\\\eta _{2}+1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log x\\\log(1{-}x)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \log {\frac {\Gamma (\eta _{1}+1)\,\Gamma (\eta _{2}+1)}{\Gamma (\eta _{1}+\eta _{2}+2)}}}$	${\displaystyle \log {\frac {\Gamma (\alpha )\,\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$
การกระจายปกติหลายตัวแปร	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }},\ {\boldsymbol {\Sigma }}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}\\[5pt]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\eta }}_{2}^{-1}{\boldsymbol {\eta }}_{1}\\[5pt]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\eta }}_{2}^{-1}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle (2\pi )^{-{\frac {k}{2}}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\[5pt]\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\tfrac {1}{4}}{\boldsymbol {\eta }}_{1}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\eta }}_{2}^{-1}{\boldsymbol {\eta }}_{1}\\&-{\tfrac {1}{2}}\log \left|-2{\boldsymbol {\eta }}_{2}\right|\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}\\+&{\tfrac {1}{2}}\log \left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|\end{aligned}}}$
การแจกแจงเชิงหมวดหมู่ (แบบที่ 1)	${\displaystyle p_{1},\ \ldots ,\,p_{k}}$ที่ไหน${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}p_{i}=1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log p_{1}\\\vdots \\\log p_{k}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}e^{\eta _{1}}\\\vdots \\e^{\eta _{k}}\end{bmatrix}}}$ ที่ไหน${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}=1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}[x=1]\\\vdots \\{[x=k]}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle [x=i]}$คือวงเล็บไอเวอร์สัน[ i ]	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
การแจกแจงเชิงหมวดหมู่ (แบบที่ 2)	${\displaystyle p_{1},\ \ldots ,\,p_{k}}$ที่ไหน${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}p_{i}=1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log p_{1}+C\\\vdots \\\log p_{k}+C\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{C}}{\begin{bmatrix}e^{\eta _{1}}\\\vdots \\e^{\eta _{k}}\end{bmatrix}}}$ที่ไหน${\textstyle C=\sum \limits _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}[x=1]\\\vdots \\{[x=k]}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle [x=i]}$คือวงเล็บไอเวอร์สัน[ i ]	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
การแจกแจงเชิงหมวดหมู่ (แบบที่ 3)	${\displaystyle p_{1},\ \ldots ,\,p_{k}}$ที่ไหน${\textstyle p_{k}=1-\sum \limits _{i=1}^{k-1}p_{i}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log {\dfrac {p_{1}}{p_{k}}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]\log {\dfrac {p_{k-1}}{p_{k}}}\\[15pt]0\end{bmatrix}}}$ นี่คือ ฟังก์ชัน softmaxผกผันซึ่งเป็นการขยายความของฟังก์ชัน logit	${\displaystyle {\frac {1}{C_{1}}}{\begin{bmatrix}e^{\eta _{1}}\\[5pt]\vdots \\[5pt]e^{\eta _{k}}\end{bmatrix}}=}$ ${\displaystyle {\frac {1}{C_{2}}}{\begin{bmatrix}e^{\eta _{1}}\\[5pt]\vdots \\[5pt]e^{\eta _{k-1}}\\[5pt]1\end{bmatrix}}}$ ที่ไหน และ . ${\textstyle C_{1}=\sum \limits _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}}$${\textstyle C_{2}=1+\sum \limits _{i=1}^{k-1}e^{\eta _{i}}}$ นี่คือฟังก์ชัน softmax ซึ่ง เป็นการ ขยายความของฟังก์ชัน logistic	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}[x=1]\\\vdots \\{[x=k]}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle [x=i]}$คือวงเล็บไอเวอร์สัน[ i ]	${\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \log \left(\sum \limits _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}\right)\\={}&\textstyle \log \left(1+\sum \limits _{i=1}^{k-1}e^{\eta _{i}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle -\log p_{k}}$
การแจกแจงพหุนาม (แบบที่ 1) โดยทราบจำนวนครั้งของการทดลองn	${\displaystyle p_{1},\ \ldots ,\,p_{k}}$ที่ไหน${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}p_{i}=1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log p_{1}\\\vdots \\\log p_{k}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}e^{\eta _{1}}\\\vdots \\e^{\eta _{k}}\end{bmatrix}}}$ที่ไหน${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}=1}$	${\displaystyle {\frac {n!}{\prod \limits _{i=1}^{k}x_{i}!}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{k}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
การแจกแจงพหุนาม (แบบที่ 2) โดยทราบจำนวนครั้งของการทดลอง${\displaystyle n}$	${\displaystyle p_{1},\ \ldots ,\,p_{k}}$ที่ไหน${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}p_{i}=1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log p_{1}+C\\\vdots \\\log p_{k}+C\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{C}}{\begin{bmatrix}e^{\eta _{1}}\\\vdots \\e^{\eta _{k}}\end{bmatrix}}}$ ที่ไหน${\textstyle C=\sum \limits _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}}$	${\displaystyle {\frac {n!}{\prod \limits _{i=1}^{k}x_{i}!}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{k}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
การแจกแจงพหุนาม (แบบที่ 3) โดยทราบจำนวนครั้งของการทดลอง${\displaystyle n}$	${\displaystyle p_{1},\ \ldots ,\,p_{k}}$ที่ไหน${\textstyle p_{k}=1-\sum \limits _{i=1}^{k-1}p_{i}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log {\dfrac {p_{1}}{p_{k}}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]\log {\dfrac {p_{k-1}}{p_{k}}}\\[15pt]0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{C_{1}}}{\begin{bmatrix}e^{\eta _{1}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]e^{\eta _{k}}\end{bmatrix}}=}$ ${\displaystyle {\frac {1}{C_{2}}}{\begin{bmatrix}e^{\eta _{1}}\\[5pt]\vdots \\[5pt]e^{\eta _{k-1}}\\[5pt]1\end{bmatrix}}}$ ที่ไหนและ${\textstyle C_{1}=\sum \limits _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}}$${\textstyle C_{2}=1+\sum \limits _{i=1}^{k-1}e^{\eta _{i}}}$	${\displaystyle {\frac {n!}{\prod \limits _{i=1}^{k}x_{i}!}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{k}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle n\log \left(\sum \limits _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}\right)\\[4pt]={}&\textstyle n\log \left(1+\sum \limits _{i=1}^{k-1}e^{\eta _{i}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle -n\log p_{k}}$
การแจกแจงแบบ Dirichlet (แบบที่ 1)	${\displaystyle \alpha _{1},\ \ldots ,\,\alpha _{k}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{k}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\eta _{1}\\\vdots \\\eta _{k}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{k}x_{i}}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log x_{1}\\\vdots \\\log x_{k}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}\log \Gamma (\eta _{i})\\\textstyle -\log \Gamma {\left(\sum \limits _{i=1}^{k}\eta _{i}\right)}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}\log \Gamma (\alpha _{i})\\{}-{}&\textstyle \log \Gamma {\left(\sum \limits _{i=1}^{k}\alpha _{i}\right)}\end{aligned}}}$
การแจกแจงแบบ Dirichlet (แบบที่ 2)	${\displaystyle \alpha _{1},\ \ldots ,\,\alpha _{k}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha _{1}-1\\\vdots \\\alpha _{k}-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\eta _{1}+1\\\vdots \\\eta _{k}+1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log x_{1}\\\vdots \\\log x_{k}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}\log \Gamma (\eta _{i}+1)\\{}-{}&\textstyle \log \Gamma {\left(\sum \limits _{i=1}^{k}(\eta _{i}+1)\right)}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}\log \Gamma (\alpha _{i})\\{}-{}&\textstyle \log \Gamma {\left(\sum \limits _{i=1}^{k}\alpha _{i}\right)}\end{aligned}}}$
การจัดจำหน่ายวิชาร์ต	${\displaystyle \mathbf {V} ,\ n}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}\mathbf {V} ^{-1}\\[5pt]{\dfrac {n{-}p{-}1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\eta }}_{1}^{-1}\\[5pt]2\eta _{2}{+}p{+}1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X} \\\log |\mathbf {X} |\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&-\left[\eta _{2}+{\tfrac {p+1}{2}}\right]\log \left|-{\boldsymbol {\eta }}_{1}\right|\\&+\log \Gamma _{p}{\left(\eta _{2}+{\tfrac {p+1}{2}}\right)}\\[1ex]=&-{\tfrac {n}{2}}\log \left|-{\boldsymbol {\eta }}_{1}\right|\\&+\log \Gamma _{p}{\left({\tfrac {n}{2}}\right)}\\[1ex]={}&\left[\eta _{2}+{\tfrac {p+1}{2}}\right]\log \left(2^{p}\left|\mathbf {V} \right|\right)\\&+\log \Gamma _{p}{\left(\eta _{2}+{\tfrac {p+1}{2}}\right)}\end{aligned}}}$ มีการนำเสนอตัวแปรสามแบบที่มีการกำหนดพารามิเตอร์แตกต่างกัน เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณค่าโมเมนต์ของสถิติที่เพียงพอ	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {n}{2}}\log \left(2^{p}\left|\mathbf {V} \right|\right)\\[2pt]&+\log \Gamma _{p}{\left({\frac {n}{2}}\right)}\end{aligned}}}$
	หมายเหตุ : ใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของเมทริกซ์ ( trace) มีลักษณะคล้ายกับ ผลคูณดอท ( dot product ) โดยถือว่าพารามิเตอร์ของเมทริกซ์อยู่ ในรูปเวกเตอร์ ( vectorized ) เมื่อนำไปใส่ในรูปเลขชี้กำลัง นอกจากนี้และเป็นเมทริกซ์สมมาตร ดังนั้น เช่น${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} )=\operatorname {vec} (\mathbf {A} )\cdot \operatorname {vec} (\mathbf {B} ),}$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {V} ^{\mathsf {T}}=\mathbf {V} \ .}$
การแจกแจงวิชาร์ตผกผัน	${\displaystyle \mathbf {\Psi } ,\,m}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\Psi }}\\[5pt]m{+}p{+}1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle -{\begin{bmatrix}2{\boldsymbol {\eta }}_{1}\\[5pt]2\eta _{2}{+}p{+}1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X} ^{-1}\\\log |\mathbf {X} |\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[\eta _{2}+{\tfrac {p+1}{2}}\right]\log \left|-{\boldsymbol {\eta }}_{1}\right|\\&+\log \Gamma _{p}{\left(-\eta _{2}-{\tfrac {p+1}{2}}\right)}\\[1ex]=&-{\tfrac {m}{2}}\log \left|-{\boldsymbol {\eta }}_{1}\right|\\&+\log \Gamma _{p}{\left({\tfrac {m}{2}}\right)}\\[1ex]=&-\left[\eta _{2}+{\tfrac {p+1}{2}}\right]\log {\tfrac {2^{p}}{\left|{\boldsymbol {\Psi }}\right|}}\\&+\log \Gamma _{p}{\left(-\eta _{2}-{\tfrac {p+1}{2}}\right)}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m}{2}}\log {\frac {2^{p}}{|{\boldsymbol {\Psi }}|}}\\[4pt]+\log \Gamma _{p}{\left({\frac {m}{2}}\right)}\end{aligned}}}$
การกระจายแบบนอร์มัล-แกมมา	${\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \mu ,\ \lambda }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha -{\frac {1}{2}}\\-\beta -{\dfrac {\lambda \mu ^{2}}{2}}\\\lambda \mu \\-{\dfrac {\lambda }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\eta _{1}+{\frac {1}{2}}\\-\eta _{2}+{\dfrac {\eta _{3}^{2}}{4\eta _{4}}}\\-{\dfrac {\eta _{3}}{2\eta _{4}}}\\-2\eta _{4}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log \tau \\\tau \\\tau x\\\tau x^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\log \Gamma {\left(\eta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)}\\[2pt]-{}&{\tfrac {1}{2}}\log \left(-2\eta _{4}\right)\\[2pt]-{}&\left(\eta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)\log \left({\tfrac {\eta _{3}^{2}}{4\eta _{4}}}-\eta _{2}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\log \Gamma {\left(\alpha \right)}\\[2pt]&-\alpha \log \beta \\[2pt]&-{\tfrac {1}{2}}\log \lambda \end{aligned}}}$