ในทางสถิติการถดถอยปัวซงเป็นรูปแบบการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นทั่วไปที่ใช้ในการสร้างแบบจำลอง ข้อมูล การนับและตารางความสัมพันธ์^{[ 1 ]}การถดถอยปัวซงถือว่าตัวแปรตอบสนองYมีการกระจายแบบปัวซงและถือว่าลอการิทึมของค่าที่คาดหวังสามารถสร้างแบบจำลองได้โดยการรวมกันเชิงเส้นของพารามิเตอร์ ที่ไม่ทราบค่า แบบจำลองการถดถอยปัวซงบางครั้งเรียกว่าแบบจำลองลอการิทึมเชิงเส้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใช้ในการสร้างแบบจำลองตารางความสัมพันธ์

การถดถอยแบบทวินามเชิงลบเป็นการขยายผลของการถดถอยแบบปัวซงที่ได้รับความนิยม เนื่องจากช่วยลดข้อสมมติที่เข้มงวดมากที่ว่าความแปรปรวนเท่ากับค่าเฉลี่ยของแบบจำลองปัวซง แบบจำลองการถดถอยแบบทวินามเชิงลบแบบดั้งเดิมนั้นอิงตามการแจกแจงแบบผสมปัวซง-แกมมา แบบจำลองนี้ได้รับความนิยมเพราะสามารถจำลองความไม่สม่ำเสมอของปัวซงด้วยการแจกแจงแบบแกมมาได้

แบบจำลองการถดถอยปัวซงเป็นแบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปที่มีลอการิทึมเป็นฟังก์ชันเชื่อมโยง (แบบมาตรฐาน) และ ฟังก์ชัน การแจกแจงปัวซงเป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่สมมติขึ้นของตัวแปรตอบสนอง

ถ้าเป็นเวกเตอร์ของตัวแปรอิสระโมเดลจะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))=\alpha +\mathbf {\beta } '\mathbf {x} ,}$

โดยที่และ. บางครั้งอาจเขียนให้กระชับกว่านี้ได้ว่า ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {\beta } \in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))={\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} ,\,}$

โดยที่ เป็นเวกเตอร์มิติ ( n  + 1) ที่ประกอบด้วย ตัวแปรอิสระ nตัวที่ต่อท้ายกับเลขหนึ่ง ในที่นี้จะถูกต่อท้ายกับเท่านั้น ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

ดังนั้น เมื่อกำหนดแบบจำลองการถดถอยปัวซงและเวกเตอร์อินพุตแล้ว ค่าเฉลี่ยที่ทำนายได้ของการแจกแจงปัวซงที่เกี่ยวข้องจะกำหนดโดย ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} )=e^{{\boldสัญลักษณ์ {\theta }}'\mathbf {x} }.\,}$

ถ้าเป็นการสังเกตที่เป็นอิสระต่อกัน โดยมีค่าที่สอดคล้องกัน ของตัวแปรทำนาย ก็สามารถประมาณค่าได้โดยวิธีความน่าจะเป็นสูงสุดอย่างไรก็ตาม การประมาณค่าด้วยวิธีความน่าจะเป็นสูงสุดนั้นไม่มีสูตรสำเร็จรูปและต้องหาได้โดยวิธีการเชิงตัวเลข พื้นผิวความน่าจะเป็นสำหรับการถดถอยปัวซงแบบความน่าจะเป็นสูงสุดนั้นเว้าเสมอ ทำให้วิธีนิวตัน-ราฟสันหรือวิธีการอื่นๆ ที่ใช้การไล่ระดับความชันเป็นเทคนิคการประมาณค่าที่เหมาะสม ${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$${\displaystyle \theta }$

สมมติว่าเรามีแบบจำลองที่มีตัวแปรทำนายเพียงตัวเดียว นั่นคือ: ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))=\alpha +\beta x}$

สมมติว่าเราคำนวณค่าที่คาดการณ์ไว้ที่จุดและ: ${\displaystyle (Y_{2},x_{2})}$${\displaystyle (Y_{1},x_{1})}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2}))=\alpha +\beta x_{2}}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1}))=\alpha +\beta x_{1}}$

โดยการลบค่าแรกออกจากค่าที่สอง:

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2}))-\log(\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1}))=\beta (x_{2}-x_{1})}$

สมมติว่าตอนนี้เราจะได้: ${\displaystyle x_{2}=x_{1}+1}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2}))-\log(\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1}))=\beta }$

ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ของแบบจำลองจึงควรตีความว่าเป็นการเพิ่มขึ้นของล logarithm ของจำนวนตัวแปรผลลัพธ์เมื่อตัวแปรอิสระเพิ่มขึ้น 1 หน่วย

โดยการใช้กฎของลอการิทึม:

${\displaystyle \log \left({\dfrac {\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2})}{\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1})}}\right)=\beta }$

${\displaystyle {\dfrac {\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2})}{\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1})}}=e^{\beta }}$

${\displaystyle \operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2})=e^{\beta }\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1})}$

กล่าวคือ เมื่อตัวแปรอิสระเพิ่มขึ้น 1 ค่าของตัวแปรผลลัพธ์จะถูกคูณด้วยสัมประสิทธิ์ยกกำลัง

สัมประสิทธิ์ที่ยกกำลังแล้วเรียกอีกอย่างว่าอัตราส่วนการเกิดเหตุการณ์

บ่อยครั้ง วัตถุที่น่าสนใจคือผลกระทบส่วนเฉลี่ยหรือผลกระทบส่วนขอบเฉลี่ยซึ่งตีความได้ว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงในผลลัพธ์สำหรับการเปลี่ยนแปลงหนึ่งหน่วยในตัวแปรอิสระผลกระทบส่วนเฉลี่ยในแบบจำลองปัวซงสำหรับตัวแปรต่อเนื่องสามารถแสดงได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\frac {\partial E(Y|x)}{\partial x}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial E(Y|x)}{\partial x}}=\exp(\theta '\mathbb {x} )\beta }$

สามารถประมาณค่านี้ได้โดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้จากแบบจำลองปัวซงร่วมกับค่าที่สังเกตได้ของ ${\displaystyle {\hat {\theta }}=({\hat {\alpha }},{\hat {\beta }})}$${\displaystyle \mathbb {x} }$

เมื่อกำหนดชุดพารามิเตอร์θและเวกเตอร์อินพุตxแล้ว ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงปัวซง ที่ทำนายได้ ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น จะได้จากสูตร

${\displaystyle \lambda :=\operatorname {E} (Y\mid x)=e^{\theta 'x},\,}$

ดังนั้นฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวล ของการแจกแจงปัวซง จึงกำหนดโดย

${\displaystyle p(y\mid x;\theta )={\frac {\lambda ^{y}}{y!}}e^{-\lambda }={\frac {e^{y\theta 'x}e^{-e^{\theta 'x}}}{y!}}}$

สมมติว่าเรามีชุดข้อมูลที่ประกอบด้วยเวกเตอร์m ตัวพร้อมกับชุดค่าm ค่า แล้วสำหรับชุดพารามิเตอร์θ ที่กำหนด ความน่าจะเป็นที่จะได้ชุดข้อมูลเฉพาะนี้จะกำหนดโดย ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{n+1},\,i=1,\ldots ,m}$${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{m}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle p(y_{1},\ldots ,y_{m}\mid x_{1},\ldots ,x_{m};\theta )=\prod _{i=1}^{m}{\frac {e^{y_{i}\theta 'x_{i}}e^{-e^{\theta 'x_{i}}}}{y_{i}!}}.}$

โดยใช้วิธีความน่าจะเป็นสูงสุดเราต้องการหาชุดพารามิเตอร์θที่ทำให้ความน่าจะเป็นนี้มีค่ามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ในการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้เขียนสมการใหม่เป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นในรูปของθ :

${\displaystyle L(\theta \mid X,Y)=\prod _{i=1}^{m}{\frac {e^{y_{i}\theta 'x_{i}}e^{-e^{\theta 'x_{i}}}}{y_{i}!}}.}$

โปรดสังเกตว่านิพจน์ทางด้านขวามือยังคงเหมือนเดิม สูตรในรูปแบบนี้มักใช้งานยาก ดังนั้นจึงนิยมใช้ค่าลอการิทึม ความน่าจะเป็นแทน

${\displaystyle \ell (\theta \mid X,Y)=\log L(\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^{m}\left(y_{i}\theta 'x_{i}-e^{\theta 'x_{i}}-\log(y_{i}!)\right).}$

โปรดสังเกตว่าพารามิเตอร์θปรากฏเฉพาะในสองพจน์แรกของแต่ละพจน์ในการบวกเท่านั้น ดังนั้น เนื่องจากเราสนใจเฉพาะการหาค่าที่ดีที่สุดสำหรับθเราจึงสามารถตัดy _i ! ออกและเขียนเพียงแค่ y i ! ก็ได้

${\displaystyle \ell (\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^{m}\left(y_{i}\theta 'x_{i}-e^{\theta 'x_{i}}\right).}$

ในการหาค่าสูงสุด เราจำเป็นต้องแก้สมการที่ไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด อย่างไรก็ตาม ค่าลบของลอการิทึมความน่าจะเป็น ( ) เป็นฟังก์ชันนูน ดังนั้นจึง สามารถใช้เทคนิค การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน มาตรฐาน เช่นการไล่ระดับความชันเพื่อหาค่าที่เหมาะสมที่สุดของθได้ ${\displaystyle {\frac {\partial \ell (\theta \mid X,Y)}{\partial \theta }}=0}$${\displaystyle -\ell (\theta \mid X,Y)}$

การถดถอยแบบปัวซงอาจเหมาะสมเมื่อตัวแปรตามเป็นจำนวนนับ เช่นเหตุการณ์ต่างๆเช่น การรับสายโทรศัพท์ที่ศูนย์บริการลูกค้า^{[ 3 ]}เหตุการณ์ต้องเป็นอิสระต่อกันในแง่ที่ว่าการรับสายหนึ่งจะไม่ทำให้การรับสายอื่นมีโอกาสมากขึ้นหรือน้อยลง แต่ความน่าจะเป็นต่อหน่วยเวลาของเหตุการณ์นั้นเข้าใจว่าเกี่ยวข้องกับตัวแปรเสริม เช่น เวลาของวัน

การถดถอยปัวซงอาจเหมาะสมสำหรับข้อมูลอัตราด้วยเช่นกัน โดยที่อัตราคือจำนวนเหตุการณ์หารด้วยการวัดการสัมผัส ของหน่วยนั้น (หน่วยการสังเกตเฉพาะ) ^{[ 4 ]}ตัวอย่างเช่น นักชีววิทยาอาจนับจำนวนชนิดของต้นไม้ในป่า: เหตุการณ์จะเป็นการสังเกตต้นไม้ การสัมผัสจะเป็นพื้นที่หน่วย และอัตราจะเป็นจำนวนชนิดต่อพื้นที่หน่วย นักประชากรศาสตร์อาจสร้างแบบจำลองอัตราการตายในพื้นที่ทางภูมิศาสตร์โดยนับจำนวนการตายหารด้วยจำนวนปีของบุคคล โดยทั่วไป อัตราเหตุการณ์สามารถคำนวณได้เป็นเหตุการณ์ต่อหน่วยเวลา ซึ่งช่วยให้หน้าต่างการสังเกตแตกต่างกันสำหรับแต่ละหน่วย ในตัวอย่างเหล่านี้ การสัมผัสคือพื้นที่หน่วย จำนวนปีของบุคคล และหน่วยเวลา ตามลำดับ ในการถดถอยปัวซง สิ่งนี้จะถูกจัดการเป็นค่าชดเชยหากอัตราคือจำนวน/การสัมผัส การคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยการสัมผัสจะย้ายไปทางด้านขวาของสมการ เมื่อทั้งสองข้างของสมการถูกลอการิทึมแล้ว แบบจำลองสุดท้ายจะมี log(การสัมผัส) เป็นเทอมที่เพิ่มเข้าไปในสัมประสิทธิ์การถดถอย ตัวแปรที่บันทึกไว้ log(exposure) นี้เรียกว่าตัวแปรชดเชย และจะปรากฏทางด้านขวามือของสมการ โดยมีค่าประมาณพารามิเตอร์ (สำหรับ log(exposure)) ที่ถูกจำกัดไว้ที่ 1

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid x))=\theta 'x}$

ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle \log \left({\frac {\operatorname {E} (Y\mid x)}{\text{exposure}}}\right)=\log(\operatorname {E} (Y\mid x))-\log({\text{exposure}})=\theta 'x}$

${\displaystyle \log \left(\operatorname {E} (Y\mid x)\right)=\theta 'x+\log({\text{exposure}})}$

ในกรณีของGLMในR การกำหนดค่าชดเชย สามารถทำได้โดยใช้offset()ฟังก์ชัน:

glm ( y ~ offset ( log ( exposure )) + x , family = poisson ( link = log ) )

ลักษณะเฉพาะของการแจกแจงปัวซงคือค่าเฉลี่ยเท่ากับความแปรปรวน ในบางสถานการณ์ จะพบว่าความแปรปรวน ที่สังเกตได้ มากกว่าค่าเฉลี่ย ซึ่งเรียกว่าภาวะ ความแปรปรวนเกิน (overdispersion ) และบ่งชี้ว่าแบบจำลองไม่เหมาะสม สาเหตุทั่วไปคือการละเว้นตัวแปรอธิบายที่เกี่ยวข้อง หรือการสังเกตที่ขึ้นอยู่กัน ในบางสถานการณ์ ปัญหาของภาวะความแปรปรวนเกินสามารถแก้ไขได้โดยใช้ การประมาณค่าแบบ กึ่งความน่าจะเป็นหรือการแจกแจงทวินามเชิงลบแทน^{[ 5 ] [ 6 ]}

Ver Hoef และ Boveng อธิบายความแตกต่างระหว่าง quasi-Poisson (หรือเรียกว่า overdispersion with quasi-likelihood) และ negative binomial (เทียบเท่ากับ gamma-Poisson) ดังนี้: ถ้าE ( Y ) = μแบบจำลอง quasi-Poisson จะถือว่า var( Y ) = θμในขณะที่ gamma-Poisson จะถือว่า var( Y ) = μ (1 +  κμ ) โดยที่θคือพารามิเตอร์ overdispersion ของ quasi-Poisson และκคือพารามิเตอร์รูปร่างของการแจกแจง negative binomialสำหรับทั้งสองแบบจำลอง พารามิเตอร์จะถูกประมาณโดยใช้การถ่วงน้ำหนักกำลังสองน้อยที่สุดแบบวนซ้ำสำหรับ quasi-Poisson น้ำหนักคือμ / θสำหรับ negative binomial น้ำหนักคือμ /(1 +  κμ ) เมื่อμ มีค่ามากและมีความแปรปรวน extra-Poisson มาก น้ำหนักของ negative binomial จะถูกจำกัด ไว้ที่ 1/ κ Ver Hoef และ Boveng ได้อภิปรายตัวอย่างที่พวกเขาเลือกระหว่างสองตัวเลือกโดยการพล็อตค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยเทียบกับค่าเฉลี่ย^{[ 7 ]}

ปัญหาทั่วไปอีกอย่างหนึ่งของการถดถอยแบบปัวซงคือจำนวนศูนย์ที่มากเกินไป: หากมีกระบวนการสองอย่างที่ทำงานอยู่ กระบวนการหนึ่งกำหนดว่าจะมีเหตุการณ์เป็นศูนย์หรือมีเหตุการณ์ใด ๆ และกระบวนการปัวซงกำหนดว่ามีเหตุการณ์เกิดขึ้นกี่เหตุการณ์ จะมีจำนวนศูนย์มากกว่าที่การถดถอยแบบปัวซงคาดการณ์ไว้ ตัวอย่างเช่น การกระจายของจำนวนบุหรี่ที่สูบในหนึ่งชั่วโมงโดยสมาชิกของกลุ่มที่มีบางคนไม่สูบบุหรี่

แบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปอื่นๆเช่น แบบจำลอง ทวินามเชิง ลบ หรือแบบจำลองที่มีค่าศูนย์มากเกินไปอาจทำงานได้ดีกว่าในกรณีเหล่านี้

ในทางตรงกันข้าม การกระจายตัวที่น้อยเกินไปอาจก่อให้เกิดปัญหาในการประมาณค่าพารามิเตอร์^{[ 8 ]}

การถดถอยแบบปัวซงสร้างแบบจำลองอัตราความเสี่ยงตามสัดส่วน ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของการวิเคราะห์การอยู่รอด : ดูแบบจำลองอัตราความเสี่ยงตามสัดส่วนสำหรับคำอธิบายของแบบจำลองค็อกซ์

เมื่อประมาณค่าพารามิเตอร์สำหรับการถดถอยแบบปัวซง โดยทั่วไปแล้วจะพยายามหาค่าθที่ทำให้ความน่าจะเป็นของนิพจน์ในรูปแบบ มีค่าสูงสุด

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\log(p(y_{i};e^{\theta 'x_{i}})),}$

โดยที่mคือจำนวนตัวอย่างในชุดข้อมูล และคือฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของการแจกแจงปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยตั้งไว้ที่. สามารถเพิ่มการปรับค่าปกติให้กับปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพนี้ได้โดยการเพิ่มค่าสูงสุดแทน^{[ 9 ]}${\displaystyle p(y_{i};e^{\theta 'x_{i}})}$${\displaystyle e^{\theta 'x_{i}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\log(p(y_{i};e^{\theta 'x_{i}}))-\lambda \left\|\theta \right\|_{2}^{2},}$

สำหรับค่าคงที่บวกบางค่าเทคนิคนี้คล้ายกับการถดถอยแบบริดจ์ซึ่งสามารถลดปัญหาการโอเวอร์ฟิตติ้งได้ ${\displaystyle \lambda }$

• แบบจำลองที่มีค่าศูนย์มากเกินไป
• การแจกแจงปัวซง
• แบบจำลองปัวซงแบบผลกระทบคงที่
• วิธีการความน่าจะเป็นบางส่วนสำหรับข้อมูลแบบพาเนล § QMLE แบบรวมสำหรับแบบจำลองปัวซง
• ฟังก์ชันควบคุม (เศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ) § ปัญหาความสัมพันธ์ภายในในสมการถดถอยปัวซง

• Cameron, AC; Trivedi, PK (1998). การวิเคราะห์การถดถอยของข้อมูลการนับ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-63201-0.
• Christensen, Ronald (1997). แบบจำลองเชิงเส้นลอการิทึมและการถดถอยโลจิสติก . Springer Texts in Statistics (ฉบับที่สอง). นิวยอร์ก: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98247-2MR 1633357​ ​
• Gouriéroux, Christian ( 2000). "เศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณของตัวแปรบวกแบบไม่ต่อเนื่อง: แบบจำลองปัวซง"เศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณของตัวแปรตามเชิงคุณภาพนิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า  270–283 ISBN 978-0-521-58985-7.
• กรีน, วิลเลียม เอช. (2008). "แบบจำลองสำหรับการนับเหตุการณ์และระยะเวลา" การวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ (ฉบับที่ 8). อัปเปอร์ แซดเดิล ริเวอร์: เพรนทิส ฮอลล์. หน้า  906–944 . ISBN 978-0-13-600383-0.
• Hilbe, JM (2007). การถดถอยแบบทวินามเชิงลบ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-85772-7.
• Jones, Andrew M. และคณะ (2013). "แบบจำลองสำหรับข้อมูลการนับ" เศรษฐศาสตร์สุขภาพประยุกต์ลอนดอน: Routledge. หน้า  295–341 . ISBN 978-0-415-67682-3.
• Myers, Raymond H. และคณะ (2010). "แบบจำลองการถดถอยโลจิสติกและปัวซง" แบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปพร้อมการประยุกต์ใช้ในวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ (ฉบับที่สอง). นิวเจอร์ซีย์: ไวลีย์. หน้า  176–183 . ISBN 978-0-470-45463-3.