ในทางสถิติโมเดลผลกระทบคงที่ (fixed effects model)คือโมเดลทางสถิติที่พารามิเตอร์ ของโมเดล เป็นค่าคงที่หรือไม่สุ่ม ซึ่งแตกต่างจากโมเดลผลกระทบสุ่ม (random effects model)และโมเดลผสม (mixed models)ที่พารามิเตอร์ของโมเดลทั้งหมดหรือบางส่วนเป็นตัวแปรสุ่ม ในการใช้งานหลายอย่าง รวมถึงเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ^{[ 1 ]}และชีวสถิติ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}โมเดลผลกระทบคงที่หมายถึงโมเดลการถดถอยที่ค่าเฉลี่ยของกลุ่มเป็นค่าคงที่ (ไม่สุ่ม) ตรงข้ามกับโมเดลผลกระทบสุ่มที่ค่าเฉลี่ยของกลุ่มเป็นตัวอย่างสุ่มจากประชากร^{[ 7 ] [ 6 ]}โดยทั่วไป ข้อมูลสามารถจัดกลุ่มตามปัจจัยที่สังเกตได้หลายประการ ค่าเฉลี่ยของกลุ่มสามารถจำลองเป็นผลกระทบคงที่หรือผลกระทบสุ่มสำหรับแต่ละกลุ่ม ในโมเดลผลกระทบคงที่ ค่าเฉลี่ยของแต่ละกลุ่มเป็นค่าคงที่เฉพาะกลุ่ม

ในข้อมูลแบบพาเนล (panel data)ที่มีการสังเกตการณ์ตามช่วงเวลาสำหรับบุคคลเดียวกัน ผลกระทบแบบคงที่ (fixed effects) จะแสดงถึงค่าเฉลี่ยเฉพาะบุคคล ในการวิเคราะห์ข้อมูลแบบพาเนลคำว่า ตัวประมาณ ค่าผลกระทบแบบคงที่ (fixed effects estimator ) (หรือที่เรียกว่า ตัวประมาณค่าภายใน (within estimator )) ใช้เพื่ออ้างถึงตัวประมาณค่าสำหรับสัมประสิทธิ์ในแบบจำลองการถดถอยที่รวมผลกระทบแบบคงที่เหล่านั้น (ค่าคงที่ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาหนึ่งค่าสำหรับแต่ละบุคคล)

แบบจำลองดังกล่าวช่วยควบคุมอคติจากตัวแปรที่ถูกละเลยอันเนื่องมาจากความแตกต่างที่ไม่สามารถสังเกตได้ เมื่อความแตกต่างนี้คงที่ตลอดเวลา ความแตกต่างนี้สามารถกำจัดออกจากข้อมูลได้โดยการหาผลต่าง เช่น โดยการลบค่าเฉลี่ยระดับกลุ่มตลอดเวลา หรือโดยการหาผลต่างครั้งแรกซึ่งจะกำจัดส่วนประกอบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาของแบบจำลองออกไป

มีข้อสมมติฐานทั่วไปสองประการเกี่ยวกับผลกระทบเฉพาะบุคคล ได้แก่ ข้อสมมติฐานผลกระทบแบบสุ่มและข้อสมมติฐานผลกระทบแบบคงที่ ข้อสมมติฐาน ผลกระทบแบบสุ่มคือ ผลกระทบเฉพาะบุคคลไม่มีความสัมพันธ์กับตัวแปรอิสระ ข้อสมมติฐานผลกระทบแบบคงที่คือ ผลกระทบเฉพาะบุคคลมีความสัมพันธ์กับตัวแปรอิสระ หากข้อสมมติฐานผลกระทบแบบสุ่มเป็นจริง ตัวประมาณค่าผลกระทบแบบสุ่มจะมีประสิทธิภาพ มากกว่า ตัวประมาณค่าผลกระทบแบบคงที่ อย่างไรก็ตาม หากข้อสมมติฐานนี้ไม่เป็นจริง ตัวประมาณค่าผลกระทบแบบสุ่มจะไม่สอดคล้องกันการทดสอบ Durbin–Wu–Hausmanมักใช้เพื่อแยกแยะระหว่างแบบจำลองผลกระทบแบบคงที่และแบบสุ่ม^{[ 8 ] [ 9 ]}

พิจารณาแบบจำลองผลกระทบที่ไม่สามารถสังเกตได้เชิงเส้นสำหรับข้อมูลสังเกตการณ์และช่วงเวลา: ${\displaystyle N}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle y_{it}=X_{it}\mathbf {\beta } +\alpha _{i}+u_{it}}$สำหรับและ${\displaystyle t=1,\dots ,T}$${\displaystyle i=1,\dots ,N}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle y_{it}}$คือตัวแปรตามที่สังเกตได้สำหรับแต่ละบุคคลณ เวลาt${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle X_{it}}$คือเวกเตอร์ตัวแปรอิสระที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา(จำนวนตัวแปรอิสระ)${\displaystyle 1\times k}$
• ${\displaystyle \beta }$คือเมทริกซ์ของพารามิเตอร์${\displaystyle k\times 1}$
• ${\displaystyle \alpha _{i}}$คือผลกระทบเฉพาะบุคคลที่ไม่สามารถสังเกตได้และไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ตัวอย่างเช่น ความสามารถโดยกำเนิดของแต่ละบุคคล หรือปัจจัยทางประวัติศาสตร์และสถาบันของประเทศ
• ${\displaystyle u_{it}}$คือค่าความคลาดเคลื่อน

ต่างจากกรณีที่ไม่สามารถสังเกตได้โดยตรง ${\displaystyle X_{it}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

แตกต่างจากแบบจำลองผลกระทบแบบสุ่ม (random effects model)ที่ตัวแปรที่ไม่สามารถสังเกตได้เป็นอิสระจาก ตัวแปรอิสระ สำหรับทุกตัวแบบจำลองผลกระทบแบบคงที่ (fixed effects model: FE) อนุญาตให้ตัวแปรอิสระมีความสัมพันธ์กับเมทริกซ์ตัวแปรอิสระได้อย่างไรก็ตามยังคงต้องมี ความเป็นอิสระอย่างเคร่งครัดในส่วนของพจน์ความคลาดเคลื่อนเฉพาะตัว${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle X_{it}}$${\displaystyle t=1,...,T}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle X_{it}}$${\displaystyle u_{it}}$

เนื่องจากไม่สามารถสังเกตได้โดยตรง จึงไม่สามารถควบคุมได้โดยตรง แบบจำลอง FE จึงกำจัดปัญหานี้โดยการลบค่าเฉลี่ยของตัวแปรโดยใช้ การแปลง ภายใน : ${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle y_{it}-{\overline {y}}_{i}=\left(X_{it}-{\overline {X}}_{i}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-{\overline {\alpha }}_{i}\right)+\left(u_{it}-{\overline {u}}_{i}\right)\implies {\ddot {y}}_{it}={\ddot {X}}_{it}\beta +{\ddot {u}}_{it}}$

โดยที่, , และ. ${\displaystyle {\overline {y}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}y_{it}}$${\displaystyle {\overline {X}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}X_{it}}$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}u_{it}}$

เนื่องจากมีค่าคงที่ดังนั้นผลกระทบจึงถูกกำจัดไป ตัวประมาณค่า FE จึงได้มาจากการถดถอย OLS ของ บน${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle {\overline {\alpha _{i}}}=\alpha _{i}}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FE}}$${\displaystyle {\ddot {y}}}$${\displaystyle {\ddot {X}}}$

มีทางเลือกอย่างน้อยสามทางสำหรับ การแปลง ภายในโดยมีรูปแบบที่แตกต่างกันดังนี้:

• วิธีหนึ่งคือการเพิ่มตัวแปรดัมมี่สำหรับแต่ละบุคคล(โดยละเว้นบุคคลแรกเนื่องจากความสัมพันธ์เชิงเส้นหลายตัวแปร ) วิธีนี้เทียบเท่ากับแบบจำลองผลกระทบคงที่ในเชิงตัวเลข แต่ไม่เทียบเท่าในเชิงการคำนวณ และจะใช้ได้ผลก็ต่อเมื่อผลรวมของจำนวนอนุกรมและจำนวนพารามิเตอร์ทั่วโลกน้อยกว่าจำนวนการสังเกต^{[ 10 ]}วิธีการใช้ตัวแปรดัมมี่มีความต้องการหน่วยความจำคอมพิวเตอร์สูงเป็นพิเศษ และไม่แนะนำสำหรับปัญหาที่มีขนาดใหญ่เกินกว่า RAM ที่มีอยู่ และการคอมไพล์โปรแกรมที่ใช้จะรองรับได้${\displaystyle i>1}$

• ทางเลือกที่สองคือการใช้แนวทางการทำซ้ำต่อเนื่องเพื่อการประมาณค่าในระดับท้องถิ่นและระดับโลก^{[ 11 ]}แนวทางนี้เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับระบบที่มีหน่วยความจำต่ำ ซึ่งมีประสิทธิภาพในการคำนวณมากกว่าแนวทางตัวแปรดัมมี่มาก

• แนวทางที่สามคือการประมาณค่าแบบซ้อนกัน โดยการประมาณค่าเฉพาะที่สำหรับแต่ละอนุกรมจะถูกตั้งโปรแกรมไว้เป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความของแบบจำลอง^{[ 12 ]}แนวทางนี้มีประสิทธิภาพในการคำนวณและใช้หน่วยความจำมากที่สุด แต่ต้องใช้ทักษะการเขียนโปรแกรมที่เชี่ยวชาญและการเข้าถึงรหัสการเขียนโปรแกรมแบบจำลอง แม้ว่าจะสามารถเขียนโปรแกรมได้รวมถึงใน SAS ^{[ 13 ] [ 14 ]}

สุดท้ายนี้ ทางเลือกแต่ละข้อข้างต้นสามารถปรับปรุงได้หากการประมาณค่าเฉพาะอนุกรมเป็นเชิงเส้น (ภายในแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้น) ซึ่งในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหาเชิงเส้นโดยตรงสำหรับแต่ละอนุกรมสามารถตั้งโปรแกรมเป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้^{[ 15 ]}

ทางเลือกอื่นนอกเหนือจากการแปลงภายในคือ การแปลง ความแตกต่างครั้งแรกซึ่งจะสร้างตัวประมาณค่าที่แตกต่างกัน สำหรับ: ${\displaystyle t=2,\dots ,T}$

${\displaystyle y_{it}-y_{i,t-1}=\left(X_{it}-X_{i,t-1}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-\alpha _{i}\right)+\left(u_{it}-u_{i,t-1}\right)\implies \Delta y_{it}=\Delta X_{it}\beta +\Delta u_{it}.}$

จากนั้นจะได้ ตัวประมาณค่า FD โดยใช้การถดถอย OLS ของ บน${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FD}}$${\displaystyle \Delta y_{it}}$${\displaystyle \Delta X_{it}}$

เมื่อตัวประมาณค่าความแตกต่างแรกและผลกระทบคงที่นั้นมีค่าเท่ากันในเชิงตัวเลข สำหรับจะไม่เท่ากัน หากเงื่อนไขความคลาดเคลื่อนเป็นแบบ homoskedasticโดยไม่มีความสัมพันธ์แบบอนุกรม ตัวประมาณค่าผลกระทบคงที่นั้นจะมีประสิทธิภาพ มากกว่า ตัวประมาณค่าความแตกต่างแรก อย่างไรก็ตาม หากเป็นไปตามการเดินแบบสุ่มตัวประมาณค่าความแตกต่างแรกจะมีประสิทธิภาพมากกว่า^{[ 16 ]}${\displaystyle T=2}$${\displaystyle T>2}$${\displaystyle u_{it}}$${\displaystyle u_{it}}$

สำหรับกรณีพิเศษสองช่วงเวลา ( ) ตัวประมาณค่าแบบผลกระทบคงที่ (FE) และตัวประมาณค่าแบบผลต่างอันดับแรก (FD) มีค่าเท่ากันในเชิงตัวเลข เนื่องจากตัวประมาณค่า FE นั้น "เพิ่มขนาดชุดข้อมูลเป็นสองเท่า" ที่ใช้ในตัวประมาณค่า FD เพื่อให้เห็นเช่นนี้ ให้พิจารณาว่าตัวประมาณค่าแบบผลกระทบคงที่คือ: ${\displaystyle T=2}$${\displaystyle {FE}_{T=2}=\left[(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})'+(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})'\right]^{-1}\left[(x_{i1}-{\bar {x}}_{i})(y_{i1}-{\bar {y}}_{i})+(x_{i2}-{\bar {x}}_{i})(y_{i2}-{\bar {y}}_{i})\right]}$

เนื่องจากแต่ละประโยคสามารถเขียนใหม่ได้เป็น ดังนั้นเราจะเขียนประโยคใหม่เป็น: ${\displaystyle (x_{i1}-{\bar {x}}_{i})}$${\displaystyle (x_{i1}-{\dfrac {x_{i1}+x_{i2}}{2}})={\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}}$

${\displaystyle {FE}_{T=2}=\left[\sum _{i=1}^{N}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}'+{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}'\right]^{-1}\left[\sum _{i=1}^{N}{\dfrac {x_{i1}-x_{i2}}{2}}{\dfrac {y_{i1}-y_{i2}}{2}}+{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {y_{i2}-y_{i1}}{2}}\right]}$

${\displaystyle =\left[\sum _{i=1}^{N}2{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}'\right]^{-1}\left[\sum _{i=1}^{N}2{\dfrac {x_{i2}-x_{i1}}{2}}{\dfrac {y_{i2}-y_{i1}}{2}}\right]}$

${\displaystyle =2\left[\sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})'\right]^{-1}\left[\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}(x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1})\right]}$

${\displaystyle =\left[\sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(x_{i2}-x_{i1})'\right]^{-1}\sum _{i=1}^{N}(x_{i2}-x_{i1})(y_{i2}-y_{i1})={FD}_{T=2}}$

วิธีการของGary Chamberlain ซึ่งเป็นการขยายความของตัวประมาณค่าภายใน (within estimator) จะแทนที่ ด้วยการฉายภาพเชิงเส้น (linear projection)บนตัวแปรอธิบาย โดยเขียนการฉายภาพเชิงเส้นได้ดังนี้: ${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \alpha _{i}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}}$

ซึ่งจะได้สมการดังต่อไปนี้:

${\displaystyle y_{it}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{it}(\lambda _{t}+\mathbf {\beta } )+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}+u_{it}}$

ซึ่งสามารถประมาณได้โดยการประมาณระยะทางขั้นต่ำ^{[ 17 ]}

จำเป็นต้องมีตัวแปรอิสระที่เปลี่ยนแปลงตามเวลามากกว่าหนึ่งตัว ( ) และตัวแปรอิสระที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ( ) และอย่างน้อยหนึ่งตัวและหนึ่งตัวที่ ไม่สัมพันธ์กับ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

แบ่งตัวแปรและออกเป็นส่วนๆ โดยที่และไม่มีความสัมพันธ์กับจำเป็นต้องใช้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\begin{array}{c}X=[{\underset {TN\times K1}{X_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times K2}{X_{2it}}}]\\Z=[{\underset {TN\times G1}{Z_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times G2}{Z_{2it}}}]\end{array}}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle K1>G2}$

การประมาณค่าโดยใช้วิธี OLS โดยใช้และเป็นตัวแปรเครื่องมือ จะให้ค่าประมาณที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\widehat {di}}=Z_{i}\gamma +\varphi _{it}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle Z_{1}}$

เมื่อมีความไม่แน่นอนในการป้อนข้อมูล ค่า ดังกล่าวควรถูกทำให้น้อยที่สุด แทนที่จะเป็นผลรวมของค่าตกค้างยกกำลังสอง^{[ 18 ]}ซึ่งสามารถทำได้โดยตรงจากกฎการแทนที่: ${\displaystyle y}$${\displaystyle \delta y}$${\displaystyle \chi ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {y_{it}}{\delta y_{it}}}=\mathbf {\beta } {\frac {X_{it}}{\delta y_{it}}}+\alpha _{i}{\frac {1}{\delta y_{it}}}+{\frac {u_{it}}{\delta y_{it}}}}$,

จากนั้นค่าและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับและสามารถหาได้โดยใช้วิธี การวิเคราะห์ กำลังสองน้อยที่สุด แบบคลาสสิก และ เมท ริก ซ์ความแปรปรวนร่วม${\displaystyle \mathbf {\beta } }$${\displaystyle \alpha _{i}}$

ตัวประมาณค่าแบบผลกระทบสุ่มอาจไม่สอดคล้องกันในบางครั้งเมื่อพิจารณาอนุกรมเวลาในระยะยาว หากระบุผลกระทบสุ่มไม่ถูกต้อง (เช่น แบบจำลองที่เลือกสำหรับผลกระทบสุ่มไม่ถูกต้อง) อย่างไรก็ตาม แบบจำลองผลกระทบคงที่อาจยังคงสอดคล้องกันในบางสถานการณ์ ตัวอย่างเช่น หากอนุกรมเวลาที่กำลังสร้างแบบจำลองไม่เป็นอนุกรมเวลาคงที่ แบบจำลองผลกระทบสุ่มที่สมมติว่าอนุกรมเวลาคงที่อาจไม่สอดคล้องกันเมื่อพิจารณาอนุกรมเวลาในระยะยาว ตัวอย่างหนึ่งของกรณีนี้คือ หากอนุกรมเวลามีแนวโน้มเพิ่มขึ้น เมื่ออนุกรมเวลายาวขึ้น แบบจำลองจะปรับค่าประมาณสำหรับค่าเฉลี่ยของช่วงเวลาก่อนหน้าให้สูงขึ้น ทำให้การคาดการณ์ค่าสัมประสิทธิ์มีความลำเอียงมากขึ้นเรื่อยๆ อย่างไรก็ตาม แบบจำลองที่มีผลกระทบคงที่ในช่วงเวลาจะไม่รวบรวมข้อมูลข้ามเวลา และด้วยเหตุนี้ ค่าประมาณก่อนหน้าจึงจะไม่ได้รับผลกระทบ

ในสถานการณ์เช่นนี้ เมื่อทราบว่าแบบจำลองผลกระทบคงที่นั้นมีความสอดคล้องแล้วสามารถใช้การทดสอบ Durbin-Wu-Hausman เพื่อทดสอบว่าแบบจำลองผลกระทบสุ่มที่เลือกนั้นมีความสอดคล้องหรือไม่ ถ้า เป็นจริง ทั้งและมีความสอดคล้อง แต่มีเพียง เท่านั้นที่มีประสิทธิภาพ ถ้าเป็นจริง ความสอดคล้องของไม่สามารถรับประกันได้ ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{RE}}$${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{FE}}$${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{RE}}$${\displaystyle H_{a}}$${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{RE}}$

• แบบจำลองผลกระทบแบบสุ่ม
• แบบจำลองผสม
• แบบจำลองผลกระทบที่ไม่สามารถสังเกตได้แบบไดนามิก
• แบบจำลองปัวซงแบบผลกระทบคงที่
• การวิเคราะห์แผง
• ตัวประมาณค่าความแตกต่างอันดับแรก

• แบบจำลองผลกระทบคงที่และแบบสุ่ม
• ตัวอย่างของแบบจำลอง ANOVA และ ANCOVA ทั้งหมดที่มีปัจจัยการรักษาได้สูงสุดสามปัจจัย รวมถึงแบบบล็อกสุ่ม แบบแบ่งแปลง แบบวัดซ้ำ และแบบลาตินสแควร์ และการวิเคราะห์ใน R