ในทางสถิติอคติจากการละเว้นตัวแปร ( OVB ) เกิดขึ้นเมื่อแบบจำลองทางสถิติละเว้นตัวแปรที่เกี่ยวข้องอย่างน้อยหนึ่งตัว อคตินี้ส่งผลให้แบบจำลองนำผลกระทบของตัวแปรที่หายไปไปใช้กับตัวแปรที่ถูกรวมไว้

กล่าวโดยเฉพาะเจาะจงแล้ว OVB คืออคติที่ปรากฏในค่าประมาณของพารามิเตอร์ในการวิเคราะห์การถดถอยเมื่อข้อกำหนด ที่สมมติขึ้น ไม่ถูกต้อง กล่าวคือละเว้นตัวแปรอิสระที่เป็นตัวกำหนดตัวแปรตามและมีความสัมพันธ์กับตัวแปรอิสระที่รวมอยู่หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้น

สมมติว่าความสัมพันธ์ระหว่างสาเหตุและผลลัพธ์ที่แท้จริงเป็นดังนี้:

${\displaystyle y=a+bx+cz+u}$

โดยมีพารามิเตอร์a, b, cตัวแปรตามyตัวแปรอิสระxและzและเทอมความคลาดเคลื่อนuเราต้องการทราบผลกระทบของxต่อy (กล่าวคือ เราต้องการประมาณค่าb )

จะเกิดอคติจากการละเว้นตัวแปรในแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นได้ นั้น ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการดังนี้ :

• ตัวแปรที่ถูกละเว้นจะต้องเป็นตัวกำหนดของตัวแปรตาม (กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยที่แท้จริงของตัวแปรนั้นจะต้องไม่เป็นศูนย์) และ
• ตัวแปรที่ถูกละเว้นจะต้องมีความสัมพันธ์กับตัวแปรอิสระที่ระบุไว้ในสมการถดถอย (กล่าวคือ cov( z , x ) จะต้องไม่เท่ากับศูนย์)

สมมติว่าเราตัดตัวแปรz ออก จากการวิเคราะห์การถดถอย และสมมติว่าความสัมพันธ์ระหว่างxและzกำหนดโดย

${\displaystyle z=d+fx+e}$

โดยมีพารามิเตอร์d , fและเทอมความคลาดเคลื่อนeเมื่อแทนสมการที่สองลงในสมการแรกจะได้

${\displaystyle y=(a+cd)+(b+cf)x+(u+ce).}$

ถ้า ทำการถดถอยของy กับ xเพียงอย่างเดียว สมการสุดท้ายนี้จะเป็นสิ่งที่ถูกประมาณค่า และสัมประสิทธิ์การถดถอยบนxนั้นแท้จริงแล้วเป็นการประมาณค่าของ ( b  +  cf ) ซึ่งไม่ได้ให้เพียงแค่การประมาณค่าของผลกระทบโดยตรงที่ต้องการของxต่อy (ซึ่งก็คือb ) แต่เป็นการประมาณค่าผลรวมของผลกระทบโดยตรงนั้นกับผลกระทบทางอ้อม (ผลกระทบfของxต่อzคูณด้วยผลกระทบcของzต่อy ) ดังนั้น โดยการละเว้นตัวแปรzจากการถดถอย เราจึงได้ประมาณค่าอนุพันธ์รวมของyเทียบกับxแทนที่จะเป็นอนุพันธ์ย่อย ของ y เทียบกับ  xซึ่งจะแตกต่างกันหากทั้งcและfไม่เป็นศูนย์

ทิศทางและขนาดของอคติมีอยู่ในcfเนื่องจากผลที่ต้องการคือbแต่การประมาณค่าการถดถอย คือ b+cfขนาดของอคติคือค่าสัมบูรณ์ของcfและทิศทางของอคติจะเป็นขึ้น (ไปสู่ค่าบวกมากขึ้นหรือค่าลบน้อยลง) ถ้าcf > 0 (ถ้าทิศทางของความสัมพันธ์ระหว่างyและzเหมือนกับระหว่างxและz ) และจะเป็นลงในกรณีอื่น ๆ

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาแบบจำลองเชิงเส้นที่มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle y_{i}=x_{i}\beta +z_{i}\delta +u_{i},\qquad i=1,\dots ,n}$

ที่ไหน

• x _iคือเวกเตอร์แถวขนาด 1 ×  pที่ประกอบด้วยค่าของตัวแปรอิสระp ตัว ที่สังเกตได้ ณ เวลาiหรือสำหรับผู้เข้าร่วมการศึกษาคน ^ที่i
• βคือ เวกเตอร์คอลัมน์ขนาด p  × 1 ของพารามิเตอร์ที่ไม่สามารถสังเกตได้ (สัมประสิทธิ์การตอบสนองของตัวแปรตามต่อ ตัวแปรอิสระ pตัวในx _i แต่ละตัว ) ที่ต้องประมาณค่า
• z _iเป็นค่าสเกลาร์และเป็นค่าของตัวแปรอิสระอีกตัวหนึ่งที่สังเกตได้ ณ เวลาiหรือสำหรับผู้เข้าร่วมการศึกษาคน ^ที่i
• δเป็นค่าสเกลาร์และเป็นพารามิเตอร์ที่ไม่สามารถสังเกตได้ (สัมประสิทธิ์การตอบสนองของตัวแปรตามต่อz _i ) ซึ่งจะต้องได้รับการประมาณค่า
• u _iคือค่าความคลาดเคลื่อน ที่ไม่สามารถสังเกตได้ ซึ่งเกิดขึ้น ณ เวลาiหรือสำหรับ ผู้เข้าร่วมการศึกษา  ^{คนที่}i ; เป็นค่าที่เกิดขึ้นจริงโดยไม่สามารถสังเกตได้ของตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ย  เป็น 0 (โดยมีเงื่อนไขว่าx _iและz _i )
• y _iคือค่าสังเกตของตัวแปรตาม ณ เวลาiหรือสำหรับผู้เข้าร่วมการศึกษาคน ^ที่i

เราเก็บรวบรวมข้อมูลการสังเกตของตัวแปรทั้งหมดที่มีดัชนีi = 1, ..., nแล้วเรียงซ้อนกัน เพื่อให้ได้เมทริกซ์Xและเวกเตอร์Y , ZและU :

${\displaystyle X=\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{n\times p},}$

และ

${\displaystyle Y=\left[{\begin{array}{c}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{array}}\right],\quad Z=\left[{\begin{array}{c}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{array}}\right],\quad U=\left[{\begin{array}{c}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{n\times 1}.}$

หากไม่นำตัวแปรอิสระzออกจากการวิเคราะห์การถดถอย ค่าประมาณของพารามิเตอร์การตอบสนองของตัวแปรอิสระอื่นๆ จะได้มาจากการคำนวณ แบบกำลังสองน้อยที่สุด ตามปกติ

${\displaystyle {\widehat {\beta }}=(X'X)^{-1}X'Y\,}$

(โดยที่สัญลักษณ์ "ไพรม์" หมายถึงการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ และตัวยก -1 หมายถึงการผกผันเมทริกซ์ )

แทนค่าYโดยใช้แบบจำลองเชิงเส้นที่สมมติขึ้น

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\beta }}&=(X'X)^{-1}X'(X\beta +Z\delta +U)\\&=(X'X)^{-^{-1}}X'X\beta +(X'X)^{-1}X'Z\delta +(X'X)^{-1}X'U\\&=\beta +(X'X)^{-1}X'Z\delta +(X'X)^{-1}X'U.\end{aligned}}}$

เมื่อพิจารณาค่าเฉลี่ยแล้ว การมีส่วนร่วมของพจน์สุดท้ายจะเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นผลมาจากสมมติฐานที่ว่าUไม่มีความสัมพันธ์กับตัวแปรอิสระXเมื่อลดรูปพจน์ที่เหลือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}E[{\widehat {\beta }}\mid X]&=\beta +(X'X)^{-1}E[X'Z\mid X]\delta \\&=\beta +{\text{bias}}.\end{aligned}}}$

พจน์ที่สองหลังเครื่องหมายเท่ากับคือค่าความเอนเอียงของตัวแปรที่ถูกละเว้นในกรณีนี้ ซึ่งจะมีค่าไม่เป็นศูนย์หากตัวแปรที่ถูกละเว้นzมีความสัมพันธ์กับตัวแปรใดๆ ที่รวมอยู่ในเมทริกซ์X (นั่นคือ ถ้าX′Zไม่เท่ากับเวกเตอร์ของศูนย์) โปรดทราบว่าค่าความเอนเอียงนี้เท่ากับส่วนถ่วงน้ำหนักของz _iที่ "อธิบาย" ได้โดย x _i

ทฤษฎีบท เกาส์-มาร์คอฟกล่าวว่า แบบจำลองการถดถอยที่ตรงตามข้อสมมติฐานของแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นแบบคลาสสิก จะให้ ค่าประมาณเชิงเส้น ที่มีประสิทธิภาพสูงสุดและไม่เอนเอียงในวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาข้อสมมติฐานที่เกี่ยวข้องของแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นแบบคลาสสิกคือ เทอมความคลาดเคลื่อนไม่มีความสัมพันธ์กับตัวแปรอิสระ

การมีอคติจากตัวแปรที่ถูกละเว้นนั้นขัดแย้งกับข้อสมมติฐานนี้ การละเมิดนี้ทำให้ตัวประมาณค่า OLS มีอคติและไม่สอดคล้องกันทิศทางของอคติขึ้นอยู่กับตัวประมาณค่า รวมทั้งความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรที่ถูกละเว้น หากตัวแปรอิสระมีความแปรปรวนร่วมเป็นบวกกับทั้งตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม ค่าประมาณ OLS ของสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอิสระที่รวมอยู่จะมีค่ามากกว่าค่าที่แท้จริงของสัมประสิทธิ์นั้น สามารถเห็นผลกระทบนี้ได้จากการหาค่าเฉลี่ยของพารามิเตอร์ ดังแสดงในส่วนก่อนหน้า

• ตัวแปรแทรกซ้อน