การถดถอยควอนไทล์เป็นประเภทของการวิเคราะห์การถดถอยที่ใช้ในสถิติและเศรษฐศาสตร์ ในขณะที่วิธีการกำลังสองน้อยที่สุด ประมาณ ค่า เฉลี่ย แบบมีเงื่อนไขของตัวแปรตอบสนองในช่วงค่าของตัวแปรทำนาย การถดถอยควอนไทล์ประมาณค่ามัธยฐานแบบมีเงื่อนไข(หรือควอนไทล์ อื่นๆ ) ของตัวแปรตอบสนอง นอกจากนี้ยังมีวิธีการทำนายค่าเฉลี่ยเรขาคณิต แบบมีเงื่อนไข ของตัวแปรตอบสนอง อีกด้วย ^{[ 1 ]}การถดถอยควอนไทล์เป็นส่วนขยายของการถดถอยเชิงเส้นที่ใช้เมื่อเงื่อนไขของการถดถอยเชิงเส้นไม่เป็นไปตามที่กำหนดโรเจอร์ โคเอนเกอร์ เป็นผู้แนะนำ ในปี 1978 ในฐานะที่เป็นแนวทางเสริมและขยายของวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดการถดถอยควอนไทล์จะแก้ไขข้อจำกัดของวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดในกรณีที่มีความแปรปรวนไม่คงที่ และรับประกันความแข็งแกร่งของการถดถอยควอนไทล์ผ่านความแข็งแกร่งต่อค่าผิดปกติ ซึ่งชดเชยจุดอ่อนของวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดในการจัดการกับข้อมูลค่าผิดปกติ^{[ 2 ]}

ข้อดีประการหนึ่งของการถดถอยควอนไทล์เมื่อเทียบกับการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาคือค่าประมาณการถดถอยควอนไทล์มีความแข็งแกร่งกว่าต่อค่าผิดปกติในการวัดการตอบสนอง อย่างไรก็ตาม จุดเด่นหลักของการถดถอยควอนไทล์นั้นมีมากกว่านั้น และเป็นประโยชน์เมื่อสนใจฟังก์ชันควอนไทล์แบบมีเงื่อนไข สามารถใช้มาตรวัดแนวโน้มศูนย์กลางและการกระจายทางสถิติ ที่แตกต่างกัน เพื่อวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรได้อย่างครอบคลุมมากขึ้น^{[ 3 ]}

ในทางนิเวศวิทยาการถดถอยควอนไทล์ได้รับการเสนอและนำมาใช้เป็นวิธีการค้นหาความสัมพันธ์เชิงทำนายที่มีประโยชน์มากขึ้นระหว่างตัวแปรในกรณีที่ไม่มีความสัมพันธ์หรือมีความสัมพันธ์ที่อ่อนแอระหว่างค่าเฉลี่ยของตัวแปรดังกล่าว ความจำเป็นและความสำเร็จของการถดถอยควอนไทล์ในทางนิเวศวิทยาเกิดจากความซับซ้อนของปฏิสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยต่างๆ ซึ่งนำไปสู่ข้อมูลที่มีความแปรปรวนไม่เท่ากันของตัวแปรหนึ่งสำหรับช่วงที่แตกต่างกันของตัวแปรอื่น^{[ 4 ]}

การประยุกต์ใช้การถดถอยควอนไทล์อีกอย่างหนึ่งคือในด้านแผนภูมิการเจริญเติบโต ซึ่งเส้นโค้งเปอร์เซ็นไทล์มักใช้เพื่อคัดกรองการเจริญเติบโตที่ผิดปกติ^{[ 5 ] [ 6 ]}

แนวคิดในการประมาณค่าความชันของการถดถอยค่ามัธยฐาน ทฤษฎีบทสำคัญเกี่ยวกับการลดผลรวมของค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ และอัลกอริทึมทางเรขาคณิตสำหรับการสร้างการถดถอยค่ามัธยฐาน ได้รับการเสนอในปี 1760 โดยRuđer Josip Boškovićนักบวชคาทอลิกนิกายเยซูอิตจากเมืองดูบรอฟนิก^{[ 3 ] : 4 [ 7 ]}เขาสนใจในความรีของโลก โดยอาศัยข้อเสนอแนะของไอแซค นิวตันที่ว่าการหมุนของโลกอาจทำให้โลกโป่งออกที่เส้นศูนย์สูตรและแบนราบลงที่ขั้วโลก^{[ 8 ]}ในที่สุดเขาก็ได้สร้างขั้นตอนทางเรขาคณิตแรกสำหรับการกำหนดเส้นศูนย์สูตรของดาวเคราะห์ ที่หมุนรอบตัวเอง จากข้อมูลการสังเกตลักษณะพื้นผิวสามครั้ง ที่สำคัญกว่านั้นสำหรับการถดถอยควอนไทล์ เขาสามารถพัฒนาหลักฐานแรกของเกณฑ์ค่าสัมบูรณ์น้อยที่สุดและมาก่อนวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดที่Legendre นำเสนอ ในปี 1805 ถึงห้าสิบปี^{[ 9 ]}

นักคิดคนอื่นๆ เริ่มสร้างต่อยอดจากแนวคิดของ Bošković เช่นPierre-Simon Laplaceซึ่งพัฒนาสิ่งที่เรียกว่า "methode de situation" ซึ่งนำไปสู่ค่ามัธยฐานพหูพจน์ของFrancis Edgeworth ^{[ 10 ]}ซึ่งเป็นแนวทางเชิงเรขาคณิตสำหรับการถดถอยค่ามัธยฐาน และได้รับการยอมรับว่าเป็นต้นแบบของวิธีการซิมเพ ล็กซ์ ^{[ 9 ]}ผลงานของ Bošković, Laplace และ Edgeworth ได้รับการยอมรับว่าเป็นบทนำของผลงานของ Roger Koenker ในการถดถอยควอนไทล์

การคำนวณการถดถอยค่ามัธยฐานสำหรับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ค่อนข้างยุ่งยากเมื่อเทียบกับวิธีการกำลังสองน้อยที่สุด ซึ่งเป็นเหตุผลที่ทำให้วิธีนี้ไม่ได้รับความนิยมในหมู่นักสถิติมาโดยตลอด จนกระทั่งมีการนำคอมพิวเตอร์มาใช้กันอย่างแพร่หลายในช่วงปลายศตวรรษที่ 20

การถดถอยควอนไทล์แสดงควอนไทล์แบบมีเงื่อนไขของตัวแปรตามในรูปฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรอิสระ สิ่งสำคัญที่ทำให้การถดถอยควอนไทล์มีประโยชน์ในทางปฏิบัติคือ ควอนไทล์สามารถแสดงได้ในรูปผลเฉลยของปัญหาการหาค่าต่ำสุด ดังที่เราจะแสดงให้เห็นในส่วนนี้ก่อนที่จะกล่าวถึงควอนไทล์แบบมีเงื่อนไขในส่วนถัดไป

ให้ Y เป็นตัวแปรสุ่มค่าจริงที่มีฟังก์ชันการกระจายสะสม ควอนไทล์ที่ ของ Y ถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle q_{Y}(\tau ):=F_{Y}^{-1}(\tau ):=\inf \left\{y:F_{Y}(y)\geq \tau \right\},}$

ที่ไหน. ${\displaystyle 0<\tau <1}$

กำหนดฟังก์ชันความสูญเสียดังนี้

${\displaystyle \rho _{\tau }(u)=u(\tau -\mathbb {I} _{(u<0)})={\begin{cases}(\tau -1)u,&{\text{ถ้า }}u<0,\\\tau u,&{\text{ถ้า }}u\geq 0,\end{cases}}}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันตัวบ่งชี้ สังเกตได้ว่าสำหรับและสำหรับ โดยสัญชาตญาณคือสำหรับควอนไทล์ที่สูงกว่า ( ) เราจะลงโทษค่าตกค้างที่เป็นบวกมากกว่าค่าตกค้างที่เป็นลบ และในทางกลับกัน และการสูญเสียจะไม่สมมาตร อย่างไรก็ตาม สำหรับการลงโทษจะสมมาตร (ดังนั้นจึงส่งผลให้ได้ตัวประมาณค่ามัธยฐาน) สามารถหาควอนไทล์เฉพาะได้โดยการลดการสูญเสียที่คาดหวังของเมื่อเทียบกับ: ^{[ 3 ]} (หน้า 5–6): ${\displaystyle 0<\tau <1}$${\displaystyle \mathbb {I} (\cdot )}$${\displaystyle \tau >(1-\tau )}$${\displaystyle \tau >0.5}$${\displaystyle \tau <(1-\tau )}$${\displaystyle \tau <0.5}$${\displaystyle \tau >0.5}$${\displaystyle \tau =0.5}$${\displaystyle Yu}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}q_{Y}(\tau )&=&{\underset {u}{\mbox{arg min}}}\mathbb {E} (\rho _{\tau }(Yu))\\&=&{\underset {u}{\mbox{arg min}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\rho _{\tau }(yu)dF_{Y}(y)\\&=&{\underset {u}{\mbox{arg min}}}{\biggl \{}(\tau -1)\int _{-\infty }^{u}(yu)dF_{Y}(y)+\tau \int _{u}^{\infty }(yu)dF_{Y}(y){\biggr \}}.\end{อาร์เรย์}}}$

สามารถแสดงได้โดยการคำนวณอนุพันธ์ของการสูญเสียที่คาดหวังเทียบกับโดยใช้กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซกำหนดให้เป็น 0 และให้เป็นคำตอบของสม การ${\displaystyle u}$${\displaystyle q_{\tau }}$

${\displaystyle 0=(1-\tau )\int _{-\infty }^{q_{\tau }}dF_{Y}(y)-\tau \int _{q_{\tau }}^{\infty }dF_{Y}(y)}$

สมการนี้ลดรูปเหลือเป็น

${\displaystyle 0=F_{Y}(q_{\tau })-\tau ,}$

แล้วก็ไป

${\displaystyle F_{Y}(q_{\tau })=\tau .}$

หากคำตอบไม่เป็นเอกลักษณ์ เราจะต้องหาค่าต่ำสุดของคำตอบทั้งหมดเหล่านั้น เพื่อให้ได้ค วอนไทล์ที่ th ของตัวแปรสุ่มY${\displaystyle q_{\tau }}$${\displaystyle \tau }$

ให้ Y เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่รับค่าต่างๆด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน งานที่ต้องทำคือการหาค่ามัธยฐานของ Y ดังนั้นจึงเลือกค่า Y = 1 จากนั้นค่าความสูญเสียที่คาดหวังของ Y คือ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle y_{i}=i}$${\displaystyle i=1,2,\dots ,9}$${\displaystyle \tau =0.5}$${\displaystyle Yu}$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}L(u)&=&E(\rho _{\tau }(Y-u))={\frac {(\tau -1)}{9}}\sum _{y_{i}<u}(y_{i}-u)+{\frac {\tau }{9}}\sum _{y_{i}\geq u}(y_{i}-u)\\&=&{\frac {0.5}{9}}{\Bigl (}-\sum _{y_{i}<u}(y_{i}-u)+\sum _{y_{i}\geq u}(y_{i}-u){\Bigr )}.\end{array}}}$

เนื่องจากเป็นค่าคงที่ จึงสามารถนำออกจากฟังก์ชันการสูญเสียที่คาดหวังได้ (ซึ่งเป็นจริงเฉพาะในกรณีที่) จากนั้น ที่u = 3 ${\displaystyle {0.5/9}}$${\displaystyle \tau =0.5}$

${\displaystyle L(3)\propto \sum _{i=1}^{2}}$${\displaystyle -(i-3)}$${\displaystyle +\sum _{i=3}^{9}}$${\displaystyle (i-3)}$${\displaystyle =[(2+1)+(0+1+2+...+6)]=24.}$

สมมติว่า ค่า uเพิ่มขึ้น 1 หน่วย แล้วค่าความสูญเสียที่คาดหวังจะเปลี่ยนไปเมื่อเปลี่ยนค่าuเป็น 4 ถ้า u = 5 ค่าความสูญเสียที่คาดหวังคือ ${\displaystyle (3)-(6)=-3}$

${\displaystyle L(5)\propto \sum _{i=1}^{4}i+\sum _{i=0}^{4}i=20,}$

และการเปลี่ยนแปลงใดๆ ในค่า uจะทำให้ค่าความสูญเสียที่คาดหวังเพิ่มขึ้น ดังนั้นu = 5 จึงเป็นค่ามัธยฐาน ตารางด้านล่างแสดงค่าความสูญเสียที่คาดหวัง (หารด้วย) สำหรับค่าu ที่แตกต่างกัน${\displaystyle {0.5/9}}$

พิจารณาและให้qเป็นค่าเริ่มต้นที่คาดเดาไว้สำหรับค่าความสูญเสียที่คาดหวังที่qคือ ${\displaystyle \tau =0.5}$${\displaystyle q_{\tau }}$

${\displaystyle L(q)=-0.5\int _{-\infty }^{q}(y-q)dF_{Y}(y)+0.5\int _{q}^{\infty }(y-q)dF_{Y}(y).}$

เพื่อลดความสูญเสียที่คาดการณ์ไว้ให้น้อยที่สุด เราจึงปรับค่าqเล็กน้อยเพื่อดูว่าความสูญเสียที่คาดการณ์ไว้จะเพิ่มขึ้นหรือลดลง สมมติว่าเราเพิ่มq ขึ้น 1 หน่วย การเปลี่ยนแปลงของความสูญเสียที่คาดการณ์ไว้จะเป็นดังนี้

${\displaystyle \int _{-\infty }^{q}1dF_{Y}(y)-\int _{q}^{\infty }1dF_{Y}(y).}$

พจน์แรกของสมการคือและพจน์ที่สองของสมการคือดังนั้น การเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันความสูญเสียที่คาดหวังจะเป็นลบก็ต่อเมื่อนั่นคือก็ต่อเมื่อqมีค่าน้อยกว่าค่ามัธยฐาน ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราลดqลง 1 หน่วย การเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันความสูญเสียที่คาดหวังจะเป็นลบก็ต่อเมื่อqมีค่ามากกว่าค่ามัธยฐาน ${\displaystyle F_{Y}(q)}$${\displaystyle 1-F_{Y}(q)}$${\displaystyle F_{Y}(q)<0.5}$

เพื่อลดค่าฟังก์ชันความสูญเสียที่คาดหวังให้น้อยที่สุด เราจะเพิ่ม (ลด) ค่าqหากqมีค่าน้อยกว่า (มากกว่า) ค่ามัธยฐาน จนกว่าqจะถึงค่ามัธยฐาน แนวคิดเบื้องหลังการลดค่าให้น้อยที่สุดคือการนับจำนวนจุด (ถ่วงน้ำหนักด้วยความหนาแน่น) ที่มีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าqจากนั้นจึงปรับค่าqไปยังจุดที่qมีค่ามากกว่า% ของจุดทั้งหมด ${\displaystyle 100\tau }$

สามารถหาค่าควอนไทล์ของตัวอย่างได้โดยใช้การ ประมาณค่า จากการสุ่มตัวอย่างแบบสำคัญและแก้ปัญหาการหาค่าต่ำสุดต่อไปนี้ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\hat {q}}_{\tau }={\underset {q\in \mathbb {R} }{\mbox{arg min}}}\sum _{i=1}^{n}\rho _{\tau }(y_{i}-q),}$

${\displaystyle ={\underset {q\in \mathbb {R} }{\mbox{arg min}}}\left[(\tau -1)\sum _{y_{i}<q}(y_{i}-q)+\tau \sum _{y_{i}\geq q}(y_{i}-q)\right]}$,

โดยที่ฟังก์ชันดังกล่าวคือฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์แบบเอียง หลักการพื้นฐานนั้นเหมือนกับกรณีของควอนไทล์ประชากร ${\displaystyle \rho _{\tau }}$

ควอนไทล์แบบมีเงื่อนไขลำดับที่ ของค่าที่กำหนดให้คือควอนไทล์ลำดับที่ ของ การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของค่าที่กำหนดให้ ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=\inf \left\{y:F_{Y|X}(y)\geq \tau \right\}}$.

เราใช้ตัวพิมพ์ใหญ่เพื่อแสดงควอนไทล์แบบมีเงื่อนไข เพื่อระบุว่าเป็นตัวแปรสุ่ม ${\displaystyle Q}$

ในการวิเคราะห์การถดถอยควอนไทล์สำหรับควอนไทล์ที่ th เราตั้งสมมติฐานว่าควอนไทล์แบบมีเงื่อนไขที่ th นั้นเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรอธิบาย: ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }}$.

เมื่อทราบฟังก์ชันการกระจายของ แล้วสามารถ หาได้โดยการแก้สมการ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \beta _{\tau }}$

${\displaystyle \beta _{\tau }={\underset {\beta \in \mathbb {R} ^{k}}{\mbox{arg min}}}E(\rho _{\tau }(Y-X\beta )).}$

การแก้สมการอะนาล็อกตัวอย่างจะให้ค่าประมาณของ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\hat {\beta _{\tau }}}={\underset {\beta \in \mathbb {R} ^{k}}{\mbox{arg min}}}\sum _{i=1}^{n}(\rho _{\tau }(Y_{i}-X_{i}\beta )).}$

โปรดทราบว่าเมื่อฟังก์ชันความสูญเสียจะเป็นสัดส่วนกับฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ดังนั้นการถดถอยค่ามัธยฐานจึงเหมือนกับการถดถอยเชิงเส้นโดยใช้ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์น้อยที่สุด ${\displaystyle \tau =0.5}$${\displaystyle \rho _{\tau }}$

รูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นจากการถดถอยควอนไทล์นั้นแตกต่างจากรูปแบบที่เกิดขึ้นในวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดนำไปสู่การพิจารณาปัญหาในปริภูมิผลคูณภายในซึ่งเกี่ยวข้องกับการฉายภาพไปยังปริภูมิย่อย ดังนั้นปัญหาการลดค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองให้เหลือน้อยที่สุดจึงสามารถลดทอนลงเหลือปัญหาในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขได้การถดถอยควอนไทล์ไม่มีโครงสร้างเช่นนี้ และแทนที่จะเป็นเช่นนั้น ปัญหาการลดค่าให้เหลือน้อยที่สุดสามารถกำหนดใหม่ได้เป็นปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

${\displaystyle {\underset {\beta ,u^{+},u^{-}\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} _{+}^{2n}}{\min }}\left\{\tau 1_{n}^{'}u^{+}+(1-\tau )1_{n}^{'}u^{-}|X\beta +u^{+}-u^{-}=Y\right\},}$

ที่ไหน

${\displaystyle u_{j}^{+}=\max(u_{j},0)}$,    ${\displaystyle u_{j}^{-}=-\min(u_{j},0).}$

วิธีการซิมเพล็กซ์^{[ 3 ] : 181} หรือวิธีการจุดภายใน^{[ 3 ] : 190} สามารถนำมาใช้แก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นได้

สำหรับภายใต้เงื่อนไขความสม่ำเสมอบางประการจะเป็นตัวแปรสุ่มปกติเชิงอะซิมโทติก : ${\displaystyle \tau \in (0,1)}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{\tau }}$

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\beta }}_{\tau }-\beta _{\tau }){\overset {d}{\rightarrow }}N(0,\tau (1-\tau )D^{-1}\Omega _{x}D^{-1}),}$

ที่ไหน

${\displaystyle D=E(f_{Y}(X\beta )XX^{\prime })}$และ${\displaystyle \Omega _{x}=E(X^{\prime }X).}$

การประมาณค่าโดยตรงของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแบบอะซิมโทติกนั้นไม่น่าพอใจเสมอไป การอนุมานสำหรับพารามิเตอร์การถดถอยควอนไทล์สามารถทำได้ด้วยการทดสอบคะแนนอันดับการถดถอยหรือด้วยวิธีการบูตสแตรป^{[ 11 ]}

ดู ข้อมูลเกี่ยวกับความไม่เปลี่ยนแปลง ได้ที่ invariant estimatorหรือดูข้อมูลเกี่ยวกับความสมมาตรได้ที่ equivariance

สำหรับและ${\displaystyle a>0}$${\displaystyle \tau \in [0,1]}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}(\tau ;aY,X)=a{\hat {\beta }}(\tau ;Y,X),}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}(\tau ;-aY,X)=-a{\hat {\beta }}(1-\tau ;Y,X).}$

สำหรับและ${\displaystyle \gamma \in R^{k}}$${\displaystyle \tau \in [0,1]}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}(\tau ;Y+X\gamma ,X)={\hat {\beta }}(\tau ;Y,X)+\gamma .}$

ให้เป็นเมทริกซ์ที่ไม่เอกฐานใดๆ และ${\displaystyle A}$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle \tau \in [0,1]}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}(\tau ;Y,XA)=A^{-1}{\hat {\beta }}(\tau ;Y,X).}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลงบนคุณสมบัติ การไม่เปลี่ยนแปลงต่อไปนี้ จะใช้ได้:${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle h(Q_{Y|X}(\tau ))\equiv Q_{h(Y)|X}(\tau ).}$

ตัวอย่าง (1):

ถ้าและแล้วการถดถอยเฉลี่ยไม่มีคุณสมบัติเดียวกัน เนื่องจาก${\displaystyle W=\exp(Y)}$${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }}$${\displaystyle Q_{W|X}(\tau )=\exp(X\beta _{\tau })}$${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(Y))\neq \ln(\operatorname {E} (Y)).}$

แบบจำลองเชิงเส้น ระบุความสัมพันธ์เชิงระบบที่แท้จริงผิดพลาด เมื่อไม่เป็นเชิงเส้น อย่างไรก็ตามจะลดระยะห่างถ่วงน้ำหนักให้น้อยที่สุดในบรรดาแบบจำลองเชิงเส้น^{[ 12 ]}นอกจากนี้ พารามิเตอร์ความชันของแบบจำลองเชิงเส้นสามารถตีความได้ว่าเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของอนุพันธ์ดังนั้นจึงสามารถใช้สำหรับการอนุมานเชิงสาเหตุได้^{[ 13 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติฐานสำหรับทุก ๆบ่งบอกถึงสมมติฐานซึ่งสามารถทดสอบได้โดยใช้ตัวประมาณและการกระจายลิมิต ${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }}$${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=f(X,\tau )}$${\displaystyle f(\cdot ,\tau )}$${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }}$${\displaystyle f(X,\tau )}$${\displaystyle \beta _{\tau }}$${\displaystyle \nabla f(X,\tau )}$${\displaystyle \beta _{\tau }}$${\displaystyle H_{0}:\nabla f(x,\tau )=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{0}:\beta _{\tau }=0}$${\displaystyle {\hat {\beta _{\tau }}}}$

ความเหมาะสมของแบบจำลองการถดถอยควอนไทล์สำหรับควอนไทล์สามารถกำหนดได้ดังนี้: ^{[ 14 ]} โดยที่คือฟังก์ชันการสูญเสียที่คาดหวังที่น้อยที่สุดภายใต้แบบจำลองเต็มรูปแบบ ในขณะที่คือฟังก์ชันการสูญเสียที่คาดหวังภายใต้แบบจำลองที่มีเฉพาะค่าคงที่ ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle R^{1}(\tau )=1-{\frac {{\hat {V}}_{\tau }}{{\tilde {V}}_{\tau }}},}$${\displaystyle {\hat {V}}_{\tau }}$${\displaystyle {\tilde {V}}_{\tau }}$

เนื่องจากการถดถอยควอนไทล์โดยปกติจะไม่ถือว่ามีความน่าจะเป็นแบบพาราเมตริกสำหรับการกระจายแบบมีเงื่อนไขของ Y|X วิธีการแบบเบย์เซียนจึงทำงานกับความน่าจะเป็นแบบทำงาน ตัวเลือกที่สะดวกคือความน่าจะเป็นแบบลาปลาเซียนแบบไม่สมมาตร^{[ 15 ]}เนื่องจากโหมดของโพสทีเรียร์ที่ได้ภายใต้ไพรเออร์แบบแบนราบคือค่าประมาณการถดถอยควอนไทล์ตามปกติ อย่างไรก็ตาม การอนุมานโพสทีเรียร์จะต้องได้รับการตีความอย่างระมัดระวัง Yang, Wang และ He ^{[ 16 ]}ได้ให้การปรับความแปรปรวนโพสทีเรียร์สำหรับการอนุมานที่ถูกต้อง นอกจากนี้ Yang และ He ^{[ 17 ]}แสดงให้เห็นว่าสามารถมีการอนุมานโพสทีเรียร์ที่ถูกต้องในเชิงอะซิมโทติกได้หากเลือกความน่าจะเป็นแบบทำงานเป็นความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์

นอกเหนือจากการถดถอยเชิงเส้นแบบง่ายแล้วยังมีวิธีการเรียนรู้ของเครื่องหลายวิธีที่สามารถขยายไปสู่การถดถอยควอนไทล์ได้ การเปลี่ยนจากข้อผิดพลาดกำลังสองไปเป็นฟังก์ชันการสูญเสียค่าสัมบูรณ์ที่เอียง (หรือที่เรียกว่าการสูญเสียพินบอล^{[ 18 ]} ) ช่วยให้อัลกอริธึมการเรียนรู้แบบไล่ระดับสามารถเรียนรู้ควอนไทล์ที่กำหนดแทนที่จะเป็นค่าเฉลี่ย ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้อัลกอริธึมเครือข่ายประสาทและ การ เรียนรู้เชิงลึก ทั้งหมดกับการถดถอยควอนไทล์ได้ ^{[ 19 ] [ 20 ]}ซึ่งเรียกว่าการถดถอยควอนไทล์แบบไม่พาราเมตริก^{[ 21 ]} นอกจากนี้ยังมีอัลกอริธึมการเรียนรู้แบบต้นไม้สำหรับการถดถอยควอนไทล์ (ดูเช่น Quantile Regression Forests ^{[ 22 ]}ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปอย่างง่ายของRandom Forests )

หากตัวแปรตอบสนองอยู่ภายใต้การเซ็นเซอร์ค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขจะไม่สามารถระบุได้หากไม่มีข้อสมมติการกระจายเพิ่มเติม แต่ค่าควอนไทล์แบบมีเงื่อนไขมักจะสามารถระบุได้ สำหรับงานล่าสุดเกี่ยวกับการถดถอยควอนไทล์แบบเซ็นเซอร์ โปรดดูที่: Portnoy ^{[ 23 ]} และ Wang และ Wang ^{[ 24 ]}

ตัวอย่าง (2):

ให้และ. จากนั้น. นี่คือแบบจำลองการถดถอยควอนไทล์แบบเซ็นเซอร์: สามารถหาค่าประมาณได้โดยไม่ต้องตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการกระจายตัว แต่ต้องแลกมาด้วยความยากลำบากในการคำนวณ^{[ 25 ]}ซึ่งบางส่วนสามารถหลีกเลี่ยงได้โดยใช้ขั้นตอนการถดถอยควอนไทล์แบบเซ็นเซอร์สามขั้นตอนง่ายๆ เป็นการประมาณ^{[ 26 ]}${\displaystyle Y^{c}=\max(0,Y)}$${\displaystyle Q_{Y|X}=X\beta _{\tau }}$${\displaystyle Q_{Y^{c}|X}(\tau )=\max(0,X\beta _{\tau })}$

สำหรับการเซ็นเซอร์แบบสุ่มบนตัวแปรตอบสนอง การถดถอยควอนไทล์ที่ถูกเซ็นเซอร์ของ Portnoy (2003) ^{[ 23 ]}ให้ค่าประมาณที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันควอนไทล์ที่ระบุได้ทั้งหมดโดยอาศัยการถ่วงน้ำหนักจุดที่ถูกเซ็นเซอร์แต่ละจุดอย่างเหมาะสม

การถดถอยควอนไทล์แบบเซ็นเซอร์มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการวิเคราะห์การอยู่รอด

การสูญเสียการถดถอยควอนไทล์จำเป็นต้องได้รับการปรับให้เหมาะสมเมื่อมีข้อผิดพลาดเฮเทอโรสเคดาสติกเพื่อให้มีประสิทธิภาพ^{[ 27 ]}

โปรแกรมซอฟต์แวร์ทางสถิติหลายโปรแกรมมีฟังก์ชันการวิเคราะห์การถดถอยควอนไทล์:

• ฟังก์ชันMatlab quantreg^{[ 28 ]}
• gretlมีquantregคำสั่ง^{[ 29 ]}
• Rมีแพ็กเกจหลายแพ็กเกจที่ใช้การถดถอยควอนไทล์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งแพ็กเกจquantregของRoger Koenker [ ^{30 ] แต่}ยังมีแพ็กเกจของ^{[ 31 ]}gbm , ^{[ 32 ] [ 33 ]}และ^{[ 34 ] ด้วย}quantregForestqrnnqgam
• Pythonผ่านScikit-garden^{[ 35 ]}และstatsmodels^{[ 36 ]}แพ็คเกจเฉพาะRegressionizer^{[ 37 ]}
• SASผ่านproc quantreg(เวอร์ชัน 9.2) ^{[ 38 ]}และproc quantselect(เวอร์ชัน 9.3) ^{[ 39 ]}
• Stataผ่านqregคำสั่ง^{[ 40 ] [ 41 ]}
• Vowpal Wabbitผ่าน--loss_function quantileทาง^{[ 42 ]}
• แพ็คเกจMathematica QuantileRegression.m^{[ 43 ]}โฮสต์อยู่ที่โครงการ MathematicaForPrediction บน GitHub
• ฟังก์ชันWolfram Language QuantileRegression^{[ 44 ]}โฮสต์อยู่ที่ Wolfram Function Repository แพ็กเกจ (paclet) MonadicQuantileRegression ^{[ 45 ]}โฮสต์อยู่ที่ Wolfram Language Paclet Repository

• การถดถอยค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์น้อยที่สุด
• การทำนายแบบคอนฟอร์มอล

เว็บไซต์ Wikibook R Programmingมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: การถดถอยควอนไทล์ (Quantile Regression)

• Angrist, Joshua D. ; Pischke, Jörn-Steffen (2009). "Quantile Regression" . Mostly Harmless Econometrics: An Empiricist's Companion . Princeton University Press. หน้า  269–291 . ISBN 978-0-691-12034-8.
• Koenker, Roger (2005). การถดถอยควอนไทล์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-60827-5.