ในทางคณิตศาสตร์ ความสมมาตรแบบ สมมูล (equivariance)เป็นรูปแบบหนึ่งของสมมาตรสำหรับฟังก์ชันจากปริภูมิหนึ่งที่มีสมมาตรไปยังอีกปริภูมิหนึ่ง (เช่นปริภูมิสมมาตร ) ฟังก์ชันจะเรียกว่าเป็นฟังก์ชันสมมูลแบบสมมูลเมื่อโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชันนั้นถูกกระทำ โดย กลุ่มสมมาตรเดียวกันและเมื่อฟังก์ชันนั้นสลับที่ได้กับการกระทำของกลุ่มนั้น กล่าวคือ การใช้การแปลงสมมาตรแล้วคำนวณฟังก์ชันจะได้ผลลัพธ์เดียวกันกับการคำนวณฟังก์ชันแล้วจึงใช้การแปลงสมมาตร

แผนที่สมมาตร (Equivariant maps) เป็นการขยายแนวคิดของตัวแปรคงที่ (Invariants ) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีค่าไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการแปลงสมมาตรของตัวแปรต้น ค่าของแผนที่สมมาตรมักถูกเรียกว่าตัวแปรคงที่ (อย่างไม่ถูกต้อง)

ในการอนุมานทางสถิติความเป็นเอกภาพภายใต้การแปลงทางสถิติของข้อมูลเป็นคุณสมบัติที่สำคัญของวิธีการประมาณค่าต่างๆ ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ตัวประมาณค่าที่ไม่เปลี่ยนแปลง ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ความเป็นเอกภาพเป็นหัวข้อหลักของการศึกษาในโทโพโลยีเอกภาพและหัวข้อย่อย ได้แก่โค ฮอโมโลยีเอกภาพและทฤษฎีโฮโมโทปีเสถียรเอกภาพ

ในเรขาคณิตของรูปสามเหลี่ยมพื้นที่และเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงแบบยุคลิด : การเลื่อน การหมุน หรือการสะท้อนรูปสามเหลี่ยมจะไม่เปลี่ยนแปลงพื้นที่หรือเส้นรอบรูป อย่างไรก็ตามจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมเช่นจุดศูนย์กลางมวลจุดศูนย์กลางวงกลมล้อม รอบ จุดศูนย์กลาง วงกลมแนบในและจุดศูนย์กลางมุมฉากจะไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากเมื่อรูปสามเหลี่ยมเคลื่อนที่ จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมก็จะเคลื่อนที่ไปด้วย แต่จุดศูนย์กลางเหล่านี้จะแปรผันตาม: การใช้ความสอดคล้อง แบบยุคลิด (การรวมกันของการเลื่อนและการหมุน) กับรูปสามเหลี่ยม แล้วสร้างจุดศูนย์กลาง จะได้จุดเดียวกันกับการสร้างจุดศูนย์กลางก่อน แล้วจึงใช้ความสอดคล้องแบบเดียวกันกับจุดศูนย์กลางนั้น โดยทั่วไปแล้ว จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดจะแปรผันตามการแปลงแบบคล้ายคลึง (การรวมกันของการเลื่อน การหมุน การสะท้อน และการปรับขนาด) ^{[ 1 ]} และจุดศูนย์กลางมวลจะแปรผันตามการแปลงแบบแอฟฟิน^{[ 2 ]}

ฟังก์ชันเดียวกันอาจเป็นค่าคงที่สำหรับกลุ่มสมมาตรกลุ่มหนึ่ง และมีค่าเท่ากันสำหรับกลุ่มสมมาตรอีกกลุ่มหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ภายใต้การแปลงความคล้ายคลึงกัน แทนที่จะเป็นการแปลงความเท่ากันทุกประการ พื้นที่และเส้นรอบรูปจะไม่คงที่อีกต่อไป การปรับขนาดสามเหลี่ยมจะเปลี่ยนพื้นที่และเส้นรอบรูปด้วย อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้เกิดขึ้นในลักษณะที่คาดการณ์ได้ กล่าวคือ ถ้าสามเหลี่ยมถูกปรับขนาดด้วยตัวประกอบsเส้นรอบรูปก็จะปรับขนาดด้วยsและพื้นที่ก็จะปรับขนาดด้วย^s² ด้วยวิธีนี้ ฟังก์ชันที่แปลงสามเหลี่ยมแต่ละรูปไปเป็นพื้นที่หรือเส้นรอบรูป สามารถมองได้ว่ามีค่าเท่ากันสำหรับการกระทำแบบกลุ่มเชิงคูณของการแปลงการปรับขนาดบนจำนวนจริงบวก

ตัวอย่างง่ายๆ อีกประเภทหนึ่งมาจากการประมาณค่าทางสถิติ ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง (เซตของจำนวนจริง) มักใช้เป็นค่าแนวโน้มศูนย์กลางของตัวอย่าง ค่าเฉลี่ยจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเชิงเส้นของจำนวนจริง ดังนั้นจึงไม่ได้รับผลกระทบจากการเลือกหน่วยที่ใช้ในการแทนจำนวน ในทางตรงกันข้าม ค่าเฉลี่ยจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงที่ไม่ใช่เชิงเส้น เช่น เลขชี้กำลัง

ค่ามัธยฐานของตัวอย่างจะคงที่สำหรับกลุ่มการแปลงที่ใหญ่กว่ามาก ซึ่งก็คือฟังก์ชันโมโนโทนิก (อย่างเคร่งครัด) ของจำนวนจริง การวิเคราะห์นี้แสดงให้เห็นว่าค่ามัธยฐานมีความแข็งแกร่ง มากกว่า ต่อการเปลี่ยนแปลงบางประเภทของชุดข้อมูล และ (ต่างจากค่าเฉลี่ย) มีความหมายสำหรับข้อมูลเชิงลำดับ^{[ 3 ]}

แนวคิดของตัวประมาณค่าคงที่และตัวประมาณค่าสมมูลถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดรูปแบบการวิเคราะห์แบบนี้อย่างเป็นทางการ

ในทฤษฎีการแทนของกลุ่มจำกัดปริภูมิเวกเตอร์ที่มีกลุ่มที่กระทำโดยการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเรียกว่าการแทนเชิงเส้นของกลุ่มแผนที่เชิงเส้นที่สลับกับการกระทำเรียกว่าตัวเชื่อมนั่นคือ ตัวเชื่อมเป็นเพียงแผนที่เชิงเส้นแบบสมมาตรระหว่างการแทนสองแบบ หรืออีกนัยหนึ่ง ตัวเชื่อมสำหรับการแทนของกลุ่มGเหนือฟิลด์Kก็เหมือนกับโฮโมมอร์ฟิซึมโมดูลของK [ G ] - โมดูลโดยที่K [ G ]คือวงแหวนกลุ่มของG ^{[ 4 ]}

ภายใต้เงื่อนไขบางประการ หากXและYต่างก็เป็นการแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ แล้วตัวเชื่อมระหว่างกัน (นอกเหนือจากแผนที่ศูนย์ ) จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อการแสดงแทนทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน (นั่นคือ เป็น ไอโซม อร์ฟิกในฐานะโมดูล ) ตัวเชื่อมระหว่างกันนั้นจะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึง ตัวคูณ ( สเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์จากK ) คุณสมบัติเหล่านี้เป็นจริงเมื่อภาพของK [ G ]เป็นพีชคณิตแบบง่ายที่มีศูนย์กลางK (โดยสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทของ Schur : ดูโมดูลแบบง่าย ) ดังนั้น ในกรณีสำคัญ การสร้างตัวเชื่อมระหว่างกันก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าการแสดงแทนนั้นเหมือนกันอย่างมีประสิทธิภาพ^{[ 5 ]}

ความสมมาตรสามารถกำหนดเป็นลายลักษณ์อักษรได้โดยใช้แนวคิดของเซตGสำหรับกลุ่มGซึ่งเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยเซตทางคณิตศาสตร์Sและการกระทำของกลุ่ม (ทางด้านซ้าย) ของGบนSถ้าXและYเป็น เซต Gสำหรับกลุ่มG เดียวกัน ฟังก์ชันf  : X → Yจะเรียกว่ามีความสมมาตร ถ้า

f ( g · x ) = g · f ( x )

สำหรับg ∈ G ทั้งหมด และxในX ^{ทั้งหมด[ 6} ]

หากการกระทำอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่างเป็นการกระทำที่ถูกต้อง เงื่อนไขความเท่าเทียมกันอาจได้รับการปรับเปลี่ยนอย่างเหมาะสม:

f ( x · g ) = f ( x )· g ; (ขวา-ขวา)

f ( x · g ) = g ⁻¹ · f ( x ) ; (ขวา-ซ้าย)

f ( g · x ) = f ( x )· g ⁻¹ ; (ซ้าย-ขวา)

แผนที่สมมาตรคือมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ของ เซต G (สำหรับG ที่กำหนดไว้ ) ^{[ 7 ]}ดังนั้นจึงเรียกอีกอย่างว่ามอร์ฟิซึม G [ ^{7 ] แผนที่} G [ 8 ^{] หรือ}โฮโมมอร์ฟิซึม G [ ^{9 ]ไอ}โซมอร์ฟิซึมของ^เซต Gเป็นเพียงแผนที่สมมาตรแบบหนึ่งต่อหนึ่ง^{[ 7 ]}

เงื่อนไขความสมมาตรสามารถเข้าใจได้จากแผนภาพการสลับที่ ดังต่อไปนี้ โปรดสังเกตว่าหมายถึงแผนที่ที่รับองค์ประกอบหนึ่งและส่งคืนค่าอีกองค์ประกอบ หนึ่ง${\displaystyle g\cdot }$${\displaystyle z}$${\displaystyle g\cdot z}$

แผนที่สมมาตรสามารถขยายไปสู่หมวดหมู่ ใดๆ ได้อย่างตรงไปตรงมา ทุกกลุ่มGสามารถมองได้ว่าเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุเดียว ( มอร์ฟิซึมในหมวดหมู่นี้ก็คือสมาชิกของ G นั่นเอง) เมื่อกำหนดหมวดหมู่C ใดๆ การแทนGในหมวดหมู่Cก็คือฟังก์ชันจากGไปยังCฟังก์ชันดังกล่าวจะเลือกวัตถุของCและกลุ่มย่อยของออโตมอร์ฟิซึมของวัตถุนั้น ตัวอย่างเช่น เซต Gเทียบเท่ากับฟังก์ชันจากGไปยังหมวดหมู่ของเซต Set และการแทนเชิงเส้นเทียบเท่ากับฟังก์ชันไปยังหมวด หมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์Vect _K

เมื่อกำหนดตัวแทนสองแบบของGในC คือ ρ และ σ แล้ว แผนที่สมมาตรระหว่างตัวแทนทั้งสองนี้ก็คือการแปลงธรรมชาติจาก ρ ไปยัง σ นั่นเอง การใช้การแปลงธรรมชาติเป็นมอร์ฟิซึม ทำให้เราสามารถสร้างหมวดหมู่ของตัวแทนทั้งหมดของGในCได้ ซึ่งก็คือหมวดหมู่ฟังก์ชันC ^Gนั่นเอง

ยกตัวอย่างเช่นC = Topซึ่งเป็นหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี การแทนGในTopคือปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่Gกระทำอย่างต่อเนื่องแผนที่สมมาตรจึงเป็นแผนที่ต่อเนื่องf  : X → Yระหว่างการแทนซึ่งสลับที่ได้กับการกระทำของ G

• ทฤษฎีบทเคอร์ติส-เฮดลันด์-ลินดอนการกำหนดลักษณะเฉพาะของออโตมาตาเซลลูลาร์ในแง่ของแผนที่สมมาตร