ในทางสถิติและความน่าจะเป็นควอนไทล์คือจุดตัดที่แบ่งช่วงของความน่าจะเป็นออกเป็นช่วงต่อเนื่องที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน หรือแบ่งข้อมูลในตัวอย่างในลักษณะเดียวกัน ควอนไทล์ที่ใช้กันทั่วไปมีชื่อเรียกเฉพาะ เช่นควาร์ไทล์ (สี่กลุ่ม) เดไซล์ (สิบกลุ่ม) และเปอร์เซ็นไทล์ (หนึ่งร้อยกลุ่ม) กลุ่มที่สร้างขึ้นเรียกว่าครึ่งหนึ่ง หนึ่งในสาม หนึ่งในสี่ เป็นต้น แต่โดยส่วนใหญ่แล้ว คำที่ใช้เรียกควอนไทล์มักใช้เรียกกลุ่มที่สร้างขึ้นมากกว่าจุดตัด

ค วอนไทล์qคือค่าที่แบ่งเซตของค่าจำกัด ออกเป็น q เซตย่อยที่มีขนาด (เกือบ) เท่ากัน มีเซตย่อยของควอนไทล์ q ทั้งหมด q − 1 เซต โดยแต่ละ เซตย่อยแทน จำนวนเต็มkที่สอดคล้องกับ 0 < k < qในบางกรณี ค่าของควอนไทล์อาจไม่สามารถกำหนดได้อย่างเฉพาะเจาะจง เช่น ค่ามัธยฐาน (ควอนไทล์ที่ 2) ของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบเอกรูปบนเซตที่มีขนาดเป็นเลขคู่ ควอนไทล์ยังสามารถนำไปใช้กับ การแจกแจง แบบต่อเนื่องได้ซึ่งเป็นวิธีหนึ่งในการขยายสถิติอันดับไปสู่ตัวแปรต่อเนื่อง (ดูอันดับเปอร์เซ็นไทล์ ) เมื่อทราบฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่ม ควอนไทล์ qคือการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันควอนไทล์ (ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันการแจกแจงสะสม ) กับค่า {1/ q , 2/ q , …, ( q − 1)/ q }

เช่นเดียวกับการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานการประมาณค่าควอนไทล์ขึ้นอยู่กับว่าเรากำลังทำงานกับประชากรทางสถิติหรือกับตัวอย่างที่สุ่มมาจากประชากรนั้น สำหรับประชากรที่มีค่าแบบไม่ต่อเนื่องหรือสำหรับความหนาแน่นของประชากรแบบต่อเนื่อง ควอนไทล์ที่kคือค่าข้อมูลที่ฟังก์ชันการกระจายสะสมตัดกับk / qนั่นคือxเป็น ค วอนไท ล์ที่ kสำหรับตัวแปรXถ้า

Pr[ X < x ] ≤ k / qหรือเทียบเท่ากับPr[ X ≥ x ] ≥ 1 − k / q

และ

Pr[ X ≤ x ] ≥ k / q

โดยที่Prคือฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับประชากรจำกัดที่มีค่าN ค่าซึ่งมีความน่าจะเป็นเท่ากัน โดยมีดัชนี 1, …, Nจากต่ำสุดไปสูงสุด ค่าค วอน ไท ล์ q ที่ k ของประชากรนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้ค่าI _p = N k / qถ้าI _pไม่ใช่จำนวนเต็ม ให้ปัดขึ้นเป็นจำนวนเต็มถัดไปเพื่อให้ได้ดัชนีที่เหมาะสม ค่าข้อมูลที่สอดคล้องกันคือค่า ค วอน ไทล์ q ที่ kในทางกลับกัน ถ้าI _pเป็นจำนวนเต็ม เราสามารถใช้จำนวนใดก็ได้ตั้งแต่ค่าข้อมูลที่ดัชนีนั้นไปจนถึงค่าข้อมูลของดัชนีถัดไปเป็นค่าควอนไทล์ และโดยทั่วไป (แม้ว่าจะขึ้นอยู่กับดุลพินิจ) จะหาค่าเฉลี่ยของค่าทั้งสองนั้น (ดูการประมาณค่าควอนไทล์จากตัวอย่าง )

ถ้าหากแทนที่จะใช้จำนวนเต็มkและq " ควอนไทล์ p" อ้างอิงจากจำนวนจริงpโดยที่0 < p < 1แล้วpจะเข้ามาแทนที่k / qในสูตรข้างต้น คำศัพท์ที่กว้างขึ้นนี้ใช้เมื่อใช้ควอนไทล์ในการกำหนดพารามิเตอร์ของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องนอกจากนี้ โปรแกรมซอฟต์แวร์บางโปรแกรม (รวมถึงMicrosoft Excel ) ถือว่าค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 0 และ 100 ตามลำดับ อย่างไรก็ตาม คำศัพท์ที่กว้างขึ้นนี้เป็นการขยายความจากคำจำกัดความทางสถิติแบบดั้งเดิม

ตัวอย่างสองข้อต่อไปนี้ใช้คำจำกัดความของควอนไทล์ตามลำดับที่ใกล้ที่สุดโดยมีการปัดเศษ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับคำจำกัดความนี้ โปรดดูที่เปอร์เซ็นไทล์

พิจารณาชุดข้อมูลเรียงลำดับ 10 ค่า ได้แก่ [3, 6, 7, 8, 8, 10, 13, 15, 16, 20] จงหาควอไทล์ทั้ง 4 ของชุดข้อมูลนี้

ดังนั้น ควอนไทล์ที่หนึ่ง สอง และสาม (หรือ "ควอไทล์") ของชุดข้อมูล [3, 6, 7, 8, 8, 10, 13, 15, 16, 20] คือ [7, 9, 15] หากจำเป็น ควอนไทล์ที่ศูนย์คือ 3 และควอนไทล์ที่สี่คือ 20

พิจารณาชุดข้อมูลเรียงลำดับ 11 ค่า ได้แก่ [3, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 20] จงหาควอไทล์ทั้ง 4 ของชุดข้อมูลนี้

ดังนั้น ควอนไทล์ที่หนึ่ง สอง และสาม (หรือ "ควอไทล์") ของชุดข้อมูล [3, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 20] คือ [7, 9, 15] หากจำเป็น ควอนไทล์ที่ศูนย์คือ 3 และควอนไทล์ที่สี่คือ 20

สำหรับการกระจายความน่าจะเป็นของประชากรใดๆ บนค่าจำนวนจำกัด และโดยทั่วไปสำหรับการกระจายความน่าจะเป็นใดๆ ที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน จะเป็นกรณีที่ Q (p)คือค่าของควอนไทล์ p สำหรับ0 < p < 1 (หรือเทียบเท่ากับ ควอน ไทล์ q ที่ k สำหรับp = k / q ) โดยที่μ คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการกระจายและσ คือส่วนเบี่ยง เบนมาตรฐานของการกระจาย^{[ 1 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่ามัธยฐาน( p = k / q = 1/2)จะไม่เกินหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย $${\displaystyle \mu -\sigma \cdot {\sqrt {\frac {1-p}{p}}}\leq Q(p)\leq \mu +\sigma \cdot {\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,,}$$

สูตรข้างต้นสามารถใช้เพื่อกำหนดขอบเขตของค่าμ + zσในแง่ของควอนไทล์ได้ เมื่อz ≥ 0ค่าที่อยู่เหนือค่าเฉลี่ยเป็นระยะz ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จะมีขอบเขตล่าง ตัวอย่างเช่น ค่าที่อยู่ เหนือค่าเฉลี่ยเป็นระยะ z = 1ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จะมากกว่าหรือเท่ากับQ ( p = 0.5)ซึ่งเป็นค่ามัธยฐานเสมอ และค่าที่อยู่ เหนือค่าเฉลี่ยเป็นระยะ z = 2ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จะมากกว่าหรือเท่ากับQ ( p = 0.8) ซึ่งเป็น ควินไทล์ที่สี่ เสมอ$${\displaystyle \mu +z\sigma \geq Q\left({\frac {z^{2}}{1+z^{2}}}\right)\,,\mathrm {~for~} z\geq 0.}$$

เมื่อz ≤ 0จะมีขอบเขตบนแทน ตัวอย่างเช่น ค่าμ + zσสำหรับz = −3จะไม่เกินQ ( p = 0.1)ซึ่งเป็นเดซิไล์แรก $${\displaystyle \mu +z\sigma \leq Q\left({\frac {1}{1+z^{2}}}\right)\,,\mathrm {~for~} z\leq 0.}$$

ปัญหาหนึ่งที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งคือ การประมาณค่าควอนไทล์ของประชากร (ขนาดใหญ่มากหรืออนันต์) โดยอาศัยตัวอย่างที่มีขนาดจำกัดเพียง N

โปรแกรมทางสถิติสมัยใหม่ใช้วิธีการหลายอย่างในการประมาณค่าควอนไทล์

Hyndmanและ Fan ได้รวบรวมอนุกรมวิธานของอัลกอริทึมเก้าแบบ^{[ 2 ]}ที่ใช้โดยแพ็กเกจซอฟต์แวร์ต่างๆ วิธีการทั้งหมดคำนวณQ _pซึ่งเป็นการประมาณค่า ควอนไทล์ p ( ควอน ไทล์ qที่ k โดยที่ p = k / q ) จากตัวอย่างขนาดNโดยการคำนวณดัชนีค่าจริงhเมื่อhเป็นจำนวนเต็ม ค่าที่เล็กที่สุดลำดับที่ hของ ค่า Nค่าx _hจะเป็นค่าประมาณควอนไทล์ มิฉะนั้นจะใช้แผนการปัดเศษหรือการแทรกสอดเพื่อคำนวณค่าประมาณควอนไทล์จากh , x _{⌊ h ⌋}และx _{⌈ h ⌉} (สำหรับสัญลักษณ์ โปรดดูฟังก์ชันพื้นและเพดาน )

สามแบบแรกเป็นค่าคงที่แบบเป็นช่วงๆ โดยมีการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันที่แต่ละจุดข้อมูล ในขณะที่หกแบบสุดท้ายใช้การประมาณค่าเชิงเส้นระหว่างจุดข้อมูล และแตกต่างกันเพียงแค่การเลือกดัชนีhที่ใช้ในการเลือกจุดตามเส้นโค้งการประมาณค่าเชิงเส้นแบบเป็นช่วงๆ เท่านั้น

ภาษาโปรแกรมMathematica [ ^{3 ]} Matlab [ ^{4 ]} R ^{[ 5 ]}และGNU Octave ^{[ 6 ] รองรับวิธีการควอนไทล์ตัวอย่างทั้งเก้า วิธี} SASมีวิธีการควอนไทล์ตัวอย่างห้าวิธี^SciPy [ ^{7 ] และ} Maple [ ^{8 ] มี}แปดวิธีEViews ^{[ 9 ]}และJulia ^{[ 10 ]}มีฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนหกฟังก์ชันStata ^{[ 11 ]} มีสองวิธีPython ^{[ 12 ]}มีสองวิธี และMicrosoft Excelมีสองวิธี Mathematica, SciPy และ Julia รองรับพารามิเตอร์ที่กำหนดเองสำหรับวิธีการต่างๆ ซึ่งอนุญาตให้ใช้วิธีการอื่นๆ ที่ไม่เป็นมาตรฐาน ไลบรารี Google Guava Java มีรูปแบบประเภท 7 ในคลาส Quantiles

ประเภทการประมาณค่าและวิธีการประมาณค่าแบบสอดแทรกที่ใช้ ได้แก่:

หมายเหตุ:

• R-1 ถึง R-3 เป็นค่าคงที่แบบเป็นช่วงๆ โดยมีจุดไม่ต่อเนื่อง
• R-4 และตัวต่อๆ ไปเป็นแบบเชิงเส้นเป็นช่วงๆ โดยไม่มีจุดไม่ต่อเนื่อง แต่แตกต่างกันในวิธีการคำนวณh
• R-3 และ R-4 ไม่สมมาตร เนื่องจากไม่ให้ค่าh = ( N + 1) / 2เมื่อp = 1/2
• ฟังก์ชัน PERCENTILE.EXC ของ Excel และเมธอด "exclusive" เริ่มต้นของ Python เทียบเท่ากับ R-6
• ฟังก์ชัน PERCENTILE และ PERCENTILE.INC ของ Excel และเมธอด "inclusive" ที่เป็นตัวเลือกของ Python นั้นเทียบเท่ากับ R-7 ซึ่งเป็นเมธอดเริ่มต้นของ R และ Julia
• แพ็กเกจต่างๆ มีวิธีการประมาณค่าควอนไทล์ที่แตกต่างกันออกไป โดยค่าที่ได้ควรอยู่นอกเหนือค่าต่ำสุดและสูงสุดในตัวอย่าง เช่นp < 1/ Nและp > ( N − 1)/ Nตัวเลือกต่างๆ ได้แก่ การส่งคืนค่าความคลาดเคลื่อน การคำนวณการประมาณค่าเชิงเส้น หรือการสมมติค่าคงที่

ในบรรดาเทคนิคต่างๆ Hyndman และ Fan แนะนำ R-8 แต่ซอฟต์แวร์ทางสถิติส่วนใหญ่เลือกใช้ R-6 หรือ R-7 เป็นค่าเริ่มต้น^{[ 13 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของการประมาณค่าควอนไทล์สามารถประมาณได้โดยใช้บูตสแตรปนอกจากนี้ยังสามารถใช้วิธี Maritz–Jarrett ได้อีกด้วย^{[ 14 ]}

ค่ามัธยฐานของตัวอย่างเป็นค่าที่ถูกศึกษามากที่สุดในบรรดาควอนไทล์ เนื่องจากเป็นทางเลือกในการประมาณค่าพารามิเตอร์ตำแหน่งเมื่อค่าเฉลี่ยของการกระจายตัวไม่มีอยู่จริง และด้วยเหตุนี้ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจึงไม่ใช่ตัวประมาณค่าที่มีความหมายของลักษณะประชากร นอกจากนี้ ค่ามัธยฐานของตัวอย่างยังเป็นตัวประมาณค่าที่แข็งแกร่งกว่าค่าเฉลี่ยของตัวอย่างอีกด้วย

ลักษณะเฉพาะอย่างหนึ่งของค่ามัธยฐานของตัวอย่างคือการกระจายเชิงอะซิมโทติก : เมื่อตัวอย่างมาจากการกระจายแบบต่อเนื่อง ค่ามัธยฐานของตัวอย่างจะมีการกระจายเชิงอะซิมโทติกแบบปกติที่คาดการณ์ไว้

${\displaystyle {\text{ค่ามัธยฐานของตัวอย่าง m}}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu =m,\sigma ^{2}={\frac {1}{4Nf(m)^{2}}}\right)}$

หลักการนี้ใช้ได้กับควอนไทล์อื่นๆ ด้วยเช่นกัน

${\displaystyle {\text{Sample quantile p}}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu =x_{p},\sigma ^{2}={\frac {p(1-p)}{Nf(x_{p})^{2}}}\right)}$

โดยที่f ( x _p )คือค่าของความหนาแน่นการกระจายที่ควอนไทล์ประชากร ที่ p ( ) ^{[ 15 ]}${\displaystyle x_{p}=F^{-1}(p)}$

แต่เมื่อการแจกแจงเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง การแจกแจงของค่ามัธยฐานของตัวอย่างและควอนไทล์อื่นๆ จะไม่เป็นการแจกแจงแบบปกติ (ดูตัวอย่างได้ที่https://stats.stackexchange.com/a/86638/28746 )

วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวคือการใช้นิยามทางเลือกของควอนไทล์ตัวอย่างผ่านแนวคิดของฟังก์ชัน "ค่ากลางของการกระจาย" ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle F_{\text{mid}}(x)=P(X\leq x)-{\frac {1}{2}}P(X=x)}$

นิยามของควอนไทล์ตัวอย่างผ่านแนวคิดของฟังก์ชันการกระจายกลางสามารถมองได้ว่าเป็นการวางนัยทั่วไปที่สามารถครอบคลุมกรณีพิเศษของการกระจายแบบต่อเนื่องได้ สำหรับการกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง ค่ามัธยฐานของตัวอย่างตามนิยามนี้จะมีการกระจายแบบปกติเชิงอะซิมโทติก ดู Ma, Y., Genton, MG, & Parzen, E. (2011). คุณสมบัติเชิงอะซิมโทติกของควอนไทล์ตัวอย่างของการกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 63(2), 227–243.

การคำนวณควอนไทล์โดยประมาณจากข้อมูลที่เข้ามาจากสตรีมสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้โครงสร้างข้อมูลที่บีบอัด วิธีที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือ t-digest ^{[ 16 ]}และ KLL ^{[ 17 ]}วิธีเหล่านี้จะอ่านสตรีมของค่าอย่างต่อเนื่อง และสามารถสอบถามเกี่ยวกับค่าโดยประมาณของควอนไทล์ที่ระบุได้ตลอดเวลา

อัลกอริทึมทั้งสองแบบนี้มีพื้นฐานมาจากแนวคิดที่คล้ายกัน คือ การบีบอัดกระแสของค่าโดยการสรุปค่าที่เหมือนกันหรือคล้ายกันด้วยน้ำหนัก หากกระแสประกอบด้วยการทำซ้ำ v1 100 ครั้ง และ v2 100 ครั้ง ก็ไม่มีเหตุผลที่จะต้องเก็บรายการที่เรียงลำดับแล้ว 200 รายการ เพียงแค่เก็บสององค์ประกอบและสองจำนวนก็เพียงพอที่จะกู้คืนควอนไทล์ได้แล้ว สำหรับค่าที่มากขึ้น อัลกอริทึมเหล่านี้จะรักษาสมดุลระหว่างจำนวนค่าที่ไม่ซ้ำกันที่จัดเก็บไว้และความแม่นยำของควอนไทล์ที่ได้ บางค่าอาจถูกทิ้งจากกระแสและนำไปรวมกับน้ำหนักของค่าใกล้เคียงโดยไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ของควอนไทล์มากนัก อัลกอริทึม t-digest รักษาโครงสร้างข้อมูลที่มีขนาดจำกัดโดยใช้วิธีการที่ได้รับแรงบันดาลใจจาก การจัดกลุ่มแบบ k -means เพื่อจัดกลุ่มค่าที่คล้ายกัน อัลกอริทึม KLL ใช้ "วิธีการบีบอัด" ที่ซับซ้อนกว่า ซึ่งนำไปสู่การ ควบคุม ขอบเขตของข้อผิดพลาดได้ดีขึ้น แต่ต้องแลกมาด้วยขนาดที่ไม่จำกัดหากต้องจำกัดข้อผิดพลาดเทียบกับp

ทั้งสองวิธีนี้จัดอยู่ในกลุ่มของโครงร่างข้อมูลซึ่งเป็นส่วนย่อยของอัลกอริธึมแบบสตรีมมิ่งที่มีคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์: โครงร่าง t-digest หรือ KLL สามารถนำมาใช้ร่วมกันได้ การคำนวณโครงร่างสำหรับเวกเตอร์ค่าขนาดใหญ่มากสามารถแบ่งออกเป็นกระบวนการแบบขนานที่ง่ายต่อการประมวลผล โดยที่โครงร่างจะถูกคำนวณสำหรับส่วนย่อยของเวกเตอร์แบบขนานและรวมเข้าด้วยกันในภายหลัง

อัลกอริทึมที่อธิบายไว้ข้างต้นประมาณค่าควอนไทล์เชิงประจักษ์โดยตรงโดยไม่ต้องมีข้อสมมติฐานใดๆ เกี่ยวกับข้อมูล โดยพื้นฐานแล้วข้อมูลก็คือตัวเลขหรือโดยทั่วไปแล้วก็คือชุดของรายการที่สามารถเรียงลำดับได้ อัลกอริทึมเหล่านี้เป็นวิธีการที่ได้มาจากวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ นอกจากนี้ยังมีอัลกอริทึมอีกประเภทหนึ่งที่สมมติว่าข้อมูลเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการสุ่ม อัลกอริทึมเหล่านี้เป็นวิธีการที่ได้มาจากสถิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งอัลกอริทึมการประมาณค่าแบบไม่พาราเมตริกตามลำดับ มีอัลกอริทึมดังกล่าวอยู่หลายตัว เช่น อัลกอริทึมที่อิงตามการประมาณค่าแบบสุ่ม^{[ 18 ] [ 19 ]}หรือตัวประมาณค่าอนุกรม Hermite ^{[ 20 ]}

โดยทั่วไปอัลกอริธึมที่ใช้สถิติเหล่านี้จะมีเวลาในการอัปเดตและความซับซ้อนของพื้นที่คงที่ แต่มีการรับประกันขอบเขตข้อผิดพลาดที่แตกต่างกันเมื่อเทียบกับวิธีการประเภทวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ และตั้งสมมติฐานมากกว่า อย่างไรก็ตาม อัลกอริธึมที่ใช้สถิติมีข้อดีบางประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการตั้งค่าสตรีมมิ่งที่ไม่คงที่ เช่น ข้อมูลที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา อัลกอริธึมของทั้งสองประเภท พร้อมด้วยข้อดีและข้อเสียบางประการ ได้รับการสำรวจเมื่อเร็ว ๆ นี้^{[ 21 ]}

ผลการทดสอบมาตรฐานมักจะรายงานว่านักเรียนได้คะแนน "อยู่ในเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80" ตัวอย่างเช่น นี่เป็นการใช้ความหมายอื่นของคำว่าเปอร์เซ็นไทล์เป็นช่วงระหว่าง (ในกรณีนี้) เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 และ 81 ^{[ 22 ]}ความหมายที่แยกจากกันของเปอร์เซ็นไทล์นี้ยังใช้ในบทความวิจัยทางวิทยาศาสตร์ที่ผ่านการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิด้วย^{[ 23 ]}ความหมายที่ใช้สามารถอนุมานได้จากบริบท

ถ้าการแจกแจงสมมาตร ค่ามัธยฐานจะเป็นค่าเฉลี่ย (ตราบใดที่ค่าเฉลี่ยมีอยู่) แต่โดยทั่วไปแล้ว ค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ยอาจแตกต่างกันได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล ตัวอย่างใดๆ ของตัวแปรสุ่มนี้จะมีโอกาสประมาณ 63% ที่จะน้อยกว่าค่าเฉลี่ย เนื่องจาก1การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลมีหางยาวสำหรับค่าบวก แต่เป็นศูนย์สำหรับจำนวนลบ

ควอนไทล์เป็นมาตรวัดที่มีประโยชน์เพราะมีความอ่อนไหวต่อปัญหาที่เกิดจากการกระจายแบบหางยาวและค่าผิดปกติได้น้อยกว่าค่าเฉลี่ย ในทางปฏิบัติ หากข้อมูลที่นำมาวิเคราะห์ไม่ได้มีการกระจายตามสมมติฐาน หรือหากมีแหล่งที่มาของค่าผิดปกติอื่นๆ ที่อยู่ห่างไกลจากค่าเฉลี่ยมาก ควอนไทล์อาจเป็นสถิติเชิงพรรณนาที่มีประโยชน์มากกว่าค่าเฉลี่ยและสถิติอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับโมเมนต์

หัวข้อที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือ วิธี การหา ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์น้อยที่สุด (Least Absolute Deviation : LASSO) ซึ่งเป็นวิธีการถดถอยที่มีความทนทานต่อค่าผิดปกติมากกว่าวิธีการกำลังสองน้อยที่สุด ( Least Squares: LASSO) ซึ่งใช้ผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของความคลาดเคลื่อนที่สังเกตได้แทนค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสอง ความเชื่อมโยงคือ ค่าเฉลี่ยเป็นค่าประมาณเพียงค่าเดียวของการกระจายตัวที่ทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองที่คาดหวังมีค่าน้อยที่สุด ในขณะที่ค่ามัธยฐานทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ที่คาดหวังมีค่าน้อยที่สุด วิธีการหาค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์น้อยที่สุด มีความสามารถที่จะไม่ไวต่อค่าเบี่ยงเบนขนาดใหญ่ในข้อมูลที่ผิดปกติ แม้ว่า จะมี วิธี การถดถอยที่ทนทานต่อค่าผิดปกติได้ดีกว่านี้ก็ตาม

ควอนไทล์ของตัวแปรสุ่มจะคงอยู่ภายใต้การแปลงที่เพิ่มขึ้น ในแง่ที่ว่า ตัวอย่างเช่น ถ้าmคือค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่มXแล้ว2m ^ก็คือค่ามัธยฐานของ2X เว้นแต่จะมีการเลือกค่าใดค่าหนึ่งโดยพลการจากช่วงค่าเพื่อระบุควอนไทล์เฉพาะ (ดูตัวอย่างการประมาณค่าควอนไทล์ใน ^{หัวข้อ}ข้างต้น) ควอนไทล์ยังสามารถใช้ได้ในกรณีที่มีข้อมูล เชิงลำดับ เท่านั้น

ค่าที่ใช้แบ่งข้อมูลที่เรียงลำดับแล้วออกเป็นกลุ่มย่อยที่เท่ากันนอกเหนือจากสี่กลุ่ม จะมีชื่อเรียกที่แตกต่างกัน

• ค่าควอไทล์ที่ 2 เพียงค่าเดียวเรียกว่าค่ามัธยฐาน
• ควอนไทล์ทั้ง 3 เรียกว่าเทอร์ไทล์หรือเทอร์ไซล์ → T
• ควอนไทล์ทั้ง 4 เรียกว่าควาร์ไทล์ → Q; ผลต่างระหว่างควาร์ไทล์บนและล่างเรียกว่าช่วงควาร์ไทล์ (Interquartile Range) , ค่ากลาง (Midspread)หรือค่ากลางห้าสิบ (Middle Fifty) → IQR = Q ₃ − Q ₁
• ควอนไทล์ทั้ง 5 เรียกว่าควินไทล์หรือเพนไทล์ → QU
• ควอนไทล์ที่ 6 เรียกว่าเซกซ์ไทล์ → S
• ควอนไทล์ทั้ง 7 เรียกว่าเซปไทล์ → SP
• ควอนไทล์ที่ 8 เรียกว่าอ็อกไทล์ → O
• ควอนไทล์ทั้ง 10 เรียกว่าเดไซล์ → D
• ควอนไทล์ทั้ง 12 เรียกว่า ดูโอเดไซล์ หรือ โดเดไซล์ → DD
• ควอนไทล์ทั้ง 16 ตัวเรียกว่าเฮกซาเดซิล → H
• 20 ควอไทล์เรียกว่าventiles , vigintilesหรือ demi-deciles → V
• ค่าควอไทล์ 100 ค่า เรียกว่าเปอร์เซ็นไทล์ → P
• ควอนไทล์ 1,000 ได้รับการเรียกขานว่าเพอร์มิลหรือมิลไลล์ แต่สิ่งเหล่านี้หายากและล้าสมัยเป็นส่วนใหญ่^{[ 24 ]}

• Serfling, RJ (1980). ทฤษฎีบทการประมาณค่าทางสถิติคณิตศาสตร์ . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1.

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับควอนไทล์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์