แกมมาปกติ พารามิเตอร์ μ {\displaystyle \mu \,} ตำแหน่ง ( จริง ) (จริง) (จริง) (จริง)λ > 0 {\displaystyle \lambda >0\,} α > 0 {\displaystyle \alpha >0\,} เบต้า > 0 {\displaystyle \beta >0\,} สนับสนุน x ∈ ( − ∞ , ∞ ) , τ ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )\,\!,\;\tau \in (0,\infty )} พีดี เอฟ ( x , τ ∣ μ , λ , α , เบต้า ) = เบต้า α λ Γ ( α ) 2 π τ α − 1 2 อี − เบต้า τ อี − λ τ ( x − μ ) 2 2 {\displaystyle f(x,\tau \mid \mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }{\sqrt {\lambda }}}{\Gamma (\alpha ){\sqrt {2\pi }}}}\,\tau ^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,e^{-\beta \tau }\,e^{-{\frac {\lambda \tau (x-\mu )^{2}}{2}}}} หมายถึง [ 1 ] อี ( X ) = μ , อี ( ที ) = α เบต้า − 1 {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu \,\!,\quad \operatorname {E} (\mathrm {T} )=\alpha \beta ^{-1}} โหมด ( μ , α − 1 2 เบต้า ) {\displaystyle \left(\mu ,{\frac {\alpha -{\frac {1}{2}}}{\beta }}\right)} ความแปรปรวน [ 1 ] วาร์ ( X ) = ( เบต้า λ ( α − 1 ) ) , วาร์ ( ที ) = α เบต้า − 2 {\displaystyle \operatorname {var} (X)={\Big (}{\frac {\beta }{\lambda (\alpha -1)}}{\Big )},\quad \operatorname {var} (\mathrm {T} )=\alpha \beta ^{-2}}
ในทฤษฎีความน่าจะเป็น และสถิติ การแจกแจงแบบนอร์มัล-แกมมา (หรือการแจกแจงแบบเกาส์เซียน-แกมมา ) เป็นตระกูลการแจกแจงความน่าจะ เป็นแบบต่อเนื่องสองตัวแปรสี่พารามิเตอร์ เป็นการ แจกแจง แบบคอนจูเกตก่อนหน้า ของการแจกแจงแบบปกติ ที่มีค่าเฉลี่ย และความแม่นยำ ที่ไม่ทราบ ค่า[ 2 ]
คำนิยาม สำหรับ ตัวแปรสุ่ม คู่หนึ่ง( X , T ) สมมติว่าการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข ของX เมื่อกำหนด ให้ T คือ
X ∣ ที ~ เอ็น ( μ , 1 / ( λ ที ) ) , {\displaystyle X\mid T\sim N(\mu ,1/(\lambda T))\,\!,} หมายความว่าการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขเป็นการแจกแจงแบบปกติ ที่มีค่าเฉลี่ย และความแม่นยำ — หรือเทียบเท่ากับความแปรปรวน μ {\displaystyle \mu } λ ที {\displaystyle \lambda T} 1 / ( λ ที ) . {\displaystyle 1/(\lambda T).}
สมมติด้วยว่าการแจกแจงส่วนย่อยของT กำหนดโดย
ที ∣ α , เบต้า ~ แกมมา ( α , เบต้า ) , {\displaystyle T\mid \alpha ,\beta \sim \operatorname {Gamma} (\alpha ,\beta ),} ซึ่งหมายความว่า T มีการแจกแจงแบบแกมมา โดยที่λ , α และβ เป็นพารามิเตอร์ของการแจกแจงร่วม
ดังนั้น ( X , T ) จึงมีการกระจายแบบปกติแกมมา และจะใช้สัญลักษณ์แทนด้วย
( X , ที ) ~ แกมมาปกติ ( μ , λ , α , เบต้า ) . {\displaystyle (X,T)\sim \operatorname {NormalGamma} (\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )}
คุณสมบัติ
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ร่วมของ ( X , T ) คือ
เอฟ ( x , τ ∣ μ , λ , α , เบต้า ) = เบต้า α λ Γ ( α ) 2 π τ α − 1 2 อี − เบต้า τ เอ็กซ์ ( − λ τ ( x − μ ) 2 2 ) , {\displaystyle f(x,\tau \mid \mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }{\sqrt {\lambda }}}{\Gamma (\alpha ){\sqrt {2\pi }}}}\,\tau ^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,e^{-\beta \tau }\exp \left(-{\frac {\lambda \tau (x-\mu )^{2}}{2}}\right),} โดย ใช้ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข สำหรับเอฟ ( x , τ ∣ μ , λ , α , เบต้า ) = เอฟ ( x ∣ τ , μ , λ , α , เบต้า ) เอฟ ( τ ∣ μ , λ , α , เบต้า ) {\displaystyle f(x,\tau \mid \mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )=f(x\mid \tau ,\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )f(\tau \mid \mu ,\lambda ,\alpha ,\beta )}
การกระจายแบบมาร์จินัล โดยโครงสร้างแล้วการแจกแจงแบบมาร์จินัล ของคือการแจกแจงแบบแกมมา และการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข ของเมื่อกำหนดให้คือการแจกแจงแบบเกาส์เซียน การแจกแจงแบบมาร์จินัล ของ คือ การแจกแจงแบบ t ของนักเรียน แบบไม่มาตรฐานที่มีสามพารามิเตอร์โดยมีพารามิเตอร์ τ {\displaystyle \tau } x {\displaystyle x} τ {\displaystyle \tau } x {\displaystyle x} ( ν , μ , σ 2 ) = ( 2 α , μ , β / ( λ α ) ) {\displaystyle (\nu ,\mu ,\sigma ^{2})=(2\alpha ,\mu ,\beta /(\lambda \alpha ))}
ตระกูลเลขชี้กำลัง การแจกแจงแบบนอร์มัล-แกมมาเป็นการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนน เชียลสี่พารามิเตอร์ ที่มีพารามิเตอร์ และสถิติตาม ธรรมชาติ α − 1 / 2 , − β − λ μ 2 / 2 , λ μ , − λ / 2 {\displaystyle \alpha -1/2,-\beta -\lambda \mu ^{2}/2,\lambda \mu ,-\lambda /2} ln τ , τ , τ x , τ x 2 {\displaystyle \ln \tau ,\tau ,\tau x,\tau x^{2}}
ช่วงเวลาของสถิติธรรมชาติ สามารถคำนวณโมเมนต์ต่อไปนี้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของสถิติที่เพียงพอ : [ 3 ]
E ( ln T ) = ψ ( α ) − ln β , {\displaystyle \operatorname {E} (\ln T)=\psi \left(\alpha \right)-\ln \beta ,} ฟังก์ชันได แกมมา อยู่ที่ไหนψ ( α ) {\displaystyle \psi \left(\alpha \right)}
E ( T ) = α β , E ( T X ) = μ α β , E ( T X 2 ) = 1 λ + μ 2 α β . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (T)&={\frac {\alpha }{\beta }},\\[5pt]\operatorname {E} (TX)&=\mu {\frac {\alpha }{\beta }},\\[5pt]\operatorname {E} (TX^{2})&={\frac {1}{\lambda }}+\mu ^{2}{\frac {\alpha }{\beta }}.\end{aligned}}}
การปรับขนาด ถ้าเช่นนั้นสำหรับสิ่งใดก็ตามจะถูกกระจายดังนี้( X , T ) ∼ N o r m a l G a m m a ( μ , λ , α , β ) , {\displaystyle (X,T)\sim \mathrm {NormalGamma} (\mu ,\lambda ,\alpha ,\beta ),} b > 0 , ( b X , b T ) {\displaystyle b>0,(bX,bT)} N o r m a l G a m m a ( b μ , λ / b 3 , α , β / b ) . {\displaystyle {\rm {NormalGamma}}(b\mu ,\lambda /b^{3},\alpha ,\beta /b).}
การแจกแจงแบบโพสทีเรียร์ของพารามิเตอร์ สมมติว่าx มีการกระจายตัวตามการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยและความแม่นยำ ที่ไม่ทราบ ค่า μ {\displaystyle \mu } τ {\displaystyle \tau }
x ∼ N ( μ , τ − 1 ) {\displaystyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\tau ^{-1})} และการแจกแจงก่อนหน้าบนและ, , มีการแจกแจงแบบปกติ-แกมมา μ {\displaystyle \mu } τ {\displaystyle \tau } ( μ , τ ) {\displaystyle (\mu ,\tau )}
( μ , τ ) ∼ NormalGamma ( μ 0 , λ 0 , α 0 , β 0 ) , {\displaystyle (\mu ,\tau )\sim {\text{NormalGamma}}(\mu _{0},\lambda _{0},\alpha _{0},\beta _{0}),} ซึ่งความหนาแน่นπ เป็นไปตามเงื่อนไข
π ( μ , τ ) ∝ τ α 0 − 1 2 exp [ − β 0 τ ] exp [ − λ 0 τ ( μ − μ 0 ) 2 2 ] . {\displaystyle \pi (\mu ,\tau )\propto \tau ^{\alpha _{0}-{\frac {1}{2}}}\,\exp[-\beta _{0}\tau ]\,\exp \left[-{\frac {\lambda _{0}\tau (\mu -\mu _{0})^{2}}{2}}\right].} สมมติ
x 1 , … , x n ∣ μ , τ ∼ i . i . d . N ( μ , τ − 1 ) , {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\tau \sim \operatorname {{i.}{i.}{d.}} \operatorname {N} \left(\mu ,\tau ^{-1}\right),} กล่าวคือ ส่วนประกอบของมีความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนดและการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของแต่ละส่วนประกอบเมื่อกำหนดเป็นแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนการแจกแจงแบบโพสทีเรียร์ของและเมื่อกำหนดชุดข้อมูลนี้สามารถกำหนดได้ทางวิเคราะห์โดยใช้ทฤษฎีบทของเบย์ส [ 4 ] X = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \mathbf {X} =(x_{1},\ldots ,x_{n})} μ , τ {\displaystyle \mu ,\tau } μ , τ {\displaystyle \mu ,\tau } μ {\displaystyle \mu } 1 / τ . {\displaystyle 1/\tau .} μ {\displaystyle \mu } τ {\displaystyle \tau } X {\displaystyle \mathbb {X} }
P ( τ , μ ∣ X ) ∝ L ( X ∣ τ , μ ) π ( τ , μ ) , {\displaystyle \mathbf {P} (\tau ,\mu \mid \mathbf {X} )\propto \mathbf {L} (\mathbf {X} \mid \tau ,\mu )\pi (\tau ,\mu ),} ความน่าจะเป็นของพารามิเตอร์เมื่อพิจารณาจากข้อมูลนั้น อยู่ที่ใดL {\displaystyle \mathbf {L} }
เนื่องจากข้อมูลเป็นแบบอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน (iid) ความน่าจะเป็นของชุดข้อมูลทั้งหมดจึงเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของตัวอย่างข้อมูลแต่ละตัว:
L ( X ∣ τ , μ ) = ∏ i = 1 n L ( x i ∣ τ , μ ) . {\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {X} \mid \tau ,\mu )=\prod _{i=1}^{n}\mathbf {L} (x_{i}\mid \tau ,\mu ).} สามารถลดรูปนิพจน์นี้ได้ดังนี้:
L ( X ∣ τ , μ ) ∝ ∏ i = 1 n τ 1 / 2 exp [ − τ 2 ( x i − μ ) 2 ] ∝ τ n / 2 exp [ − τ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 ] ∝ τ n / 2 exp [ − τ 2 ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ + x ¯ − μ ) 2 ] ∝ τ n / 2 exp [ − τ 2 ∑ i = 1 n ( ( x i − x ¯ ) 2 + ( x ¯ − μ ) 2 ) ] ∝ τ n / 2 exp [ − τ 2 ( n s + n ( x ¯ − μ ) 2 ) ] , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} (\mathbf {X} \mid \tau ,\mu )&\propto \prod _{i=1}^{n}\tau ^{1/2}\exp \left[{\frac {-\tau }{2}}(x_{i}-\mu )^{2}\right]\\[5pt]&\propto \tau ^{n/2}\exp \left[{\frac {-\tau }{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right]\\[5pt]&\propto \tau ^{n/2}\exp \left[{\frac {-\tau }{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}}+{\bar {x}}-\mu )^{2}\right]\\[5pt]&\propto \tau ^{n/2}\exp \left[{\frac {-\tau }{2}}\sum _{i=1}^{n}\left((x_{i}-{\bar {x}})^{2}+({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right]\\[5pt]&\propto \tau ^{n/2}\exp \left[{\frac {-\tau }{2}}\left(ns+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right],\end{aligned}}} โดยที่คือค่าเฉลี่ยของข้อมูลตัวอย่าง และคือค่าความแปรปรวนของข้อมูลตัวอย่าง x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} s = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 {\displaystyle s={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}
การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังของพารามิเตอร์จะเป็นสัดส่วนกับการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าคูณด้วยความน่าจะเป็นสูงสุด
P ( τ , μ ∣ X ) ∝ L ( X ∣ τ , μ ) π ( τ , μ ) ∝ τ n / 2 exp [ − τ 2 ( n s + n ( x ¯ − μ ) 2 ) ] τ α 0 − 1 2 exp [ − β 0 τ ] exp [ − λ 0 τ ( μ − μ 0 ) 2 2 ] ∝ τ n 2 + α 0 − 1 2 exp [ − τ ( 1 2 n s + β 0 ) ] exp [ − τ 2 ( λ 0 ( μ − μ 0 ) 2 + n ( x ¯ − μ ) 2 ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} (\tau ,\mu \mid \mathbf {X} )&\propto \mathbf {L} (\mathbf {X} \mid \tau ,\mu )\pi (\tau ,\mu )\\&\propto \tau ^{n/2}\exp \left[{\frac {-\tau }{2}}\left(ns+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right]\tau ^{\alpha _{0}-{\frac {1}{2}}}\,\exp[{-\beta _{0}\tau }]\,\exp \left[-{\frac {\lambda _{0}\tau (\mu -\mu _{0})^{2}}{2}}\right]\\&\propto \tau ^{{\frac {n}{2}}+\alpha _{0}-{\frac {1}{2}}}\exp \left[-\tau \left({\frac {1}{2}}ns+\beta _{0}\right)\right]\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}\left(\lambda _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right]\end{aligned}}} พจน์เลขชี้กำลังสุดท้ายจะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
λ 0 ( μ − μ 0 ) 2 + n ( x ¯ − μ ) 2 = λ 0 μ 2 − 2 λ 0 μ μ 0 + λ 0 μ 0 2 + n μ 2 − 2 n x ¯ μ + n x ¯ 2 = ( λ 0 + n ) μ 2 − 2 ( λ 0 μ 0 + n x ¯ ) μ + λ 0 μ 0 2 + n x ¯ 2 = ( λ 0 + n ) ( μ 2 − 2 λ 0 μ 0 + n x ¯ λ 0 + n μ ) + λ 0 μ 0 2 + n x ¯ 2 = ( λ 0 + n ) ( μ − λ 0 μ 0 + n x ¯ λ 0 + n ) 2 + λ 0 μ 0 2 + n x ¯ 2 − ( λ 0 μ 0 + n x ¯ ) 2 λ 0 + n = ( λ 0 + n ) ( μ − λ 0 μ 0 + n x ¯ λ 0 + n ) 2 + λ 0 n ( x ¯ − μ 0 ) 2 λ 0 + n {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}&=\lambda _{0}\mu ^{2}-2\lambda _{0}\mu \mu _{0}+\lambda _{0}\mu _{0}^{2}+n\mu ^{2}-2n{\bar {x}}\mu +n{\bar {x}}^{2}\\&=(\lambda _{0}+n)\mu ^{2}-2(\lambda _{0}\mu _{0}+n{\bar {x}})\mu +\lambda _{0}\mu _{0}^{2}+n{\bar {x}}^{2}\\&=(\lambda _{0}+n)(\mu ^{2}-2{\frac {\lambda _{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{\lambda _{0}+n}}\mu )+\lambda _{0}\mu _{0}^{2}+n{\bar {x}}^{2}\\&=(\lambda _{0}+n)\left(\mu -{\frac {\lambda _{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{\lambda _{0}+n}}\right)^{2}+\lambda _{0}\mu _{0}^{2}+n{\bar {x}}^{2}-{\frac {\left(\lambda _{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}\right)^{2}}{\lambda _{0}+n}}\\&=(\lambda _{0}+n)\left(\mu -{\frac {\lambda _{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{\lambda _{0}+n}}\right)^{2}+{\frac {\lambda _{0}n({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}}{\lambda _{0}+n}}\end{aligned}}} เมื่อนำค่านี้กลับไปแทนในนิพจน์ข้างต้น
P ( τ , μ ∣ X ) ∝ τ n 2 + α 0 − 1 2 exp [ − τ ( 1 2 n s + β 0 ) ] exp [ − τ 2 ( ( λ 0 + n ) ( μ − λ 0 μ 0 + n x ¯ λ 0 + n ) 2 + λ 0 n ( x ¯ − μ 0 ) 2 λ 0 + n ) ] ∝ τ n 2 + α 0 − 1 2 exp [ − τ ( 1 2 n s + β 0 + λ 0 n ( x ¯ − μ 0 ) 2 2 ( λ 0 + n ) ) ] exp [ − τ 2 ( λ 0 + n ) ( μ − λ 0 μ 0 + n x ¯ λ 0 + n ) 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} (\tau ,\mu \mid \mathbf {X} )&\propto \tau ^{{\frac {n}{2}}+\alpha _{0}-{\frac {1}{2}}}\exp \left[-\tau \left({\frac {1}{2}}ns+\beta _{0}\right)\right]\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}\left(\left(\lambda _{0}+n\right)\left(\mu -{\frac {\lambda _{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{\lambda _{0}+n}}\right)^{2}+{\frac {\lambda _{0}n({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}}{\lambda _{0}+n}}\right)\right]\\&\propto \tau ^{{\frac {n}{2}}+\alpha _{0}-{\frac {1}{2}}}\exp \left[-\tau \left({\frac {1}{2}}ns+\beta _{0}+{\frac {\lambda _{0}n({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}}{2(\lambda _{0}+n)}}\right)\right]\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}\left(\lambda _{0}+n\right)\left(\mu -{\frac {\lambda _{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{\lambda _{0}+n}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}} นิพจน์สุดท้ายนี้มีรูปแบบเหมือนกับการแจกแจงแบบปกติแกมมาทุกประการ กล่าวคือ
P ( τ , μ ∣ X ) = NormalGamma ( λ 0 μ 0 + n x ¯ λ 0 + n , λ 0 + n , α 0 + n 2 , β 0 + 1 2 ( n s + λ 0 n ( x ¯ − μ 0 ) 2 λ 0 + n ) ) {\displaystyle \mathbf {P} (\tau ,\mu \mid \mathbf {X} )={\text{NormalGamma}}\left({\frac {\lambda _{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{\lambda _{0}+n}},\lambda _{0}+n,\alpha _{0}+{\frac {n}{2}},\beta _{0}+{\frac {1}{2}}\left(ns+{\frac {\lambda _{0}n({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}}{\lambda _{0}+n}}\right)\right)}
การตีความพารามิเตอร์ การตีความพารามิเตอร์ในแง่ของการสังเกตเสมือนมีดังนี้:
ค่าเฉลี่ยใหม่จะคำนวณจากค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าเฉลี่ยเสมือนเดิมและค่าเฉลี่ยที่สังเกตได้ โดยถ่วงน้ำหนักด้วยจำนวนการสังเกต (เสมือน) ที่เกี่ยวข้อง ความแม่นยำถูกประเมินจากข้อมูลจำลอง (เช่น จำนวนข้อมูลจำลองอาจแตกต่างกัน เพื่อให้สามารถควบคุมความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยและความแม่นยำแยกกันได้) โดยใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่าง(เช่น ผลรวมของ กำลังสองของ ส่วนเบี่ยงเบน )2 α {\displaystyle 2\alpha } μ {\displaystyle \mu } β α {\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha }}} 2 β {\displaystyle 2\beta } การอัปเดตภายหลังจะปรับปรุงจำนวนการสังเกตเสมือน ( ) โดยการเพิ่มจำนวนการสังเกตใหม่ที่สอดคล้องกัน ( )λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}} n {\displaystyle n} ผลรวมกำลังสองของค่าเบี่ยงเบนชุดใหม่คำนวณได้จากการบวกผลรวมกำลังสองของค่าเบี่ยงเบนชุดก่อนหน้าเข้าด้วยกัน อย่างไรก็ตาม จำเป็นต้องมี "พจน์ปฏิสัมพันธ์" ตัวที่สาม เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนกำลังสองทั้งสองชุดคำนวณโดยใช้ค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกัน ดังนั้นผลรวมของทั้งสองชุดจึงประเมินค่าเบี่ยงเบนกำลังสองทั้งหมดต่ำกว่าความเป็นจริง ดังนั้น หากเรามีค่าเฉลี่ยก่อนหน้าจากตัวอย่าง และความแม่นยำก่อนหน้าจากตัวอย่าง การแจกแจงก่อนหน้าเหนือและคือ μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} n μ {\displaystyle n_{\mu }} τ 0 {\displaystyle \tau _{0}} n τ {\displaystyle n_{\tau }} μ {\displaystyle \mu } τ {\displaystyle \tau }
P ( τ , μ ∣ X ) = NormalGamma ( μ 0 , n μ , n τ 2 , n τ 2 τ 0 ) {\displaystyle \mathbf {P} (\tau ,\mu \mid \mathbf {X} )=\operatorname {NormalGamma} \left(\mu _{0},n_{\mu },{\frac {n_{\tau }}{2}},{\frac {n_{\tau }}{2\tau _{0}}}\right)} และหลังจากสังเกตตัวอย่างที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนแล้วความน่าจะเป็นภายหลังคือ n {\displaystyle n} μ {\displaystyle \mu } s {\displaystyle s}
P ( τ , μ ∣ X ) = NormalGamma ( n μ μ 0 + n μ n μ + n , n μ + n , 1 2 ( n τ + n ) , 1 2 ( n τ τ 0 + n s + n μ n ( μ − μ 0 ) 2 n μ + n ) ) {\displaystyle \mathbf {P} (\tau ,\mu \mid \mathbf {X} )={\text{NormalGamma}}\left({\frac {n_{\mu }\mu _{0}+n\mu }{n_{\mu }+n}},n_{\mu }+n,{\frac {1}{2}}(n_{\tau }+n),{\frac {1}{2}}\left({\frac {n_{\tau }}{\tau _{0}}}+ns+{\frac {n_{\mu }n(\mu -\mu _{0})^{2}}{n_{\mu }+n}}\right)\right)} โปรดทราบว่าในบางภาษาโปรแกรม เช่นMatlab การแจกแจงแกมมาจะถูกนำไปใช้โดยใช้การนิยามแบบผกผันของดังนั้นอาร์กิวเมนต์ที่สี่ของการแจกแจงปกติ-แกมมาจึงเป็น β {\displaystyle \beta } 2 τ 0 / n τ {\displaystyle 2\tau _{0}/n_{\tau }}
การสร้างตัวแปรสุ่มแบบนอร์มัล-แกมมา การสร้างตัวแปรสุ่มนั้นทำได้ง่าย:
ตัวอย่างจาก1การแจกแจงแกมมาที่มีพารามิเตอร์และτ {\displaystyle \tau } α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } ตัวอย่างจากการกระจายแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนx {\displaystyle x} μ {\displaystyle \mu } 1 / ( λ τ ) {\displaystyle 1/(\lambda \tau )}
หมายเหตุ ^ a b Bernardo & Smith 1993 , หน้า 434^ Bernardo & Smith 1993 , หน้า 136, 268, 434^ Wasserman, Larry (2004). "การอนุมานเชิงพารามิเตอร์". Springer Texts in Statistics . นิวยอร์ก, NY: Springer New York. หน้า 119–148 . doi : 10.1007/978-0-387-21736-9_9 . ISBN 978-1-4419-2322-6 . ^ "ทฤษฎีบทของเบย์ส: บทนำ" . www.trinity.edu . เก็บถาวร จากต้นฉบับเมื่อ 2014-08-07 . เรียกดูเมื่อ 2014-08-05 . 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (T)&={\frac {\alpha }{\beta }},\\[5pt]\operatorname {E} (TX)&=\mu {\frac {\alpha }{\beta }},\\[5pt]\operatorname {E} (TX^{2})&={\frac {1}{\lambda }}+\mu ^{2}{\frac {\alpha }{\beta }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef647cdd696ae61d9c036810faeef8cb088c096)
![{\displaystyle \pi (\mu ,\tau )\propto \tau ^{\alpha _{0}-{\frac {1}{2}}}\,\exp[-\beta _{0}\tau ]\,\exp \left[-{\frac {\lambda _{0}\tau (\mu -\mu _{0})^{2}}{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb41e025bfbe7ea2f4087b48af2f9fb48b9c172)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} (\mathbf {X} \mid \tau ,\mu )&\propto \prod _{i=1}^{n}\tau ^{1/2}\exp \left[{\frac {-\tau }{2}}(x_{i}-\mu )^{2}\right]\\[5pt]&\propto \tau ^{n/2}\exp \left[{\frac {-\tau }{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right]\\[5pt]&\propto \tau ^{n/2}\exp \left[{\frac {-\tau }{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\บาร์ {x}}+{\บาร์ {x}}-\mu )^{2}\right]\\[5pt]&\propto \tau ^{n/2}\exp \left[{\frac {-\tau }{2}}\sum _{i=1}^{n}\left((x_{i}-{\bar {x}})^{2}+({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right]\\[5pt]&\propto \tau ^{n/2}\exp \left[{\frac {-\tau }{2}}\left(ns+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af15facc697809f43f699f3db0ff784f59dea45)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} (\tau ,\mu \mid \mathbf {X} )&\propto \mathbf {L} (\mathbf {X} \mid \tau ,\mu )\pi (\tau ,\mu )\\&\propto \tau ^{n/2}\exp \left[{\frac {-\tau }{2}}\left(ns+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right]\tau ^{\alpha _{0}-{\frac {1}{2}}}\,\exp[{-\beta _{0}\tau }]\,\exp \left[-{\frac {\lambda _{0}\tau (\mu -\mu _{0})^{2}}{2}}\right]\\&\propto \tau ^{{\frac {n}{2}}+\alpha _{0}-{\frac {1}{2}}}\exp \left[-\tau \left({\frac {1}{2}}ns+\beta _{0}\right)\right]\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}\left(\lambda _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de9c451b7469721ab4ef04a1df37564f2a9ad70b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} (\tau ,\mu \mid \mathbf {X} )&\propto \tau ^{{\frac {n}{2}}+\alpha _{0}-{\frac {1}{2}}}\exp \left[-\tau \left({\frac {1}{2}}ns+\beta _{0}\right)\right]\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}\left(\left(\lambda _{0}+n\right)\left(\mu -{\frac {\lambda _{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{\lambda _{0}+n}}\right)^{2}+{\frac {\lambda _{0}n({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}}{\lambda _{0}+n}}\right)\right]\\&\propto \tau ^{{\frac {n}{2}}+\alpha _{0}-{\frac {1}{2}}}\exp \left[-\tau \left({\frac {1}{2}}ns+\beta _{0}+{\frac {\lambda _{0}n({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}}{2(\lambda _{0}+n)}}\right)\right]\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}\left(\lambda _{0}+n\right)\left(\mu -{\frac {\lambda _{0}\mu _{0}+n{\bar {x}}}{\lambda _{0}+n}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3f6e839a36bd0b1ccaf4ed857d7389eb834b50)
