ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น กฎของเหตุการณ์หายากหรือทฤษฎีบทขีดจำกัดของปัวซงระบุว่าการแจกแจงปัวซงสามารถใช้เป็นการประมาณค่าของการแจกแจงทวินามได้ภายใต้เงื่อนไขบางประการ^{[ 1 ]}ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามซีเมออน เดนิส ปัวซง (1781–1840) การวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทนี้คือ  ทฤษฎีบท ของเลอแคม

ให้เป็นลำดับของจำนวนจริงในโดยที่ลำดับนั้นลู่เข้าสู่ค่าจำกัดแล้ว: ${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle np_{n}}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{nk}=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$

สมมติ(กรณีนี้ง่ายกว่า) แล้ว ${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle \lambda =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{nk}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}\left({\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{nk}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}+O\left(n^{k-1}\right)}{k!}}{\frac {\lambda ^{k}}{n^{k}}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}.\end{aligned}}}$

เนื่องจาก

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}=e^{-\lambda }}$

เหลือสิ่งนี้

${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.}$

เมื่อใช้การประมาณของสเตอร์ลิงสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&={\frac {n!}{(nk)!k!}}p^{k}(1-p)^{nk}\\&\simeq {\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{{\sqrt {2\pi \left(nk\right)}}\left({\frac {nk}{e}}\right)^{nk}k!}}p^{k}(1-p)^{nk}\\&={\sqrt {\frac {n}{nk}}}{\frac {n^{n}e^{-k}}{\left(nk\right)^{nk}k!}}p^{k}(1-p)^{nk}.\end{aligned}}}$

ให้เช่าและ: ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle np=\lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&\simeq {\frac {n^{n}\,p^{k}(1-p)^{nk}e^{-k}}{\left(nk\right)^{nk}k!}}\\&={\frac {n^{n}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{nk}e^{-k}}{n^{nk}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{nk}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{nk}e^{-k}}{\left(1-{\frac \begin{aligned}}} \left({\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n}k!}}.\end{aligned}}}$

ดังนั้น:​ ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}\to e^{-x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }e^{-k}}{e^{-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\end{aligned}}}$

นอกจากนี้ ยังสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้โดยใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไปของการแจกแจงทวินาม:

${\displaystyle G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)\equiv \sum _{k=0}^{N}\left[{\binom {N}{k}}p^{k}(1-p)^{Nk}\right]x^{k}={\Big [}1+(x-1)p{\Big ]}^{N}}$

โดยอาศัยทฤษฎีบททวินามเมื่อหาลิมิต โดยคงผลคูณ ให้คงที่ จะเห็นได้ว่า: ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$${\displaystyle pN\equiv \lambda }$

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)=\lim _{N\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {\lambda (x-1)}{N}}\right]^{N}=\mathrm {e} ^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]x^{k}}$

ซึ่งก็คือ OGF สำหรับการแจกแจงปัวซง (ความเท่าเทียมกันข้อที่สองเป็นจริงเนื่องจากนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง )

• ทฤษฎีบทเดอ มัวร์-ลาปลาซ
• ทฤษฎีบทของเลอแคม