ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function)คือการแสดงลำดับอนันต์ของจำนวนในรูปสัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำลังเชิงรูป ฟังก์ชันก่อกำเนิดมักแสดงในรูปปิด (แทนที่จะเป็นอนุกรม) โดยใช้การแสดงออกบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการกับอนุกรมเชิงรูปนั้น

ฟังก์ชันก่อกำเนิดมีหลายประเภท ได้แก่ฟังก์ชันก่อกำเนิดธรรมดาฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลัง อนุกรม แลมเบิร์ตอนุกรมเบลล์และอนุกรมดิริชเลต์โดยหลักการแล้ว ลำดับทุกลำดับจะมีฟังก์ชันก่อกำเนิดแต่ละประเภท (ยกเว้นอนุกรมแลมเบิร์ตและดิริชเลต์ที่ต้องใช้ดัชนีเริ่มต้นที่ 1 แทนที่จะเป็น 0) แต่ความง่ายในการใช้งานอาจแตกต่างกันอย่างมาก ฟังก์ชันก่อกำเนิดเฉพาะที่เหมาะสมที่สุดในบริบทที่กำหนดจะขึ้นอยู่กับลักษณะของลำดับและรายละเอียดของปัญหาที่กำลังแก้ไข

ฟังก์ชันก่อกำเนิดบางครั้งเรียกว่าอนุกรมก่อกำเนิด^{[ 1 ]}เนื่องจากอนุกรมของเทอมสามารถกล่าวได้ว่าเป็นตัวก่อกำเนิดของลำดับสัมประสิทธิ์เทอม

ฟังก์ชันก่อกำเนิดได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยAbraham de Moivreในปี 1730 เพื่อแก้ปัญหาความสัมพันธ์เชิงเส้นทั่วไป^{[ 2 ]}

จอร์จ โพลยาเขียนไว้ในหนังสือคณิตศาสตร์และการให้เหตุผลที่น่าเชื่อถือว่า :

ชื่อ "ฟังก์ชันก่อกำเนิด" มาจากลาปลาซ แต่ถึงแม้จะไม่ได้ตั้งชื่อให้ แต่ออยเลอร์ก็ใช้เครื่องมือของฟังก์ชันก่อกำเนิดมานานก่อนลาปลาซแล้ว [..] เขานำเครื่องมือทางคณิตศาสตร์นี้ไปประยุกต์ใช้กับปัญหาหลายอย่างในการวิเคราะห์เชิงการจัดเรียงและทฤษฎีจำนวน

อุปกรณ์สร้างพลังงานนั้นมีลักษณะคล้ายกระเป๋า แทนที่จะถือสิ่งของเล็กๆ หลายอย่างแยกกัน ซึ่งอาจทำให้รู้สึกเขินอาย เราก็ใส่สิ่งของเหล่านั้นทั้งหมดลงในกระเป๋า แล้วเราก็จะมีสิ่งของเพียงชิ้นเดียวที่ต้องถือ นั่นก็คือกระเป๋า

ฟังก์ชันก่อกำเนิดเปรียบเสมือนราวตากผ้าที่เราใช้แขวนลำดับตัวเลขเพื่อแสดงผล

แตกต่างจากอนุกรมทั่วไปอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม ไม่จำเป็นต้องลู่เข้า : ในความเป็นจริง ฟังก์ชันก่อกำเนิดไม่ได้ถูกมองว่าเป็นฟังก์ชันและ "ตัวแปร" ยังคงเป็นค่าที่ไม่แน่นอนเราสามารถขยายไปสู่อนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมในค่าที่ไม่แน่นอนมากกว่าหนึ่งค่า เพื่อเข้ารหัสข้อมูลเกี่ยวกับอาร์เรย์หลายมิติอนันต์ของตัวเลข ดังนั้น ฟังก์ชันก่อกำเนิดจึงไม่ใช่ฟังก์ชันในความหมายเชิงรูปธรรมของการแมปจากโดเมนไปยังโค โดเมน

นิพจน์เหล่านี้ในรูปของตัวแปร  x ที่ไม่ทราบค่า อาจเกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การหาอนุพันธ์เทียบกับ  xและการประกอบ (เช่น การแทนค่าลงใน) ฟังก์ชันก่อกำเนิดอื่นๆ เนื่องจากการดำเนินการเหล่านี้ถูกกำหนดไว้สำหรับฟังก์ชันด้วย ผลลัพธ์จึงดูเหมือนฟังก์ชันของ  xอันที่จริง นิพจน์ในรูปแบบปิดมักตีความได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่สามารถประเมินค่าได้ที่ค่าx ที่เฉพาะเจาะจง (เล็กพอ) และมีอนุกรมเชิงรูปเป็นอนุกรมขยาย นี่คือเหตุผลที่เรียกว่า "ฟังก์ชันก่อกำเนิด" อย่างไรก็ตาม การตีความเช่นนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นไปได้เสมอ ไป เพราะอนุกรมเชิงรูปไม่จำเป็นต้องให้ผลลัพธ์เป็นอนุกรมลู่เข้าเมื่อแทนค่าตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์ลงใน  x

ไม่ใช่ว่านิพจน์ทั้งหมดที่มีความหมายในฐานะฟังก์ชันของ  xจะมีความหมายในฐานะนิพจน์ที่แสดงถึงอนุกรมเชิงรูปธรรม ตัวอย่างเช่น กำลังลบและกำลังเศษส่วนของ  xเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันที่ไม่มีอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมที่สอดคล้องกัน

เมื่อใช้คำว่าฟังก์ชันก่อกำเนิดโดยไม่มีคำขยายความ มักจะหมายถึงฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไปฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไปของลำดับa _nคือ: ถ้าa _nคือฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไปของมันจะเรียกว่าฟังก์ชันก่อกำเนิดความน่าจะเป็น $${\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังของลำดับa _nคือ $${\displaystyle \operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันสร้างเลขชี้กำลังจะสะดวกกว่าฟังก์ชันสร้างทั่วไปสำหรับ ปัญหา การแจงนับเชิงคอมบินาทอริกที่เกี่ยวข้องกับวัตถุที่มีป้ายกำกับ^{[ 3 ]}

ประโยชน์อีกประการหนึ่งของฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังคือ มีประโยชน์ในการแปลงความสัมพันธ์เวียนเกิด เชิงเส้น ไปสู่ขอบเขตของสมการเชิงอนุพันธ์ตัวอย่างเช่น พิจารณาลำดับฟิโบนาชชี{ f _n }ที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นf _{n +2} = f _{n +1} + f _nฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังที่สอดคล้องกันจะมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle \operatorname {EF} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}x^{n}}$$

และอนุพันธ์ของมันสามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่าสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์EF″( x ) = EF ′ ( x ) + EF( x )ในลักษณะเดียวกันกับความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น ในมุมมองนี้ พจน์แฟกทอเรียลn !เป็นเพียงพจน์แก้ไขเพื่อทำให้ตัวดำเนินการอนุพันธ์ที่กระทำกับx n ^{เป็น ค่าปกติ}

ฟังก์ชันก่อกำเนิดปัวซงของลำดับa _nคือ $${\displaystyle \operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x).}$$

อนุกรมแลมเบิร์ตของลำดับa _nคือ โปรดสังเกตว่าในอนุกรมแลมเบิร์ต ดัชนีnเริ่มต้นที่ 1 ไม่ใช่ที่ 0 เพราะมิฉะนั้นพจน์แรกจะไม่มีนิยาม $${\displaystyle \operatorname {LG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}.}$$

สัมประสิทธิ์อนุกรมแลมเบิร์ตในการขยายอนุกรมกำลัง สำหรับจำนวนเต็มn ≥ 1เกี่ยวข้องกับผลรวมตัวหารบทความหลักมีตัวอย่างคลาสสิกหรืออย่างน้อยก็เป็นที่รู้จักกันดีหลายตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเลขคณิต พิเศษ ในทฤษฎีจำนวนตัวอย่างของเอกลักษณ์อนุกรมแลมเบิร์ตที่ไม่ได้ระบุไว้ในบทความหลัก เราสามารถแสดงได้ว่าสำหรับ| x |, | xq | < 1เรามีว่า^{[ 4 ]}$${\displaystyle b_{n}:=[x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)}$$$${\displaystyle b_{n}=\sum _{d|n}a_{d}.}$$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n^{2}}}{1-qx^{n}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n(n+1)}}{1-x^{n}}},}$$

โดยที่เรามีเอกลักษณ์กรณีพิเศษสำหรับฟังก์ชันก่อกำเนิดของฟังก์ชันตัวหาร d ( n ) ≡ σ ₀ ( n )ซึ่งกำหนดโดย$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n^{2}}\left(1+x^{n}\right)}{1-x^{n}}}.}$$

อนุกรมเบลล์ของลำดับa _nเป็นนิพจน์ในรูปของตัวแปรxและจำนวนเฉพาะpและกำหนดโดย: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \operatorname {BG} _{p}(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{p^{n}}x^{n}.}$$

อนุกรม Dirichlet อย่างเป็นทางการมักถูกจัดประเภทเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด แม้ว่าจะไม่ใช่อนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการอย่างเคร่งครัดก็ตามฟังก์ชันก่อกำเนิดอนุกรม Dirichletของลำดับa _nคือ: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$$

ฟังก์ชันสร้างอนุกรม Dirichlet มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อnเป็นฟังก์ชันการคูณซึ่งในกรณีนี้จะมีนิพจน์ผลคูณออยเลอร์_[ ^{7 ] ใน}รูปของอนุกรมเบลล์ของฟังก์ชัน: $${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)=\prod _{p}\operatorname {BG} _{p}(a_{n};p^{-s})\,.}$$

ถ้าnเป็นอักขระ Dirichlet แล้วฟังก์ชัน _{สร้าง}อนุกรม Dirichlet ของมันเรียกว่าอนุกรมDirichlet Lเรายังมีความสัมพันธ์ระหว่างคู่สัมประสิทธิ์ใน การขยาย อนุกรม Lambertข้างต้นกับ DGF ของพวกมัน กล่าวคือ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า: ก็ต่อเมื่อ โดย ที่ζ ( s )คือ ฟังก์ชันซีตา ^ของ Riemann [ ^{8 ]}$${\displaystyle [x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)=b_{n}}$$$${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)\zeta (s)=\operatorname {DG} (b_{n};s),}$$

ลำดับa _kที่สร้างขึ้นโดย ฟังก์ชันก่อกำเนิด อนุกรม Dirichlet (DGF) ที่สอดคล้องกับ: มีฟังก์ชันก่อกำเนิดปกติ:$${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{k};s)=\zeta (s)^{m}}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{k=n}a_{k}x^{k}=x+{\binom {m}{1}}\sum _{2\leq a\leq n}x^{a}+{\binom {m}{2}}{\underset {ab\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }}}x^{ab}+{\binom {m}{3}}{\underset {abc\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }}}x^{abc}+{\binom {m}{4}}{\underset {abcd\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }}}x^{abcd}+\cdots }$$

แนวคิดเรื่องฟังก์ชันก่อกำเนิดสามารถขยายไปใช้กับลำดับของวัตถุอื่นๆ ได้ ตัวอย่างเช่น ลำดับพหุนามแบบทวินามถูกสร้างขึ้นโดย: โดยที่p _n ( x )คือลำดับของพหุนาม และf ( t )คือฟังก์ชันในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งลำดับ Shefferก็ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน ดูบทความหลักเรื่องพหุนาม Appell แบบทั่วไปสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม $${\displaystyle e^{xf(t)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}}$$

ตัวอย่างของลำดับพหุนามที่สร้างขึ้นโดยฟังก์ชันก่อกำเนิดที่ซับซ้อนกว่า ได้แก่:

• พหุนามแอปเปลล์
• พหุนามเชบิเชฟ
• พหุนามผลต่าง
• พหุนามแอปเปลล์ทั่วไป
• พหุนามผลต่างq

ลำดับอื่นๆ ที่สร้างขึ้นโดยฟังก์ชันกำเนิดที่ซับซ้อนกว่า ได้แก่:

• ฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังคู่
• ผลคูณฮาดามาร์ดของฟังก์ชันก่อกำเนิดและฟังก์ชันก่อกำเนิดแนวทแยง และการแปลงเชิงอินทิกรัล ที่สอดคล้องกัน

บทความของ Knuth ที่มีชื่อว่า " พหุนามคอนโวลูชัน " ^{[ 9 ]}กำหนดคลาสทั่วไปของ ลำดับ พหุนามคอนโวลูชันโดยฟังก์ชันสร้างพิเศษของรูปแบบ สำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์F บางตัว ที่มีการขยายอนุกรมกำลังเช่นF (0) = 1 $${\displaystyle F(z)^{x}=\exp {\bigl (}x\log F(z){\bigr )}=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)z^{n},}$$

เรากล่าวว่าตระกูลของพหุนามf ₀ , f ₁ , f ₂ , ...ก่อให้เกิดตระกูลการสังเคราะห์ (convolution family)ถ้าdeg f _n ≤ nและถ้าเงื่อนไขการสังเคราะห์ต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุกx , yและสำหรับทุกn ≥ 0 : $${\displaystyle f_{n}(x+y)=f_{n}(x)f_{0}(y)+f_{n-1}(x)f_{1}(y)+\cdots +f_{1}(x)f_{n-1}(y)+f_{0}(x)f_{n}(y).}$$

เราพบว่าสำหรับตระกูลคอนโวลูชันที่ไม่เหมือนกันและมีค่าเป็นศูนย์ นิยามนี้เทียบเท่ากับการกำหนดให้ลำดับมีฟังก์ชันก่อกำเนิดแบบธรรมดาในรูปแบบแรกที่ระบุไว้ข้างต้น

ลำดับของพหุนามคอนโวลูชันที่กำหนดไว้ในสัญลักษณ์ข้างต้นมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ลำดับn ! · f _n ( x )เป็นลำดับแบบทวินาม
• ค่าพิเศษของลำดับประกอบด้วยf _n (1) = [ z ⁿ ] F ( z )และf _n (0) = δ _{n ,0} , และ
• สำหรับค่า ใดๆ (คงที่) พหุนามเหล่านี้จะสอดคล้องกับสูตรการสังเคราะห์ในรูปแบบ${\displaystyle x,y,t\in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)f_{n-k}(y)\\f_{n}(2x)&=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)f_{n-k}(x)\\xnf_{n}(x+y)&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}kf_{k}(x)f_{n-k}(y)\\{\frac {(x+y)f_{n}(x+y+tn)}{x+y+tn}}&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {xf_{k}(x+tk)}{x+tk}}{\frac {yf_{n-k}(y+t(n-k))}{y+t(n-k)}}.\end{aligned}}}$$

สำหรับพารามิเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ที่กำหนดไว้เราได้ปรับเปลี่ยนฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับพหุนามคอนโวลูชันเหล่านี้ โดยกำหนดโดย ที่𝓕 _t ( z )ถูกกำหนดโดยปริยายด้วยสมการเชิงฟังก์ชันในรูปแบบ𝓕 _t ( z ) = F ( x 𝓕 _t ( z ) ^t )ยิ่งไปกว่านั้น เราสามารถใช้วิธีเมทริกซ์ (ดังในเอกสารอ้างอิง) เพื่อพิสูจน์ว่า เมื่อกำหนดลำดับพหุนามคอนโวลูชันสองลำดับ⟨ f _n ( x ) ⟩และ⟨ g _n ( x ) ⟩พร้อมด้วยฟังก์ชันก่อกำเนิดที่สอดคล้องกันF ( z ) ^xและG ( z ) ^xแล้ว สำหรับt ใดๆ เราจะได้เอกลักษณ์ ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$$${\displaystyle {\frac {zF_{n}(x+tn)}{(x+tn)}}=\left[z^{n}\right]{\mathcal {F}}_{t}(z)^{x},}$$$${\displaystyle \left[z^{n}\right]\left(G(z)F\left(zG(z)^{t}\right)\right)^{x}=\sum _{k=0}^{n}F_{k}(x)G_{n-k}(x+tk).}$$

ตัวอย่าง ของลำดับพหุนามคอนโวลูชัน ได้แก่อนุกรมกำลังทวินาม𝓑 _t ( z ) = 1 + z 𝓑 _t ( z ) ^tพหุนามต้นไม้ที่เรียกว่าพหุนามเบลล์ B ( n )พหุนามลากูร์และพหุนามคอนโวลูชันสเตอร์ลิง

พหุนามเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไป ซึ่งสอดคล้องกับลำดับจำกัด หรือเทียบเท่ากับลำดับที่หายไปหลังจากจุดหนึ่ง พหุนามมีความสำคัญตรงที่ลำดับจำกัดจำนวนมากสามารถตีความได้อย่างมีประโยชน์ว่าเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด เช่นพหุนามปวงกาเรและพหุนามอื่นๆ

ฟังก์ชันก่อกำเนิดพื้นฐานคือฟังก์ชันของลำดับคงที่1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...ซึ่งฟังก์ชันก่อกำเนิดปกติคืออนุกรมเรขาคณิต$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}.}$$

ด้านซ้ายมือคือ การกระจาย อนุกรมแมคลาลินของด้านขวามือ หรืออีกทางหนึ่ง ความเท่าเทียมกันสามารถพิสูจน์ได้โดยการคูณอนุกรมกำลังทางด้านซ้ายด้วย1 − xแล้วตรวจสอบว่าผลลัพธ์คืออนุกรมกำลังคงที่ 1 (กล่าวคือ สัมประสิทธิ์ทั้งหมด ยกเว้นสัมประสิทธิ์ของx ⁰มีค่าเท่ากับ 0) ยิ่งไปกว่านั้น ไม่มีอนุกรมกำลังอื่นใดที่มีคุณสมบัตินี้ ดังนั้น ด้านซ้ายมือจึงแสดงถึงตัวผกผันการคูณของ1 − xในวงแหวนของอนุกรมกำลัง

สามารถหาฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไปของลำดับอื่นๆ ได้ง่ายๆ จากฟังก์ชันนี้ ตัวอย่างเช่น การแทนที่x → axจะให้ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับเรขาคณิต1, a , a ² , a ³ , ...สำหรับค่าคงที่a ใดๆ : $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(ax)^{n}={\frac {1}{1-ax}}.}$$

(ความเท่าเทียมกันนี้ยังเป็นผลโดยตรงจากข้อเท็จจริงที่ว่าฝั่งซ้ายมือคือการขยายอนุกรมแมคลาลินของฝั่งขวามือ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}={\frac {1}{1+x}}.}$$

นอกจากนี้ยังสามารถสร้างช่องว่างปกติในลำดับได้โดยการแทนที่xด้วยกำลังของxตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับ1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... (ซึ่งข้ามx , x ³ , x ⁵ , ... ) จะได้ฟังก์ชันก่อกำเนิด $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{2n}={\frac {1}{1-x^{2}}}.}$$

โดยการยกกำลังสองฟังก์ชันก่อกำเนิดเริ่มต้น หรือโดยการหาอนุพันธ์ของทั้งสองข้างเทียบกับxและเปลี่ยนตัวแปรวิ่งn → n + 1จะเห็นว่าสัมประสิทธิ์เรียงตามลำดับ1, 2, 3, 4, 5, ...ดังนั้นจึงได้ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{2}}},}$$

และกำลังที่สามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนสามเหลี่ยม1, 3, 6, 10, 15, 21, ...โดยที่พจน์nคือสัมประสิทธิ์ทวินาม(^{n + 2} ₂)ดังนั้น $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+2}{2}}x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{3}}}.}$$

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบk ใดๆ และค่าจริงที่ไม่เป็นศูนย์a ใดๆ จะเป็นจริงว่า $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a^{n}{\binom {n+k}{k}}x^{n}={\frac {1}{(1-ax)^{k+1}}}\,.}$$

เนื่องจาก $${\displaystyle 2{\binom {n+2}{2}}-3{\binom {n+1}{1}}+{\binom {n}{0}}=2{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}-3(n+1)+1=n^{2},}$$

เราสามารถหาฟังก์ชันก่อกำเนิดแบบธรรมดาสำหรับลำดับ0, 1, 4, 9, 16, ...ของจำนวนกำลังสองได้โดยใช้การรวมเชิงเส้นของลำดับก่อกำเนิดสัมประสิทธิ์ทวินาม: $${\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}-{\frac {3}{(1-x)^{2}}}+{\frac {1}{1-x}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.}$$

เราอาจขยายอนุกรมกำลังสองชุดเดียวกันนี้ออกไปอีกทางหนึ่งได้ โดยสร้างเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของอนุกรมเรขาคณิตในรูปแบบต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}G(n^{2};x)&=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}\\[4px]&=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n}\\[4px]&=x^{2}D^{2}\left[{\frac {1}{1-x}}\right]+xD\left[{\frac {1}{1-x}}\right]\\[4px]&={\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}+{\frac {x}{(1-x)^{2}}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.\end{aligned}}}$$

โดยการอุปนัย เราสามารถแสดงได้ในทำนองเดียวกันสำหรับจำนวนเต็มบวกm ≥ 1ว่า^{[ 10 ] [ 11 ]}$${\displaystyle n^{m}=\sum _{j=0}^{m}{\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}}{\frac {n!}{(n-j)!}},}$$

ที่ไหน{^เอ็น_เค}แทนเลขสเตอร์ลิงชนิดที่สองและโดยที่ฟังก์ชันก่อกำเนิด $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{(n-j)!}}\,z^{n}={\frac {j!\cdot z^{j}}{(1-z)^{j+1}}},}$$

เพื่อให้เราสามารถสร้างฟังก์ชันก่อกำเนิดที่คล้ายคลึงกันเหนือเลข ยกกำลัง mของจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นการขยายผลลัพธ์ในกรณีกำลังสองข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากเราสามารถเขียนได้ว่า $${\displaystyle {\frac {z^{k}}{(1-z)^{k+1}}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\frac {(-1)^{k-i}}{(1-z)^{i+1}}},}$$

เราสามารถใช้เอกลักษณ์ผลรวมจำกัดที่รู้จักกันดีซึ่งเกี่ยวข้องกับจำนวนสเตอร์ลิงเพื่อให้ได้ว่า^{[ 12 ]}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n^{m}z^{n}=\sum _{j=0}^{m}{\begin{Bmatrix}m+1\\j+1\end{Bmatrix}}{\frac {(-1)^{m-j}j!}{(1-z)^{j+1}}}.}$$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไปของลำดับสามารถแสดงได้ในรูปฟังก์ชันตรรกยะ (อัตราส่วนของพหุนามดีกรีจำกัดสองตัว) ก็ต่อเมื่อลำดับนั้นเป็นลำดับเวียนเกิดเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ ซึ่งเป็นการขยายตัวอย่างข้างต้น ในทางกลับกัน ทุกลำดับที่สร้างขึ้นจากเศษส่วนของพหุนามจะสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ สัมประสิทธิ์เหล่านี้เหมือนกับสัมประสิทธิ์ของพหุนามส่วนที่เป็นเศษส่วน (ดังนั้นจึงสามารถอ่านได้โดยตรง) ข้อสังเกตนี้แสดงให้เห็นว่าการหาฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับที่กำหนดโดยสมการผลต่างจำกัด เชิงเส้น ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่นั้นทำได้ง่าย และด้วยเหตุนี้จึงสามารถหาได้สูตรสำเร็จรูปที่ชัดเจนสำหรับสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันก่อกำเนิดเหล่านี้ ตัวอย่างต้นแบบในที่นี้คือการหาที่มาของสูตรของบิเนต์สำหรับจำนวนฟิโบนาชชีโดยใช้เทคนิคฟังก์ชันก่อกำเนิด

นอกจากนี้ เรายังสังเกตเห็นว่าคลาสของฟังก์ชันก่อกำเนิดเชิงตรรกะสอดคล้องกับฟังก์ชันก่อกำเนิดที่แจงนับ ลำดับ กึ่งพหุนามในรูปแบบ^{[ 13 ]}$${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}$$

โดยที่รากผกผัน , , เป็นสเกลาร์คงที่ และโดยที่p i ₍ n )เป็นพหุนามในnสำหรับทุก1 ≤ i ≤ ℓ${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }$

โดยทั่วไปผลคูณแบบฮาดามาร์ดของฟังก์ชันตรรกยะจะสร้างฟังก์ชันก่อกำเนิดตรรกยะ ในทำนองเดียวกัน ถ้า $${\displaystyle F(s,t):=\sum _{m,n\geq 0}f(m,n)w^{m}z^{n}}$$

ถ้าเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดเชิงตรรกะสองตัวแปรแล้วฟังก์ชันก่อกำเนิดแนวทแยง ที่สอดคล้องกัน ก็ คือ$${\displaystyle \operatorname {diag} (F):=\sum _{n=0}^{\infty }f(n,n)z^{n},}$$

เป็นพีชคณิตตัวอย่างเช่น ถ้าเราให้^{[ 14 ]}$${\displaystyle F(s,t):=\sum _{i,j\geq 0}{\binom {i+j}{i}}s^{i}t^{j}={\frac {1}{1-s-t}},}$$

จากนั้นสัมประสิทธิ์แนวทแยงของฟังก์ชันก่อกำเนิดนี้จะถูกกำหนดโดยสูตร OGF ที่เป็นที่รู้จักกันดี $${\displaystyle \operatorname {diag} (F)=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}z^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}}.}$$

ผลลัพธ์นี้สามารถคำนวณได้หลายวิธี รวมถึงสูตรอินทิกรัลของโคชีหรืออินทิกรัลตามเส้นโค้ง การใช้ เศษเหลือเชิงซ้อนหรือโดยการจัดการโดยตรงของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมในสองตัวแปร

การคูณฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไปจะให้ผลลัพธ์เป็นการสังเคราะห์แบบ ไม่ต่อเนื่อง ( ผลคูณโคชี ) ของลำดับ ตัวอย่างเช่น ลำดับของผลรวมสะสม (เปรียบเทียบกับสูตรออยเลอร์-แมคลาลิน ที่ทั่วไปกว่าเล็กน้อย ) ของลำดับที่มีฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไปG ( an ; x ) _จะมีฟังก์ชันก่อกำเนิด เนื่องจาก⁠$${\displaystyle (a_{0},a_{0}+a_{1},a_{0}+a_{1}+a_{2},\ldots )}$$$${\displaystyle G(a_{n};x)\cdot {\frac {1}{1-x}}}$$1/1 − x⁠คือฟังก์ชันก่อกำเนิดปกติสำหรับลำดับ (1, 1, ...)ดูเพิ่มเติมในส่วนเกี่ยวกับการสังเคราะห์ในส่วนการประยุกต์ใช้งานของบทความนี้ด้านล่างสำหรับตัวอย่างเพิ่มเติมของการแก้ปัญหาด้วยการสังเคราะห์ฟังก์ชันก่อกำเนิดและการตีความ

สำหรับจำนวนเต็มm ≥ 1เรามีเอกลักษณ์ที่คล้ายคลึงกันสองประการต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันก่อกำเนิดที่แก้ไขแล้วซึ่งแจงนับตัวแปรลำดับที่เลื่อนของ⟨ g _{n − m} ⟩และ⟨ g _{n + m} ⟩ตามลำดับ: $${\displaystyle {\begin{aligned}&z^{m}G(z)=\sum _{n=m}^{\infty }g_{n-m}z^{n}\\[4px]&{\frac {G(z)-g_{0}-g_{1}z-\cdots -g_{m-1}z^{m-1}}{z^{m}}}=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n+m}z^{n}.\end{aligned}}}$$

เรามีการกระจายอนุกรมกำลังต่อไปนี้สำหรับอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันก่อกำเนิดและปริพันธ์ของฟังก์ชันนั้น: $${\displaystyle {\begin{aligned}G'(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)g_{n+1}z^{n}\\[4px]z\cdot G'(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }ng_{n}z^{n}\\[4px]\int _{0}^{z}G(t)\,dt&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g_{n-1}}{n}}z^{n}.\end{aligned}}}$$

การดำเนินการหาอนุพันธ์-คูณของเอกลักษณ์ที่สองสามารถทำซ้ำได้kครั้งเพื่อคูณลำดับด้วยn ^kแต่ต้องสลับระหว่างการหาอนุพันธ์และการคูณ หากทำการหา อนุพันธ์ kครั้งตามลำดับ ผลที่ได้คือการคูณด้วยแฟกทอเรียลที่ลดลงลำดับที่k : $${\displaystyle z^{k}G^{(k)}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{\underline {k}}g_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)\dotsb (n-k+1)g_{n}z^{n}\quad {\text{for all }}k\in \mathbb {N} .}$$

โดยใช้เลขสเตอร์ลิงชนิดที่สองซึ่งสามารถแปลงเป็นสูตรการคูณอีกแบบได้ดังนี้ (ดูบทความหลักเกี่ยวกับการแปลงฟังก์ชันก่อกำเนิด ): ${\displaystyle n^{k}}$$${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}}z^{j}F^{(j)}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{k}f_{n}z^{n}\quad {\text{for all }}k\in \mathbb {N} .}$$

การกลับลำดับลบของสูตรกำลังลำดับนี้ที่สอดคล้องกับการดำเนินการของการอินทิเกรตซ้ำๆ นั้นถูกกำหนดโดยการแปลงอนุกรมซีตาและการวางนัยทั่วไปของมันซึ่งกำหนดเป็นการแปลงตามอนุพันธ์ของฟังก์ชันก่อกำเนิดหรืออีกนัยหนึ่งคือการแปลงแบบเทอม ต่อเทอมโดยการดำเนินการแปลงอินทิก รัลบนฟังก์ชันก่อกำเนิดลำดับ การดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับการอินทิเกรตเศษส่วนบนฟังก์ชันก่อกำเนิดลำดับจะกล่าวถึงในที่นี้

ในส่วนนี้ เราจะให้สูตรสำหรับฟังก์ชันก่อกำเนิดที่แจงนับลำดับ{ f _{an + b} }โดยกำหนดฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไปF ( z )โดยที่a ≥ 2 , 0 ≤ b < aและaกับbเป็นจำนวนเต็ม (ดูบทความหลักเกี่ยวกับการแปลง ) สำหรับa = 2นั้น นี่คือการแยกฟังก์ชันออกเป็นส่วนคู่และส่วนคี่ (เช่น กำลังคู่และกำลังคี่) ที่คุ้นเคยกันดี: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }f_{2n}z^{2n}&={\frac {F(z)+F(-z)}{2}}\\[4px]\sum _{n=0}^{\infty }f_{2n+1}z^{2n+1}&={\frac {F(z)-F(-z)}{2}}.\end{aligned}}}$$

โดยทั่วไปแล้ว สมมติว่าa ≥ 3และω _a = exp ⁠2πi​/เอ⁠หมายถึงที่ a ของเอกภาพจากนั้น ในฐานะการประยุกต์ใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องเราจะได้สูตร ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\sum _{m=0}^{a-1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).}$$

สำหรับจำนวนเต็มm ≥ 1สูตรที่มีประโยชน์อีกสูตรหนึ่งซึ่งให้ลำดับเลขคณิตแบบ ปัดเศษ กลับด้าน — โดยที่สัมประสิทธิ์แต่ละตัวจะทำซ้ำmครั้ง — สร้างขึ้นจากเอกลักษณ์^{[ 16 ]}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}$$

อนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ (หรือฟังก์ชัน) F ( z )เรียกว่าเป็นโฮโลโนมิกหากเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นในรูปแบบ^{[ 17 ]}$${\displaystyle c_{0}(z)F^{(r)}(z)+c_{1}(z)F^{(r-1)}(z)+\cdots +c_{r}(z)F(z)=0,}$$

โดยที่สัมประสิทธิ์c _i ( z )อยู่ในฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะ หรือเทียบเท่ากันจะเป็นโฮโลโนมิก ถ้า ปริภูมิ เวกเตอร์เหนือซึ่งเกิดจากเซตของอนุพันธ์ทั้งหมดของ มีมิติจำกัด ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

เนื่องจากเราสามารถกำจัดตัวส่วนได้หากจำเป็นในสมการก่อนหน้านี้ เราจึงอาจถือว่าฟังก์ชันc _i ( z )เป็นพหุนามในzดังนั้นเราจึงเห็นเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันว่าฟังก์ชันก่อกำเนิดเป็นฟังก์ชันโฮโลโนมิก หากสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันนั้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดPในรูปแบบ $${\displaystyle {\widehat {c}}_{s}(n)f_{n+s}+{\widehat {c}}_{s-1}(n)f_{n+s-1}+\cdots +{\widehat {c}}_{0}(n)f_{n}=0,}$$

สำหรับn ≥ n ₀ ที่มีขนาดใหญ่พอ และโดยที่ĉ _i ( n )เป็นพหุนามดีกรีจำกัดคงที่ในnกล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสมบัติที่ลำดับเป็นP -recursiveและมีฟังก์ชันก่อกำเนิดแบบโฮโลโนมิกนั้นเทียบเท่ากัน ฟังก์ชันโฮโลโนมิกปิดภายใต้การดำเนินการผลคูณ Hadamard ⊙บนฟังก์ชันก่อกำเนิด

ฟังก์ชันe ^z , log z , cos z , arcsin z , ฟังก์ชันไดโลการิธึมLi ₂ ( z ) , ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไป_p F _q (...; ...; z )และฟังก์ชันที่กำหนดโดยอนุกรมกำลัง ${\displaystyle {\sqrt {1+z}}}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n!)^{2}}}}$$

และสิ่งที่ไม่บรรจบกัน ทั้งหมดล้วนเป็นแบบโฮโลโนมิก $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!\cdot z^{n}}$$

ตัวอย่างของ ลำดับ P -recursive ที่มีฟังก์ชันก่อกำเนิดแบบ holonomic ได้แก่f _n ≔ ⁠1/n + 1(​^{2 น}_น)และ f _n ≔ ⁠2 ^น./n ² + 1โดยที่ลำดับต่างๆ เช่นและ log nไม่ใช่ P -recursive เนื่องจากลักษณะของจุดเอกฐานในฟังก์ชันก่อกำเนิดที่เกี่ยวข้อง ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีจุดเอกฐานจำนวนอนันต์ เช่น tan z , sec z และ Γ ( z )ก็ไม่ใช่ฟังก์ชันโฮโลโนมิกเช่น ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

เครื่องมือสำหรับการประมวลผลและการทำงานกับ ลำดับ P -recursive ในMathematicaประกอบด้วยแพ็กเกจซอฟต์แวร์ที่จัดให้สำหรับการใช้งานที่ไม่ใช่เชิงพาณิชย์บน เว็บไซต์ ซอฟต์แวร์อัลกอริธึมคอมบินาทอริกของกลุ่ม RISC Combinatoricsแม้ว่าส่วนใหญ่จะเป็นซอฟต์แวร์ปิดแหล่งที่มา แต่เครื่องมือที่มีประสิทธิภาพเป็นพิเศษในชุดซอฟต์แวร์นี้ได้แก่Guessแพ็กเกจสำหรับการเดาP -recurrenceสำหรับลำดับอินพุตใดๆ (มีประโยชน์สำหรับคณิตศาสตร์เชิงทดลองและการสำรวจ) และSigmaแพ็กเกจที่สามารถค้นหา P-recurrence สำหรับผลรวมจำนวนมากและหาคำตอบในรูปแบบปิดสำหรับP -recurrence ที่เกี่ยวข้องกับ จำนวนฮาร์มอนิกทั่วไป[ ^{18 ] แพ็ก}เกจอื่นๆ ที่ระบุไว้ในเว็บไซต์ RISC นี้มีเป้าหมายเพื่อทำงานกับฟังก์ชันก่อกำเนิด โฮโลโนมิก โดยเฉพาะ

เมื่ออนุกรมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์จะ เป็นการแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่องของลำดับa ₀ , a ₁ , ... . $${\displaystyle G\left(a_{n};e^{-i\omega }\right)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-i\omega n}}$$

ในวิชาแคลคูลัส อัตราการเติบโตของสัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำลังมักใช้เพื่อหาค่ารัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลังนั้นได้ และในทางกลับกันก็เช่นกัน รัศมีของการลู่เข้าของฟังก์ชันก่อกำเนิดมักใช้เพื่อหาอัตราการเติบโตเชิงอะซิ้มโทติกของลำดับพื้นฐานได้

ตัวอย่างเช่น ถ้าฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไปG ( a _n ; x )ที่มีรัศมีลู่เข้าจำกัดrสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle G(a_{n};x)={\frac {A(x)+B(x)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)^{-\beta }}{x^{\alpha }}}}$$

โดยที่ A ( x )และB ( x )แต่ละตัวเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ที่มี รัศมีของการลู่เข้ามากกว่าr (หรือเป็น ฟังก์ชัน สมบูรณ์ ) และB ( r ) ≠ 0จากนั้น ใช้ฟังก์ชันแกมมาสัมประสิทธิ์ทวินามหรือสัมประสิทธิ์มัลติเซตโปรดทราบว่าลิมิตเมื่อnเข้าสู่∞ ของอัตราส่วนของa _nต่อนิพจน์ใดๆ เหล่านี้รับประกันว่าจะเท่ากับ 1 ไม่ใช่เพียงแค่ว่าa _nเป็นสัดส่วนกับนิพจน์เหล่านั้น $${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}{\binom {n+\beta -1}{n}}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}\left(\!\!{\binom {\beta }{n}}\!\!\right)\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}\,,}$$

โดยทั่วไปแล้ว วิธีการนี้สามารถทำซ้ำได้เพื่อสร้างพจน์หลายๆ พจน์ในอนุกรมเชิงอะซิมโทติกสำหรับค่า_nโดยเฉพาะอย่างยิ่ง $${\displaystyle G\left(a_{n}-{\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}{\binom {n+\beta -1}{n}}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n};x\right)=G(a_{n};x)-{\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}\left(1-{\frac {x}{r}}\right)^{-\beta }\,.}$$

จากนั้นจึงสามารถหาการเติบโตเชิงอะซิมโทติกของสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันก่อกำเนิดนี้ได้โดยการหาค่าA , B , α , βและrเพื่ออธิบายฟังก์ชันก่อกำเนิด ดังที่กล่าวมาข้างต้น

การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกที่คล้ายกันนี้สามารถทำได้สำหรับฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลัง; ด้วยฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลัง มันคือ⁠หนึ่ง_​/n !ซึ่งเติบโตตามสูตรเชิงเส้นกำกับเหล่านี้ โดยทั่วไปแล้ว หากฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับหนึ่งลบด้วยฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับที่สองมีรัศมีของการลู่เข้าที่ใหญ่กว่ารัศมีของการลู่เข้าของฟังก์ชันก่อกำเนิดแต่ละตัวแล้ว ลำดับทั้งสองจะมีอัตราการเติบโตเชิงเส้นกำกับที่เหมือนกัน

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ฟังก์ชันก่อกำเนิดปกติสำหรับลำดับของกำลังสองคือ: $${\displaystyle G(n^{2};x)={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.}$$

เมื่อr = 1 , α = −1 , β = 3 , A ( x ) = 0 , และB ( x ) = x + 1เราสามารถตรวจสอบได้ว่ากำลังสองเติบโตตามที่คาดไว้ เช่นเดียวกับกำลังสอง: $${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {1+1}{1^{-1}\,\Gamma (3)}}\,n^{3-1}\left({\frac {1}{1}}\right)^{n}=n^{2}.}$$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไปสำหรับจำนวนคาตาลันคือ $${\displaystyle G(C_{n};x)={\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}.}$$

โดยที่r = ⁠1/4, α = 1 , β = − ⁠1/2, A ( x ) = ⁠1/2และB ( x ) = −1/2⁠เราจึงสรุปได้ว่า สำหรับตัวเลขของชาวคาตาลัน: $${\displaystyle C_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {-{\frac {1}{2}}}{\left({\frac {1}{4}}\right)^{1}\Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)}}\,n^{-{\frac {1}{2}}-1}\left({\frac {1}{\,{\frac {1}{4}}\,}}\right)^{n}={\frac {4^{n}}{n^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\pi }}}}.}$$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดในตัวแปรหลายตัวสามารถขยายไปสู่อาร์เรย์ที่มีดัชนีหลายตัวได้ ตัวอย่างผลรวมสองเท่าที่ไม่ใช่พหุนามเหล่านี้เรียกว่าฟังก์ชันก่อกำเนิดหลายตัวแปรหรือฟังก์ชันก่อกำเนิดขั้นสูงสำหรับตัวแปรสองตัว มักเรียกว่าฟังก์ชัน ก่อกำเนิดสองตัวแปร

ฟังก์ชันก่อกำเนิดปกติของอาร์เรย์สองมิติa _{m , n} (โดยที่nและmเป็นจำนวนธรรมชาติ) คือ: ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก(1 + x ) ⁿเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดปกติสำหรับสัมประสิทธิ์ทวินามสำหรับn ที่กำหนดไว้ เราอาจถามหาฟังก์ชันก่อกำเนิดแบบสองตัวแปรที่สร้างสัมประสิทธิ์ทวินาม($${\displaystyle G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}.}$$^เอ็น_เค) สำหรับ kและ nทั้งหมดเพื่อทำเช่นนี้ ให้พิจารณา ^{( 1} + x ) ⁿเองเป็นลำดับใน nและหาฟังก์ชันก่อกำเนิดใน yที่มีค่าลำดับเหล่านี้เป็นสัมประสิทธิ์ เนื่องจากฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับ nคือ: ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับสัมประสิทธิ์ทวินามคือ: ตัวอย่างอื่นๆ ดังกล่าว ได้แก่ ฟังก์ชันก่อกำเนิดสองตัวแปรต่อไปนี้สำหรับสัมประสิทธิ์ทวินาม จำนวนส เตอร์ลิงและจำนวนออยเลอร์โดยที่ ωและ zแทนตัวแปรสองตัว: ^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{1-ay}},}$$$${\displaystyle \sum _{n,k}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-(1+x)y}}={\frac {1}{1-y-xy}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{z+wz}&=\sum _{m,n\geq 0}{\binom {n}{m}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]e^{w(e^{z}-1)}&=\sum _{m,n\geq 0}{\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]{\frac {1}{(1-z)^{w}}}&=\sum _{m,n\geq 0}{\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]{\frac {1-w}{e^{(w-1)z}-w}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]{\frac {e^{w}-e^{z}}{we^{z}-ze^{w}}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {\begin{matrix}m+n+1\\m\end{matrix}}\right\rangle {\frac {w^{m}z^{n}}{(m+n+1)!}}.\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันสร้างตัวแปรหลายตัวเกิดขึ้นในทางปฏิบัติเมื่อคำนวณจำนวนตารางความสัมพันธ์ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่มีผลรวมแถวและคอลัมน์ที่ระบุ สมมติว่าตารางมีrแถวและcคอลัมน์ ผลรวมแถวคือt ₁ , t ₂ ... t _rและผลรวมคอลัมน์คือs ₁ , s ₂ ... s _cจากนั้น ตามIJ Good [ ^{20 ]}จำนวนตารางดังกล่าวคือสัมประสิทธิ์ของ: ใน^:$${\displaystyle x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{r}^{t_{r}}y_{1}^{s_{1}}\cdots y_{c}^{s_{c}}}$$$${\displaystyle \prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{c}{\frac {1}{1-x_{i}y_{j}}}.}$$

การขยายเศษส่วนต่อเนื่องแบบ JacobiและStieltjes ( เศษส่วนJและเศษส่วนSตามลำดับ) ซึ่งการลู่เข้าเชิงตรรกะลำดับ ที่ h แสดงถึงอนุกรมกำลัง ที่แม่นยำลำดับที่2hเป็นอีกวิธีหนึ่งในการแสดงฟังก์ชันก่อกำเนิดธรรมดาที่ลู่เข้าโดยทั่วไปสำหรับลำดับตัวแปรหนึ่งและสองตัวแปรพิเศษจำนวนมาก รูปแบบเฉพาะของเศษส่วนต่อเนื่องแบบ Jacobi ( เศษส่วน J ) จะถูกขยายดังสมการต่อไปนี้ และมีการขยายอนุกรมกำลังที่สอดคล้องกันต่อไปนี้โดยสัมพันธ์กับzสำหรับลำดับส่วนประกอบเฉพาะที่ขึ้นอยู่กับการใช้งาน{ab _i }และ{ c _i }โดยที่z ≠ 0หมายถึงตัวแปรอย่างเป็นทางการในการขยายอนุกรมกำลังที่สองที่แสดงด้านล่าง: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}J^{[\infty ]}(z)&={\cfrac {1}{1-c_{1}z-{\cfrac {{\text{ab}}_{2}z^{2}}{1-c_{2}z-{\cfrac {{\text{ab}}_{3}z^{2}}{\ddots }}}}}}\\[4px]&=1+c_{1}z+\left({\text{ab}}_{2}+c_{1}^{2}\right)z^{2}+\left(2{\text{ab}}_{2}c_{1}+c_{1}^{3}+{\text{ab}}_{2}c_{2}\right)z^{3}+\cdots \end{aligned}}}$$

สัมประสิทธิ์ของซึ่งแสดงโดยย่อว่าj _n ≔ [ z ⁿ ] J ^[∞] ( z )ในสมการก่อนหน้านี้ สอดคล้องกับเมทริกซ์คำตอบของสมการ: ${\displaystyle z^{n}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}k_{0,1}&k_{1,1}&0&0&\cdots \\k_{0,2}&k_{1,2}&k_{2,2}&0&\cdots \\k_{0,3}&k_{1,3}&k_{2,3}&k_{3,3}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{0,0}&0&0&0&\cdots \\k_{0,1}&k_{1,1}&0&0&\cdots \\k_{0,2}&k_{1,2}&k_{2,2}&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}c_{1}&1&0&0&\cdots \\{\text{ab}}_{2}&c_{2}&1&0&\cdots \\0&{\text{ab}}_{3}&c_{3}&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}},}$$

โดยที่j ₀ ≡ k _0,0 = 1 , j _n = k _{0, n}สำหรับn ≥ 1 , k _{r , s} = 0ถ้าr > sและสำหรับจำนวนเต็มp , q ≥ 0 ทั้งหมด เรามีสูตรความสัมพันธ์การบวกดังนี้: $${\displaystyle j_{p+q}=k_{0,p}\cdot k_{0,q}+\sum _{i=1}^{\min(p,q)}{\text{ab}}_{2}\cdots {\text{ab}}_{i+1}\times k_{i,p}\cdot k_{i,q}.}$$

สำหรับh ≥ 0 (แม้ว่าในทางปฏิบัติเมื่อh ≥ 2 ) เราสามารถกำหนดคอนเวอร์เจนต์เชิงตรรกะลำดับที่hไปสู่เศษส่วนJอนันต์J ^[∞] ( z )ซึ่งขยายโดย: $${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(z):={\frac {P_{h}(z)}{Q_{h}(z)}}=j_{0}+j_{1}z+\cdots +j_{2h-1}z^{2h-1}+\sum _{n=2h}^{\infty }{\widetilde {j}}_{h,n}z^{n}}$$

ทีละส่วนประกอบผ่านลำดับP _h ( z )และQ _h ( z )ซึ่งกำหนดแบบเวียนซ้ำโดย: $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{h}(z)&=(1-c_{h}z)P_{h-1}(z)-{\text{ab}}_{h}z^{2}P_{h-2}(z)+\delta _{h,1}\\Q_{h}(z)&=(1-c_{h}z)Q_{h-1}(z)-{\text{ab}}_{h}z^{2}Q_{h-2}(z)+(1-c_{1}z)\delta _{h,1}+\delta _{0,1}.\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ ความมีเหตุผลของฟังก์ชันลู่เข้าConv h ₍ z )สำหรับทุกh ≥ 2บ่งชี้ถึงสมการผลต่างจำกัดเพิ่มเติมและคุณสมบัติความสอดคล้องที่ลำดับของj _n เป็นไปตาม และสำหรับM _h ≔ ab ₂ ⋯ ab _{h + 1}ถ้าh ‖ M _hแล้วเราจะมีความสอดคล้อง $${\displaystyle j_{n}\equiv [z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}(z){\pmod {h}},}$$

สำหรับการเลือกแบบไม่ใช้สัญลักษณ์และกำหนดได้ของลำดับพารามิเตอร์{ab _i }และ{ c _i }เมื่อh ≥ 2นั่นคือ เมื่อลำดับเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เสริม เช่นq , xหรือRโดยปริยาย ดังตัวอย่างในตารางด้านล่าง

ตารางถัดไปแสดงตัวอย่างสูตรแบบปิดสำหรับลำดับส่วนประกอบที่พบจากการคำนวณ (และได้รับการพิสูจน์ว่าถูกต้องในเอกสารอ้างอิงที่อ้างถึง^{[ 22 ]} ) ในกรณีพิเศษหลายกรณีของลำดับที่กำหนดไว้j _nซึ่งสร้างขึ้นโดยการขยายทั่วไปของ เศษส่วน Jที่กำหนดไว้ในส่วนย่อยแรก ที่นี่เรากำหนด0 < | a |, | b |, | q | < 1และพารามิเตอร์และxเป็นค่าที่ไม่แน่นอนเมื่อเทียบกับการขยายเหล่านี้ โดยที่ลำดับที่กำหนดไว้ซึ่งแจงนับโดยการขยายของ เศษส่วน J เหล่านี้ ถูกกำหนดในแง่ของ สัญลักษณ์ q -Pochhammerสัญลักษณ์Pochhammerและสัมประสิทธิ์ทวินาม ${\displaystyle R,\alpha \in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle j_{n}}$	${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{i}(i\geq 2)}$	${\displaystyle \mathrm {ab} _{i}(i\geq 2)}$
${\displaystyle q^{n^{2}}}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle q^{2h-3}\left(q^{2h}+q^{2h-2}-1\right)}$	${\displaystyle q^{6h-10}\left(q^{2h-2}-1\right)}$
${\displaystyle (a;q)_{n}}$	${\displaystyle 1-a}$	${\displaystyle q^{h-1}-aq^{h-2}\left(q^{h}+q^{h-1}-1\right)}$	${\displaystyle aq^{2h-4}\left(aq^{h-2}-1\right)\left(q^{h-1}-1\right)}$
${\displaystyle \left(zq^{-n};q\right)_{n}}$	${\displaystyle {\frac {q-z}{q}}}$	${\displaystyle {\frac {q^{h}-z-qz+q^{h}z}{q^{2h-1}}}}$	${\displaystyle {\frac {\left(q^{h-1}-1\right)\left(q^{h-1}-z\right)\cdot z}{q^{4h-5}}}}$
${\displaystyle {\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}}$	${\displaystyle {\frac {1-a}{1-b}}}$	${\displaystyle {\frac {q^{i-2}\left(q+abq^{2i-3}+a(1-q^{i-1}-q^{i})+b(q^{i}-q-1)\right)}{\left(1-bq^{2i-4}\right)\left(1-bq^{2i-2}\right)}}}$	${\displaystyle {\frac {q^{2i-4}\left(1-bq^{i-3}\right)\left(1-aq^{i-2}\right)\left(a-bq^{i-2}\right)\left(1-q^{i-1}\right)}{\left(1-bq^{2i-5}\right)\left(1-bq^{2i-4}\right)^{2}\left(1-bq^{2i-3}\right)}}}$
${\displaystyle \alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n}}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle R+2\alpha (i-1)}$	${\displaystyle (i-1)\alpha {\bigl (}R+(i-2)\alpha {\bigr )}}$
${\displaystyle (-1)^{n}{\binom {x}{n}}}$	${\displaystyle -x}$	${\displaystyle -{\frac {(x+2(i-1)^{2})}{(2i-1)(2i-3)}}}$	${\displaystyle {\begin{cases}-{\dfrac {(x-i+2)(x+i-1)}{4\cdot (2i-3)^{2}}}&{\text{for }}i\geq 3;\\[4px]-{\frac {1}{2}}x(x+1)&{\text{for }}i=2.\end{cases}}}$
${\displaystyle (-1)^{n}{\binom {x+n}{n}}}$	${\displaystyle -(x+1)}$	${\displaystyle {\frac {{\bigl (}x-2i(i-2)-1{\bigr )}}{(2i-1)(2i-3)}}}$	${\displaystyle {\begin{cases}-{\dfrac {(x-i+2)(x+i-1)}{4\cdot (2i-3)^{2}}}&{\text{for }}i\geq 3;\\[4px]-{\frac {1}{2}}x(x+1)&{\text{for }}i=2.\end{cases}}}$

โดยทั่วไปแล้ว รัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมเหล่านี้ที่สอดคล้องกับนิยามของ เศษส่วน J แบบจาโคบี ที่กล่าวไว้ข้างต้น จะแตกต่างจากรัศมีของการลู่เข้าของการขยายอนุกรมกำลังที่สอดคล้องกัน ซึ่งกำหนดฟังก์ชันก่อกำเนิดปกติของลำดับเหล่านี้

ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับของจำนวนกำลังสองa _n = n ²คือ:

ประเภทฟังก์ชันการสร้าง	สมการ
ฟังก์ชันการสร้างทั่วไป	${\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}}$
ฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลัง	${\displaystyle \operatorname {EG} (n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}x^{n}}{n!}}=x(x+1)e^{x}}$
ซีรีส์เบลล์	${\displaystyle \operatorname {BG} _{p}\left(n^{2};x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(p^{n}\right)^{2}x^{n}={\frac {1}{1-p^{2}x}}}$
ซีรี่ส์ Dirichlet	${\displaystyle \operatorname {DG} \left(n^{2};s\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{n^{s}}}=\zeta (s-2)}$