ในทางคณิตศาสตร์ลำดับแอปเพลล์ (Appell sequence ) ซึ่งตั้งชื่อตามปอล เอมิล แอปเพลล์ (Paul Émile Appell ) คือลำดับพหุนาม ใดๆ ที่สอดคล้องกับเอกลักษณ์ ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}$

และซึ่งเป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle p_{0}(x)}$

ลำดับ Appell ที่โดดเด่นที่สุดนอกเหนือจากตัวอย่างพื้นฐานแล้วได้แก่พหุนาม Hermite , พหุนาม Bernoulliและพหุนาม Eulerลำดับ Appell ทุกลำดับเป็นลำดับ Shefferแต่ลำดับ Sheffer ส่วนใหญ่ไม่ใช่ลำดับ Appell ลำดับ Appell มี การตีความเชิง ความน่าจะเป็น ในฐานะ ระบบ ของโมเมนต์${\displaystyle \{x^{n}\}}$

จะเห็นได้ว่าเงื่อนไขต่อไปนี้เกี่ยวกับลำดับพหุนามนั้นเทียบเท่ากันโดยง่าย:

• สำหรับ,${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}$

และเป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle p_{0}(x)}$

• สำหรับลำดับของสเกลาร์บางลำดับที่มี${\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle c_{0}\neq 0}$

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{n-k};}$

• สำหรับลำดับของค่าคงที่เดียวกัน

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

ที่ไหน

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}};}$

• สำหรับ,${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{n-k}.}$

สมมติ

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}$

โดยที่ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิของพหุนามในให้ ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}}$

ให้เป็นตัวดำเนินการผกผัน โดยที่สัมประสิทธิ์เป็นสัมประสิทธิ์ของส่วนกลับตามปกติของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมดังนั้น ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}$

ในหลักการของแคลคูลัสเชิงเงามักจะถือว่าอนุกรมกำลังเชิง รูปธรรมนี้ แทนลำดับแอปเปลล์เราสามารถกำหนดได้ว่า ${\displaystyle T}$${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)}$

โดยใช้การขยายอนุกรม กำลังตามปกติ และนิยามปกติของการประกอบอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม จากนั้นเราจะได้ ${\displaystyle \log(x)}$

${\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}$

(การหาอนุพันธ์อย่างเป็นทางการของอนุกรมกำลังในตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์นี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของการหาอนุพันธ์แบบพินเชอร์เล ) ${\displaystyle D}$

ในกรณีของพหุนามเฮอร์ไมต์สูตรนี้จะลดลงเหลือเพียงสูตรเวียนเกิดแบบดั้งเดิมสำหรับลำดับนั้น

เซตของลำดับ Appell ทั้งหมดปิดภายใต้การดำเนินการประกอบเชิงเงาของลำดับพหุนาม ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้ สมมติว่าและเป็นลำดับพหุนามที่กำหนดโดย ${\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$${\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ and }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$

ดังนั้นองค์ประกอบของเงามืดจึงเป็นลำดับพหุนามที่มีพจน์ที่ th คือ ${\displaystyle p\circ q}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$

(ตัวห้อยปรากฏในเนื่องจากเป็นพจน์ที่ ของลำดับนั้น แต่ไม่ปรากฏในเนื่องจากหมายถึงลำดับทั้งหมด ไม่ใช่พจน์ใดพจน์หนึ่ง) ${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$

ภายใต้การดำเนินการนี้ เซตของลำดับ Sheffer ทั้งหมดเป็นกลุ่มที่ไม่สลับที่แต่เซตของลำดับ Appell ทั้งหมดเป็น กลุ่ม ย่อยที่ สลับที่ สามารถเห็นได้ว่าเป็น กลุ่มที่สลับที่โดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับ Appell ทุกตัวมีรูปแบบ

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

และองค์ประกอบเงามืดของลำดับ Appell สอดคล้องกับการคูณอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ เหล่านี้ ในตัวดำเนินการ ${\displaystyle D}$

ธรรมเนียมปฏิบัติอีกประการหนึ่งที่ผู้เขียนบางท่าน (ดูChihara ) นำมาใช้ กำหนดแนวคิดนี้ในอีกรูปแบบหนึ่ง ซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความดั้งเดิมของ Appell โดยใช้เอกลักษณ์

${\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=p_{n-1}(x)}$

แทน.

พหุ นาม แอปเปลล์จำนวนมหาศาลสามารถหาได้ในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไป

ให้แทนอาร์เรย์ของอัตราส่วน ${\displaystyle \Delta (k,-n)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle -{\frac {n}{k}},-{\frac {n-1}{k}},\ldots ,-{\frac {n-k+1}{k}},\quad n\in {\mathbb {N} }_{0},k\in \mathbb {N} .}$

พิจารณาพหุนาม ${\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)=x^{n}{}_{k+p}F_{q}\left({a_{1}},{a_{2}},\ldots ,{a_{p}},\Delta (k,-n);{b_{1}},{b_{2}},\ldots ,{b_{q}};{\frac {m}{x^{k}}}\right),\quad n,m\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N} }$

ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไปอยู่ ที่ไหน${\displaystyle {}_{k+p}F_{q}}$

ทฤษฎีบท. ตระกูลพหุนามนี้คือลำดับแอปเปลล์สำหรับพารามิเตอร์ธรรมชาติใดๆ${\displaystyle \{A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)\}}$${\displaystyle a,b,p,q,m,k}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าพหุนามเหล่านั้นกลายเป็นพหุนามกูลด์-ฮอปเปอร์และถ้าพหุนามเหล่านั้นกลายเป็นพหุนามเฮอร์ไมต์ ${\displaystyle p=0,q=0,}$${\displaystyle k=m,}$${\displaystyle m=(-1)^{k}h{k^{k}}}$${\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)}$${\displaystyle g_{n}^{m}(x,h)}$${\displaystyle p=0,q=0,m=-2,k=2}$${\displaystyle H_{n}(x)}$

• ลำดับของเชฟเฟอร์
• แคลคูลัสแห่งเงามืด
• พหุนามแอปเปลล์ทั่วไป
• ผลิตภัณฑ์ไส้ตะเกียง

• "พหุนามแอปเปลล์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ลำดับ Appellที่MathWorld