ในทางคณิตศาสตร์ลำดับพหุนาม จะมีรูปแบบแทนแบบแอปเปลล์ทั่วไปได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันก่อกำเนิดของพหุนามมีรูปแบบเฉพาะอย่างหนึ่งดังนี้: ${\displaystyle \{p_{n}(z)\}}$

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

โดยที่ฟังก์ชันก่อกำเนิดหรือเคอร์เนล ประกอบด้วยอนุกรม ${\displaystyle K(z,w)}$

${\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad }$กับ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$

และ

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad }$และทั้งหมด${\displaystyle \Psi _{n}\neq 0}$

และ

${\displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad }$กับ${\displaystyle g_{1}\neq 0.}$

จากข้อมูลข้างต้น ไม่ยากที่จะแสดงว่าเป็นพหุนามดีกรี . ${\displaystyle p_{n}(z)}$${\displaystyle n}$

พหุนามโบอาส-บัคเป็นพหุนามประเภททั่วไปมากกว่าพหุนามประเภทอื่นเล็กน้อย

• การเลือกค่าดังกล่าวทำให้ได้กลุ่มของพหุนามเบรนเก้${\displaystyle g(w)=w}$
• การเลือกผลลัพธ์ในลำดับพหุนามของเชฟเฟอร์ซึ่งรวมถึงพหุนามผลต่างทั่วไปเช่นพหุนามนิวตัน${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$
• การเลือกค่าและ ร่วมกัน ทำให้ได้ลำดับพหุนามของแอปเพลล์${\displaystyle g(w)=w}$${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$

พหุนามแอปเปลล์ทั่วไปมีรูปแบบการแสดงผลที่ชัดเจน

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.}$

ค่าคงที่คือ

${\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}}$

โดยผลรวมนี้ครอบคลุมการประกอบ ทั้งหมด ของเป็นส่วน ๆ กล่าวคือ ผลรวมนี้ครอบคลุมทั้งหมดที่ทำให้ ${\displaystyle n}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle \{j\}}$

${\displaystyle j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,}$

สำหรับพหุนามแอปเปลล์ สูตรนี้จะกลายเป็น

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{nk}z^{k}}{k!}}.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอที่ทำให้ สามารถเขียนเคอร์เนล ได้ใน ลักษณะ ดัง กล่าวคือ ${\displaystyle K(z,w)}$${\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))}$${\displaystyle g_{1}=1}$

${\displaystyle {\frac {\บางส่วน K(z,w)}{\บางส่วน w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\บางส่วน K(z,w)}{\บางส่วน z}}}$

ที่ไหนและมีซีรี่ส์พลังงาน${\displaystyle b(w)}$${\displaystyle c(w)}$

${\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}$

และ

${\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}.}$

การแทนที่

${\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

จะให้ ความสัมพันธ์แบบเรียกซ้ำทันที

${\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{nk-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{nk}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).}$

สำหรับกรณีพิเศษของพหุนามเบรนเก้ เราจะได้และด้วยเหตุนี้ จึงทำให้ความสัมพันธ์เวียนเกิดง่ายขึ้นอย่างมาก ${\displaystyle g(w)=w}$${\displaystyle b_{n}=0}$

• พหุนามผลต่าง q