ใน สาขา คณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขพหุนามนิวตันซึ่งตั้งชื่อตามผู้คิดค้นคือไอแซค นิวตัน [ ^{1 ] เป็น}พหุนามการประมาณค่า สำหรับชุดจุดข้อมูลที่กำหนด พหุนามนิวตันบางครั้งเรียกว่าพหุนามการประมาณค่าแบบผลต่างหารของนิวตันเนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามคำนวณโดยใช้วิธี ผลต่างหาร ของนิวตัน

กำหนด ให้ชุดข้อมูล${\displaystyle k+1}$

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$

ในกรณีที่ x _jสองตัวไม่เหมือนกัน พหุนามการประมาณค่าแบบนิวตันจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของพหุนามฐานแบบนิวตัน

${\displaystyle N(x):=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)}$

โดยที่พหุนามฐานนิวตันถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})}$

สำหรับและ​${\displaystyle j>0}$​​​${\displaystyle n_{0}(x)\equiv 1}$​

สัมประสิทธิ์ถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle a_{j}:=[y_{0},\ldots ,y_{j}]}$

ความแตกต่างที่หารกันนั้นกำหนดไว้ อย่างไร${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{j}]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{k}]&:=y_{k},&&k\in \{0,\ldots ,n\}\\{\mathopen {[}}y_{k},\ldots ,y_{k+j}]&:={\frac {[y_{k+1},\ldots ,y_{k+j}]-[y_{k},\ldots ,y_{k+j-1}]}{x_{k+j}-x_{k}}},&&k\in \{0,\ldots ,nj\},\ j\in \{1,\ldots ,n\}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้นพหุนามนิวตันจึงสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1}).}$

พหุนามนิวตันสามารถแสดงในรูปแบบที่ง่ายขึ้นได้เมื่อเรียงลำดับต่อเนื่องกันโดยมีระยะห่างเท่ากัน ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}}$

ถ้าเรียงลำดับต่อเนื่องกันและมีระยะห่างเท่ากัน โดยที่สำหรับและตัวแปรบางตัวแสดงได้เป็นแล้วผลต่างสามารถเขียนได้เป็นดังนั้นพหุนามนิวตันจึงกลายเป็น ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle {x}_{i}={x}_{0}+ih}$${\displaystyle i=0,1,\dots ,k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {x}={x}_{0}+sh}$${\displaystyle x-x_{i}}$${\displaystyle (s-i)h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}]sh+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}]s(s-1)\cdots (s-k+1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}s(s-1)\cdots (s-i+1){h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}]\\&=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}i!{h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}].\end{aligned}}}$

นี่คือสูตรผลต่างหารไปข้างหน้าของนิวตัน (Newton forward divided difference formula )

ถ้าเรียงลำดับโหนดใหม่เป็น⁠ ⁠${\displaystyle {x}_{k},{x}_{k-1},\dots ,{x}_{0}}$พหุนามนิวตันจะกลายเป็น

${\displaystyle N(x)=[y_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}](x-{x}_{k})+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}](x-{x}_{k})(x-{x}_{k-1})\cdots (x-{x}_{1}).}$

ถ้ามีระยะห่างเท่า กันสำหรับและแล้ว${\displaystyle {x}_{k},\;{x}_{k-1},\;\dots ,\;{x}_{0}}$${\displaystyle {x}_{i}={x}_{k}-(k-i)h}$${\displaystyle i=0,1,\dots ,k}$${\displaystyle {x}={x}_{k}+sh}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[{y}_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}]sh+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}]s(s+1)\cdots (s+k-1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}i!{h}^{i}[{y}_{k},\ldots ,{y}_{k-i}].\end{aligned}}}$

นี่คือสูตรผลต่างหารย้อนหลังของนิวตัน (Newton backward divided difference formula )

สูตรของนิวตันน่าสนใจเพราะเป็นสูตรที่แสดงผลต่างอย่างตรงไปตรงมาและเป็นธรรมชาติของพหุนามเทย์เลอร์ พหุนามเทย์เลอร์บอกว่าฟังก์ชันจะเปลี่ยนแปลงไปในทิศทางใด โดยพิจารณาจากค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์${\displaystyle y}$ของฟังก์ชัน (อัตราการเปลี่ยนแปลง และอัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง เป็นต้น) ที่ ค่า ใด${\displaystyle x}$ค่าหนึ่ง สูตรของนิวตันคือพหุนามเทย์เลอร์ที่คำนวณจากผลต่างจำกัดแทนที่จะพิจารณาจากอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ เวลาใดเวลา หนึ่ง

สำหรับพหุนามดีกรีน้อยกว่าหรือเท่ากับ⁠ ⁠ที่ประมาณค่าในช่วงจุดโหนดที่⁠ ⁠ให้​​เป็นพหุนามดีกรีน้อยกว่าหรือเท่ากับ⁠ ⁠ที่ ประมาณค่าใน ช่วง จุดโหนดที่⁠ ⁠แล้วจะกำหนดโดย: โดยที่และ⁠ ⁠${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i=0,1,2,3,\dots ,n}$${\displaystyle p_{n+1}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i=0,1,2,3,\dots ,n,n+1}$${\displaystyle p_{n+1}}$$${\displaystyle p_{n+1}(x)=p_{n}(x)+a_{n+1}w_{n}(x)}$$${\textstyle w_{n}(x):=\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})}$${\displaystyle \textstyle a_{n+1}:={f(x_{n+1})-p_{n}(x_{n+1}) \over w_{n}(x_{n+1})}}$

การพิสูจน์:

สามารถแสดงให้เห็นได้ในกรณีที่: และเมื่อ⁠ ⁠ : ${\displaystyle i=0,1,2,3,\cdots ,n}$$${\displaystyle p_{n+1}(x_{i})=p_{n}(x_{i})+a_{n+1}\prod _{j=0}^{n}(x_{i}-x_{j})=p_{n}(x_{i})}$$${\displaystyle i=n+1}$$${\displaystyle p_{n+1}(x_{n+1})=p_{n}(x_{n+1})+{f(x_{n+1})-p_{n}(x_{n+1}) \over w_{n}(x_{n+1})}w_{n}(x_{n+1})=f(x_{n+1})}$$

โดยความเป็นเอกลักษณ์ของพหุนามที่แทรกสอดที่มีดีกรีน้อยกว่า⁠ ⁠${\displaystyle n+1}$คือการแทรกสอดพหุนามที่ต้องการ ฟังก์ชันจึงสามารถแสดงได้ดังนี้: โดยที่ปัจจัยคือผลต่างที่หารกันดังนั้น พหุนามนิวตันจึงถูกใช้เพื่อให้สูตรการแทรกสอดพหุนามของจุด n จุด^{[ 2 ]}${\textstyle p_{n+1}(x)=p_{n}(x)+a_{n+1}w_{n}(x)}$${\textstyle p_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\cdots +a_{n}(x-x_{0})\cdots (x-x_{n-1})}$${\displaystyle a_{i}}$

หาก ใช้ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าในสูตรผลต่างหารของนิวตัน แทนการแสดงแทนของ⁠ ⁠ในส่วนก่อนหน้า ให้เป็น⁠ ⁠ แทน ในรูปของผลต่างไปข้างหน้าสูตรการแทรกสอดไปข้างหน้าของนิวตันจะแสดงเป็น: ในขณะที่สำหรับสิ่งเดียวกันในรูปของผลต่างย้อนหลัง สูตรการแทรกสอดย้อนหลังของ นิวตันจะแสดงเป็น: ซึ่งเป็นผลมาจากความสัมพันธ์ระหว่างผลต่างหารและผลต่างไปข้างหน้าเป็นดังนี้: ^{[ 3 ]}ในขณะที่สำหรับผลต่างย้อนหลัง ความสัมพันธ์จะเป็นดังนี้:${\displaystyle y_{i}=f(x_{i})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=x_{j}+sh}$$${\displaystyle f(x)\approx N(x)=N(x_{j}+sh)=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}\Delta ^{(i)}f(x_{j})}$$$${\displaystyle f(x)\approx N(x)=N(x_{j}+sh)=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}\nabla ^{(i)}f(x_{j}).}$$$${\displaystyle [y_{j},y_{j+1},\ldots ,y_{j+n}]={\frac {1}{n!h^{n}}}\Delta ^{(n)}y_{j},}$$$${\displaystyle [{y}_{j},y_{j-1},\ldots ,{y}_{j-n}]={\frac {1}{n!h^{n}}}\nabla ^{(n)}y_{j}.}$$

เช่นเดียวกับสูตรความแตกต่างอื่นๆ ระดับของพหุนามการประมาณค่าแบบนิวตันสามารถเพิ่มขึ้นได้โดยการเพิ่มพจน์และจุดเพิ่มเติมโดยไม่ทิ้งพจน์และจุดที่มีอยู่เดิม รูปแบบของนิวตันมีความเรียบง่ายตรงที่จุดใหม่จะถูกเพิ่มที่ปลายด้านใดด้านหนึ่งเสมอ: สูตรแบบไปข้างหน้าของนิวตันสามารถเพิ่มจุดใหม่ทางด้านขวา และสูตรแบบย้อนกลับของนิวตันสามารถเพิ่มจุดใหม่ทางด้านซ้าย

ความแม่นยำของการประมาณค่าแบบพหุนามขึ้นอยู่กับว่าจุดที่ประมาณค่าได้นั้นอยู่ใกล้กับจุดกึ่งกลางของ ค่าในชุดจุดที่ใช้ มาก${\displaystyle x}$น้อยเพียงใด เห็นได้ชัดว่า เมื่อเพิ่มจุดใหม่ที่ปลายด้านหนึ่ง จุดกึ่งกลางนั้นก็จะยิ่งห่างจากจุดข้อมูลแรกมากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น หากไม่ทราบจำนวนจุดที่ต้องการเพื่อให้ได้ความแม่นยำตามที่ต้องการ จุดกึ่งกลางของค่าอาจ${\displaystyle x}$อยู่ห่างจากจุดที่ทำการประมาณ ค่า มาก

Gauss, Stirling และ Bessel ต่างก็พัฒนาสูตรเพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว^{[ 4 ]}

สูตรของเกาส์จะเพิ่มจุดใหม่สลับกันไปที่ปลายด้านซ้ายและด้านขวา ทำให้ชุดจุดยังคงอยู่ใกล้จุดเดิม (ใกล้จุดที่ประเมินค่า) ในการทำเช่นนั้น จะใช้พจน์จากสูตรของนิวตัน โดยเปลี่ยนชื่อจุดข้อมูลและค่าต่างๆให้${\displaystyle x}$สอดคล้องกับการเลือกจุดข้อมูลที่กำหนดให้เป็นจุด ข้อมูลหลัก${\displaystyle x_{0}}$

สูตรของสเตอร์ลิงยังคงยึดจุดข้อมูลเฉพาะจุดหนึ่งเป็นศูนย์กลาง โดยใช้เมื่อจุดที่ประเมินอยู่ใกล้กับจุดข้อมูลอีกจุดหนึ่งมากกว่าจุดกึ่งกลางระหว่างจุดข้อมูลสองจุด

สูตรของเบสเซลยังคงยึดจุดกึ่งกลางเฉพาะจุดหนึ่งระหว่างจุดข้อมูลสองจุด โดยใช้เมื่อจุดที่ประเมินอยู่ใกล้จุดกึ่งกลางมากกว่าจุดข้อมูล

เบสเซลและสเตอร์ลิงใช้วิธีการเฉลี่ยของผลต่างสองค่าในบางครั้ง และเฉลี่ยของผลคูณทวินามสองค่าในบางครั้ง ในขณะที่${\displaystyle x}$วิธีการของนิวตันหรือเกาส์จะใช้เพียงผลต่างหรือผลคูณเพียงค่าเดียว วิธีการของสเตอร์ลิงใช้ค่าเฉลี่ยของผลต่างในพจน์ดีกรีคี่ (ซึ่งผลต่างใช้จำนวนจุดข้อมูลเป็นเลขคู่) ในขณะที่วิธีการของเบสเซลใช้ค่าเฉลี่ยของผลต่างในพจน์ดีกรีคู่ (ซึ่งผลต่างใช้จำนวนจุดข้อมูลเป็นเลขคี่)

สำหรับชุดข้อมูลจำกัดใดๆ จะมีเพียงพหุนามเดียวที่มีดีกรีน้อยที่สุดที่ผ่านจุดข้อมูลทั้งหมด ดังนั้นจึงเหมาะสมที่จะกล่าวถึง "รูปแบบของนิวตัน" หรือรูปแบบของลากรองจ์ฯลฯ ของพหุนามการประมาณค่า อย่างไรก็ตาม วิธีการคำนวณพหุนามนี้ที่แตกต่างกันอาจมีประสิทธิภาพในการคำนวณที่แตกต่างกัน มีวิธีการที่คล้ายคลึงกันหลายวิธี เช่น วิธีของเกาส์ เบสเซล และสเตอร์ลิง ซึ่งสามารถได้มาจากการเปลี่ยนชื่อค่า⁠ ⁠${\displaystyle x}$ของจุดข้อมูลจากวิธีของนิวตัน แต่ในทางปฏิบัติแล้ว วิธีเหล่านี้มีความสำคัญ

การเลือกใช้ระหว่างวิธี Bessel และวิธี Stirling ขึ้นอยู่กับว่าจุดที่ได้จากการประมาณค่าอยู่ใกล้กับจุดข้อมูล หรืออยู่ใกล้กับจุดกึ่งกลางระหว่างจุดข้อมูลสองจุดมากกว่ากัน

ความคลาดเคลื่อนของการประมาณค่าแบบพหุนามจะเข้าใกล้ศูนย์เมื่อจุดประมาณค่าเข้าใกล้จุดข้อมูล ดังนั้น สูตรของสเตอร์ลิงจึงช่วยเพิ่มความแม่นยำในจุดที่ต้องการความแม่นยำน้อยที่สุด และสูตรของเบสเซลช่วยเพิ่มความแม่นยำในจุดที่ต้องการความแม่นยำมากที่สุด

ดังนั้น อาจกล่าวได้ว่าสูตรของเบสเซลเป็นสูตรหาผลต่างที่มีความแม่นยำสม่ำเสมอที่สุด และโดยทั่วไปแล้ว เป็นสูตรการประมาณค่าแบบพหุนามที่มีความแม่นยำสม่ำเสมอที่สุดในบรรดาสูตรที่คุ้นเคยกันดี

บางครั้งมีการกล่าวกันว่าวิธีการของลากรองจ์นั้นใช้แรงงานน้อยกว่า และบางครั้งก็แนะนำให้ใช้กับปัญหาที่ทราบล่วงหน้าจากประสบการณ์ก่อนหน้านี้ว่าต้องใช้จำนวนพจน์เท่าใดจึงจะได้ความแม่นยำเพียงพอ

วิธีการหาผลต่างหารมีข้อดีคือสามารถเพิ่มจุดข้อมูลได้มากขึ้น ทำให้มีความแม่นยำยิ่งขึ้น และสามารถใช้พจน์ที่อิงจากจุดข้อมูลก่อนหน้าได้ต่อไป ในขณะที่สูตรลากรางจ์แบบธรรมดา หากต้องการแก้ปัญหาโดยใช้จุดข้อมูลจำนวนมาก จะต้องคำนวณใหม่ทั้งหมด

มีวิธีการของลากรองจ์แบบ "แบรีเซนทริก" ที่ช่วยหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการคำนวณใหม่ทั้งหมดเมื่อเพิ่มจุดข้อมูลใหม่ แต่จำเป็นต้องบันทึกค่าของแต่ละเทอมไว้ด้วย

แต่ความสามารถของเกาส์ เบสเซล และสเตอร์ลิง ในการรักษาจุดข้อมูลให้อยู่ใกล้กับจุดที่ประมาณค่าไว้ ทำให้พวกเขามีข้อได้เปรียบเหนือลากรองจ์ เมื่อไม่ทราบล่วงหน้าว่าต้องใช้จุดข้อมูลจำนวนเท่าใด

นอกจากนี้ สมมติว่าเราต้องการตรวจสอบว่าการประมาณค่าเชิงเส้นมีความแม่นยำเพียงพอหรือไม่ สำหรับปัญหาบางประเภท เราสามารถตรวจสอบได้โดยการประเมินค่าพจน์กำลังสองของสูตรผลต่างหาร ถ้าพจน์กำลังสองมีค่าน้อยมากจนแทบไม่มีผล—หมายความว่าพจน์เชิงเส้นมีความแม่นยำเพียงพอโดยไม่ต้องบวกพจน์กำลังสอง—แสดงว่าการประมาณค่าเชิงเส้นมีความแม่นยำเพียงพอ แต่ถ้าปัญหาสำคัญมากพอ หรือถ้าพจน์กำลังสองมีค่ามากพอที่จะมีผล เราอาจต้องการตรวจสอบว่าผลรวมของพจน์กำลังสองและพจน์กำลังสามมีค่ามากพอที่จะมีผลต่อปัญหาหรือไม่

แน่นอนว่า วิธีการคำนวณแบบผลต่างหารเท่านั้นที่สามารถใช้ในการหาค่าดังกล่าวได้

เพื่อจุดประสงค์นั้น ควรเลือกสูตรผลต่างหารและ/หรือจุดของสูตรเพื่อให้${\displaystyle x_{0}}$สูตรใช้จุดข้อมูลสองจุดซึ่งเป็นจุดที่จะทำการประมาณค่าเชิงเส้นสำหรับพจน์เชิงเส้นของสูตร

สูตรผลต่างหารมีความอเนกประสงค์มากกว่า และมีประโยชน์ในปัญหาหลายประเภทมากกว่า

สูตรของ Lagrange จะมีประสิทธิภาพดีที่สุดเมื่อการประมาณค่าในช่วงทั้งหมดทำที่ค่าเดียวโดยมี${\displaystyle x}$เพียงค่าของจุดข้อมูลเท่านั้นที่แตก${\displaystyle y}$ต่างกันไปในแต่ละปัญหา และเมื่อทราบจากประสบการณ์ในอดีตว่าต้องใช้จำนวนพจน์เท่าใดจึงจะมีความแม่นยำเพียงพอ

ด้วยรูปแบบนิวตันของพหุนามการแทรกสอด จะมีอัลกอริทึมที่กระชับและมีประสิทธิภาพสำหรับการรวมเทอมต่างๆ เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม^{[ 5 ]}

เมื่อใช้การประมาณค่าแบบ Stirling หรือ Bessel โดยที่พจน์สุดท้ายที่ใช้รวมถึงค่าเฉลี่ยของผลต่างสองค่า นั่นหมายความว่าจะใช้จุดมากกว่าที่การประมาณค่าแบบ Newton หรือวิธีการประมาณค่าพหุนามอื่นๆ จะใช้ สำหรับพหุนามที่มีดีกรีเดียวกัน ดังนั้น ในกรณีนั้น การประมาณค่าแบบ Stirling หรือ Bessel ไม่ได้ใช้ พหุนาม ดีกรี ⁠ ผ่าน${\displaystyle N-1}$จุด⁠ จุด${\displaystyle N}$แต่เป็นการแลกเปลี่ยนความเท่าเทียมกับการประมาณค่าแบบ Newton เพื่อให้ได้จุดศูนย์กลางและความแม่นยำที่ดีกว่า ทำให้วิธีการเหล่านี้บางครั้งอาจมีความแม่นยำมากกว่าการประมาณค่าพหุนามอื่นๆ สำหรับพหุนามดีกรีที่กำหนด

สำหรับกรณีพิเศษของ⁠ ⁠ นั้น${\displaystyle x_{i}=i}$มีชุดพหุนามที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดอีกชุดหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าพหุนามนิวตันเช่นกัน โดยพหุนามนิวตันนั้นก็คือสัมประสิทธิ์ทวินามสำหรับอาร์กิวเมนต์ทั่วไปนั่นเอง กล่าวคือ เรายังมีพหุนามนิวตันที่กำหนดโดย ${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}}$

ในรูปแบบนี้ พหุนามนิวตันจะสร้างอนุกรมนิวตันขึ้นมา ซึ่งอนุกรมนิวตันนี้เป็นกรณีพิเศษของพหุนามผลต่าง ทั่วไป ที่ช่วยให้สามารถแสดงฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ผ่านสมการผลต่างทั่วไปได้

การแก้ปัญหาการประมาณค่าในช่วงนำไปสู่ปัญหาในพีชคณิตเชิงเส้น ซึ่งเราต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้นหากใช้ฐานเอกนาม มาตรฐานสำหรับพหุนามการประมาณค่าในช่วง เราจะได้ เมทริกซ์แวนเดอร์มอนด์ที่ซับซ้อนมาก แต่ถ้าเลือกใช้ฐานอื่น คือฐานนิวตัน เราจะได้ระบบสมการเชิงเส้นที่มี เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่เรียบง่ายกว่ามากซึ่งสามารถแก้ได้เร็วกว่า

สำหรับจุดข้อมูล${\displaystyle k+1}$เราสร้างฐานนิวตันดังนี้

${\displaystyle n_{0}(x):=1,\qquad n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})\qquad j=1,\ldots ,k.}$

โดยใช้พหุนามเหล่านี้เป็นพื้นฐานเราจะต้องแก้สมการ ${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&\ldots &&0\\1&x_{1}-x_{0}&&&\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\ddots &\\1&x_{k}-x_{0}&\ldots &\ldots &\prod _{j=0}^{k-1}(x_{k}-x_{j})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\\\\vdots \\\\a_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\\\\vdots \\\\y_{k}\end{bmatrix}}}$

เพื่อแก้ปัญหาการประมาณค่าแบบพหุนาม

ระบบสมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการวนซ้ำ โดยการแก้สมการ

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j}a_{i}n_{i}(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\dots ,k.}$

แม้ว่าเราจะสามารถหาได้สูตรการประมาณค่าโดยการแก้ระบบสมการเชิงเส้น แต่ก็ทำให้สูญเสียสัญชาตญาณในสิ่งที่สูตรแสดง และเหตุผลที่สูตรการประมาณค่าของนิวตันใช้ได้ผลนั้นไม่ชัดเจนนัก ก่อนอื่น เราจำเป็นต้องกำหนดข้อเท็จจริงสองประการก่อน:

ข้อเท็จจริงที่ 1 การสลับเงื่อนไขของผลต่างหารจะไม่ทำให้ผลลัพธ์เปลี่ยนแปลง: ⁠ ⁠${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n}]=[y_{n},\ldots ,y_{0}]}$

การพิสูจน์ข้อนี้ทำได้ง่ายโดยการอุปมาน: เนื่องจากเราคำนวณ${\displaystyle n=1}$$${\displaystyle [y_{0},y_{1}]={\frac {[y_{1}]-[y_{0}]}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {[y_{0}]-[y_{1}]}{x_{0}-x_{1}}}=[y_{1},y_{0}].}$$

ขั้นตอนการอุปมาน: สมมติว่าผลลัพธ์นี้ใช้ได้กับผลต่างหารใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับพจน์ไม่เกิน จากนั้นโดยใช้สมมติฐานการอุปมานในความเท่าเทียมกันที่สองต่อไปนี้ เราจะเห็นว่าสำหรับผลต่างหารที่เกี่ยวข้องกับพจน์ เรามี ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n+2}$$${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n+1}]={\frac {[y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}={\frac {[y_{n},\ldots ,y_{0}]-[y_{n+1},\ldots ,y_{1}]}{x_{0}-x_{n+1}}}=[y_{n+1},\ldots ,y_{0}].}$$

ต่อไปนี้เราจะกำหนดข้อเท็จจริงที่ 2 ซึ่งเพื่อจุดประสงค์ในการอุปนัยและความชัดเจน เราจึงเรียกมันว่า ข้อความ( ⁠ ⁠ ): ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}}$

ข้อเท็จจริงที่ 2. ( ) : ถ้า เป็นจุดใดๆ ที่มีพิกัด - ที่แตกต่างกัน และ เป็นพหุนามเฉพาะที่มีดีกรี (ไม่เกิน) ซึ่งกราฟผ่านจุดเหล่านี้ จะมีความสัมพันธ์ดังนี้ ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P=P(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n}-x_{n-1})=y_{n}-P(x_{n})}$$

บทพิสูจน์ (จะเป็นประโยชน์อย่างยิ่งหากอ่านบทพิสูจน์ได้อย่างคล่องแคล่วหากทราบข้อความที่ชัดเจนและรายละเอียดปลีกย่อย: ถูกกำหนดโดยการผ่านแต่สูตรนี้ยังกล่าวถึงทั้งสองด้านของจุดที่กำหนดขึ้นเพิ่มเติมซึ่งมีพิกัดที่แตกต่างจากจุดอื่นด้วย ) ${\displaystyle P}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{i}}$

เราพิสูจน์ข้อความเหล่านี้อีกครั้งโดยใช้วิธีอุปนัย เพื่อแสดง⁠ ⁠${\displaystyle {\text{Stm}}_{1}}$ให้​​เป็นจุดใดจุดหนึ่ง และให้เป็นพหุนามดีกรี 0 ที่ไม่ซ้ำกันซึ่งผ่านจุด⁠ ⁠แล้วเห็นได้ชัดว่าและเราสามารถเขียนได้ตามต้องการ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle P(x)=y_{0}}$$${\displaystyle [y_{0},y_{1}](x_{1}-x_{0})={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x_{1}-x_{0})=y_{1}-y_{0}=y_{1}-P(x_{1})}$$

บทพิสูจน์ของ⁠ ⁠${\displaystyle {\text{Stm}}_{n+1}}$โดยสมมติว่าได้มีการพิสูจน์ไว้แล้ว: ให้เป็นพหุนามดีกรี (อย่างมากที่สุด) ที่ ผ่านจุด⁠ ⁠${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$

เนื่องจากเป็นพหุนามที่มีดีกรี (อย่างมากที่สุด) เพียงตัวเดียวที่ผ่านจุด⁠ ⁠เราจึงสามารถเขียนลำดับความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ได้ โดยที่เราใช้ ในความเท่าเทียมกันก่อนสุดท้ายที่⁠ ⁠ใช้ได้กับ⁠ ⁠ : ${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle {\text{Stm}}_{n+1}}$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&[y_{0},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&={\frac {[y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}(x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=\left([y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]\right)(x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=[y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})-[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=(y_{n+1}-Q(x_{n+1}))-[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=y_{n+1}-(Q(x_{n+1})+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})).\end{aligned}}}$$

สมมติฐานการเหนี่ยวนำสำหรับยังใช้ได้กับความเท่าเทียมกันที่สองในการคำนวณต่อไปนี้ โดยที่จะถูกเพิ่มเข้าไปในจุดที่กำหนด⁠ ⁠ : ${\displaystyle Q}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&Q(x_{0})+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{0}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{0}-x_{n})\\&=Q(x_{0})+[y_{n},\ldots ,y_{0}](x_{0}-x_{n})\cdot \ldots \cdot (x_{0}-x_{1})\\&=Q(x_{0})+y_{0}-Q(x_{0})\\&=y_{0}\\&=P(x_{0}).\\\end{aligned}}}$$

ทีนี้มาดูที่⁠ ⁠${\displaystyle Q(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})}$ตามนิยามของพหุนามนี้ผ่านจุดและดังที่เราได้แสดงให้เห็นแล้ว มันยังผ่านจุด⁠ ⁠ด้วย ดังนั้น มันจึงเป็นพหุนามดีกรี เพียงหนึ่งเดียวที่ผ่านจุดเหล่านี้ ดังนั้นพหุนามนี้คือ⁠ ⁠ ; กล่าวคือ: ⁠ ⁠ . ${\displaystyle Q}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle \leq n}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle P(x)=Q(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})}$

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนบรรทัดสุดท้ายในลำดับความเท่าเทียมกันแรกเป็น ' ⁠ ⁠${\displaystyle y_{n+1}-P(x_{n+1})}$ ' และได้พิสูจน์แล้วว่า ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ได้ ว่า ⁠ ⁠และด้วยเหตุนี้จึงเสร็จสิ้นการพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่ 2 $${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})=y_{n+1}-P(x_{n+1}).}$$${\displaystyle {\text{Stm}}_{n+1}}$

ทีนี้มาดูข้อเท็จจริงที่ 2: สามารถเขียนได้ดังนี้: ถ้าเป็นพหุนามเฉพาะที่มีดีกรีไม่เกินซึ่งกราฟผ่านจุด⁠ ⁠แล้วก็เป็นพหุนามเฉพาะที่มีดีกรีไม่เกิน ที่ผ่านจุด⁠ ⁠เช่นกัน ดังนั้นเราจะเห็นว่าการประมาณค่าแบบนิวตันช่วยให้สามารถเพิ่มจุดประมาณค่าใหม่ได้โดยไม่ทำลายสิ่งที่คำนวณไว้แล้ว ${\displaystyle P}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$${\displaystyle P(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n-1})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1}),(x_{n},y_{n})}$

ลิมิตของพหุนามนิวตันเมื่อจุดทั้งหมดตรงกันจะเป็นพหุนามเทย์เลอร์เนื่องจากผลต่างหารกลายเป็นอนุพันธ์ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{(x_{0},\dots ,x_{n})\to (z,\dots ,z)}f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot (\xi -x_{0})+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot (\xi -x_{0})\cdot \dots \cdot (\xi -x_{n-1})\\&=f(z)+f'(z)\cdot (\xi -z)+\dots +{\frac {f^{(n)}(z)}{n!}}\cdot (\xi -z)^{n}\end{aligned}}}$$

จากนิยามของผลต่างหาร จะเห็นได้ว่าสามารถเพิ่มจุดข้อมูลใหม่ลงในชุดข้อมูลเพื่อสร้างพหุนามการประมาณค่าใหม่ได้โดยไม่ต้องคำนวณสัมประสิทธิ์เดิมซ้ำ และเมื่อจุดข้อมูลเปลี่ยนแปลง เรามักไม่จำเป็นต้องคำนวณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดใหม่ นอกจากนี้ หากxᵢ _{กระจาย}ตัวอย่างเท่าๆ กัน การคำนวณผลต่างหารก็จะง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้น สูตรผลต่างหารจึงมักเป็นที่นิยมมากกว่าสูตรของลากรางจ์ในทางปฏิบัติ

ผลต่างหารสามารถเขียนในรูปตารางได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันที่${\displaystyle f}$ต้องการประมาณค่าในช่วงจุดต่างๆให้${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$เขียน ดังนี้

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&f(x_{0})&&\\&&{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}}&\\x_{1}&f(x_{1})&&{{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}-{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}} \over x_{2}-x_{0}}\\&&{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}&\\x_{2}&f(x_{2})&&\vdots \\&&\vdots &\\\vdots &&&\vdots \\&&\vdots &\\x_{n}&f(x_{n})&&\\\end{matrix}}}$

จากนั้นจึงสร้างพหุนามประมาณค่าโดยใช้วิธีการข้างต้น โดยใช้ค่าบนสุดในแต่ละคอลัมน์เป็นสัมประสิทธิ์

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราต้องการสร้างพหุนามประมาณค่าในช่วงโดยใช้${\displaystyle f(x)=\tan(x)}$ผลต่างหาร ณ จุดต่างๆ

${\displaystyle n}$	${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle f(x_{n})}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}$	${\displaystyle -14.1014}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -{\tfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle -0.931596}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle 0.931596}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$	${\displaystyle 14.1014}$

เราสร้างตารางโดยใช้ความแม่นยำหกหลัก

${\displaystyle {\begin{matrix}-{\tfrac {3}{2}}&-14.1014&&&&\\&&17.5597&&&\\-{\tfrac {3}{4}}&-0.931596&&-10.8784&&\\&&1.24213&&4.83484&\\0&0&&0&&0\\&&1.24213&&4.83484&\\{\tfrac {3}{4}}&0.931596&&10.8784&&\\&&17.5597&&&\\{\tfrac {3}{2}}&14.1014&&&&\\\end{matrix}}}$

ดังนั้น พหุนามการประมาณค่าคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}&-14.1014+17.5597(x+{\tfrac {3}{2}})-10.8784(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})+4.83484(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)+0(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)(x-{\tfrac {3}{4}})\\={}&-0.00005-1.4775x-0.00001x^{2}+4.83484x^{3}\end{aligned}}}$

เมื่อเพิ่มจำนวนหลักความแม่นยำในตาราง ค่าสัมประสิทธิ์ตัวแรกและตัวที่สามจะมีค่าเป็นศูนย์

ตัวอย่างเพิ่มเติม:

ลำดับที่และ⁠ ⁠ กล่าว คือ อยู่ ใน ช่วง ตั้งแต่ถึง⁠ ⁠${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f_{0}(1)=6,f_{0}(2)=9,f_{0}(3)=2}$${\displaystyle f_{0}(4)=5}$${\displaystyle 6,9,2,5}$${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle x_{3}=4}$

คุณสามารถหาค่าความชันของลำดับได้ด้วยวิธีดังต่อไปนี้: ${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle f_{1}(x_{0},x_{1})={\frac {f_{0}(x_{1})-f_{0}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {9-6}{2-1}}=3}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{1},x_{2})={\frac {f_{0}(x_{2})-f_{0}(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {2-9}{3-2}}=-7}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{2},x_{3})={\frac {f_{0}(x_{3})-f_{0}(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}={\frac {5-2}{4-3}}=3}$

เนื่องจากเราทราบค่าความชันลำดับที่ 1 แล้วจึงสามารถหาค่าความชันลำดับถัดไปได้: ${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})={\frac {f_{1}(x_{1},x_{2})-f_{1}(x_{0},x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {-7-3}{3-1}}=-5}$
• ${\displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{1}(x_{2},x_{3})-f_{1}(x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{1}}}={\frac {3-(-7)}{4-2}}=5}$

สุดท้ายนี้ เรากำหนดความชันลำดับที่⁠ ⁠ ดังนี้${\displaystyle 3}$ :

• ${\displaystyle f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})-f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{0}}}={\frac {5-(-5)}{4-1}}={\frac {10}{3}}}$

เมื่อเราได้ค่าความชันแล้ว เราก็สามารถกำหนดพหุนามที่ตามมาได้:

• ${\displaystyle p_{0}(x)=6}$
• ${\displaystyle p_{1}(x)=6+3(x-1)}$
• ${\displaystyle p_{2}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)}$
• ${\displaystyle p_{3}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)+{\frac {10}{3}}(x-1)(x-2)(x-3)}$

• De numeris triangularibus et inde de progressionibus arithmeticis: Magisteria magnaเป็นผลงานของโทมัส แฮร์ริออตที่อธิบายวิธีการประมาณค่าแบบเดียวกัน ซึ่งเขียนขึ้นก่อนงานของนิวตัน 50 ปี แต่ได้รับการตีพิมพ์ในปี 2009
• อนุกรมนิวตัน
• แผนผังของเนวิลล์
• การประมาณค่าพหุนาม
• รูปแบบลากรางจ์ของพหุนามการประมาณค่าในช่วง
• รูปแบบเบิร์นสไตน์ของพหุนามการแทรกสอด
• การแทรกสอดแบบเฮอร์ไมต์
• ทฤษฎีบทของคาร์ลสัน
• ตารางอนุกรมนิวตัน

• โมดูลสำหรับพหุนามนิวตัน โดย จอห์น เอช. แมทธิวส์