ในทางคณิตศาสตร์ในสาขาการวิเคราะห์เชิงซ้อน พหุนาม ผลต่างทั่วไปเป็นลำดับพหุนามซึ่งเป็นกลุ่มย่อยของพหุนามเชฟเฟอร์ซึ่งรวมถึงพหุนามนิวตันพหุนามเซลเบิร์กและพหุนามการสอดแทรกของสเตอร์ลิงเป็นกรณีพิเศษ

ลำดับพหุนามผลต่างทั่วไปกำหนดโดย

${\displaystyle p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1}}}$

โดยที่คือสัมประสิทธิ์ทวินามสำหรับพหุนามที่สร้างขึ้นจะเป็นพหุนามนิวตัน ${\displaystyle {z \choose n}}$${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}.}$

กรณีของจะสร้างพหุนามของเซลเบิร์ก และกรณีของจะสร้างพหุนามการประมาณค่าแบบสเตอร์ลิง ${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \beta =-1/2}$

กำหนดฟังก์ชันวิเคราะห์ f ให้นิยามผลต่างเคลื่อนที่ของfดังนี้ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)}$

โดย ที่ตัวดำเนินการผลต่างไปข้างหน้าคือ จาก นั้น หากfเป็นไปตามเงื่อนไขการหาผลรวมบางประการ ก็สามารถแสดง f ในรูปของพหุนามเหล่านี้ได้ดังนี้ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}__{n}(f)}$

เงื่อนไขสำหรับการหาผลรวม (กล่าวคือ การลู่เข้า) ของลำดับนี้เป็นหัวข้อที่ค่อนข้างซับซ้อน โดยทั่วไปแล้ว อาจกล่าวได้ว่าเงื่อนไขที่จำเป็นคือ ฟังก์ชันวิเคราะห์ต้องเป็นประเภทที่ไม่ใช่แบบเลขชี้กำลังเงื่อนไขการหาผลรวมได้มีการกล่าวถึงอย่างละเอียดใน Boas & Buck

ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับพหุนามผลต่างทั่วไปกำหนดโดย

${\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.}$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดนี้สามารถนำมาอยู่ในรูปแบบของการแสดงแทน Appell แบบทั่วไปได้

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

โดยการตั้งค่า, , และ. ${\displaystyle A(w)=1}$${\displaystyle \Psi (x)=e^{x}}$${\displaystyle g(w)=t}$${\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t}}$

• ทฤษฎีบทของคาร์ลสัน
• พหุนามเบอร์นูลลีชนิดที่สอง