ในคณิตศาสตร์เชิงซ้อนฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกจะถูกเรียกว่าเป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลประเภท Cถ้าการเติบโตของมันถูกจำกัดด้วยฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสำหรับค่าคงที่จำนวนจริง บาง ค่า เมื่อฟังก์ชันถูกจำกัดในลักษณะนี้ ก็จะสามารถแสดงฟังก์ชันนั้นในรูปผลรวมลู่เข้าบางประเภทเหนืออนุกรมของฟังก์ชันเชิงซ้อนอื่น ๆ ได้ รวมถึงเข้าใจว่าเมื่อใดจึงจะสามารถใช้เทคนิคต่าง ๆ เช่นผลรวมบอเรลหรือการแปลงเมลลินหรือการประมาณค่าโดยใช้สูตรออยเลอร์-แมคลาลินได้กรณีทั่วไปนั้นได้รับการจัดการโดยทฤษฎีบทของนาคบินซึ่งกำหนดแนวคิดที่คล้ายคลึงกันของประเภท Cสำหรับฟังก์ชันทั่วไปซึ่งแตกต่างจาก ประเภท C ทั่วไป${\displaystyle e^{C|z|}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle |z|\to \infty }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi (z)}$${\displaystyle e^{z}}$

ฟังก์ชันที่กำหนดบนระนาบเชิงซ้อนเรียกว่าฟังก์ชันประเภทเลขชี้กำลัง ถ้ามีค่าคงที่จำนวนจริงและอยู่จริง ซึ่งทำให้ ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq Me^{\tau r}}$

ในขีดจำกัดของโดยที่ตัวแปรเชิงซ้อนถูกเขียนไว้เพื่อเน้นว่าขีดจำกัดต้องเป็นจริงในทุกทิศทางให้ แทนค่าต่ำสุดของ ทั้งหมดดังกล่าวจึงกล่าวได้ว่าฟังก์ชันเป็น ฟังก์ชัน ประเภทเลขชี้กำลัง ${\displaystyle r\to \infty }$${\displaystyle z}$${\displaystyle z=re^{i\theta }}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \tau }$

ตัวอย่างเช่น ให้. จากนั้นจะกล่าวได้ว่าเป็นฟังก์ชันประเภทเลขชี้กำลังเนื่องจากเป็นจำนวนที่เล็กที่สุดที่จำกัดการเติบโตของตามแกนจินตนาการ ดังนั้นสำหรับตัวอย่างนี้ทฤษฎีบทของคาร์ลสันจึงไม่สามารถนำมาใช้ได้ เนื่องจากทฤษฎีบทนี้ต้องการฟังก์ชันประเภทเลขชี้กำลังที่น้อยกว่า ในทำนองเดียวกันสูตรของออยเลอร์-แมคลาลินก็ไม่สามารถนำมาใช้ได้เช่นกัน เนื่องจากสูตรนี้ก็แสดงถึงทฤษฎีบทที่ยึดโยงอยู่กับทฤษฎีผลต่างจำกัดเช่น กัน${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$${\displaystyle \sin(\pi z)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \sin(\pi z)}$${\displaystyle \pi }$

กล่าวได้ว่าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกเป็นฟังก์ชันประเภทเอกซ์โพเนนเชียลถ้าสำหรับทุก ๆจะมีค่าคงที่จำนวนจริง อยู่ค่าหนึ่งซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle A_{\varepsilon }}$

${\displaystyle |F(z)|\leq A_{\varepsilon }e^{(\sigma +\varepsilon )|z|}}$

สำหรับที่. เรากล่าวว่าเป็นประเภทเลขชี้กำลัง ถ้าเป็นประเภทเลขชี้กำลังสำหรับบางค่า จำนวน ${\displaystyle |z|\to \infty }$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle \tau (F)=\sigma =\displaystyle \limsup _{|z|\rightarrow \infty }|z|^{-1}\log |F(z)|}$

เป็นประเภทเลขชี้กำลังของลิมิตสูงสุดในที่นี้หมายถึงลิมิตของค่าสูงสุดของอัตราส่วนนอกรัศมีที่กำหนดเมื่อรัศมีเข้าสู่ค่าอนันต์ นี่คือลิมิตสูงสุดของค่าสูงสุดของอัตราส่วนที่รัศมีที่กำหนดเมื่อรัศมีเข้าสู่ค่าอนันต์ ลิมิตสูงสุดอาจมีอยู่แม้ว่าค่าสูงสุดที่รัศมีนั้นจะไม่มีลิมิตเมื่อเข้าสู่ค่าอนันต์ก็ตาม ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน ${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}}}$

มูลค่าของ

${\displaystyle (\max _{|z|=r}\log |F(z)|)/r}$

at ถูกครอบงำโดยเทอมที่ⁿ −1และเทอมนี้จะเข้าใกล้ศูนย์เมื่อเข้าสู่อนันต์^{[ 1 ]}แต่ยังคงเป็นแบบเลขชี้กำลังประเภท 1 ดังที่เห็นได้จากการดูจุดต่างๆ ${\displaystyle r=10^{n!-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle z=10^{n!}}$

สไต น์(1957)ได้เสนอการวางนัยทั่วไปของประเภทเลขชี้กำลังสำหรับฟังก์ชันทั้งหมดของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวสมมติว่าเป็นเซตย่อยนูนกระชับและสมมาตร ของ เป็น ที่ทราบกันว่าสำหรับทุก ๆ เซตดังกล่าวจะมีนอร์ม ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$

${\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{K}\leq 1\}.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ลูกบอลหน่วยนั้นสัมพันธ์กับเซตหรือไม่ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$

${\displaystyle K^{*}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot y\leq 1{\text{ สำหรับทุก }}x\in {K}\}}$

เรียกว่าเซตเชิงขั้ว (polar set)และเป็น เซตย่อย นูนกระชับและสมมาตรของนอกจากนี้ เรายังสามารถเขียนได้ว่า ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \|x\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|x\cdot y|.}$

เราขยายจากถึงโดย ${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \|z\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|z\cdot y|.}$

กล่าวได้ว่าฟังก์ชันทั้งหมดของ ตัวแปรเชิงซ้อน n เป็นฟังก์ชันประเภทเลขชี้กำลังเมื่อเทียบกับ n ถ้าสำหรับทุก n จะมีค่าคงที่จำนวนจริง n อยู่ค่าหนึ่งซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle A_{\varepsilon }}$

${\displaystyle |F(z)|<A_{\varepsilon }e^{2\pi (1+\varepsilon )\|z\|_{K}}}$

สำหรับทุกคน ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$

กลุ่มของฟังก์ชันประเภทเลขชี้กำลังสามารถก่อตัวเป็นปริภูมิเอกรูปสมบูรณ์ซึ่งก็คือปริภูมิเฟรเชต์ (Fréchet space ) โดยอาศัยโทโพโลยีที่เกิดจากตระกูลของบรรทัดฐาน ที่นับได้${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}$

• ทฤษฎีบทพาเลย์-ไวเนอร์
• พื้นที่ Paley–Wiener