ในสาขาคณิตศาสตร์ทฤษฎีลำดับสมาชิกกระชับหรือสมาชิกจำกัดของเซตที่มีลำดับบางส่วนคือสมาชิกที่ไม่สามารถถูกรวมเข้ากับค่าสูงสุดของเซตทิศทางที่ไม่ว่างเปล่า ใดๆ ที่ไม่มีสมาชิกอยู่เหนือสมาชิกกระชับนั้นอยู่แล้ว แนวคิดเรื่องความกระชับนี้เป็นการขยายแนวคิดของเซตจำกัดในทฤษฎีเซตเซตกระชับในโทโพโลยีและโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดในพีชคณิต ไปพร้อมๆ กัน (นอกจากนี้ยังมีแนวคิดเรื่องความกระชับ อื่นๆ ในคณิตศาสตร์ด้วย)

ในเซตที่มีลำดับบางส่วน ( P , ≤) สมาชิกcเรียกว่าเป็นสมาชิกกระชับ (หรือจำกัด ) ถ้ามันสอดคล้องกับเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

• สำหรับ เซตย่อยแบบมีทิศทางDทุก เซต ของPถ้าD มี ค่าสูงสุด sup Dและc ≤ sup Dแล้วc ≤ d สำหรับสมาชิก dบางตัวของD
• สำหรับทุกไอเดียล IของPถ้าIมีค่าสูงสุด sup Iและc ≤ sup Iแล้วcเป็นสมาชิกของI

ถ้าเซต ลำดับบางส่วน Pเป็นเซมิแลตทิซร่วม (กล่าวคือ ถ้ามีซูพรีมาไบนารี) แล้วเงื่อนไขเหล่านี้จะเทียบเท่ากับข้อความต่อไปนี้:

• สำหรับเซตย่อย SทุกเซตของPถ้าSมีค่าสูงสุด sup Sและc ≤ sup Sแล้วc ≤ sup Tสำหรับเซตย่อยจำกัดT บางเซต ของS

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าc = sup Sแล้วcคือค่าสูงสุดของเซตย่อยจำกัดของ S

ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถตรวจสอบได้ง่ายจากคำจำกัดความของแนวคิดที่เกี่ยวข้อง สำหรับกรณีของเซมิแลตติซแบบเชื่อมต่อ เซตใดๆ ก็สามารถเปลี่ยนเป็นเซตแบบมีทิศทางที่มีค่าสูงสุดเดียวกันได้โดยการปิดภายใต้ค่าสูงสุดแบบจำกัด (ไม่ว่างเปล่า)

เมื่อพิจารณาถึงลำดับย่อยสมบูรณ์แบบมีทิศทางหรือแลตทิซสมบูรณ์ข้อกำหนดเพิ่มเติมที่ว่าค่าสูงสุดที่ระบุไว้มีอยู่จริงนั้นสามารถละทิ้งได้ เซมิแลตทิซแบบเชื่อมต่อที่สมบูรณ์แบบมีทิศทางนั้นเกือบจะเป็นแลตทิซสมบูรณ์ (อาจขาดองค์ประกอบที่เล็กที่สุด ) — ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่หัวข้อ ความสมบูรณ์ (ทฤษฎีลำดับ)

• ตัวอย่างพื้นฐานที่สุดได้มาจากการพิจารณาเซตกำลังของเซตA บางเซต ซึ่งเรียงลำดับตามการรวมเซตย่อยภายในแลตทิซที่สมบูรณ์นี้ องค์ประกอบกระชับคือเซตย่อยจำกัดของA พอดี ซึ่งเป็นการยืนยันชื่อ "องค์ประกอบจำกัด" ^{[ 1 ]}
• คำว่า "กะทัดรัด" (compact) ได้รับแรงบันดาลใจจากนิยามของเซตย่อยที่กะทัดรัด (ในเชิงทอพอโลยี)ของปริภูมิทอพอโลยีTเซตYจะกะทัดรัดก็ต่อเมื่อสำหรับทุกกลุ่มของเซตเปิดSถ้าการรวมกันของSรวมYเป็นเซตย่อยแล้ว Yก็จะรวมเป็นเซตย่อยของการรวมกันของกลุ่มย่อยจำกัดของS ด้วย เมื่อพิจารณาเซตกำลังของTเป็นแลตทิซสมบูรณ์ที่มีลำดับการรวมเซตย่อย โดยที่ค่าสูงสุดของกลุ่มเซตกำหนดโดยการรวมกันของเซตเหล่านั้น เงื่อนไขเชิงทอพอโลยีสำหรับความกะทัดรัดจะเลียนแบบเงื่อนไขสำหรับความกะทัดรัดในเซมิแลตทิซแบบรวม แต่มีข้อกำหนดเพิ่มเติมคือความเป็นเซตเปิด
• ถ้ามีอยู่จริงสมาชิกที่เล็กที่สุดของเซตลำดับบางส่วนจะเป็นเซตกระชับเสมอ อาจเป็นไปได้ว่านี่เป็นสมาชิกกระชับเพียงตัวเดียว ดังตัวอย่างของช่วงหน่วยจริง [0,1] (ซึ่งมีการเรียงลำดับมาตรฐานที่สืบทอดมาจากจำนวนจริง) แสดงให้เห็น
• องค์ประกอบของแลตทิซ ทุกตัวที่เป็นจำนวนเฉพาะร่วมโดยสมบูรณ์นั้นเป็นจำนวนกระชับ

เซตลำดับบางส่วนที่ทุกองค์ประกอบเป็นค่าสูงสุดของเซตทิศทางที่เกิดจากองค์ประกอบกระชับที่อยู่ด้านล่าง เรียกว่าเซตลำดับบางส่วนเชิงพีชคณิตเซตลำดับบางส่วนที่เป็นdcpos ดังกล่าว ถูกนำมาใช้มากในทฤษฎีโดเมน

กรณีพิเศษที่สำคัญอย่างหนึ่งคือ แลต ทิ ซเชิงพีชคณิตซึ่งเป็น แลตทิซสมบูรณ์Lที่ทุกองค์ประกอบxของLเป็นค่าสูงสุดขององค์ประกอบกระชับที่อยู่ต่ำกว่าx

ตัวอย่างทั่วไป (ซึ่งเป็นที่มาของชื่อ "พีชคณิต") มีดังต่อไปนี้:

สำหรับพีชคณิตA ใดๆ (เช่น กลุ่ม วงแหวน ฟิลด์ แลตทิซ ฯลฯ หรือแม้แต่เซตธรรมดาที่ไม่มีการดำเนินการใดๆ) ให้ Sub( A ) เป็นเซตของโครงสร้างย่อยทั้งหมดของAกล่าวคือ เซตย่อยทั้งหมดของAที่ปิดภายใต้การดำเนินการทั้งหมดของA (การบวกกลุ่ม การบวกและการคูณวงแหวน ฯลฯ) ในที่นี้ แนวคิดของโครงสร้างย่อยรวมถึงโครงสร้างย่อยว่างในกรณีที่พีชคณิตAไม่มีโอเปอเรชันศูนย์

แล้ว:

• เซต Sub( A ) ที่เรียงลำดับตามการรวมเซต เป็นแลตทิซ
• องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดของ Sub( A ) คือเซตAนั่นเอง
• สำหรับSและT ใดๆ ใน Sub( A ) ขอบล่างที่ใหญ่ที่สุดของSและTคือจุดตัดเชิงเซตของSและT ใน ขณะ ที่ ขอบบนที่เล็กที่สุดคือพีชคณิตย่อยที่สร้างขึ้นจากการรวมกันของSและT
• เซต Sub( A ) เป็นแลตทิซที่สมบูรณ์ด้วยซ้ำ ขอบล่างที่มากที่สุดของกลุ่มโครงสร้างย่อยใดๆ คือจุดตัดของกลุ่มนั้น (หรือAถ้ากลุ่มนั้นว่างเปล่า)
• องค์ประกอบขนาดกะทัดรัดของ Sub( A ) คือ โครงสร้างย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดของA อย่างแท้จริง
• โครงสร้างย่อยทุกโครงสร้างเป็นผลรวมของโครงสร้างย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ดังนั้น Sub( A ) จึงเป็นแลตทิซพีชคณิต^{[ 2 ]}

นอกจากนี้ ยังมีข้อความกลับกันอีกอย่างหนึ่งด้วย กล่าวคือ แลตทิซพีชคณิตทุกตัวจะสม isomorphicกับ Sub( A ) สำหรับพีชคณิตA บาง ตัว

มีแลตทิซพีชคณิตอีกแบบหนึ่งที่มีบทบาทสำคัญในพีชคณิตสากล : สำหรับทุกพีชคณิตA เราให้ Con( A ) เป็นเซตของความสัมพันธ์สมภาค ทั้งหมด บนAความสัมพันธ์สมภาคแต่ละอันบนAเป็นพีชคณิตย่อยของพีชคณิตผลคูณA x Aดังนั้น Con( A ) ⊆ Sub( A x A ) อีกครั้งเรามี

• Con( A ) ซึ่งเรียงลำดับตามการรวมเซต เป็นแลตทิซ
• องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดของ Con( A ) คือเซตA x Aซึ่งเป็นการสมภาคที่สอดคล้องกับโฮโมมอร์ฟิซึมคงที่ การสมภาคที่เล็กที่สุดคือเส้นทแยงมุมของA x Aซึ่งสอดคล้องกับไอโซมอร์ฟิซึม
• Con( A ) เป็นแลตทิซที่สมบูรณ์
• องค์ประกอบกระชับของ Con( A ) คือคอนกรุเอนซ์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด
• Con( A ) คือแลตทิซเชิงพีชคณิต

นอกจากนี้ยังมีข้อกลับอีกด้วย: ตามทฤษฎีบทของGeorge Grätzerและ ET Schmidt แลตทิซพีชคณิตทุกตัวจะสม isomorphic กับ Con( A ) สำหรับพีชคณิตA บาง ตัว

องค์ประกอบกระชับ (Compact elements) มีความสำคัญในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ในแนวทางเชิงความหมายที่เรียกว่าทฤษฎีโดเมน (domain theory ) ซึ่งถือว่าเป็นองค์ประกอบพื้นฐานชนิดหนึ่ง กล่าวคือ ข้อมูลที่แสดงโดยองค์ประกอบกระชับนั้นไม่สามารถหาได้จากการประมาณค่าใดๆ ที่ไม่มีความรู้ดังกล่าวอยู่แล้ว องค์ประกอบกระชับไม่สามารถประมาณค่าได้ด้วยองค์ประกอบที่ต่ำกว่าอย่างเคร่งครัด ในทางกลับกัน อาจเกิดขึ้นได้ว่าองค์ประกอบที่ไม่กระชับทั้งหมดสามารถหาได้จากการหาค่าสูงสุดแบบมีทิศทางขององค์ประกอบกระชับ นี่เป็นสถานการณ์ที่พึงปรารถนา เนื่องจากเซตขององค์ประกอบกระชับมักมีขนาดเล็กกว่าเซตลำดับบางส่วนดั้งเดิม ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นถึงเรื่องนี้

โปรด ดูเอกสารอ้างอิงที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีลำดับและทฤษฎีโดเมน