ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะโทโพโลยีทั่วไปและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ความกะทัดรัดเป็นคุณสมบัติของปริภูมิที่ทำให้ปริภูมินั้นมีพฤติกรรมคล้ายกับเซตจำกัดใน หลายๆ ด้าน ^{[ 1 ]}ตัวอย่างเช่น บนเซตจำกัด ลำดับอนันต์ทุกลำดับจะต้องมีค่าบางค่าซ้ำกันอย่างไม่สิ้นสุด ตามหลักการรังนกพิราบสำหรับเซตย่อยของปริภูมิยุคลิดข้อความที่คล้ายกันคือความกะทัดรัดเชิงลำดับ : เซตจะกะทัดรัดก็ต่อเมื่อลำดับอนันต์ทุกลำดับในเซตมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าสู่จุดหนึ่งของเซต ในทำนองเดียวกัน ในขณะที่ฟังก์ชันค่าจริงทุกฟังก์ชันบนเซตจำกัดมีขอบเขตและมีค่าสูงสุดและต่ำสุด ฟังก์ชันค่าจริง ต่อเนื่อง ทุก ฟังก์ชันบนปริภูมิที่กะทัดรัดจะมีคุณสมบัติเหล่านี้ สำหรับเซตย่อยที่กะทัดรัดของปริภูมิยุคลิด นี่คือทฤษฎีบท ค่าสุดขีด

คุณสมบัติพื้นฐานอีกประการหนึ่งของเซตจำกัดคือ การคลุมเซตจำกัดด้วยเซตย่อยทุกชุดจะมีเซตย่อยที่คลุมเซตจำกัดเช่นกัน กล่าวคือ เราสามารถเลือกสมาชิกของเซตที่คลุมเซตจำกัดนั้นสำหรับแต่ละจุดในเซตจำกัดได้ คุณสมบัติทางโทโพโลยีที่สอดคล้องกันนี้ใช้ในการกำหนดความกะทัดรัด: ปริภูมิโทโพโลยีจะกะทัดรัดก็ต่อเมื่อการคลุมแบบเปิด ทุก ชุดมีเซตย่อยที่คลุมเซตจำกัด ในปริภูมิเมตริก สิ่งนี้เทียบเท่ากับการกำหนดรูปแบบอื่นๆ อีกหลายแบบ รวมถึงความกะทัดรัดแบบลำดับแม้ว่าความเทียบเท่าเหล่านี้อาจล้มเหลวในปริภูมิโทโพโลยีทั่วไปมากกว่าก็ตาม ดังนั้น ทุกลำดับในช่วงหน่วยปิด[0,1]จะมีลำดับย่อยลู่เข้าที่มีลิมิตใน[0,1]ในขณะที่สิ่งนี้ล้มเหลวสำหรับปริภูมิเช่นช่วงเปิด(0,1)และเส้นจำนวนจริงสำหรับเซตย่อยของปริภูมิยุคลิด ความกะทัดรัดเทียบเท่ากับการเป็นเซตปิดและมีขอบเขตตามทฤษฎีบทของไฮน์-โบเรลคุณสมบัติของความกะทัดรัดมักช่วยให้สามารถรวมข้อมูลเฉพาะที่เข้ากับข้อสรุปโดยรวมได้ คำว่าเซตกระชับ (compact set)อาจหมายถึงปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กระชับ หรือโดยทั่วไปแล้ว หมายถึงเซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กระชับในทอพอโลยีของปริภูมิย่อยนั้น

แนวคิดเรื่องความกะทัดรัด (Compactness) ได้รับการนำเสนออย่างเป็นทางการโดยMaurice Fréchetในปี 1906 ในงานที่ขยายทฤษฎีบท Bolzano–Weierstrass จากเซตของจุดไปยังปริภูมิของฟังก์ชัน ต่อมาPavel AlexandrovและPavel Urysohnได้พัฒนาสูตรการครอบคลุมแบบเปิด (open-cover formulation) ซึ่งปัจจุบันเป็นมาตรฐานในวิชาโทโพโลยี ความกะทัดรัดมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนปริภูมิกะทัดรัดจะมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด และผลลัพธ์สำคัญๆ เช่นทฤษฎีบท Arzelà–Ascoliและทฤษฎีบทการมีอยู่ของ Peanoก็ขึ้นอยู่กับความกะทัดรัดเช่นกัน

ในศตวรรษที่ 19 คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันหลายประการได้รับการเข้าใจ ซึ่งต่อมาจะถูกมองว่าเป็นผลสืบเนื่องมาจากความกะทัดรัด ในอีกด้านหนึ่งเบอร์นาร์ด โบลซาโน ( 1817 ) ตระหนักว่าลำดับของจุดที่มีขอบเขต (เช่น ในเส้นตรงหรือระนาบ) จะมีลำดับย่อยที่ต้องเข้าใกล้จุดอื่น ๆ ที่เรียกว่าจุดลิมิต ในที่สุด การพิสูจน์ของโบลซาโนอาศัยวิธีการแบ่งครึ่ง : ลำดับถูกวางไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง จากนั้นถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน และเลือกส่วนที่มีพจน์ของลำดับเป็นอนันต์ จากนั้นสามารถทำซ้ำกระบวนการได้โดยการแบ่งช่วงเวลาที่เล็กลงที่ได้ออกมาเป็นส่วนที่เล็กลงเรื่อย ๆ จนกระทั่งเข้าใกล้จุดลิมิตที่ต้องการ ความสำคัญอย่างเต็มที่ของทฤษฎีบทของโบลซาโน และวิธีการพิสูจน์จะไม่ปรากฏจนกระทั่งเกือบ 50 ปีต่อมา เมื่อ คาร์ล ไวเออร์สตรัสค้นพบมันอีกครั้ง^{[ 2 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1880 เป็นที่ชัดเจนว่าผลลัพธ์ที่คล้ายกับทฤษฎีบท Bolzano–Weierstrassสามารถกำหนดขึ้นได้สำหรับปริภูมิของฟังก์ชันแทนที่จะเป็นเพียงตัวเลขหรือจุดทางเรขาคณิต แนวคิดในการพิจารณาฟังก์ชันว่าเป็นจุดของปริภูมิทั่วไปนั้นมีที่มาจากการศึกษาของGiulio AscoliและCesare Arzelà [ ^{3 ] จุด} สูงสุดของการศึกษาของพวกเขา คือ ทฤษฎีบท Arzelà–Ascoliซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบท Bolzano–Weierstrass ไปยังตระกูลของฟังก์ชันต่อเนื่องโดยข้อสรุปที่แม่นยำคือ เป็นไปได้ที่จะดึง ลำดับของฟังก์ชัน ที่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอจากตระกูลของฟังก์ชันที่เหมาะสม ลิมิตสม่ำเสมอของลำดับนี้จึงมีบทบาทเช่นเดียวกับ "จุดลิมิต" ของ Bolzano ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ผลลัพธ์ที่คล้ายกับของ Arzelà และ Ascoli เริ่มสะสมมากขึ้นในสาขาสมการเชิงอินทิกรัล ดังที่ David HilbertและErhard Schmidtได้ศึกษาไว้ สำหรับ ฟังก์ชันกรีนบางประเภทที่ได้มาจากผลเฉลยของสมการอินทิกรัล Schmidt ได้แสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบท Arzelà–Ascoli นั้นมีอยู่ในความหมายของการลู่เข้าโดยเฉลี่ยหรือการลู่เข้าในสิ่งที่ต่อมาเรียกว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตสิ่งนี้ในที่สุดก็นำไปสู่แนวคิดของตัวดำเนินการกระชับ (compact operator)ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของแนวคิดทั่วไปของปริภูมิกระชับ (compact space) Maurice Fréchet เป็น ผู้ที่ในปี 1906ได้กลั่นกรองสาระสำคัญของคุณสมบัติ Bolzano–Weierstrass และบัญญัติศัพท์คำว่าความกระชับ (compactness)เพื่ออ้างถึงปรากฏการณ์ทั่วไปนี้ (เขาใช้คำนี้แล้วในบทความปี 1904 ของเขา^{[ 4 ]}ซึ่งนำไปสู่วิทยานิพนธ์ที่มีชื่อเสียงในปี 1906)

อย่างไรก็ตาม แนวคิดที่แตกต่างออกไปเกี่ยวกับความกะทัดรัดได้ค่อยๆ ปรากฏขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 จากการศึกษาเรื่องความต่อเนื่องซึ่งถือเป็นพื้นฐานสำหรับการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์วิเคราะห์อย่างเข้มงวด ในปี 1870 เอดูอาร์ด ไฮน์ ได้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันต่อเนื่องที่กำหนดบนช่วงปิดและมีขอบเขตนั้นมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอในระหว่างการพิสูจน์ เขาได้ใช้บทพิสูจน์ย่อยที่ว่า จากการครอบคลุมช่วงด้วยช่วงเปิดที่เล็กกว่าจำนวนนับได้ใดๆ ก็ตาม สามารถเลือกช่วงเปิดจำนวนจำกัดที่ครอบคลุมช่วงนั้นได้เช่นกัน ความสำคัญของบทพิสูจน์ย่อยนี้ได้รับการยอมรับโดยเอมิล โบเรล ( 1895 ) และได้รับการขยายไปสู่กลุ่มช่วงใดๆ โดยปิแอร์ คูแซง (1895) และอองรี เลเบส ( 1904 ) ทฤษฎีบทไฮน์-โบเรลซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่รู้จักกันในปัจจุบัน เป็นคุณสมบัติพิเศษอีกอย่างหนึ่งที่เซตปิดและมีขอบเขตของจำนวนจริงมีอยู่

คุณสมบัตินี้มีความสำคัญเพราะทำให้สามารถเปลี่ยนจากข้อมูลเฉพาะที่เกี่ยวกับเซต (เช่น ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน) ไปสู่ข้อมูลโดยรวมเกี่ยวกับเซต (เช่น ความต่อเนื่องสม่ำเสมอของฟังก์ชัน) แนวคิดนี้ได้รับการแสดงออกโดยLebesgue (1904)ซึ่งได้ใช้ประโยชน์จากมันในการพัฒนาปริพันธ์ที่ปัจจุบันใช้ชื่อของเขาในที่สุด สำนักวิชาทอพอโลยีเซตจุด ของรัสเซีย ภายใต้การนำของPavel AlexandrovและPavel Urysohnได้กำหนดความกะทัดรัดของ Heine–Borel ในลักษณะที่สามารถนำไปใช้กับแนวคิดสมัยใหม่ของปริภูมิทอพอโลยีได้ Alexandrov & Urysohn (1929)แสดงให้เห็นว่าความกะทัดรัดเวอร์ชันก่อนหน้าของ Fréchet ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าความกะทัดรัดแบบลำดับ (สัมพัทธ์) ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสมนั้น เป็นผลมาจากความกะทัดรัดเวอร์ชันที่กำหนดขึ้นในแง่ของการมีอยู่ของซับคัฟเวอร์จำกัด แนวคิดเรื่องความกะทัดรัดนี้กลายเป็นแนวคิดที่โดดเด่น เพราะไม่เพียงแต่เป็นคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าเท่านั้น แต่ยังสามารถกำหนดเป็นสูตรในบริบททั่วไปได้โดยใช้เครื่องจักรทางเทคนิคเพิ่มเติมเพียงเล็กน้อย เนื่องจากอาศัยเพียงโครงสร้างของเซตเปิดในพื้นที่เท่านั้น

ปริภูมิจำกัดใดๆ ก็เป็นปริภูมิกระชับได้ (compact space) สามารถสร้างซับคัฟเวอร์จำกัดได้โดยการเลือกเซตเปิดที่บรรจุจุดแต่ละจุดไว้ ตัวอย่างที่สำคัญของปริภูมิกระชับคือช่วงหน่วย (ปิด) [0,1]ของจำนวนจริงถ้าเราเลือกจุดที่แตกต่างกันจำนวนอนันต์ในช่วงหน่วยนั้น ก็จะต้องมีจุดสะสม บางจุด ในบรรดาจุดเหล่านั้นในช่วงดังกล่าว เช่น พจน์คี่ของลำดับ1, ⁠1/2, ⁠​ 1/3, ⁠​ 3/4, ⁠​ 1/5, ⁠​ 5/6, ⁠​ 1/7, ⁠​ 7/8...จะเข้าใกล้ 0 อย่างไม่จำกัด ในขณะที่เลขคู่จะเข้าใกล้ 1 อย่างไม่จำกัด ลำดับตัวอย่างที่ให้มาแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของการรวมจุดขอบเขตของช่วง เนื่องจากจุดลิมิตจะต้องอยู่ในปริภูมิเอง—ช่วงเปิด (หรือครึ่งเปิด) ของจำนวนจริงนั้นไม่กระชับ นอกจากนี้ยังเป็นสิ่งสำคัญที่ช่วงจะต้องมีขอบเขตเนื่องจากในช่วง [0,∞)เราสามารถเลือกลำดับของจุด 0, 1, 2, 3, ...ซึ่งไม่มีลำดับย่อยใดที่เข้าใกล้จำนวนจริงใดๆ อย่างไม่จำกัดในที่สุด

ในสองมิติวงกลม ปิด มีความกะทัดรัด เนื่องจากสำหรับจุดจำนวนอนันต์ใดๆ ที่สุ่มมาจากวงกลมนั้น กลุ่มย่อยของจุดเหล่านั้นจะต้องเข้าใกล้จุดภายในวงกลมหรือจุดบนขอบวงกลมอย่างไม่จำกัด ในทำนองเดียวกัน วงกลมในระนาบก็มีความกะทัดรัด (เห็นได้ง่ายจากการที่เป็นวงกลมปิดและมีขอบเขต) อย่างไรก็ตาม วงกลมเปิดไม่กะทัดรัด เพราะลำดับของจุดสามารถเข้าใกล้ขอบวงกลมได้โดยไม่เข้าใกล้จุดใดๆ ภายในวงกลมอย่างไม่จำกัด ในทำนองเดียวกัน ทรงกลมมีความกะทัดรัด แต่ทรงกลมที่ขาดจุดหนึ่งจุดจะไม่กะทัดรัด เนื่องจากลำดับของจุดยังคงสามารถเข้าใกล้จุดที่ขาดหายไปได้ จึงไม่ได้เข้าใกล้จุดใดๆภายในวงกลมอย่างไม่จำกัด เส้นตรงและระนาบไม่กะทัดรัด เนื่องจากเราสามารถเลือกชุดของจุดที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กันในทิศทางใดๆ ก็ได้โดยไม่เข้าใกล้จุดใดๆ

นิยามต่างๆ ของความกะทัดรัดอาจนำมาใช้ได้ ขึ้นอยู่กับระดับของความเป็นทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตย่อยของ ปริภูมิ ยุคลิดจะกะทัดรัดก็ต่อเมื่อเซตนั้นปิดและมีขอบเขตซึ่งหมายความว่า ตามทฤษฎีบทของโบลซาโน-ไวเออร์สตรัสลำดับอนันต์ใดๆจากเซตนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าสู่จุดในเซตนั้น แนวคิดที่เทียบเท่ากันต่างๆ ของความกะทัดรัด เช่นความกะทัดรัดเชิงลำดับและความกะทัดรัดเชิงจุดลิมิตสามารถพัฒนาขึ้นได้ในปริภูมิเมตริกทั่วไป^{[ 5 ]}

ในทางตรงกันข้าม แนวคิดเรื่องความกะทัดรัดที่แตกต่างกันนั้นไม่เทียบเท่ากันในปริภูมิเชิงทอพอโลยี ทั่วไป และแนวคิดเรื่องความกะทัดรัดที่มีประโยชน์ที่สุด—ซึ่งเดิมเรียกว่าความกะทัดรัดแบบสองด้าน —ถูกกำหนดโดยใช้การปกคลุมที่ประกอบด้วยเซตเปิด (ดูคำจำกัดความของการปกคลุมแบบเปิดด้านล่าง) รูปแบบของความกะทัดรัดนี้ใช้ได้กับเซตย่อยแบบปิดและมีขอบเขตของปริภูมิยุคลิด ซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทไฮน์-โบเรลความกะทัดรัด เมื่อถูกกำหนดในลักษณะนี้ มักจะช่วยให้เราสามารถนำข้อมูลที่ทราบในระดับท้องถิ่น —ในบริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุดในปริภูมิ—และขยายไปสู่ข้อมูลที่ใช้ได้ทั่วทั้งปริภูมิ ตัวอย่างของปรากฏการณ์นี้คือทฤษฎีบทของดิริชเลต์ ซึ่งเดิมทีไฮน์เป็นผู้ประยุกต์ใช้ กล่าวคือ ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงกะทัดรัดนั้นมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอในที่นี้ ความต่อเนื่องเป็นคุณสมบัติเฉพาะที่ของฟังก์ชัน และความต่อเนื่องสม่ำเสมอเป็นคุณสมบัติโดยรวมที่สอดคล้องกัน

ในทางรูปแบบพื้นที่โทโพโลยีXเรียกว่ากะทัดรัดถ้าการคลุมแบบเปิด ทุกอัน ของXมีการคลุมย่อยแบบจำกัด^{[ 6 ]}นั่นคือXกะทัดรัด ถ้าสำหรับชุดCของเซตย่อยแบบเปิด ทุกชุด ^{[ 7 ]}ของXเช่นนั้น

$${\displaystyle X=\bigcup _{S\in C}S\ ,}$$

มีกลุ่มย่อยจำกัดF ⊆ Cเช่นนั้น

$${\displaystyle X=\bigcup _{S\in F}S\ .}$$

บางสาขาของคณิตศาสตร์ เช่นเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งโดยทั่วไปได้รับอิทธิพลจากสำนักคิดของบูร์บากี ในฝรั่งเศส ใช้คำว่า"กึ่งกระชับ" (quasi -compact ) สำหรับแนวคิดทั่วไป และสงวนคำว่า " กระชับ" (compact ) ไว้ สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เป็นทั้งเฮาส์ดอร์ฟและกึ่งกระชับเซตกระชับบางครั้งเรียกว่าคอมแพ็กตัม (compactum) พหูพจน์คือ คอมแพ็ก ตา ( compacta )

เซตย่อยKของปริภูมิเชิงทอพอโลยีXเป็นเซตกระชับ (compact) ถ้าสำหรับทุกกลุ่ม เซตเปิด Cใดๆ ของX ที่มีคุณสมบัติ ว่า

$${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{S\in C}S\ ,}$$

มีกลุ่มย่อยจำกัดF ⊆ Cเช่นนั้น

$${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{S\in F}S\ .}$$

ในทำนองเดียวกันKเป็นเซตกระชับในฐานะเซตย่อยของXก็ต่อเมื่อปริภูมิ เชิงทอพอโลยี Kเป็นเซตกระชับใน ทอพอโลยีของปริภูมิย่อย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าโดยที่เซตย่อยYมีทอพอโลยีของปริภูมิย่อย แล้วKเป็นเซตกระชับในYก็ต่อเมื่อKเป็นเซตกระชับในXยิ่งไปกว่านั้น ความเป็นเซตกระชับของKในฐานะเซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโล ยี X นั้นไม่ขึ้นอยู่กับการฝังตัว ตราบใดที่ทอพอโลยีของปริภูมิย่อยบนKเหมือนกัน ${\displaystyle K\subset Y\subset X}$

ถ้าXเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีแล้ว ข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

1. Xเป็นเซตกระชับ (compact set) กล่าวคือเซตคลุมเปิด ทุกเซต ของXจะมีเซตคลุมย่อยจำกัด (finite subcover )
2. Xมีฐานย่อยที่ทำให้ทุกการคลุมของปริภูมิโดยสมาชิกของฐานย่อยนั้น มีการคลุมย่อยจำกัด ( ทฤษฎีบทฐานย่อยของอเล็กซานเดอร์ )
3. Xเป็นLindelöfและกระชับแบบนับได้^{[ 8 ]}
4. กลุ่มของเซตย่อยปิดใดๆ ของXที่มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดจะมีการตัดกันที่ไม่ว่างเปล่า
5. ทุกเน็ตบนXมีซับเน็ตที่ลู่เข้า (ดูบทความเกี่ยวกับเน็ตเพื่อดูหลักฐานการพิสูจน์)
6. ตัวกรองทุกตัวบนXมีการปรับปรุงที่บรรจบกัน
7. ทุกโครงข่ายบนXมีจุดรวมกลุ่มอยู่
8. ตัวกรองทุกตัวบนXมีจุดคลัสเตอร์
9. ตัวกรองละเอียดพิเศษทุกตัวบนแกนXจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุด
10. เซตย่อยอนันต์ทุกเซตของXมี จุดสะสม ที่สมบูรณ์^{[ 9 ]}
11. สำหรับปริภูมิโทโพโลยีY ทุกอัน การฉายภาพเป็นการแมปแบบปิด^{[ 10 ]} (ดูแผนที่ที่เหมาะสม )${\displaystyle X\times Y\to Y}$
12. ^{ปกคลุมแบบเปิดทุก ชุด}ที่เรียงลำดับเชิงเส้นตามการรวมเซตย่อยประกอบด้วยX [ ^{11 ]}

Bourbaki นิยามพื้นที่กระชับ (พื้นที่กึ่งกระชับ) ว่าเป็นพื้นที่โทโพโลยีที่แต่ละตัวกรองมีจุดคลัสเตอร์ (เช่น 8 ในข้างต้น) ^{[ 12 ]}

สำหรับเซตย่อยA ใดๆ ในปริภูมิยุคลิดAจะเป็นเซตกระชับก็ต่อเมื่อเป็นเซตปิดและมีขอบเขตซึ่งนี่คือทฤษฎีบทของไฮน์-โบเรล

เนื่องจากปริภูมิยุคลิดเป็นปริภูมิเมตริก เงื่อนไขในหัวข้อถัดไปจึงใช้ได้กับเซตย่อยทั้งหมดของปริภูมิยุคลิดด้วย ในบรรดาเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันทั้งหมด ในทางปฏิบัติ การตรวจสอบว่าเซตย่อยเป็นเซตปิดและมีขอบเขตนั้นง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่น สำหรับช่วง ปิด หรือ ทรงกลม nมิติ ปิด

สำหรับปริภูมิเมตริกใดๆ( X , d )ข้อความต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน (โดยสมมติว่ามีตัวเลือกที่นับได้ ):

1. ( X , d )เป็นเซตกระชับ
2. ( X , d )สมบูรณ์และมีขอบเขตโดยสมบูรณ์(ซึ่งเทียบเท่ากับความกะทัดรัดสำหรับพื้นที่สม่ำเสมอ ) ^{[ 13 ]}
3. ( X , d )เป็นปริภูมิกระชับเชิงลำดับ กล่าวคือ ทุกลำดับในXมีลำดับย่อยลู่เข้าซึ่งลิมิตอยู่ในX (ซึ่งเทียบเท่ากับความกระชับสำหรับปริภูมิเอกรูปที่นับได้เป็นอันดับแรก ด้วย )
4. ( X , d )เป็น เซต กระชับจุดลิมิต (หรือเรียกว่าเซตกระชับนับได้แบบอ่อน) กล่าวคือ ทุกเซตย่อยอนันต์ของX มี จุดลิมิตอย่างน้อยหนึ่ง จุด ในX
5. ( X , d )เป็นเซตกระชับนับได้ กล่าวคือ เซตคลุมเปิดนับได้ทุกเซตของXจะมีเซตคลุมย่อยจำกัด
6. Xว่างเปล่าหรือ( X , d )เป็นภาพของฟังก์ชันต่อเนื่องจากเซตแคนเตอร์^{[ 14 ]}
7. ลำดับย่อยปิดที่ไม่ว่างที่ซ้อนกันทุกชุดS ₁ ⊇ S ₂ ⊇ ...ใน( X , d ) ที่ลดลงเรื่อยๆ จะมีจุดตัดที่ไม่ว่าง
8. ลำดับการซ้อนกันที่เพิ่มขึ้นของเซตย่อยเปิดที่เหมาะสมS ₁ ⊆ S ₂ ⊆ ...ใน( X , d )ไม่สามารถครอบคลุมXได้

ปริภูมิเมตริกกระชับ( X , d )ยังมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ด้วย:

1. ทฤษฎีบทจำนวนของเลเบส : สำหรับทุกเซตเปิดที่ครอบคลุมXจะมีจำนวนδ > 0 อยู่ ซึ่งทุกเซตย่อยของXที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง < δจะอยู่ในสมาชิกบางตัวของเซตเปิดที่ครอบคลุมนั้น
2. ( X , d )เป็น ปริภูมิ ที่นับได้ลำดับที่สองแยกได้และเป็นปริภูมิแบบลินเดลอฟ  – เงื่อนไขทั้งสามนี้เทียบเท่ากันสำหรับปริภูมิเมตริก ส่วนข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น ปริภูมิแบบแยกส่วนที่นับได้จะตรงตามเงื่อนไขทั้งสามนี้ แต่ไม่เป็นปริภูมิกระชับ
3. Xเป็นเซตปิดและมีขอบเขต (เนื่องจากเป็นเซตย่อยของปริภูมิเมตริกใดๆ ที่มีเมตริกจำกัดคือd ) ในทางกลับกัน อาจใช้ไม่ได้กับปริภูมิที่ไม่ใช่แบบยุคลิด เช่นเส้นจำนวนจริงที่มีเมตริกแบบไม่ต่อเนื่อง เป็นเซตปิดและมีขอบเขต แต่ไม่กะทัดรัด เนื่องจากเซตของสมาชิกเอกฐาน ทั้งหมด ในปริภูมินี้เป็นเซตเปิดที่ไม่มีการครอบคลุมย่อยแบบจำกัด มันเป็นปริภูมิสมบูรณ์แต่ไม่มีขอบเขตโดยสมบูรณ์

สำหรับปริภูมิที่มีลำดับ( X , <) (กล่าวคือ เซตที่มีลำดับสมบูรณ์พร้อมด้วยโทโพโลยีลำดับ) ข้อต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน:

1. ( X , <)เป็นคอมแพ็กต์
2. เซตย่อยทุกเซตของXจะมีค่าสูงสุด (กล่าวคือ ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด) ในX
3. ทุกเซตย่อยของXมีค่าต่ำสุด (กล่าวคือ ขอบล่างที่มากที่สุด) ในX
4. เซตย่อยปิดที่ไม่ว่างทุกเซตของXจะมีสมาชิกสูงสุดและสมาชิกต่ำสุด

พื้นที่ที่มีระเบียบซึ่งตรงตามเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งเหล่านี้ เรียกว่า แลตทิซสมบูรณ์

นอกจากนี้ ข้อความต่อไปนี้มีความเทียบเท่ากันสำหรับปริภูมิเรียงลำดับทั้งหมด( X , <)และ (โดยสมมติว่ามีตัวเลือกที่นับได้ ) เป็นจริงเมื่อใดก็ตามที่( X , <)เป็นปริภูมิกระชับ (โดยทั่วไปแล้วข้อความกลับกันจะล้มเหลวหาก( X , <)ไม่สามารถกำหนดเมตริกได้ด้วย):

1. ลำดับทุกลำดับใน( X , <)จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าใน( X , < )
2. ลำดับ ที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนทุกตัวในXจะลู่เข้าสู่ลิมิตเฉพาะตัวหนึ่งในX
3. ลำดับลดลงแบบเอกพันธุ์ทุกลำดับในXจะลู่เข้าสู่ลิมิตเฉพาะตัวในX
4. ลำดับย่อยปิดที่ไม่ว่างที่ซ้อนกันทุกชุดS ₁ ⊇ S ₂ ⊇ ... ใน( X , <) ที่ลดลงเรื่อยๆ จะมีจุดตัดที่ไม่ว่าง
5. ลำดับการซ้อนกันที่เพิ่มขึ้นของเซตย่อยเปิดที่เหมาะสมS ₁ ⊆ S ₂ ⊆ ... ใน( X , <)ไม่สามารถครอบคลุมXได้

ให้Xเป็น ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ ปกติสมบูรณ์และC( X )เป็นวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงบนXสำหรับแต่ละp ∈ Xแผนที่การประเมินค่า ที่กำหนดโดย เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนเคอร์เนลของมัน คืออุดมคติสูงสุดเนื่องจากตามทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรก${\displaystyle \operatorname {ev} _{p}\colon C(X)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {ev} _{p}(f)=f(p)}$${\displaystyle M_{p}=\ker(\ชื่อผู้ดำเนินการ {ev} _{p})}$$${\displaystyle C(X)/M_{p}\cong \mathbb {R} .}$$

สำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟปกติสมบูรณ์Xนั้นXจะเป็นปริภูมิแบบซูโดคอมแพ็กต์ก็ต่อเมื่ออุดมคติสูงสุดทุกตัวMของC( X )เป็นอุดมคติจริงซึ่งหมายความว่าฟิลด์ตกค้างC( X )/ M ของมัน เป็นไอโซมอร์ฟิกกับนอกจากนี้Xจะเป็น ปริภูมิแบบ เรียลคอมแพ็ก ต์ ก็ต่อเมื่ออุดมคติสูงสุดจริงทุกตัวอยู่ในรูปแบบM _pสำหรับp ∈ X บางตัว ดังนั้นXจะเป็นปริภูมิแบบคอมแพ็กต์ก็ต่อเมื่ออุดมคติสูงสุดของC( X ) ทุกตัว เป็นเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมการประเมินค่า^{[ 15 ]}${\displaystyle \mathbb {R} .}$

ถ้าXไม่ใช่แบบซูโดคอมแพ็กต์ แล้วC( X )จะมีอุดมคติสูงสุดที่มีฟิลด์ตกค้างเป็นส่วนขยายฟิลด์เรียงลำดับที่เหมาะสมของ ซึ่งมักเรียกว่า ฟิลด์ ไฮเปอร์เรียลในกรอบการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานสิ่งนี้สอดคล้องกับลักษณะเฉพาะของความกะทัดรัดดังต่อไปนี้: ^{[ 16 ]}ปริภูมิโทโพโลยีXจะกะทัดรัดก็ต่อเมื่อทุกจุดของส่วนขยายธรรมชาติ*Xอยู่ ใกล้ จุดใดจุดหนึ่งของX อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (นั่นคือ อยู่ในโมนาดของจุดหนึ่งของX ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$

ปริภูมิXจะเรียกว่ากระชับ (compact space) ก็ต่อเมื่อส่วนขยายไฮเปอร์เรียล*X ของมัน (ซึ่งสร้างขึ้นโดยวิธีอัลตราพาวเวอร์คอนสตรัคชัน เป็นต้น ) มีคุณสมบัติที่ว่าทุกจุดใน*Xอยู่ใกล้กับจุดใดจุดหนึ่งในX ⊂ *X อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น ช่วงจำนวนจริงเปิดX = (0, 1)ไม่ใช่ปริภูมิกระชับ เพราะส่วนขยายไฮเปอร์เรียล*(0,1) ของมันประกอบด้วยจุดอนันต์เล็ก ๆ ซึ่งอยู่ใกล้กับ 0 อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่ง 0 ไม่ใช่จุดในX

• เซตย่อยปิดของปริภูมิกระชับเป็นเซตกระชับ^{[ 17 ]}
• การรวมกันของเซตกระชับจำนวนจำกัดจะเป็นเซตกระชับ
• ภาพของพื้นที่ขนาดกะทัดรัดภายใต้ฟังก์ชันต่อเนื่อง นั้น เป็นพื้นที่ขนาดกะทัดรัด^{[ 18 ]}
• จุดตัดของกลุ่มเซตย่อยกระชับที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟนั้นเป็นเซตกระชับ (และปิด)
  • ถ้าXไม่ใช่ Hausdorff แล้ว การตัดกันของเซตย่อยกระชับสองเซตอาจไม่กระชับ^{[ a ]}
• ผลคูณของกลุ่มของปริภูมิกระชับใดๆ ก็เป็นปริภูมิกระชับเช่นกัน (นี่คือทฤษฎีบทของไทโคนอฟซึ่งเทียบเท่ากับสัจพจน์ของการเลือก )
• ในปริภูมิเมตริกซ์เซตย่อยจะเป็นเซตกระชับก็ต่อเมื่อเป็นเซตกระชับตามลำดับ (โดยสมมติว่ามีตัวเลือกที่นับได้ )
• เซตจำกัดที่มีโทโพโลยีใดๆ ก็ตาม ถือเป็นเซตกระชับ (compact set)

• ปริภูมิที่เซตย่อยกระชับทุกเซตเป็นเซตปิด เรียกว่าปริภูมิ KC
  • เซตย่อยขนาดกะทัดรัดของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟXเป็นเซตปิด
  • ถ้าXไม่ใช่ Hausdorff แล้วเซตย่อยกระชับของXอาจไม่ใช่เซตย่อยปิดของX ^{[ b ] [ c ]}
  • ถ้าXไม่ใช่ Hausdorff การปิดของเซตกระชับอาจไม่กระชับ^{[ d ]}
  • ถ้าXไม่ใช่ Hausdorff ก็ยังเป็นไปได้ที่เซตย่อยกระชับทุกเซตจะเป็นเซตปิด^{[ e ]}
• ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) ใดๆ เซตย่อยกระชับ (compact subset) จะเป็นเซตสมบูรณ์ (complete) อย่างไรก็ตาม TVS ที่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ (non-Hausdorff TVS) ทุกปริภูมิจะมีเซตย่อยกระชับ (และดังนั้นจึงเป็นเซตสมบูรณ์) ที่ไม่ใช่เซตปิด (closed subsets)
• ถ้าAและBเป็นเซตย่อยกระชับที่ไม่ทับซ้อนกันในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟX แล้วจะมีเซตเปิดUและV ที่ไม่ทับซ้อนกัน ในXซึ่งA ⊆ UและB ⊆ V
• การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งต่อหนึ่งอย่างต่อเนื่องจากปริภูมิกระชับไปยังปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟเรียกว่าโฮมีโอเมอร์ฟิซึม
• พื้นที่แบบเฮาส์ดอร์ฟที่กะทัดรัดนั้นเป็นเรื่องปกติและเป็นไปตามแบบแผน
• ถ้าปริภูมิXเป็นปริภูมิกระชับและเป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟแล้ว จะไม่มีโทโพโลยีที่ละเอียดกว่าบนXที่เป็นปริภูมิกระชับ และไม่มีโทโพโลยีที่หยาบกว่าบนXที่เป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟ
• ถ้าเซตย่อยของปริภูมิเมตริก( X , d )เป็นเซตกระชับ (compact) แล้ว เซตย่อยนั้นจะมี ขอบเขต d (d -bounded)

เนื่องจากภาพของปริภูมิกระชับภายใต้ ฟังก์ชัน ต่อเนื่องเป็นปริภูมิกระชับทฤษฎีบทค่าสุดขีดจึงใช้ได้กับปริภูมิดังกล่าว: ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนปริภูมิกระชับที่ไม่ว่างเปล่ามีขอบเขตบนและบรรลุค่าสูงสุด^{[ 19 ]} (โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน) ในลักษณะที่ตรงกันข้ามกับข้อความข้างต้น ภาพก่อนหน้าของปริภูมิกระชับภายใต้แผนที่ที่เหมาะสมเป็นปริภูมิกระชับ

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี Xทุกปริภูมิเป็นปริภูมิย่อยแบบเปิดและหนาแน่นของปริภูมิกระชับที่มีจุดมากกว่าX ไม่เกินหนึ่งจุด โดยอาศัยการทำให้เป็นกระชับแบบจุดเดียวของอเล็กซานดรอฟ ด้วยการสร้างแบบเดียวกัน ปริภูมิ เฮาส์ ดอร์ฟ กระชับเฉพาะที่Xทุก ปริภูมิเป็นปริภูมิย่อยแบบเปิดและหนาแน่นของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟกระชับ ที่ มีจุดมากกว่าX ไม่เกินหนึ่งจุด

เซตย่อยกระชับที่ไม่ว่างเปล่าของจำนวนจริงจะมีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดและสมาชิกที่เล็กที่สุด

ให้Xเป็น เซต ที่มีลำดับสมบูรณ์ซึ่งมีโทโพโลยีลำดับแล้วXจะกระชับก็ต่อเมื่อXเป็นแลตทิซสมบูรณ์ (กล่าวคือ เซตย่อยทั้งหมดมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด) ^{[ 20 ]}

• ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจำกัดใดๆรวมถึงเซตว่างก็เป็นปริภูมิกระชับ (compact space) โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิใดๆ ที่มีทอพอโลยีจำกัด (มีเพียงเซตเปิดจำนวนจำกัด) ก็เป็นปริภูมิกระชับเช่นกัน ซึ่งรวมถึงทอพอโลยีแบบไม่สำคัญ (trivial topology ) ด้วย
• ปริภูมิใดๆ ที่รองรับโทโพโลยีแบบโคไฟไนต์จะเป็นปริภูมิกระชับ (compact space)
• ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ ที่กระชับเฉพาะที่ใดๆ ก็สามารถเปลี่ยนเป็นปริภูมิกระชับได้โดยการเพิ่มจุดเพียงจุดเดียวเข้าไป โดยใช้การทำให้กระชับด้วยจุดเดียวแบบอเล็กซานดรอฟการทำให้กระชับด้วยจุดเดียวของ ปริภูมิ นั้น มีลักษณะสมมาตรกับวงกลมS₁การทำให้กระชับด้วยจุดเดียวของปริภูมิ นั้น^มีลักษณะสมมาตรกับทรงกลมS₂ การใช้การทำให้กระชับด้วยจุดเดียว ^นี้ยังสามารถสร้างปริภูมิกระชับที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟได้ง่ายๆ โดยเริ่มต้นจากปริภูมิที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• โทโพโลยีลำดับขวาหรือโทโพโลยีลำดับซ้ายบนเซตที่มีขอบเขตและเรียงลำดับสมบูรณ์ ใดๆ นั้น เป็นปริภูมิกระชับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิเซียร์ปินสกีเป็นปริภูมิกระชับ
• ไม่มีปริภูมิไม่ต่อเนื่อง ใดที่มีจุดอนันต์ที่เป็นปริภูมิกระชับ เซตของ จุดเอกฐาน ทั้งหมด ในปริภูมินั้นเป็นเซตคลุมเปิดซึ่งไม่มีเซตคลุมย่อยจำกัด ปริภูมิไม่ต่อเนื่องที่มีจำนวนจุด จำกัดเป็นปริภูมิกระชับ
• ในการดำเนินการโทโพโลยีขีดจำกัดล่างไม่มีเซตที่นับไม่ได้ใดที่เป็นเซตกระชับ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ในโทโพโลยีที่นับได้ร่วมบนเซตที่นับไม่ได้ ไม่มีเซตอนันต์ใดที่กระชับได้ เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ พื้นที่โดยรวมไม่กระชับได้ในระดับท้องถิ่นแต่ก็ยังเป็นลินเดลอฟอยู่ดี
• ช่วงหน่วย ปิด[0, 1]เป็นเซตกระชับ (compact) ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทไฮเนอ-โบเรลช่วงเปิด(0, 1)ไม่ใช่เซตกระชับ: เซตคลุมเปิด สำหรับn = 3, 4, ... ไม่มีเซตคลุมย่อยจำกัด ในทำนองเดียวกัน เซตของจำนวนตรรกยะในช่วงปิด[0,1]ไม่ใช่เซตกระชับ: เซตของจำนวนตรรกยะในช่วงต่างๆครอบคลุมจำนวนตรรกยะทั้งหมดใน [0, 1] สำหรับn = 4, 5, ... แต่เซตคลุมนี้ไม่มีเซตคลุมย่อยจำกัด ในที่นี้ เซตต่างๆ เป็นเซตเปิดในโทโพโลยีของปริภูมิย่อย แม้ว่าจะไม่ใช่เซตเปิดในฐานะเซตย่อยของ  ก็ตาม${\textstyle \left({\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right)}$${\textstyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]{\text{ and }}\left[{\frac {1}{\pi }}+{\frac {1}{n}},1\right]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• เซตของจำนวนจริงทั้งหมดไม่ใช่เซตกระชับ (compact set) เนื่องจากมีเซตคลุมของช่วงเปิด (open intervals) ที่ไม่มีเซตคลุมย่อย (subcover) ที่มีจำนวนจำกัด ตัวอย่างเช่น ช่วง( n − 1, n + 1)โดยที่nมีค่าเป็นจำนวนเต็มทั้งหมดในZครอบคลุมเซต Z ได้ แต่ไม่มีเซตคลุมย่อยที่มีจำนวนจำกัด${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ในทางกลับกันเส้นจำนวนจริงที่ขยายออกไปซึ่งมีโทโพโลยีที่คล้ายคลึงกันนั้นเป็นเซตกระชับ โปรดสังเกตว่าการปกคลุมที่อธิบายไว้ข้างต้นจะไม่ไปถึงจุดอนันต์และดังนั้นจึงไม่ครอบคลุมเส้นจำนวนจริงที่ขยายออกไป อันที่จริง เซตนี้มีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมไปยัง [−1, 1] ที่แมปอนันต์แต่ละจุดไปยังหน่วยที่สอดคล้องกัน และจำนวนจริงทุกจำนวนไปยังเครื่องหมายของมันคูณด้วยจำนวนเฉพาะในส่วนบวกของช่วงซึ่งส่งผลให้ได้ค่าสัมบูรณ์เมื่อหารด้วยหนึ่งลบด้วยตัวมันเอง และเนื่องจากโฮมีโอเมอร์ฟิซึมรักษาการปกคลุม คุณสมบัติของไฮน์-โบเรลจึงสามารถอนุมานได้
• สำหรับจำนวนธรรมชาติn ทุกจำนวน ทรงกลมn มิติ จะเป็นปริภูมิกระชับ (compact space) นอกจากนี้ จากทฤษฎีบทไฮน์-โบเรล ลูกบอลหน่วยปิดของปริภูมิเวกเตอร์เชิงบรรทัดฐานที่ มีมิติจำกัดใดๆ ก็เป็นปริภูมิกระชับเช่นกัน แต่สิ่งนี้ไม่เป็นจริงสำหรับมิติอนันต์ อันที่จริง ปริภูมิเวกเตอร์เชิงบรรทัดฐานจะมีมิติจำกัดก็ต่อเมื่อ ลูกบอลหน่วยปิดของมันเป็นปริภูมิกระชับ เท่านั้น
• ในทางกลับกัน ลูกบอลหน่วยปิดของปริภูมิคู่ของปริภูมิบรรทัดฐานนั้นเป็นปริภูมิกระชับสำหรับโทโพโลยีแบบอ่อน-* ( ทฤษฎีบทของอะลาโอกลู )
• เซตแคนเตอร์เป็นเซตกระชับ อันที่จริงแล้ว ปริภูมิเมตริกกระชับที่ไม่ว่างเปล่าทุกปริภูมิเป็นภาพต่อเนื่องของเซตแคนเตอร์
• พิจารณาเซตKของฟังก์ชันทั้งหมดf  : R → [0, 1]จากเส้นจำนวนจริงไปยังช่วงหน่วยปิด และกำหนดโทโพโลยีบนKโดยที่ลำดับในKลู่เข้าสู่f ∈ Kก็ต่อเมื่อลู่เข้าสู่f ( x )สำหรับจำนวนจริงx ทั้งหมด โทโพโลยีที่หยาบที่สุดดังกล่าว บางครั้งเรียกว่าโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดคือ โท โพโลยีผลคูณด้วยโทโพโลยีนี้Kเป็นปริภูมิโทโพโลยีแบบกระชับ ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของไทโคนอฟฟ์${\displaystyle \{f_{n}\}}$${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$
• เซตย่อยของปริภูมิบานาคของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงบนปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ จะกระชับสัมพัทธ์ก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอและมีขอบเขตที่จุดต่อจุด ( ทฤษฎีบทอาร์เซลา-อัสโคลี)
• พิจารณาเซตKของฟังก์ชันทั้งหมดf  : [0, 1]  → [0, 1]ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขลิปชิตซ์| f ( x ) −  f ( y ) | ≤ | x  −  y |สำหรับทุกx ,  y  ∈  [0,1]พิจารณาเมตริก บน K ที่เกิดจาก ระยะทางสม่ำเสมอ จากนั้นโดยทฤษฎีบทอาร์เซลา-อัสโคลี ปริภูมิKจะเป็นปริภูมิกระชับ${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.}$
• สเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตใดๆบนปริภูมิบานาคคือเซตย่อยกระชับที่ไม่ว่างของจำนวนเชิงซ้อน ในทางกลับกัน เซตย่อยกระชับใดๆ ของ ก็เกิดขึ้นในลักษณะนี้เช่นกัน โดยเป็นสเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตบางตัว ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนินการแนวทแยงบนปริภูมิฮิลเบิร์ตอาจมีเซตย่อยกระชับที่ไม่ว่างใดๆ ของเป็นสเปกตรัมได้${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ปริภูมิของการวัดความน่าจะเป็นแบบ บอเรลบน ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับนั้นกระชับสำหรับโทโพโลยีแบบคลุมเครือตามทฤษฎีบทของอะลาโอกลู
• ชุดของมาตรวัดความน่าจะเป็นบนเซตบอเรลของปริภูมิยุคลิดเรียกว่ากระชับ (tight)ถ้าสำหรับค่าเอปซิลอนบวกใดๆ จะมีเซตย่อยกระชับ (compact subset) ที่ประกอบด้วยมวลของแต่ละมาตรวัดเกือบทั้งหมด ยกเว้นไม่เกินเอปซิลอน ทฤษฎีบทของโปรโครอฟกล่าวว่า ชุดของมาตรวัดความน่าจะเป็นจะกระชับสัมพัทธ์ (relatively compact) สำหรับโทโพโลยีแบบคลุมเครือ (vague topology) ก็ต่อเมื่อชุดนั้นกระชับ (tight) เท่านั้น

• กลุ่ม Lie กึ่งง่ายทุก กลุ่ม มีรูปแบบจริงแบบกระชับซึ่งเป็นกลุ่มทางทอพอโลยี แบบกระชับ ตัวอย่างเช่นกลุ่มตั้งฉากของรูปแบบกำลังสองบวกแน่นอน นอกจากนี้พวกมันยังมีรูปแบบจริงที่ไม่กระชับ เช่นกลุ่มเชิงเส้นพิเศษหรือกลุ่มลอเรนซ์
• เนื่องจากจำนวนเต็มp -adic เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับเซตแคนเตอร์ ดังนั้นจึงก่อให้เกิดเซตกระชับ (compact set)
• ฟิลด์ทั่วโลก ใดๆKเป็นกลุ่มย่อยแบบบวกที่ไม่ต่อเนื่องของวงแหวนอะเดลและปริภูมิผลหารเป็นปริภูมิกระชับ สิ่งนี้ถูกนำมาใช้ในวิทยานิพนธ์ของจอห์น เทตเพื่อให้สามารถใช้การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ใน ทฤษฎีจำนวนได้
• สเปกตรัมของวงแหวนสลับ ที่ใดๆ ที่มีโทโพโลยีแบบซาริสกี (นั่นคือ เซตของอุดมคติเฉพาะทั้งหมด) นั้นเป็นปริภูมิกระชับ แต่ไม่เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ (ยกเว้นในกรณีที่ไม่สำคัญ) ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ปริภูมิโทโพโลยีดังกล่าวเป็นตัวอย่างของ โครงร่างกึ่งกระชับโดยคำว่า "กึ่ง" หมายถึงลักษณะที่ไม่เป็นเฮาส์ดอร์ฟของโทโพโลยี
• สเปกตรัมของพีชคณิตบูลีนนั้นเป็นปริภูมิกระชับ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทการแทนของสโตน ปริภูมิสโตน ซึ่งเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบ สมบูรณ์ที่ไม่เชื่อมต่อกันโดย สิ้นเชิง และเป็นปริภูมิกระชับนั้น เป็นกรอบนามธรรมที่ใช้ในการศึกษาสเปกตรัมเหล่านี้ ปริภูมิเหล่านี้ยังมีประโยชน์ในการศึกษากลุ่มโปรไฟไนต์อีก ด้วย
• ปริภูมิโครงสร้างของพีชคณิตบานาค แบบสลับที่และมีเอกลักษณ์ คือปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ
• ลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตเป็นทรงกระชับ ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของไทโคนอฟฟ์อีกประการหนึ่ง
• กลุ่มพหุนามจำกัด ( เช่นกลุ่มกาโลอิส ) เป็นกลุ่มกระชับ (compact group)

• Sundström, Manya Raman (2010). "ประวัติศาสตร์เชิงการสอนของความกะทัดรัด". arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากตัวอย่างพื้นที่กระชับ (Examples of compact spaces)บนเว็บไซต์ PlanetMath มา ใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License