ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทการแทนของสโตนสำหรับพีชคณิตบูลีนระบุว่าพีชคณิตบูลีน ทุกตัว เป็นไอโซมอร์ฟิก กับ ฟิลด์เซตบาง ฟิลด์ ทฤษฎีบทนี้เป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับพีชคณิตบูลีนซึ่งเกิดขึ้นในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยมาร์แชลล์ เอช. สโตน [ ^{1 ] ส}โตนได้รับแรงบันดาลใจจากการศึกษาทฤษฎีสเปกตรัมของตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ต^{[ 2 ]}

พีชคณิตบูลีนBแต่ละตัวมีปริภูมิเชิงทอพอโลยี ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งในที่นี้ใช้สัญลักษณ์S ( B ) เรียกว่า ปริภูมิ สโตนจุดในS ( B ) คืออัลตราฟิลเตอร์บนBหรือเทียบเท่ากับโฮโมมอร์ฟิซึมจากBไปยังพีชคณิตบูลีนสององค์ประกอบ ทอพอโลยีบนS ( B ) ถูกสร้างขึ้นโดยฐานที่ประกอบด้วยเซตทั้งหมดในรูปแบบ โดยที่bเป็นองค์ประกอบของBเซตเหล่านี้เป็นเซตปิดและ เซตเปิด ปิด (ทั้งปิดและเปิด) นี่คือทอพอโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดของเน็ตของโฮโมมอร์ฟิซึมไปยังพีชคณิตบูลีนสององค์ประกอบ $${\displaystyle \{x\in S(B)\mid b\in x\},}$$

สำหรับพีชคณิตบูลีนB ทุกตัว S ( B ) เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับและไม่เชื่อมต่อกันโดย สมบูรณ์ปริภูมิเหล่านี้เรียกว่าปริภูมิสโตน (หรือปริภูมิโปรไฟไนต์ ) ในทางกลับกัน สำหรับปริภูมิสโตนX ใดๆ กลุ่มของเซตย่อยของXที่เป็นเซตปิดและเซตเปิดจะเป็นพีชคณิตบูลีน

ทฤษฎีบทการแทนของสโตนฉบับง่ายๆกล่าวว่าพีชคณิตบูลีนB ทุกตัว สมสัณฐานกับพีชคณิตของเซตย่อยปิดและเปิดของปริภูมิสโตนS ( B ) ของมัน การสมสัณฐานนี้ส่งสมาชิกไปยังเซตของอัลตราฟิลเตอร์ทั้งหมดที่ประกอบด้วยbนี่คือเซตปิดและเปิดเนื่องจากการเลือกโทโพโลยีบนS ( B ) และเนื่องจากBเป็นพีชคณิตบูลีน ${\displaystyle b\in B}$

หากกล่าวถึงทฤษฎีบทนี้อีกครั้งโดยใช้ภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่ทฤษฎีบทนี้ระบุว่ามีความสัมพันธ์แบบทวิภาคระหว่างหมวดหมู่ของพีชคณิตบูลีนและหมวดหมู่ของปริภูมิสโตน ความสัมพันธ์แบบทวิภาคนี้หมายความว่า นอกเหนือจากการสอดคล้องกันระหว่างพีชคณิตบูลีนและปริภูมิสโตนแล้วโฮโมมอร์ฟิซึม แต่ละตัว จากพีชคณิตบูลีนAไปยังพีชคณิตบูลีนBยังสอดคล้องกับฟังก์ชันต่อเนื่องจากS ( B ) ไปยัง S ( A ) ในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีฟังก์ชันผกผันที่ให้ความเท่าเทียมกันระหว่างหมวดหมู่ การกระทำของฟังก์ชันผกผันบนมอร์ฟิซึมจะแมปแผนที่ต่อเนื่องระหว่างปริภูมิสโตนไปยังมอร์ฟิซึมของพีชคณิตบูลีนซึ่งส่งองค์ประกอบของที่ระบุไปยังเซตย่อยปิดและ เปิด ของ ไปยังภาพผกผัน ซึ่งเป็นเซต ย่อยปิดและเปิด ของ ที่ระบุไปยังองค์ประกอบของนี่เป็นตัวอย่างแรกๆ ของความสัมพันธ์แบบทวิภาคที่ไม่ธรรมดาของหมวดหมู่ ${\displaystyle f:S(B_{1})\to S(B_{2})}$${\displaystyle B_{2}\to B_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B_{2}}$${\displaystyle S(B_{2})}$${\displaystyle f^{-1}(x)}$${\displaystyle S(B_{1})}$${\displaystyle B_{1}}$

ทฤษฎีบทนี้เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบททวิภาวะของสโตน ซึ่งเป็นกรอบการทำงานที่ครอบคลุมกว่าสำหรับ ทฤษฎีบท ทวิภาวะระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีและเซตที่มีลำดับบางส่วน

การพิสูจน์ต้องอาศัยสัจพจน์ของการเลือกหรือรูปแบบที่อ่อนกว่าของสัจพจน์นั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทนี้เทียบเท่ากับทฤษฎีบทอุดมคติเฉพาะของบูลีนซึ่งเป็นหลักการของการเลือกที่อ่อนกว่าที่ระบุว่าพีชคณิตบูลีนทุกตัวมีอุดมคติเฉพาะ

การขยายความคู่แบบคลาสสิกของสโตนไปยังหมวดหมู่ของปริภูมิบูลีน (นั่นคือ ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ แบบกระชับเฉพาะที่มิติศูนย์ ) และแผนที่ต่อเนื่อง (ตามลำดับ แผนที่สมบูรณ์) ได้รับโดย GD Dimov (ตามลำดับ โดย HP Doctor) ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• ทฤษฎีบทการแทนของสโตนสำหรับแลตทิซแบบกระจาย
• ทฤษฎีบทการแทน  – การพิสูจน์ว่าโครงสร้างทุกโครงสร้างที่มีคุณสมบัติบางอย่างจะสมสัณฐานกับโครงสร้างอื่น
• ขอบเขตของเซต  – แนวคิดทางพีชคณิตในทฤษฎีการวัด หรือเรียกอีกอย่างว่า พีชคณิตของเซต
• รายชื่อหัวข้อพีชคณิตบูลีน
• ปริภูมิสโตเนียน  – ปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งการปิดของเซตเปิดทุกเซตเป็นเซตเปิดหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• กลุ่มโปรไฟไนต์  – กลุ่มทางทอพอโลยีที่ประกอบขึ้นจากระบบของกลุ่มจำกัดในแง่หนึ่ง
• ทฤษฎีบทอัลตราฟิลเตอร์  – ตัวกรองที่เหมาะสมสูงสุดหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง