ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ซึ่งตั้งชื่อตามรูดอล์ฟ ลิปชิตซ์นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เป็นรูปแบบที่แข็งแกร่งของความต่อเนื่องสม่ำเสมอสำหรับฟังก์ชัน ตามสัญชาตญาณ ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ นั้น มีข้อจำกัดในความเร็วในการเปลี่ยนแปลง กล่าวคือ มีจำนวนจริงอยู่จำนวนหนึ่ง ซึ่งสำหรับทุกคู่ของจุดบนกราฟของฟังก์ชันนี้ค่าสัมบูรณ์ของความชันของเส้นตรงที่เชื่อมจุดทั้งสองจะไม่มากกว่าจำนวนจริงนี้ ขอบเขตที่เล็กที่สุดดังกล่าวเรียกว่าค่าคงที่ลิปชิตซ์ของฟังก์ชัน (และมีความสัมพันธ์กับโมดูลัสของความต่อเนื่องสม่ำเสมอ ) ตัวอย่างเช่น ทุกฟังก์ชันที่กำหนดบนช่วงและมีอนุพันธ์อันดับแรกที่มีขอบเขต จะเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์^{[ 1 ]}

ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์เป็นเงื่อนไขหลักของทฤษฎีบท Picard–Lindelöfซึ่งรับประกันการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบสำหรับปัญหาค่าเริ่มต้นความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ชนิดพิเศษที่เรียกว่าการหดตัวถูกนำมาใช้ในทฤษฎีบทจุดตรึงของ Banach ^{[ 2 ]}

เรามีลำดับการรวมอย่างเข้มงวดต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันบนช่วงปิดและมีขอบเขตที่ไม่ใช่ช่วงว่างบนเส้นจำนวนจริง:

อนุพันธ์ต่อเนื่อง ⊂ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ ⊂ ต่อเนื่องแบบ - โฮลเดอร์ ,${\displaystyle \alpha }$

ที่ไหน. เรายังมีอีกด้วย ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$

ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ ⊂ ต่อเนื่องสัมบูรณ์ ⊂ ต่อเนื่องสม่ำเสมอ ⊂ ต่อเนื่อง

กำหนดให้ ปริภูมิเมตริกสอง ปริภูมิ คือ ( X , d _X ) และ ( Y , d _Y ) โดยที่d _XแทนเมตริกบนเซตXและd _YแทนเมตริกบนเซตYฟังก์ชันf  : X → Yเรียกว่า ฟังก์ชันลิ ป ชิตซ์ต่อเนื่องถ้ามีค่าคงที่จริงK ≥ 0 อยู่จริง ซึ่งสำหรับทุกx ₁และx ₂ในX

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).}$^{[ 3 ]}

ค่า Kดังกล่าวเรียกว่าค่าคงที่ลิปชิตซ์สำหรับฟังก์ชันfและfอาจถูกเรียกว่าK-ลิปชิตซ์ได้เช่นกัน ค่าคงที่ที่เล็กที่สุดบางครั้งเรียกว่าค่าคงที่ลิปชิตซ์ (ที่ดีที่สุด) ^{[ 4 ]}ของfหรือการขยาย^{[ 5 ] [ 6 ]}ของfฟังก์ชันfเองบางครั้งเรียกว่า "แผนที่ลิปชิตซ์" ถ้าK = 1 ฟังก์ชันนี้เรียกว่าแผนที่สั้นและถ้า 0 ≤ K < 1 และfแมปปริภูมิเมตริกไปยังตัวมันเอง ฟังก์ชันนี้เรียกว่าการหดตัว

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันค่าจริงf  : R → Rเรียกว่าต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ ถ้ามีค่าคงที่จริงบวก K อยู่จริง ซึ่งสำหรับx ₁และx ₂ที่ เป็นจำนวนจริงทั้งหมด

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.}$

ในกรณีนี้YคือเซตของจำนวนจริงRที่มีเมตริกมาตรฐานd _Y ( y ₁ , y ₂ ) = | y ₁ − y ₂ | และXคือเซตย่อยของ R

โดยทั่วไป อสมการจะเป็นจริง (อย่างเห็นได้ชัด) ถ้าx ₁ = x ₂มิฉะนั้น เราสามารถนิยามฟังก์ชันให้เป็นฟังก์ชันลิปชิตซ์ต่อเนื่องได้ก็ ต่อเมื่อมีค่าคงที่K ≥ 0 อยู่จริง โดยที่สำหรับทุกx ₁ ≠ x ₂

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.}$

สำหรับฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงหลายตัว เงื่อนไขนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อค่าสัมบูรณ์ของความชันของเส้นตัดทั้งหมดมีค่าไม่เกินKเซตของเส้นตรงที่มีความชันKที่ผ่านจุดหนึ่งบนกราฟของฟังก์ชันจะก่อตัวเป็นกรวยวงกลม และฟังก์ชันจะเป็นลิปชิตซ์ก็ต่อเมื่อกราฟของฟังก์ชันอยู่ภายนอกกรวยนี้โดยสมบูรณ์ทุกจุด (ดูรูปประกอบ)

ฟังก์ชันหนึ่งเรียกว่ามีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์เฉพาะที่ (locally Lipschitz continuous ) ถ้าสำหรับทุกxในX จะมี บริเวณใกล้เคียงUของxอยู่ซึ่งf เมื่อ จำกัดอยู่ในUนั้นมีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าXเป็น ปริภูมิเมตริก แบบกระชับเฉพาะที่ (locally compact metric space) แล้วfจะมีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์เฉพาะที่ก็ต่อเมื่อ f มีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์บนเซตย่อยกระชับทุกเซตของXในปริภูมิที่ไม่ใช่แบบกระชับเฉพาะที่ เงื่อนไขนี้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่ใช่เงื่อนไขที่เพียงพอ

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันfที่กำหนดบนXจะเรียกว่ามีความต่อเนื่องแบบ Hölderหรือเป็นไปตามเงื่อนไข Hölderอันดับ α > 0 บนXถ้ามีค่าคงที่M ≥ 0 อยู่จริง โดยที่

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Md_{X}(x_{1},x_{2})^{\alpha }}$

สำหรับทุกx ₁และx ₂ในXบางครั้งเงื่อนไข Hölder อันดับ α ก็เรียกว่าเงื่อนไข Lipschitz สม่ำเสมออันดับ α > 0 เช่นกัน

สำหรับจำนวนจริงK ≥ 1 ถ้า

${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})\quad {\text{ สำหรับทุก }}x_{1},x_{2}\in X,}$

ดังนั้นfจึงเรียกว่าK -bilipschitz (หรือเขียนว่าK -bi-Lipschitz ) เรากล่าวว่าfเป็นbilipschitzหรือbi-Lipschitzเพื่อหมายความว่ามีK ดังกล่าวอยู่ การแมปแบบ bilipschitz เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและในความเป็นจริงแล้วเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมไปยังภาพของมัน ฟังก์ชัน bilipschitz ก็คือฟังก์ชัน Lipschitz หนึ่งต่อหนึ่งที่มีฟังก์ชันผกผันเป็น Lipschitz เช่นกัน

ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ที่หาอนุพันธ์ได้ทุกที่

• ฟังก์ชันที่กำหนดสำหรับจำนวนจริงทั้งหมดเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ โดยมีค่าคงที่ลิปชิตซ์K  = 1 เนื่องจากสามารถหาอนุพันธ์ได้ ทุกที่ และค่าสัมบูรณ์ของอนุพันธ์มีค่าสูงสุดไม่เกิน 1 ดูคุณสมบัติแรกที่ระบุไว้ด้านล่างในหัวข้อ " คุณสมบัติ "${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$
• ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน ไซน์มีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ เนื่องจากอนุพันธ์ของมันคือฟังก์ชันโคไซน์ มีค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน 1

ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่

• ฟังก์ชันที่นิยามบนจำนวนจริงนั้นมีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ โดยมีค่าคงที่ลิปชิตซ์เท่ากับ 1 ตามอสมการสามเหลี่ยมผกผันโดยทั่วไปแล้วนอร์มบนปริภูมิเวกเตอร์มีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์เมื่อเทียบกับเมตริกที่เกี่ยวข้อง โดยมีค่าคงที่ลิปชิตซ์เท่ากับ 1${\displaystyle f(x)=|x|}$

ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ที่หาอนุพันธ์ได้ทุกที่ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง

• ฟังก์ชันดังกล่าวมีอนุพันธ์อยู่ แต่มีจุดไม่ต่อเนื่องที่สำคัญที่${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ถ้า }}x\neq 0\\0&{\text{ถ้า }}x=0\end{cases}}}$${\displaystyle x=0}$

ฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ (โดยรวม)

• ฟังก์ชันf ( x ) =  √ xที่กำหนดบน [0, 1] ไม่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ ฟังก์ชันนี้จะมีความชันเป็นอนันต์เมื่อxเข้าใกล้ 0 เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กลายเป็นอนันต์ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอ^{[ 7 ]}และมีความต่อเนื่องแบบโฮลเดอร์ของคลาสC ^{0, α}สำหรับ α ≤ 1/2 และยังมีความต่อเนื่องสัมบูรณ์บน [0, 1] (ซึ่งทั้งสองอย่างนี้บ่งชี้ถึงคุณสมบัติก่อนหน้านี้)

ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้แต่ไม่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ (ในระดับท้องถิ่น)

• ฟังก์ชันfที่กำหนดโดยf (0) = 0 และf ( x ) =  x ^3/2 sin(1/ x ) สำหรับ 0 < x ≤ 1 เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนเซตกระชับ แต่ไม่เป็นฟังก์ชันลิปชิตซ์เฉพาะที่ เนื่องจากฟังก์ชันอนุพันธ์ของมันไม่มีขอบเขต ดูคุณสมบัติแรกด้านล่างด้วย

ฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ไม่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ (โดยรวม)

• ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะมีความชันมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อx → ∞ และด้วยเหตุนี้จึงไม่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ทั่วโลก แม้ว่าจะเป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ก็ตาม
• ฟังก์ชันf ( x ⁾ =  x²ที่มีโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมดไม่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ ฟังก์ชันนี้จะมีความชันมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อxเข้าใกล้อินฟินิตี้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ในระดับท้องถิ่น

• ฟังก์ชันg  :  R  →  R ที่หาอนุพันธ์ได้ทุกที่ จะเป็นฟังก์ชันลิปชิตซ์ต่อเนื่อง (โดยที่K  = sup | g ′( x )|) ก็ต่อเมื่ออนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชัน นั้นมีขอบเขตจำกัด โดยทิศทางหนึ่งเป็นไปตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องใดๆ จะเป็นฟังก์ชันลิปชิตซ์เฉพาะที่ เนื่องจากฟังก์ชันต่อเนื่องมีขอบเขตจำกัดเฉพาะที่ ดังนั้นเกรเดียนต์ของฟังก์ชันจึงมีขอบเขตจำกัดเฉพาะที่เช่นกัน
• ฟังก์ชันลิปชิตซ์g  :  R  →  Rเป็น ฟังก์ชัน ต่อเนื่องสัมบูรณ์ดังนั้นจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ กล่าวคือ สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุดนอกเซตที่มีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้มี ขนาด จำกัดโดยค่าคงที่ลิปชิตซ์ และสำหรับa  < bผลต่างg ( b ) −  g ( a ) จะเท่ากับปริพันธ์ของอนุพันธ์g ′ บนช่วง [ a ,  b ]
  • ในทางกลับกัน ถ้าf  : I  → Rมีความต่อเนื่องสัมบูรณ์และสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และสอดคล้องกับ | f′ ( x )| ≤ K สำหรับ xเกือบทั้งหมดในIแล้วf จะมีความต่อเนื่องแบบลิป ชิตซ์ โดยมีค่าคงที่ลิปชิตซ์ไม่เกินK
  • โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบทของราเดมาเคอร์ขยายผลลัพธ์เรื่องความสามารถในการหาอนุพันธ์ไปสู่การแมปแบบลิปชิตซ์ระหว่างปริภูมิยุคลิด: การแมปแบบลิปชิตซ์f  :  U  →  R ^mโดยที่Uเป็นเซตเปิดในR ⁿนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ ยิ่ง ไปกว่านั้น ถ้าKเป็นค่าคงที่ลิปชิตซ์ที่ดีที่สุดของfแล้วเมื่อใดก็ตามที่อนุพันธ์รวมDfมีอยู่${\displaystyle \|Df(x)\|\leq K}$
• สำหรับแผนที่ลิปชิตซ์ที่หาอนุพันธ์ได้อสมการนี้จะเป็นจริงสำหรับค่าคงที่ลิปชิตซ์ที่ดีที่สุดของถ้าโดเมนเป็นนูนแล้ว ในความเป็นจริง${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \|Df\|_{L^{\infty }(U)}\leq K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \|Df\|_{L^{\infty }(U)}=K}$
• สมมติว่า { f _n } คือลำดับของการแมปแบบลิปชิตซ์ต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเมตริกสองปริภูมิ และf _n ทั้งหมด มีค่าคงที่ลิปชิตซ์ที่ถูกจำกัดด้วยK บางค่า ถ้าf _nลู่เข้าสู่การแมปf อย่างสม่ำเสมอแล้วfก็จะเป็นลิปชิตซ์เช่นกัน โดยมีค่าคงที่ลิปชิตซ์ที่ถูกจำกัดด้วยK เดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้บ่งชี้ว่าเซตของฟังก์ชันค่าจริงบนปริภูมิเมตริกกระชับที่มีขอบเขตเฉพาะสำหรับค่าคงที่ลิปชิตซ์นั้นเป็นเซตย่อยปิดและนูนของปริภูมิบานาค ของฟังก์ชันต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามผลลัพธ์นี้ใช้ไม่ได้กับลำดับที่ฟังก์ชันอาจมี ค่าคงที่ลิปชิตซ์ ที่ไม่จำกัดอันที่จริงแล้ว ปริภูมิของฟังก์ชันลิปชิตซ์ทั้งหมดบนปริภูมิเมตริกกระชับเป็นพีชคณิตย่อยของปริภูมิบานาคของฟังก์ชันต่อเนื่อง และด้วยเหตุนี้จึงมีความหนาแน่นในปริภูมิบานาค ซึ่งเป็นผลลัพธ์พื้นฐานของทฤษฎีบทสโตน-ไวเออร์สตรัส (หรือเป็นผลลัพธ์ของทฤษฎีบทการประมาณค่าของไวเออร์สตรัสเนื่องจากพหุนามทุกตัวมีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ในระดับท้องถิ่น)
• ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ทุกฟังก์ชันมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอและด้วยเหตุนี้จึงมีความต่อเนื่องโดยทั่วไปแล้ว เซตของฟังก์ชันที่มีค่าคงที่ลิ ป ชิตซ์ที่มีขอบเขต จะก่อให้เกิด เซตที่มีความต่อเนื่องเท่ากัน ทฤษฎีบทของอาร์เซลา-อัสโคลีบ่งชี้ว่า ถ้า { f _n } เป็น ลำดับของฟังก์ชันที่มี ขอบเขตสม่ำเสมอและมีค่าคงที่ลิปชิตซ์ที่มีขอบเขตแล้ว ลำดับย่อยของฟังก์ชันนี้จะลู่เข้า จากผลลัพธ์ในย่อหน้าก่อนหน้า ฟังก์ชันลิมิตก็เป็นฟังก์ชันลิปชิตซ์เช่นกัน โดยมีค่าคงที่ลิปชิตซ์ที่มีขอบเขตเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตของฟังก์ชันลิปชิตซ์ค่าจริงทั้งหมดบนปริภูมิเมตริกกระชับXที่มีค่าคงที่ลิปชิตซ์ ≤  K เป็น เซตย่อยนูน กระชับเฉพาะที่ของปริภูมิบานาคC ( X )
• สำหรับกลุ่มฟังก์ชันต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์f _αที่มีค่าคงที่ร่วมกัน ฟังก์ชัน(และ) ก็จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์เช่นกัน โดยมีค่าคงที่ลิปชิตซ์เดียวกัน หากฟังก์ชันนั้นมีค่าจำกัดอย่างน้อยที่จุดใดจุดหนึ่ง${\displaystyle \sup _{\alpha }f_{\alpha }}$${\displaystyle \inf _{\alpha }f_{\alpha }}$
• ถ้าUเป็นเซตย่อยของปริภูมิเมตริกMและf  : U  → Rเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ จะมีแผนที่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์M  → R เสมอ ที่ขยายfและมีค่าคงที่ลิปชิตซ์เดียวกันกับf (ดูทฤษฎีบทของ Kirszbraun ด้วย ) การขยายนั้นมีให้โดย

${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},}$

โดยที่kคือค่าคงที่ลิปชิตซ์สำหรับfบนU

โครงสร้าง Lipschitzบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีถูกกำหนดโดยใช้แอตลาสของแผนภูมิที่มีแผนที่การเปลี่ยนผ่านเป็น bilipschitz ซึ่งเป็นไปได้เพราะแผนที่ bilipschitz ก่อตัวเป็นกลุ่มเทียมโครงสร้างดังกล่าวทำให้สามารถกำหนดแผนที่ Lipschitz เฉพาะที่ระหว่างแมนิโฟลด์ดังกล่าวได้ คล้ายกับวิธีการกำหนดแผนที่เรียบระหว่างแมนิโฟลด์เรียบ : ถ้าMและNเป็นแมนิโฟลด์ Lipschitz แล้วฟังก์ชันจะเป็นLipschitz เฉพาะที่ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกคู่ของแผนภูมิพิกัดและโดยที่UและVเป็นเซตเปิดในปริภูมิยุคลิดที่สอดคล้องกัน การประกอบ จะเป็น Lipschitz ^{เฉพาะ} ที่ คำจำกัดความนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการกำหนดเมตริกบนMหรือN ^{[ 8} ]${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle \phi :U\to M}$${\displaystyle \psi :V\to N}$$${\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \phi :U\cap (f\circ \phi )^{-1}(\psi (V))\to V}$$

โครงสร้างนี้อยู่ระหว่างโครงสร้างของแมนิโฟลด์เชิงเส้นแบบแบ่งส่วนและแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี : โครงสร้าง PL ก่อให้เกิดโครงสร้างลิปชิตซ์ที่ไม่ซ้ำกัน^{[ 9 ]} ในขณะที่แมนิโฟลด์ลิปชิตซ์มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี ทฤษฎีบทของราเดมาเคอร์ช่วยให้สามารถทำการวิเคราะห์ได้ ซึ่งนำไปสู่การประยุกต์ใช้งานต่างๆ^{[ 8 ]}

ให้F ( x ) เป็น ฟังก์ชัน กึ่งต่อเนื่องบนของxและF ( x ) เป็นเซตปิดและนูนสำหรับx ทั้งหมด จากนั้นFจะเป็น Lipschitz ด้านเดียว^{[ 10 ]}ถ้า

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}$

สำหรับค่าC บางค่า และสำหรับค่าx ₁และx ₂ทั้งหมด

เป็นไปได้ที่ฟังก์ชันFอาจมีค่าคงที่ลิปชิตซ์ขนาดใหญ่มาก แต่มีค่าคงที่ลิปชิตซ์ด้านเดียวขนาดปานกลาง หรืออาจติดลบก็ได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน

${\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}}$

มีค่าคงที่ลิปชิตซ์^K = 50 และค่าคงที่ลิ ^ปชิตซ์ด้านเดียวC = 0 ตัวอย่างที่เป็นลิปชิตซ์ด้านเดียวแต่ไม่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์คือF ( x ) = e⁻ˣโดยที่C = 0

• การทำแผนที่การหดตัว  – ฟังก์ชันที่ลดระยะห่างระหว่างจุดทั้งหมด
• ความต่อเนื่องของ Dini
• โมดูลัสของความต่อเนื่อง
• ไอโซเมตรีเสมือน
• ทฤษฎีบทเสริมของจอห์นสัน-ลินเดนสเตราส์ – สำหรับจำนวนเต็มใดๆเซตย่อยจำกัดใดๆX ⊆ R ⁿและจำนวนจริงใดๆจะมีฟังก์ชัน (1+ε)-bi-Lipschitz อยู่โดยที่${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle 0<\epsilon <1}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{d},}$${\displaystyle d=\lceil 15(\ln |X|)/\varepsilon ^{2}\rceil .}$