ในการพิสูจน์ผลลัพธ์ในวิชาคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงมีกฎเชิงการจัดเรียงหรือหลักการเชิงการจัดเรียงที่มีประโยชน์หลายอย่างที่ได้รับการยอมรับและใช้กันอย่างแพร่หลาย

กฎการบวกกฎการคูณและหลักการรวม-แยกมักใช้เพื่อการแจงนับการพิสูจน์แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงใช้เพื่อแสดงว่าเซตสองเซตมีจำนวนสมาชิก เท่ากัน หลักการรังนกพิราบมักใช้เพื่อตรวจสอบการมีอยู่ของบางสิ่ง หรือใช้เพื่อกำหนดจำนวนต่ำสุดหรือสูงสุดของบางสิ่งในบริบท เฉพาะ

เอกลักษณ์เชิงการจัดเรียงจำนวนมากเกิดขึ้นจาก วิธี การนับซ้ำหรือวิธีการขององค์ประกอบที่โดดเด่นฟังก์ชันก่อกำเนิดและความสัมพันธ์เวียนเกิด เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพซึ่งสามารถใช้ในการจัดการลำดับ และสามารถอธิบายหรือแก้ไขสถานการณ์เชิง การจัดเรียงได้หลายอย่าง

กฎแห่งผลรวมเป็นหลักการที่เข้าใจง่ายซึ่งกล่าวว่า หากมี ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ aอย่างสำหรับเหตุการณ์หนึ่ง (หรือวิธีการทำบางสิ่ง) และ มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ bอย่างสำหรับอีกเหตุการณ์หนึ่ง (หรือวิธีการทำอีกบางสิ่ง) และเหตุการณ์ทั้งสองไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ (หรือสิ่งทั้งสองไม่สามารถทำพร้อมกันได้) ดังนั้นจะมี ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด a + bสำหรับเหตุการณ์ทั้งสอง (หรือวิธีการที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการทำสิ่งใดสิ่งหนึ่ง) กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้นคือ ผลรวมของขนาดของเซตสองเซตที่ไม่ซ้ำกันจะเท่ากับขนาดของผลรวมของเซตทั้งสองนั้น

กฎการคูณเป็นอีกหลักการหนึ่งที่เข้าใจง่าย ซึ่งกล่าวว่า ถ้ามีวิธีทำสิ่งหนึ่งได้b วิธี และ มีวิธีทำอีกสิ่งหนึ่งได้ b วิธี ดังนั้นจึงมีวิธีทำทั้งสองสิ่งได้ a  ·  b วิธี

หลักการรวม-แยก เกี่ยวข้องกับขนาดของผลรวมของเซตหลายๆ เซต ขนาดของแต่ละเซต และขนาดของส่วนร่วมที่เป็นไปได้ของเซตเหล่านั้น ตัวอย่างที่เล็กที่สุดคือเมื่อมีเซตสองเซต จำนวนสมาชิกในผลรวมของAและBจะเท่ากับผลรวมของจำนวนสมาชิกในAและBลบด้วยจำนวนสมาชิกในส่วนร่วมของทั้งสองเซต

โดยทั่วไป ตามหลักการนี้ ถ้าA ₁ , …, A _nเป็นเซตจำกัดแล้ว

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|&{}=\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum _{i,j\,:\,1\leq i<j\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\right|\\&{}\qquad +\sum _{i,j,k\,:\,1\leq i<j<k\leq n}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right|-\ \cdots \ +\left(-1\right)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.\end{aligned}}}$

กฎการหารระบุว่า มีn/dวิธีในการทำงานหนึ่งๆ หากงานนั้นสามารถทำได้โดยใช้ขั้นตอนที่สามารถดำเนินการได้nวิธี และสำหรับทุกวิธีw จะ มี เพียงd วิธี จากnวิธีเท่านั้นที่สอดคล้องกับวิธีw

การพิสูจน์แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Bijective proofs) พิสูจน์ว่าเซตสองเซตมีจำนวนสมาชิกเท่ากันโดยการหาฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง) จากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง

การนับแบบสองครั้ง (Double counting) เป็นเทคนิคที่เทียบเท่านิพจน์สองนิพจน์ซึ่งนับขนาดของเซตในสองวิธี

หลักการรังนกพิราบกล่าวว่า ถ้าเราใส่สิ่งของa ชิ้นลงในกล่อง bกล่อง โดยที่a > bแล้ว กล่องใดกล่องหนึ่งจะต้องมีสิ่งของมากกว่าหนึ่งชิ้น โดยใช้หลักการนี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ เช่น การมีอยู่ของสมาชิกบางตัวในเซตที่มีคุณสมบัติเฉพาะบางอย่าง

วิธีการเลือกองค์ประกอบที่โดดเด่นจะเลือก "องค์ประกอบที่โดดเด่น" จากเซตเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์บางอย่าง

ฟังก์ชันก่อกำเนิดคืออนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมที่มีสัมประสิทธิ์สอดคล้องกับพจน์ของลำดับที่กำหนด การแสดงลำดับแบบใหม่นี้เปิดโอกาสให้เกิดวิธีการใหม่ๆ ในการค้นหาเอกลักษณ์และรูปแบบปิดที่เกี่ยวข้องกับลำดับบางอย่าง ฟังก์ชันก่อกำเนิด (แบบธรรมดา) ของลำดับa _nคือ

${\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.}$

ความสัมพันธ์เวียนเกิดกำหนดแต่ละพจน์ของลำดับโดยอ้างอิงจากพจน์ก่อนหน้า ความสัมพันธ์เวียนเกิดอาจนำไปสู่คุณสมบัติที่ไม่เคยทราบมาก่อนของลำดับ แต่โดยทั่วไปแล้วนิพจน์แบบปิดสำหรับพจน์ของลำดับนั้นเป็นที่ต้องการมากกว่า